4.2平方根与立方根（第1课时平方根）（教学课件）数学鲁教版五四制2024七年级上册

4.2 平方根 第四章 实数 鲁教版2024（五四制）·七年级上册 学 习 目 标 1 2 理解算术平方根和平方根的概念，会计算一个数的算术平方根和平方根，并能用符号正确表示出来. 理解算术平方根和平方根的性质，能用算术平方根解决简单的实际问题，体会数学与生活的联系. 新课导入 正方形的面积是9，那么边长就是3. 已知正方形的边长，我们会计算它的面积. 反之，如果已知正方形的面积，你会求它的边长吗？ 正方形的面积是，那么边长就是. 正方形的面积是，边长怎么表示呢？ 新知探究 如图所示，你能求出图中字母的值吗？ x，y，z，w 四个数中哪些是有理数？哪些是无理数？ x2= ， y2= ， Z2= ， W2= . 2 1 1 x 1 y z 1 1 w 3 4 5 Z=2，Z是有理数，x、y和W是无理数. 如何表示这些无理数呢？ 新知探究 一、算术平方根 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记为“ ”，读作“根号 a”. 特别地，我们规定 0 的算术平方根是 0，即= 0． 新知探究 想一想，下列数的算术平方根分别是多少呢？ 9 , ， 0 , 6 , -5 . ∵ 32 = 9，∴9的算术平方根是 3 . ∵ （）2 = ，∴ 的算术平方根是 . ∵ 02 = ，∴ 0 的算术平方根是 0 . 谁的平方是6呢？ 谁的平方是-5呢？ ∵ 2 = ，∴6 的算术平方根是 . ∵ 任何数的平方都是非负数，∴-5没有算术平方根 . 新知探究 算术平方根的性质 （1）正数只有一个算术平方根，并且恒为正； （2）0的算术平方根为0，即= 0； （3）负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定 是一个非负数． ≥0且a≥0（双重非负性） 新知探究 在上面的学习中，我们知道9 的算术平方根是 3，也就是说， 3 的平方是 9．那么还有其他的数，它的平方也是 9 吗？ （-3）2 =9 平方等于 的数有几个？平方等于 0.64 的数呢？ （ ）2 =， （- ）2 = ∴平方等于 的数有2个， 和- ∴平方等于0.64的数也有2个， 和- 0.8 2 =， （-0.8）2 = 算术平方根 新知探究 二、平方根 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根（也叫做二次方根）, 记为“ ”，读作“根号 a”. 新知探究 一个正数只有一个算术平方根，有几个平方根呢？ 3 和-3的平方是 9，所以3 和-3都是9的平方根，我认为正数的平方根有2个. 0的平方是 0，所以0 的平方根只有0. 他们的想法对吗？负数有平方根吗？ 新知探究 平方根的性质 （1）正数 a 有两个平方根，一个是 a 的算术平方根， 另一个是，它们互为相反数．这两个平方根合起 来可以记作±，读作“正、负根号 a ”； （2）0 只有一个平方根，它是 0 本身； （3）负数没有平方根． 新知探究 三、开平方 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. 其中，a叫做被开方数.（ a≥0） 典例1.求算术平方根 典例分析 求下列各数的算术平方根： (1) 900；(4)14 解：（1）∵ 302 = 900，∴ 900 的算术平方根是 30，即= 30； （2） ∵ 12 = 1，∴ 1 的算术平方根是 1，即 = 1 （3） ∵（）2 = ，∴ 的算术平方根是 ，即 = ； （4） 14 的算术平方根是 ． 变式训练 算术平方根 完全平方 绝对值 ≥0 ≥0 ≥0 变式训练 常见的三种非负数 方法技巧 2）一个实数的偶次方(主要是二次方)，即a²，a4等 3）一个实数的算术平方根，即 1）一个实数的绝对值，即|a|； 典例2.利用算术平方根解决实际问题 典例分析 自由下落物体下落的距离 s（m）与下落时间 t（s）的关系为 s = 4.9 t2．有一铁球从 19.6 m 高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？ 解：将 s = 19.6 代入公式 s = 4.9 t2，得 t2 =4 ∴ t = = 2（s）． 即铁球到达地面需要 2 s． 典例3.求平方根 典例分析 求下列各数的平方根： (1) 64；(4)（-25）2 ； (5) 11 解：（1）∵（±8）2 = 64，∴ 64 的平方根是 ±8，即 ± =±8； （2） ∵（±）2 = ，∴ 的算术平方根是 ±，即 =±； （3） ∵（±0.02）2 = 0.000 4，∴ 0.000 4 的平方根是 ±0.02， 即± = ±0.02； 先化简再求平方根 典例3.求平方根 典例分析 求下列各数的平方根： (1) 64；(4)（-25）2 ； (5) 11 解：（4）∵ （±25）2 =（-25）2， ∴ （-25）2 的平方根是 ±25， 即± = ± 25； （5） 11 的平方根是 ± 11 ． 如何求呢？ 拓展延伸 想一想， 与 （ ）2 相等吗？它们有什么区别和联系? 变式训练 （1）一个正数的平方等于 361，求这个正数； （2） 一个负数的平方等于 121，求这个负数； （3） 一个数的平方等于 196，求这个数． 解：（1）∵（19）2 = 361，∴ 361的算术平方根是 19，即 =19； （2）∵（-11）2 = ，∴ 的一个平方根是-11，即 =-； （3） ∵（±14）2 =196，∴ 196的平方根是 ±14，即± = ±14. 正数的平方根有两个，互为相反数； 正数的算术平方根只有一个，是正数！ 课堂练习 (1) 36；(4)0.81 ； (5) 10-4 注意公式：a-p=（）p 解：（1）∵62 =36，∴ 36的算术平方根是6，即= 6； （2）∵（）2 = ，∴ 的算术平方根是 ，即 = ； （3）17 的算术平方根是 ； （4）∵0.92 =0.81，∴ 0.81的算术平方根是0.9，即= 0.9； （5）∵10-4 =（）4=0.0001=（0.01）2，∴ 10-4 的算术平方 根是0.01，即= 0.01 课堂练习 2.求下列各式的值： (1) ； (4) ； (5) 求算术平方根 求负平方根 解：（1）=10；（2）=12； （3）=； （4） =-0.1 ； （5） =-15；（6） = - 课堂练习 若被开方数互为相反数，则被开方数=0！ 两个被开方数互为相反数，有什么特点呢？ 课堂练习 4.如图，从帐篷支撑竿AB 的顶部 A 向地面拉一根绳子 AC 固定帐篷．若 绳子的长度为5.5 m，地面固定点 C 到帐篷支撑竿底部 B 的距离是 4.5 m， 则帐篷支撑竿的高是多少？（精确到 0.1 m） 如图所示，点A、点B和点C组成了一个直角 三角形，可以根据勾股定理求出直角边AB的长度. 解 析 解：由题意可知，△ABC是直角三角形，∠B=90° 由勾股定理可得：AB2=AC2-BC2 即AB2=5.52-4.52=10 ∴ AB= 3.2（ m） 答：帐篷支撑竿的高是3.2 m. 一、算术平方根 课堂小结 1.概念：如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个正 数 x 就叫做 a 的算术平方根，记为“ ”，读作“根号 a”. 2.性质：（1）正数只有一个算术平方根，并且恒为正； （2）0的算术平方根为0，即= 0； （3）负数没有算术平方根. 二、平方根 课堂小结 1.概念：如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根, 记为“ ”，读作“根号 a”. 2.性质：（1）正数 a 有两个平方根，记作±，； （2）0 只有一个平方根，它是 0 本身； （3）负数没有平方根． $