精选母题第6讲：一元一次方程的解法 2025-2026学年苏科版七年级上学期数学精选母题系列

2025—2026学年七年级上学期数学精选母题系列 精选母题第6讲：一元一次方程的解法 母题1：直接解一元一次方程 解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． ▋▎名师点拨 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，正确的运算是解题的关键； （1）（2）（3）（4）根据解一元一次方程的一般步骤：去分母，移项，合并同类项，系数化为即可求解； 【详解】（1）解：去分母，， 移项，， 合并同类项，， 系数化，； （2）解：去分母，， 移项，， 系数化，； （3）解：去分母，， 移项，， 合并同类项，； （4）解：去分母，， 移项，， 合并同类项，， 系数化，． 1．解方程 (1) (2) (3) (4) 2．解方程 (1) (2) (3) (4) 3. 解方程： (1) (2) (3) (4) 4. 解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 母题2：解方程中的纠错问题 下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：去分母得，…第一步 去括号得，…第二步 移项得，…第三步 合并同类项得，…第四步 系数化为1得，…第五步 (1)以上求解过程中，第_____步出现错误，错误原因是________________； (2)写出该方程正确的解答过程． ▋▎名师点拨 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据移项，从方程的一边移到另一边时，要改变符号； （2）根据解一元一次方程步骤解方程即可求解． 【详解】（1）解：第三步出现错误，错误原因是移项时没有变号， 故答案为：三，移项时没有变号； （2）解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 1．下面是小敏解方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 任务一：（1）解答过程中，第______步开始出现了错误，产生错误的原因是______； （2）第三步变形的依据是______； 任务二：（1）该一元一次方程正确的解是______； （2）请写出两条解一元一次方程时应注意的事项． 任务三：小敏改正错误后，挑选了同类题型进行了巩固，请你和她一起解所选的方程：． 2．下面是晓彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：     第一步     第二步     第三步         第四步         第五步 (1)任务一：①以上步骤第一步是进行去分母，依据是______． ②以上步骤从第______步开始出现了错误，错误的原因是______． (2)任务二：①请你将正确的解方程过程写在下面； ②除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项给其他同学提出一条建议． 3. 本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程： 解方程：． 解：原方程可化为，……第一步 方程两边同时乘以6，去分母，得 ，……第二步 去括号，得，……第三步 移项，得，……第四步 合并同类项，得，………第五步 系数化为1，得，……第六步 所以是原方程的解． 上述小明的解题过程从第__________步开始出现错误，错误的原因是__________． 请你写出正确的解题过程． 4. 小明在学习解一元一次方程时，遇到了这样一个方程，于是他尝试去解，最后检验时他发现解是错误的，他百思不得其解，请帮助检查他下面的解法： 解：原方程即．                                       【A】 去分母，得．                           【B】 去括号，得．                                【C】 移项，得．                                    【D】 合并同类项，得．                                                   【E】 系数化为1，得．                                                        【F】 (1)他错在哪一步？____________（请填后面的大写字母代号），错误的原因是____________； (2)请你帮助正确写出求解过程． 母题3：解方程中的同解问题 已知关于的方程与有相同的解，求的值． ▋▎名师点拨 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】解关于的方程与，利用解相同得到关于的方程，解此方程 即可求出的值． 【详解】解：由， 得 由， 得 两个方程的解是相同的， ， 解得 故的值为． 【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解． 1．已知关于x的方程和方程的解相同，求关于y的方程的解． 2．若方程与关于x的方程的解相同，求的值． 3．已知是关于x的一元一次方程． (1)当m为何值时，该方程的解与方程的解相同？ (2)当方程的解为正整数，且m为非负整数时，求m的值． 4．设为有理数，已知关于的一元一次方程． (1)若方程与已知方程的解相同，求的值； (2)若关于的方程的解比已知方程的解大，求已知方程的解． 母题4：解方程的整数解问题 关于的一元一次方程，其中是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求的值． ▋▎名师点拨 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母、一元一次方程解的关系 【分析】此题考查解一元一次方程，一元一次方程的特殊值的解法，（2）是难点，根据m的所有可能值代入计算可得到答案． （1）将m的值代入计算求解即可； （2）解方程得，根据m是正整数，得是3的倍数，根据方程有正整数解确定m的可能值． 【详解】（1）将代入方程， 得， ∴， ∴， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∵m是正整数，且是3的倍数，方程有正整数解， ∴或． 1．已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 2．已知关于的一元一次方程，其中为整数 (1)求的值 (2)若该方程与方程同解，求的值 (3)若该方程有整数解，求的值 3．阅读与理解：已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 解：，，因为关于x的方程，有正整数解，所以为正整数，因为k为整数，所以或，所以或； 探究与应用：应用上边的解题方法，已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 4．已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)若该方程的解与方程的解相同，求的值； (4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (5)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 母题5：去分母忘乘常数问题 一同学在解关于的方程去分母时，方程右边的忘记乘以6，算得方程的解为，求的值． ▋▎名师点拨 【答案】2 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 根据去分母整理，再将方程的解代入得出关于a的方程，求出解即可． 【详解】解：， 由题意得：去分母得． 把代入方程， 得， 解得． 故a的值为2． 1．在解关于的方程时，小亮在去分母的过程中，忘记给方程右边的m乘公分母，求出方程的解为． (1)求出m的值； (2)写出正确的求解过程． 2．在解关于的方程时，小华同学在去分母时忘记方程右边的也要乘12，从而得到该方程的解是（小华同学其它过程都正确）．你能得到该方程的正确解吗？请写出你的解答过程． 3．已知关于的方程． (1)当为何值时，该方程与的解相同？ (2)佳佳同学在解这个方程，去分母时忘记给右边的乘分母的最小公倍数，最终解得，求这个方程正确的解． 4．王老师给同学们出了一道关于x的一元一次方程． (1)如果你来做这道题，第一步会先_________，这样做的依据是__________________． (2)小华在方程两边乘以6时，右边忘记乘了，结果解出，则k的值为__________________． (3)在（2）的条件下，请正确解出原方程的解． 母题6：新定义方程求解问题 阅读与思考 阅读下面的内容，并完成相应任务． 美好方程定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，那么我们就称这两个方程互为“美好方程”．例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以方程与互为“美好方程”． 任务： (1)请判断方程与是否互为“美好方程”，并说明理由． (2)若关于的方程与互为“美好方程”，求的值． ▋▎名师点拨 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解“美好方程”的定义是解题的关键． （1）分别求出两个方程的解，再根据“美好方程”的定义求解即可； （2）分别求出两个方程的解，再根据“美好方程”的定义得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：方程与不互为“美好方程”，理由如下： 解方程，得， 解方程，得， ， 方程与不互为“美好方程”； （2）解：解方程，得， 解方程，得， 关于的方程与互为“美好方程”， 解得． 1．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“成双方程”，例如：方程和为“成双方程”. (1)请判断方程与方程是否互为“成双方程”； (2)若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值； (3)若关于的方程与互为“成双方程”，求关于的方程的解． 2．定义：如果两个一元一次方程的解互为倒数，则称这两个方程互为“优雅方程”．例如：和互为“优雅方程”． (1)方程与方程是“优雅方程”吗？请说明理由； (2)若方程与关于的方程互为“优雅方程”，求的值． 3．定义：关于的方程与（、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”． 例如：方程与互为“反对方程”；方程，通过转化可得，所以与互为“反对方程”． (1)若关于的方程与（为不等于0的常数）互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，求的值及它的“反对方程”的解； (3)若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，请直接写出的解． 4．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为：，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，求m的值； (2)直接填空： ①若关于x的一元一次方程的解是，则关于y的一元一次方程的解是 ； ②若关于x的一元一次方程与互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解是 ． 2 / 2 ★学科网•数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年七年级上学期数学精选母题系列 精选母题第6讲：一元一次方程的解法 母题1：直接解一元一次方程 解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． ▋▎名师点拨 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，正确的运算是解题的关键； （1）（2）（3）（4）根据解一元一次方程的一般步骤：去分母，移项，合并同类项，系数化为即可求解； 【详解】（1）解：去分母，， 移项，， 合并同类项，， 系数化，； （2）解：去分母，， 移项，， 系数化，； （3）解：去分母，， 移项，， 合并同类项，； （4）解：去分母，， 移项，， 合并同类项，， 系数化，． 1．解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）移项合并同类项，即可求解； （2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解； （3）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解； （4）利用乘法分配律，原方程变形为，即可求解． 【详解】（1）解： 移项合并同类项得：， 解得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：； （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：； （4）解： 变形得：， 即， ∴， ∴， 解得：． 2．解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按移项，合并同类项，系数化为1即可求解； （2）按去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解； （3）按去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解； （4）先将方程左边分母化为整数，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解． 【详解】（1）解： 移项， 合并同类项， 化系数为1， （2）解： 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1， （3）解： 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1， （4）解： 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1， 3. 解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)．(2)．(3)．(4)． 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】（1）这是一个一元一次方程，先去括号，再通过移项、合并同类项、系数化为 1 来求解． （2）此方程包含分数，先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 以求解． （3）同样先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 来解这个一元一次方程． （4）方程中含有小数，先将其化为整数，再去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 进行求解． 本题主要考查了一元一次方程的解法，包括去括号、去分母、移项、合并同类项和系数化为 1 等步骤．熟练掌握一元一次方程的求解步骤和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ． （3）解：， ， ， ， ， ． （4）解：， ， ， ， ， ， ． 4. 解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，系数化为1，即可解答； （2）根据解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可解答； （3）根据解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可解答； （4）先将方程的分子与分母整数化，再根据解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可解答． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并，得， 系数化为1，得 （2）解：， 去括号，得 移项及合并，得， 系数化为1，得 （3）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项及合并，得， 系数化为1，得． （4）解：原方程可化为 ， 即， 去分母，得， 去括号，得， 移项及合并，得， 系数化为1，得 ． 母题2：解方程中的纠错问题 下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：去分母得，…第一步 去括号得，…第二步 移项得，…第三步 合并同类项得，…第四步 系数化为1得，…第五步 (1)以上求解过程中，第_____步出现错误，错误原因是________________； (2)写出该方程正确的解答过程． ▋▎名师点拨 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据移项，从方程的一边移到另一边时，要改变符号； （2）根据解一元一次方程步骤解方程即可求解． 【详解】（1）解：第三步出现错误，错误原因是移项时没有变号， 故答案为：三，移项时没有变号； （2）解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 1．下面是小敏解方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 任务一：（1）解答过程中，第______步开始出现了错误，产生错误的原因是______； （2）第三步变形的依据是______； 任务二：（1）该一元一次方程正确的解是______； （2）请写出两条解一元一次方程时应注意的事项． 任务三：小敏改正错误后，挑选了同类题型进行了巩固，请你和她一起解所选的方程：． 【答案】任务一：（1）去分母时，1漏乘了6；（2）等式的基本性质；任务二：；（3）答案不唯一，见解析；任务三： 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、等式的性质1、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． 任务一：（1）根据去分母法则判断即可； （2）根据等式的基本性质求解即可； 任务二：（1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （3）根据解一元一次方程的方法求解即可； 任务三：方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：任务一：（1）解答过程中，第一步开始出现了错误，产生错误的原因是去分母时，1漏乘了6； （2）第三步变形的依据是等式的基本性质； 任务二：（1） 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （3）移项要变号（答案不唯一）； 任务三：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 2．下面是晓彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：     第一步     第二步     第三步         第四步         第五步 (1)任务一：①以上步骤第一步是进行去分母，依据是______． ②以上步骤从第______步开始出现了错误，错误的原因是______． (2)任务二：①请你将正确的解方程过程写在下面； ②除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项给其他同学提出一条建议． 【答案】(1)①等式两边乘同一个数，或除以一个不为0的数，结果仍相等； ②三；“”从等号的左边移到右边没有改变符号； (2)①见解析；②去分母时，常数项不要漏乘（答案不唯一） 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、等式的性质2、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的解法. （1）①根据等式的性质2作答即可； ②根据移项需变号可知从第三步开始出现了错误； （2）①根据解方程的步骤作答即可； ②提出合理建议即可. 【详解】（1）解：①等式两边乘同一个数，或除以一个不为0的数，结果仍相等； 故答案为：等式两边乘同一个数，或除以一个不为0的数，结果仍相等； ②三，“”从等号的左边移到右边没有改变符号； 故答案为：三；“”从等号的左边移到右边没有改变符号； （2）解：①去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得； ②答案不唯一，如：去分母时，常数项不要漏乘；去括号时，如果括号外的因数是负数，去括号后括号内各项的符号要改变；合并同类项时系数注意带符号等． 3. 本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程： 解方程：． 解：原方程可化为，……第一步 方程两边同时乘以6，去分母，得 ，……第二步 去括号，得，……第三步 移项，得，……第四步 合并同类项，得，………第五步 系数化为1，得，……第六步 所以是原方程的解． 上述小明的解题过程从第__________步开始出现错误，错误的原因是__________． 请你写出正确的解题过程． 【答案】三；去括号出现变号错误；过程见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据等式的性质得出错误的步骤及原因，先整理方程，再根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1解方程即可． 【详解】解：从第三步开始出现错误，具体的错误是去括号出现变号错误， 正确解答过程如下： 原方程可化为， 方程两边同时乘以6，去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得， 所以是原方程的解． 故答案为：三；去括号出现变号错误． 4. 小明在学习解一元一次方程时，遇到了这样一个方程，于是他尝试去解，最后检验时他发现解是错误的，他百思不得其解，请帮助检查他下面的解法： 解：原方程即．                                       【A】 去分母，得．                           【B】 去括号，得．                                【C】 移项，得．                                    【D】 合并同类项，得．                                                   【E】 系数化为1，得．                                                        【F】 (1)他错在哪一步？____________（请填后面的大写字母代号），错误的原因是____________； (2)请你帮助正确写出求解过程． 【答案】(1)A；将方程中的小数变为整数误当成了去分母 (2)见解析 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法、步骤以及相关运算法则是解题关键． （1）根据去分母法则分析即可； （2）先将分子分母同时，将分母变为整数，再依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程． 【详解】（1）解：他错在A步骤，错误的原因是将方程中的小数变为整数误当成了去分母， 故答案为：A；将方程中的小数变为整数误当成了去分母； （2）解：原方程即， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 母题3：解方程中的同解问题 已知关于的方程与有相同的解，求的值． ▋▎名师点拨 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】解关于的方程与，利用解相同得到关于的方程，解此方程 即可求出的值． 【详解】解：由， 得 由， 得 两个方程的解是相同的， ， 解得 故的值为． 【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解． 1．已知关于x的方程和方程的解相同，求关于y的方程的解． 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题涉及同解方程的概念，需先求出其中一个方程的解，再代入另一个方程求参数，最后将代入关于的方程求解． 【详解】解：解方程，得． 因为两个方程的解相同， 所以将代入方程，得，解得． 将代入方程，得，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同解方程的概念及一元一次方程的解法，解题关键是利用同解方程的性质，先求出共同的解和参数，再代入求解目标方程． 2．若方程与关于x的方程的解相同，求的值． 【答案】27 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查一元一次方程的解法（同解问题）及代数式求值，解题关键是通过第一个方程求出公共解，再代入第二个方程求a的值． 解第一个方程：通过去分母、去括号、移项合并，求出x的值（公共解）；代入第二个方程：将公共解代入含a的方程，解关于a的一元一次方程；计算代数式：用求得的a值代入，算出结果． 【详解】解：解第一个方程 两边同乘（分母最小公倍数），得： 去括号： 合并同类项： 移项得：， 解得． 将代入，得： 两边同乘6消分母： 去括号： 合并同类项： 移项得：， 解得． ∴． 3．已知是关于x的一元一次方程． (1)当m为何值时，该方程的解与方程的解相同？ (2)当方程的解为正整数，且m为非负整数时，求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】（1）先求的解，得到方程的解，代入计算即可． （2）先求的解，根据解的属性，m的属性，解答即可． 本题考查了解方程，根据方程的解求值，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：解方程， 解得， ∵方程与方程的解相同， ∴方程的解为， ∴， 解得， 故时，方程与方程的解相同． （2）解：， 解得， 由方程的解为正整数， 故，且m为非负整数， 故， 解得， 故． 4．设为有理数，已知关于的一元一次方程． (1)若方程与已知方程的解相同，求的值； (2)若关于的方程的解比已知方程的解大，求已知方程的解． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键． （1）先求出方程的解为，再将代入已知方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得； （2）先求出两个方程的解，再根据关于的方程的解比已知方程的解大可得一个关于的一元一次方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ∵方程与方程的解相同， ∴将代入方程得：， 解得． （2）解：， ， 解得， ， ， ， 解得， ∵关于的方程的解比方程的解大， ∴， 解得， ∴， 所以已知方程的解为． 母题4：解方程的整数解问题 关于的一元一次方程，其中是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求的值． ▋▎名师点拨 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母、一元一次方程解的关系 【分析】此题考查解一元一次方程，一元一次方程的特殊值的解法，（2）是难点，根据m的所有可能值代入计算可得到答案． （1）将m的值代入计算求解即可； （2）解方程得，根据m是正整数，得是3的倍数，根据方程有正整数解确定m的可能值． 【详解】（1）将代入方程， 得， ∴， ∴， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∵m是正整数，且是3的倍数，方程有正整数解， ∴或． 1．已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值，解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （3）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正因数，又取最小值，进而得解； 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 2．已知关于的一元一次方程，其中为整数 (1)求的值 (2)若该方程与方程同解，求的值 (3)若该方程有整数解，求的值 【答案】(1)2 (2)7 (3)或或或 【知识点】方程的解、解一元一次方程（二）——去括号、一元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义、解一元一次方程、一元一次方程的解等知识，熟练掌握一元一次方程的定义是解题关键． （1）一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，据此即可获得答案； （2）首先解方程可得，然后将代入方程并求解，即可获得答案； （3）根据题意，当时，，易知当取、时才能使该方程有整数解为整数，然后求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，方程为关于的一元一次方程， ∴，， 解得，， ∴的值为2； （2）解方程，可得， 依题意得，方程的解为， 将代入方程， 可得， 解得， ∴的值为7； （3）解：∵关于的一元一次方程有整数解， ∴当时，， ∵当取、时才能使该方程有整数解为整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，或或或． 3．阅读与理解：已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 解：，，因为关于x的方程，有正整数解，所以为正整数，因为k为整数，所以或，所以或； 探究与应用：应用上边的解题方法，已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 【答案】7或4或3或2 【知识点】一元一次方程解的综合应用 【分析】移项合并可得，由此可判断出k所能取得的整数值． 【详解】解：， ， ， ， 因为关于x的方程有正整数解， 所以为正整数， 因为k为整数， 所以或或或， 解得或或或． 故整数k的值为7或4或3或2． 【点睛】本题考查解一元一次方程的知识，注意理解方程的解为整数所表示的含义． 4．已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)若该方程的解与方程的解相同，求的值； (4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (5)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 【答案】(1)(2)(3)(4)；(5) 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（三）——去分母、一元一次方程解的关系 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值， （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由是方程的解，得，解关于的方程，再将的值代入计算即可； （3）依据题意，由方程的解为，从而得，再解关于的方程即可； （4）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （5）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正因数，又取最小值，进而得解； 解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的值为； （3）解：∵， 解得：， ∵方程的解与方程的解相同， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （4）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （5）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 母题5：去分母忘乘常数问题 一同学在解关于的方程去分母时，方程右边的忘记乘以6，算得方程的解为，求的值． ▋▎名师点拨 【答案】2 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 根据去分母整理，再将方程的解代入得出关于a的方程，求出解即可． 【详解】解：， 由题意得：去分母得． 把代入方程， 得， 解得． 故a的值为2． 1．在解关于的方程时，小亮在去分母的过程中，忘记给方程右边的m乘公分母，求出方程的解为． (1)求出m的值； (2)写出正确的求解过程． 【答案】(1) (2)，见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解答本题的关键． （1）将错就错，把x的值代入小亮去分母出错的方程求出m的值即可； （2）由题意直接把m的值代入方程计算即可求出解． 【详解】（1）解：由题可知，，即， ∵， ∴； （2）由（1）可知，原方程为， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 2．在解关于的方程时，小华同学在去分母时忘记方程右边的也要乘12，从而得到该方程的解是（小华同学其它过程都正确）．你能得到该方程的正确解吗？请写出你的解答过程． 【答案】，过程见解析 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解与一元一次方程的关系是解题的关键．先根据题意求出k的值，再代入，利用去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1的过程求解即可． 【详解】解：小华同学在去分母时忘记方程右边的也要乘12， 则原方程变为， 该方程的解是， ， 解得：， 关于的方程， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 3．已知关于的方程． (1)当为何值时，该方程与的解相同？ (2)佳佳同学在解这个方程，去分母时忘记给右边的乘分母的最小公倍数，最终解得，求这个方程正确的解． 【答案】(1)(2) 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解答本题的关键． （1）首先求出方程的解，然后代入求解即可； （2）首先将代入，求出，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得． 将代入， 得， 解得； （2）解：由题意，将代入， 得， 解得． 将代入， 得， 解得， 所以这个方程正确的解为． 4．王老师给同学们出了一道关于x的一元一次方程． (1)如果你来做这道题，第一步会先_________，这样做的依据是__________________． (2)小华在方程两边乘以6时，右边忘记乘了，结果解出，则k的值为__________________． (3)在（2）的条件下，请正确解出原方程的解． 【答案】(1)将等号两边同时乘以6；等式两边同时乘以相等的非零的数或式子，两边依然相等 (2) (3) 【知识点】方程的解、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程： （1）根据等式的性质求解； （2）先列出小华解的方程，再将方程的解代入，得到关于k的一元一次方程，解方程即可； （3）先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可． 【详解】（1）解：第一步先将等号两边同时乘以6，依据是：等式两边同时乘以相等的非零的数或式子，两边依然相等． 故答案为：将等号两边同时乘以6，等式两边同时乘以相等的非零的数或式子，两边依然相等； （2）解：由题意知，小华解的方程为：， 将代入，得：， 解得， 故答案为：； （3）解：在（2）的条件下，， ， ， ， ， ． 母题6：新定义方程求解问题 阅读与思考 阅读下面的内容，并完成相应任务． 美好方程定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，那么我们就称这两个方程互为“美好方程”．例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以方程与互为“美好方程”． 任务： (1)请判断方程与是否互为“美好方程”，并说明理由． (2)若关于的方程与互为“美好方程”，求的值． ▋▎名师点拨 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解“美好方程”的定义是解题的关键． （1）分别求出两个方程的解，再根据“美好方程”的定义求解即可； （2）分别求出两个方程的解，再根据“美好方程”的定义得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：方程与不互为“美好方程”，理由如下： 解方程，得， 解方程，得， ， 方程与不互为“美好方程”； （2）解：解方程，得， 解方程，得， 关于的方程与互为“美好方程”， 解得． 1．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“成双方程”，例如：方程和为“成双方程”. (1)请判断方程与方程是否互为“成双方程”； (2)若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值； (3)若关于的方程与互为“成双方程”，求关于的方程的解． 【答案】(1)方程与方程是“成双方程” (2) (3) 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母、一元一次方程解的关系 【分析】本题考查了解一元一次方程和应用一元一次方程的根求参数的值，理解新定义是解题的关键． （1）根据题意，分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义验证即可求解； （2）分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义列出关于的方程，解方程即可求解． （3）分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：方程与方程是“成双方程”，理由如下： 由方程：，可得：， 由方程：，可得：， 方程与方程的两个解的和为： 方程与方程是“成双方程” （2）解：由方程：，可得：， 由方程：， 可得： 关于的方程与方程互为“成双方程”， ， 解得：； （3）解：由方程：，可得：， 与互为“成双方程”， 的解为：， 又关于的方程，可化为：， ， 关于的方程的解为：． 2．定义：如果两个一元一次方程的解互为倒数，则称这两个方程互为“优雅方程”．例如：和互为“优雅方程”． (1)方程与方程是“优雅方程”吗？请说明理由； (2)若方程与关于的方程互为“优雅方程”，求的值． 【答案】(1)是；理由见解析 (2)a的值为 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解． （1）解已知条件中的两个一元一次方程，然后根据“优雅方程”的定义进行判断即可； （2）先解已知条件中的两个方程，根据新定义，列出关于a的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：方程与方程是“优雅方程”，理由如下： 解方程得：， 解方程得， 因为和互为倒数． 所以与方程是“优雅方程”； （2）解：解方程得， 因为方程与关于x的方程互为“优雅方程”， 所以关于x的方程的解为， 将代入方程中，得． 解得， 故a的值为． 3．定义：关于的方程与（、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”． 例如：方程与互为“反对方程”；方程，通过转化可得，所以与互为“反对方程”． (1)若关于的方程与（为不等于0的常数）互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，求的值及它的“反对方程”的解； (3)若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，请直接写出的解． 【答案】(1)；(2)，；(3)． 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、一元一次方程解的关系 【分析】此题考查的是新定义，解一元一次方程，能够正确理解新定义是解决此题的关键． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）将代入求出，然后得到方程为，然后根据“反对方程”的概念求解即可； （3）首先得到互为“反对方程”的两个方程的解互为倒数，然后判断出方程和方程互为“反对方程”，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题可知，与、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”， 与方程互为“反对方程”， ； （2）解：∵关于的方程（为不等于0的常数）的解为， ∴ ∴； ∴， ∴ ∴关于的方程的“反对方程”为 ∴； （3）解：∵关于的方程的解为，关于的方程的解为，且关于的方程与（、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”， ∴互为“反对方程”的两个方程的解互为倒数， ∵方程 ∴ ∴ ∵方程 ∴ ∴方程和方程互为“反对方程” ∵关于的方程（为不等于0的常数）的解为， ∴的解为． 4．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为：，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，求m的值； (2)直接填空： ①若关于x的一元一次方程的解是，则关于y的一元一次方程的解是 ； ②若关于x的一元一次方程与互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解是 ． 【答案】(1) (2)①2023；②2025 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解及其解法，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义． （1）先分别求出两个方程的解，再根据已知条件中的新定义列出关于m的方程，解方程即可； （2）①根据已知条件和新定义列出关于y的方程，解方程即可； ②先求出方程的解，再根据它与互为“阳光方程”，求出方程的解，最后把所求方程化成，从而列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：关于x的一元一次方程的解为：， 方程的解为：， 关于x的一元一次方程与是“阳光方程”， 解得：； （2）解：①∵关于x的一元一次方程的解是， 结合 ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程 的解是； ②， ∴， ∴， ∵关于x的一元一次方程与互为“阳光方程”， ∴方程的解为：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 2 / 2 ★学科网•数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 学科网（北京）股份有限公司 $