精品解析：江苏省马坝高级中学2025-2026学年高二上学期第一次学情调研测试数学试题

2024级高二（上）第一次学情调研测试 数学试题 一、选择题 1. 已知直线经过点和两点，则直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】直接计算斜率即可得所求. 【详解】因为，故所求为. 故选：C. 2. 已知圆的一条直径的端点分别是，则该圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，直接求出圆心和半径，即可求解. 【详解】因为，则的中点坐标为， 且，则， 所以所求圆的方程为， 故选：A. 3. 已知两定点，动点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出对称点坐标，根据将军饮马模型即可求出最小值. 【详解】取点关于直线对称点，设， 则，解得，即， 则， 当且仅当、、三点共线时取等. 故选：D. 4. 设为实数，已知直线，，若，则（ ） A. 6 B. C. 6或 D. 或3 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线一般形式下的平行条件计算即可. 【详解】因为，所以，解得或． 当时，，满足与平行； 当时，，可判断此时与重合，舍去； 所以. 故选：A． 5. 若为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，再利用圆的性质求出最小值. 【详解】圆的圆心，半径为， 点到直线的距离， 即直线与圆相离，又点在圆上， 故点到直线的最小值为， 故选：. 6. 若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心，根据斜率关系求出，再利用点斜式即可. 【详解】圆心，则，则， 则弦所在直线的方程为，即. 故选：C 7. 已知点，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段有交点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直线的斜率公式即可求解. 【详解】由，得， 所以直线的方程恒过定点，斜率为． 因为， 所以． 由题意可知，作出图形如图所示， 由图象可知，或， 所以实数的取值范围为． 故选：B． 8. “”是“直线与曲线恰有1个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先分析曲线的图形，再结合直线与该曲线的位置关系，再判断 “” 与 “直线与曲线恰有1个公共点” 之间的条件关系. 【详解】曲线表示圆心，半径为的圆的上半部分（包括与轴的交点）， 直线的斜率为1，在轴上的截距为， 当直线与曲线恰有1个公共点时，该直线与曲线相切或有一个交点， 如图所示： 相切时，圆心到直线距离等于2，则， 即或（舍去，因为当时与下半部分相切，不符合题意）. 由图象可知，有一个交点时，. 综上可知，当直线与曲线恰有1个公共点时，或. 于是，当“”时，直线“与曲线恰有1个公共点”，则充分性成立； 当直线与曲线恰有1个公共点时，或，则必要性不成立. 所以， “”是“直线与曲线恰有1个公共点”的充分不必要条件. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角定义，依图象分别判断各选项即可. 【详解】根据直线斜率与倾斜角定义，关系分别判断各选项. 由图像可知， 则， 故选：AD 10. 已知圆与圆，则（ ） A. 两圆的圆心距为 B. 两圆的公切线有2条 C. 两圆相交，且公共弦所在的直线方程为 D. 两圆相交，且公共弦的长度为 【答案】AB 【解析】 【分析】求出两圆圆心坐标后借助两点间距离公式计算即可得A；求出两圆半径判断圆与圆的位置关系即可得B；结合两圆位置关系，将两圆方程相减即可得其公共弦所在的直线方程，即可得C；结合垂径定理计算即可得D. 【详解】由可得， 则圆心，半径； 由可得， 则圆心，半径； 对A：，即两圆的圆心距为，故A正确； 对B：由，，则， 故两圆相交，故两圆的公切线有条，故B正确； 对C：， 则公共弦所在的直线方程为，故C错误； 对D：公共弦的长度为，故D错误. 故选：AB. 11. 椭圆的左右焦点分别为，是坐标原点，是椭圆上一点，则 （ ） A. 的周长是14 B. 当时，面积最大 C. 的最大值是 D. 当时，面积为1 【答案】CD 【解析】 【分析】根据判断A选项；根据点在椭圆的短轴端点时，面积最大判断B选项；根据椭圆的性质判断C选项；联立方程得，进而计算面积公式即可. 【详解】由题知：椭圆的长半轴长，，，， 因为是椭圆上一点，所以根据椭圆的定义，， 对于A， 的周长是，故A错误； 对于B，当面积最大时，点在椭圆的短轴端点，即点的坐标为， 此时，故不成立，故B错误； 对于C，由椭圆的性质可知，的最大值是长半轴长，即为，故C正确； 对于D，根据题意，联立方程得，， 此时，面积为，故D正确. 故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是椭圆上的点,到该椭圆左焦点的距离为,则到右焦点的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据椭圆的定义，求得到右焦点的距离. 【详解】依题意，而到该椭圆左焦点的距离为,则到右焦点的距离为. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题. 13. 若方程表示圆，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】方程表示圆，需要 计算得到答案. 【详解】方程表示圆 则 【点睛】本题考查了二元二次方程表示圆的条件，属于简单题. 14. 已知某公园的一座半圆形拱桥的水面宽为6m，在一场暴雨后水面上涨了1m，宽变为4m（如图）.根据以上数据，计算暴雨后圆拱顶距水面的距离是_____________米. 【答案】 【解析】 【分析】以拱顶为原点，圆心与原点所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设圆的标准方程，根据两点坐标求距离公式和列出关于b的方程，解方程即可得出结果. 【详解】如图，以拱顶为原点，圆心与原点所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 设拱桥所在圆的方程为， 得：， 由题意，即， 解得，则圆的方程为， 可得暴雨后圆拱顶距水面的距离为(m). 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知的顶点坐标是，为的中点. （1）求中线的方程；（用一般式表示） （2）求经过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.（用一般式表示） 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，再根据两点式方程即可得解； （2）根据截距相等分类讨论，设出直线方程，代入点即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 故的方程是，即； 【小问2详解】 由直线在坐标轴上截距相等， 若直线过原点，设直线方程为， 代入，可得，所以直线方程为，即； 若直线不过原点，设直线方程为， 代入，可得， 所以直线方程为，即. 综上，经过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或. 16. 求适合下列条件的椭圆标准方程： （1）与椭圆有相同的焦点，且经过点； （2）经过两点. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）利用已知椭圆可得焦点的坐标，结合椭圆的定义可求，从而可得椭圆标准方程： （2）利用待定系数法，设出方程，代入两点的坐标，解方程可求. 【详解】（1）椭圆的焦点坐标为， ∵椭圆过点， ∴， ∴， ∴椭圆的标准方程为. （2）设所求的椭圆方程为． 把两点代入， 得：，解得， ∴椭圆方程为． 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解，待定系数法和定义法是常用的求解方法，侧重考查数学运算的核心素养. 17. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程； （3）圆上有两个点到直线上的距离等于2，求的范围. 【答案】（1）； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）设圆心，进而根据，并结合解方程求得圆心，进而计算半径即可的答案； （2）分切线斜率不存在与存在两种情况讨论求解即可； （3）根据题意，圆心到直线的距离满足，再解不等式即可得答案. 【小问1详解】 设圆心，因为圆经过点和，且圆心在直线上， 所以， 整理得，解得： 所以，圆心为，半径为， 所以，圆的标准方程. 【小问2详解】 因为，所以不在圆上， 当所求切线斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离为，等于圆的半径， 所以，切线方程为. 当直线的斜率存在时，设切线方程为，即 根据圆心到切线的距离等于半径，可得，即， 两边平方得，解得， 所以切线方程为，即. 所以，过点作圆的切线，切线方程为或. 【小问3详解】 由（1）知圆的圆心为，半径为， 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离， 因为圆上有两个点到直线上的距离等于2， 所以，即，即， 所以， 解得：或. 所以，的范围为 18. 已知直线. （1）当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； （2）求证：直线恒过定点； （3）若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值. 【答案】（1） （2） 直线的方程可化为， ，得，则直线恒过定点； （3）6 【解析】 【分析】（1）先求出点关于直线的对称点，再求出直线的方程即可； （2）将直线的方程化为，再解方程组即可； （3）求出坐标，结合不等式即可. 【小问1详解】 时，， 设点关于直线的对称点，则，， 得，即， 则直线的斜率为，则直线的方程为， 故反射光线所在直线的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 令，得，令，得， 因直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点， 则，，，，得或， 则 利用可得，，等号成立时， 则， 故的最小值为. 19. 已知半径为的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切. （1）求圆的标准方程； （2）若是圆上任意一点，求的取值范围； （3）求的范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设圆心为，根据条件建立方程为，求出，即可求解； （2）将问题转化成与距离的平方，再利用圆的性质，即可求解； （3）利用圆的参数方程，，结合条件，利用辅助角公式得，即可求解. 【小问1详解】 设圆心为，由题有，解得， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为表示与距离的平方， 由（1）知，则， 所以，则， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 令， 则，其中， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二（上）第一次学情调研测试 数学试题 一、选择题 1. 已知直线经过点和两点，则直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 2. 已知圆的一条直径的端点分别是，则该圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知两定点，动点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 4. 设为实数，已知直线，，若，则（ ） A. 6 B. C. 6或 D. 或3 5. 若为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. “”是“直线与曲线恰有1个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆与圆，则（ ） A. 两圆的圆心距为 B. 两圆的公切线有2条 C. 两圆相交，且公共弦所在的直线方程为 D. 两圆相交，且公共弦的长度为 11. 椭圆的左右焦点分别为，是坐标原点，是椭圆上一点，则 （ ） A. 的周长是14 B. 当时，面积最大 C. 的最大值是 D. 当时，面积为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是椭圆上的点,到该椭圆左焦点的距离为,则到右焦点的距离为__________. 13. 若方程表示圆，则实数的取值范围为_______． 14. 已知某公园的一座半圆形拱桥的水面宽为6m，在一场暴雨后水面上涨了1m，宽变为4m（如图）.根据以上数据，计算暴雨后圆拱顶距水面的距离是_____________米. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知的顶点坐标是，为的中点. （1）求中线的方程；（用一般式表示） （2）求经过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.（用一般式表示） 16. 求适合下列条件的椭圆标准方程： （1）与椭圆有相同的焦点，且经过点； （2）经过两点. 17. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程； （3）圆上有两个点到直线上的距离等于2，求的范围. 18. 已知直线. （1）当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； （2）求证：直线恒过定点； （3）若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值. 19. 已知半径为的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切. （1）求圆的标准方程； （2）若是圆上任意一点，求的取值范围； （3）求的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $