精品解析：河北省廊坊市第十七中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年第一学期学情分析一 九年级数学（人教版） ・九上21~22.1章・ 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前请将装订线左侧的项目填写清楚． 3．答案请用黑色钢笔或签字笔填写． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程的常数项是（ ） A. B. 5 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：一元二次方程的常数项是1， 故选：D． 2. 下列数中，能使方程成立的x的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将各个选项的的值代入计算即可得解． 【详解】解：A、当时，，故不符合题意； B、当时，，故符合题意； C、当时，，故不符合题意； D、当时，，故不符合题意； 故选：B． 3. 已知二次函数的图象开口向下，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次项系数决定了开口方向，大于零开口向上，否则开口向下．直接利用二次函数的性质得出a的取值范围． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， 即符合要求的为， 故选：A． 4. 方程的根为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 由已知方程得到两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】解：， 或， 解得，， 故选：C． 5. 用配方法解一元二次方程时，下列变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方的步骤是解题的关键；方程变形为，再配方即可． 【详解】解：由变形得：， 配方得：，即； 所以选：A． 6. 已知方程的一个根是6，则它的另一个根是（ ） A. B. 5 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系，即可解出方程的另一个根． 【详解】解：设另一个根为a， 由根与系数的关系得， ∴． 故选：C． 7. 如图是一个简单的数值运算程序．当输出结果为时，输入的值为（ ） A. 3或 B. 6或 C. 1或3 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据题意列出方程，即可解答． 【详解】解：当输出结果为时， 解得：或， 故选：B． 8. 二次函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像，掌握二次函数图像的特征是解题的关键． 根据二次函数的顶点式即可判断大致图像． 【详解】解：由条件可知，顶点坐标为， 二次函数图像是开口向上，以顶点坐标为的抛物线， 故选：D． 9. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ） A. B. 4 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据，求得的值，即可作出选择．熟练掌握根的判别式的运用是解题的关键． 【详解】解：已知有两个相等的实数根， ， ， 故选：C． 10. 两年前生产甲种药品的成本是元，随着生产技术的进步，现在生产甲种药品的成本是元，设甲种药品成本的年平均下降率为，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均增长率（下降率）问题，初始成本为6400元，经过两年的下降，变为3600元，设年平均下降率为x，则每年成本为前一年的倍，两年后的成本为，据此建立方程即可, 【详解】设年平均下降率为x，则第一年后的成本为元，第二年后的成本为元， 根据题意，两年后的成本为3600元， 因此方程为：，选项B符合此方程， 故选B 11. 已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表，则下列结论正确的是（ ） … 0 1 3 4 … … 3 4 0 … A. 图象的开口向上 B. 当时，随的增大而减小 C. D. 该二次函数图象与轴只有一个交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 通过待定系数法求出二次函数解析式，结合二次函数的性质分析各选项即可． 【详解】解：分别将，，代入得： ， 解得：， 即解析式为． A：，开口向下，错误； B：对称轴，开口向下，当时，y随x增大而减小，正确； C：当时，，错误； D：判别式，与x轴有两个交点，错误； 故选：B． 12. 在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的乘积称为该点的“点积值”．如图，线段位于第一象限，轴，点A在直线上，当点B的“点积值”为28时，点A的横坐标为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数，解一元二次方程．设，根据“轴”表示出点B的坐标，再根据“点积值”为28列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：点A在直线上， 设， 线段位于第一象限，轴， 点B的坐标为， 点B的“点积值”为28， ，即， 解得，， 点A在第一象限， ， 即点A的横坐标为4， 故选B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 若是关于的一元二次方程，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．据此可得答案． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴． 故答案为：2． 14. 若点在抛物线上，则___________（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，注意：拋物线的对称轴是直线，顶点坐标为．根据二次函数的性质得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，然后根据点离对称轴的远近即可求解． 【详解】解：∵拋物线，, ∴拋物线的开口向上，对称轴为直线， ， ， 故答案为：． 15. 一元二次方程的两根为m，n，且，其中“”表示一个数，则“”为_______． 【答案】23 【解析】 【分析】根据一元二次方程的两根为m，n，得到，结合得到，解答即可． 本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：由一元二次方程的两根为m，n， 故， 又， 故， 解得． 故答案为：23． 16. 如图，直线从左至右交抛物线于点．且两条抛物线的顶点都在直线上，均平行于轴．已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．熟练掌握该知识点是关键． 根据题意得出，，，再结合抛物线的对称性得到，计算即可求出． 【详解】解：由图可知，，， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知二次函数经过点与． （1）求b，c的值． （2）求该二次函数图象的顶点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将两点坐标代入二次函数解析式得到关于b与c的方程组，求出方程组的解即可得到b与c的值； （2）二次函数解析式化为顶点形式，即可求出顶点坐标． 【小问1详解】 解：将代入二次函数解析式得：， 解得：； 【小问2详解】 二次函数解析式为， 则顶点坐标为． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法 （1）利用配方法求解即可得； （2）移项后因式分解，再求解可得． 【小问1详解】 解：， ， ， 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， 解得 19. 已知整数与的平方和可以表示为，现有两个连续的正整数． 【尝试】（1）若这两个连续的正整数中，较小的数是3，计算它们的平方和； 【建模】（2）若这两个连续的正整数的平方和是145，求这两个正整数． 【答案】（1）它们的平方和是25（2）这两个正整数分别是8和9 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由较小的数是3，可得出较大的数是4，将两个数的平方相加，即可求出结论； （2）设较小的正整数是，则较大的正整数是，根据这两个连续正整数的平方和是145，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）较小的数是3， 较大的数是4， 它们的平方和是． 答：它们的平方和是25； （2）设较小的正整数是，则较大的正整数是， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ． 答：这两个正整数分别是8和9． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围，并将其在数轴上表示出来； （2）当取最大的整数时，求原方程的两个根． 【答案】（1）， 在数轴上表示出来如下： ； （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，列不等式即可，并将解集在数轴上表示出来； （2）由（1）求出，代入原方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：方程有两个不相等实数根， ，即， ， 解得..， 【小问2详解】 解：，且取最大的整数， ， 原方程为， ，即， 解得，． 21. 有个方程．第1个方程：；第2个方程：；第3个方程 嘉嘉同学解第1个方程的步骤如下： 解：移项，得…第一步 配方，得…第二步 …第三步 …第四步 …第五步 …第六步 （1）请指出嘉嘉的解法在第几步开始出现错误，并直接写出第1个方程正确的根； （2）已知为正整数，请用含的式子表示： ①直接写出第个方程； ②用配方法求出①所列方程的根． 【答案】（1）五， （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练计算是解题的关键． （1）根据配方法解一元二次方程的步骤，即可解答； （2）①根据题中整式的规律即可得到； ②根据配方法解一元二次方程的步骤，即可解答． 【小问1详解】 解：嘉嘉的解法在第五步开始出现错误， 解：移项，得， 配方，得， ， ， ， ， 则第1个方程正确的根； 【小问2详解】 解：①第1个方程：；第2个方程：；第3个方程， 第个方程为， ②， ， ， ， ， ， ． 22. “谁知盘中餐、粒粒皆辛苦．”某校为让学生体验农耕劳动，准备建一个矩形蔬果种植试验田．该试验田一边靠长的墙，另三边用围栏围成、围栏总长，围成的矩形试验田四周不能有空隙． （1）若要使围成矩形试验田的面积为，求该矩形试验田的长和宽； （2）该校想要围成一个面积为的矩形试验田，请判断这一想法能否实现？说明理由． 【答案】（1）该矩形试验田的长为，宽为 （2） 解：这一想法不能实现，理由如下： 假设这一想法能实现，设 ，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去， 假设不成立， 即这一想法不能实现． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设，则，根据该矩形试验田的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合墙长为，即可确定结论； （2）假设这一想法能实现，设，则，根据该矩形试验田的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合墙长为，即可得出假设不成立，即这一想法不能实现． 【小问1详解】 解：设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：该矩形试验田的长为，宽为； 【小问2详解】 略 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点．点是抛物线上一点，点的横坐标为，点的坐标为． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）当点为抛物线顶点时，求的值； （3）当平行于轴时，求的值； （4）将抛物线在点和点之间的部分记为图象（包括端点），当图象的最大值和最小值之差为时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）将点代入求解即可； （2）根据二次函数顶点坐标的横坐标与对称轴相同求解即可； （3）当当平行于轴时，，据此列方程求解即可； （4）根据二次方程的性质，分类讨论即可． 【小问1详解】 解：抛物线（为常数）经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当点为抛物线顶点，且点的横坐标为， ； 【小问3详解】 解：当平行于轴时，， 点是抛物线上一点，点的横坐标为，点的坐标为， ， 解得：或， 的值为或； 【小问4详解】 解：当时，最高点为顶点，最低点为，则， 解得：或（舍去）， 当时，最高点为顶点，最低点为，则； 当时，最高点为，最低点为，则， 解得：； 当时，最高点为点，最低点为，则，解得：或（舍去）． 综上所述，当或时，图象的最大值和最小值之差为． 24. 如图1～图3，在矩形中，，，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿的路线移动，到达点时停止；点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向到达点时停止．已知，两点同时出发，设运动的时间为秒． （1）当点在边上运动时，用含的代数式分别表示和的长； （2）在（1）的条件下，当五边形的面积为25时，求的值； （3）如图2和图3，点沿的路线运动到点的过程中，当的面积为1时，求的值； （4）设矩形对角线的交点为，在，运动过程中，直接写出点落在内部（包括边界）的时长． 【答案】（1）， （2） （3）的值为7 （4）2秒 【解析】 【分析】本题主要考查动点线段长，面积问题，熟悉一次及二次函数是解题的关键． （1）根据题意写出线段长即可； （2）先求矩形的面积，再利用得出面积表达式，再代入求解，注意取舍； （3）分点在线段上和点在线段上，结合图形得到面积求解； （4）分，，，，，结合图形判断即可； 【小问1详解】 当点在边上运动时， ， 则， ； 【小问2详解】 矩形的面积为， ， 则， 又五边形的面积为25， 所以，即，解得或， 又时，点不在边上， 所以的值为1； 【小问3详解】 点沿的路线运动到点的过程中， ①当点在线段上时，，， 此时是的高， ，解得， 当时，， 故点不在线段上，不符合题意； ②当点在线段上时， ，，， ， 解得或， 时，，符合题意； 时，，不符合题意， ， 综上，当的面积为1时，求的值为7． 【小问4详解】 当时，在线段上，如图，易得点在外部， 当时，在线段上，如图， 此时， 当时，过点， 所以此时点在外部， 当时，在中点，在中点，如图， 此时在上， 当时， ，如图， 当时，过点， 所以此时点在内部， 当时，此时在线段上， 此时点在外部， 综上，时，此时点在内部，共2秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期学情分析一 九年级数学（人教版） ・九上21~22.1章・ 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前请将装订线左侧的项目填写清楚． 3．答案请用黑色钢笔或签字笔填写． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程的常数项是（ ） A. B. 5 C. D. 1 2. 下列数中，能使方程成立的x的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 16 3. 已知二次函数的图象开口向下，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 4. 方程的根为（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程时，下列变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知方程的一个根是6，则它的另一个根是（ ） A. B. 5 C. D. 1 7. 如图是一个简单的数值运算程序．当输出结果为时，输入的值为（ ） A. 3或 B. 6或 C. 1或3 D. 48 8. 二次函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 9. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ） A. B. 4 C. D. 1 10. 两年前生产甲种药品的成本是元，随着生产技术的进步，现在生产甲种药品的成本是元，设甲种药品成本的年平均下降率为，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表，则下列结论正确的是（ ） … 0 1 3 4 … … 3 4 0 … A. 图象的开口向上 B. 当时，随的增大而减小 C. D. 该二次函数图象与轴只有一个交点 12. 在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的乘积称为该点的“点积值”．如图，线段位于第一象限，轴，点A在直线上，当点B的“点积值”为28时，点A的横坐标为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 若是关于的一元二次方程，则的值为______． 14. 若点在抛物线上，则___________（填“”“”或“”）． 15. 一元二次方程的两根为m，n，且，其中“”表示一个数，则“”为_______． 16. 如图，直线从左至右交抛物线于点．且两条抛物线的顶点都在直线上，均平行于轴．已知，则___________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知二次函数经过点与． （1）求b，c的值． （2）求该二次函数图象的顶点坐标． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 19. 已知整数与的平方和可以表示为，现有两个连续的正整数． 【尝试】（1）若这两个连续的正整数中，较小的数是3，计算它们的平方和； 【建模】（2）若这两个连续的正整数的平方和是145，求这两个正整数． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围，并将其在数轴上表示出来； （2）当取最大的整数时，求原方程的两个根． 21. 有个方程．第1个方程：；第2个方程：；第3个方程 嘉嘉同学解第1个方程的步骤如下： 解：移项，得…第一步 配方，得…第二步 …第三步 …第四步 …第五步 …第六步 （1）请指出嘉嘉的解法在第几步开始出现错误，并直接写出第1个方程正确的根； （2）已知为正整数，请用含的式子表示： ①直接写出第个方程； ②用配方法求出①所列方程的根． 22. “谁知盘中餐、粒粒皆辛苦．”某校为让学生体验农耕劳动，准备建一个矩形蔬果种植试验田．该试验田一边靠长的墙，另三边用围栏围成、围栏总长，围成的矩形试验田四周不能有空隙． （1）若要使围成矩形试验田的面积为，求该矩形试验田的长和宽； （2）该校想要围成一个面积为的矩形试验田，请判断这一想法能否实现？说明理由． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点．点是抛物线上一点，点的横坐标为，点的坐标为． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）当点为抛物线顶点时，求的值； （3）当平行于轴时，求的值； （4）将抛物线在点和点之间的部分记为图象（包括端点），当图象的最大值和最小值之差为时，直接写出的取值范围． 24. 如图1～图3，在矩形中，，，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿的路线移动，到达点时停止；点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向到达点时停止．已知，两点同时出发，设运动的时间为秒． （1）当点在边上运动时，用含的代数式分别表示和的长； （2）在（1）的条件下，当五边形的面积为25时，求的值； （3）如图2和图3，点沿的路线运动到点的过程中，当的面积为1时，求的值； （4）设矩形对角线的交点为，在，运动过程中，直接写出点落在内部（包括边界）的时长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $