第十六章 轴对称和中心对称（复习讲义）数学新教材冀教版八年级上册

第十六章 轴对称和中心对称（复习讲义） 1.理解轴对称以及中心对称图形的定义， 掌握常见图形（如线段、角、等腰三角形等）的对称轴或对称中心特征 ，并学会作简单图形的轴对称图形； 2.区分轴对称与中心对称的异同，利用对称性质解决实际几何问题（如最短路径、图形设计等）； 3.通过观察、折叠、画图等活动，培养空间想象能力，运用对称变换解决拼图、图案设计等实际问题，.结合坐标系进行对称点坐标计算，强化数形结合能力 4.体会对称美在自然和建筑中的体现，培养几何直观，发展逻辑推理能力（如通过对称性质证明线段、角度相等）； 5.利用对称设计剪纸、标志等生活创意，理解对称在物理（光学）、化学（分子结构）等领域的应用。 知识点 重点归纳 常见易错点 轴对称的概念 一个图形沿某条直线折叠后，两部分完全重合，则该图形是轴对称图形，这条直线称为对称轴。 将轴对称误判为中心对称：例如，认为长方形（矩形）是中心对称图形（长方形只有轴对称，对称轴是两对边中点连线）；混淆对称轴和对称中心：如把圆的圆心当作对称轴（正确：圆心是对称中心，任何直径都是对称轴）。 中心对称的概念 一个图形绕某点旋转180°后，能与原图形完全重合，则该图形是中心对称图形，这个点称为对称中心。 混淆对称轴和对称中心：如把圆的圆心当作对称轴（正确：圆心是对称中心，任何直径都是对称轴）；忽略图形的旋转角度：中心对称必须要求旋转180°后重合，学生可能错误用90°或360°测试。 轴对称与中心对称的异同 相似点：两者都是全等变换，保持图形不变形；差异点：轴对称基于直线折叠（反射变换），中心对称基于点旋转（旋转变换）；所有中心对称图形至少有一个对称中心，但轴对称图形不一定有对称中心（如等腰三角形不是中心对称）。 误认为所有对称图形都有对称轴和对称中心：如正三角形是轴对称（3条对称轴），但不是中心对称；在问题解决中滥用对称性质：如在求图形面积时，错误假设所有部分对称分布（需先验证对称性）；混淆对称与全等：对称是变换关系，全等是形状相同，但学生可能忽略对称隐含全等。 轴对称与中心对称的应用 利用其性质可在建筑、剪纸、齿轮、标志图中进行设计中； 易混淆概念误判图形；如把三角形误判为中心对称图形，平行四边形误判为轴对称图形。 线段的垂直平分线概念及性质 过线段中点的垂线叫线段的垂直平分线，又叫中垂线，性质为：到线段两个端点的距离相等，常用来求周长、角度，选址等应用。 与角平分线的性质记混淆以及直接记错概念与性质。 角平分线的概念与性质 将角分为相等的两部分的射线叫这个角的角平分线，性质为：角平分线上的点到角两边的距离相等，常用来求线段长、角度，选址等应用。 与线段的垂直平分线的概念与性质记混淆。 折叠问题的处理 通过折叠，利用轴对称的性质进行求解。 忘记轴对称的性质，不会灵活运用。将对称边、对应角搞错 题型一 轴对称的相关概念 【例1】下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B、C、D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：A． 【变式1-1】如图，图中有（    ）条对称轴 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称，根据对称轴的概念观察图形特征即可作答． 【详解】解：如图，该图形有4条对称轴： 故选：B． 【变式1-2】如图，是一个轴对称图形，点A和点D，点B和点E是对应点．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，根据轴对称图形的性质求解即可． 【详解】解：该图形为轴对称图形，点A和点D，点B和点E是对应点， ，， ， 故答案为：． 题型二 线段的垂直平分线 【例2】如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知，根据四边形周长的公式即可求出四边形的周长． 【详解】解：垂直平分， ，， 垂直平分， ，， ， 四边形的周长为. 故选：C． 【变式2-1】如图，A、B、C是某景区邻近的三座山的山顶，为了促进当地旅游发展，要在三个山顶组成的三角形平面内修建一个空中观景台，要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是 ． 【答案】各边垂直平分线的交点 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，解题的关键是掌握到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 根据线段垂直平分线的判定，即可确定观景台的位置． 【详解】解：∵到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， ∴要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是各边垂直平分线的交点． 故答案为：各边垂直平分线的交点． 【变式2-2】如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若的周长为，求的长； (2)试判断点F是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点F是在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟知线段垂直平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得到，根据三角形周长计算公式可推出，据此可得答案； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，据此可得结论． 【详解】（1）解：∵分别垂直平分和， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即； （2）解：点F是在边的垂直平分线上，理由如下： 如图所示，连接， ∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∴点F是在边的垂直平分线． 题型三 折叠问题 【例3】如图，将沿直线折叠后，使得点与点重合，若，的长为15，则的周长为（    ） A．15 B．18 C．20 D．21 【答案】D 【分析】本题考查的是折叠的性质，熟知折叠前后对应线段相等是解题的关键．由折叠的性质可得，再根据三角形周长公式即可求解． 【详解】解：∵将沿直线折叠，使得点与点重合， ∴， ∵，的长为15， ∴的周长. 故选：D． 【变式3-1】如图，把一张长方形纸片沿折叠后，、分别落在，的位置上，与交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用平行线的性质和折叠的性质求角度，准确计算是解题的关键． 先根据长方形对边平行得出度数，再依据折叠的性质得出的度数，进而求出的度数，最后根据平角为求出的度数． 【详解】由题意可得：， ， 由折叠可得：， ， ． 故答案是． 【变式3-2】如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在点F处，折痕为． (1)______（填“>”“=”或“<”）． (2)如果是的平分线，那么与有怎样的位置关系？为什么？ (3)在（2）的条件下，将沿折叠使其落在的内部，交于点M，若平分，求的大小． 【答案】(1)= (2)；理由见解析 (3) 【分析】 （1）根据折叠的性质可得出； （2）由折叠的性质可知，根据是的平分线，利用角平分线的定义可得出，将和相加结合与互补即可得出，由此即可得出； （3）设，根据折叠的性质结合角平分线的定义即可得出、，再根据即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题考查了角的计算、翻折变换、角平分线的定义以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）熟练掌握翻折的特性；（2）通过角的计算求出；（3）根据角的关系找出关于的一元一次方程． 【详解】（1） 解：∵折叠， ． 故答案为：． （2） 解：，理由如下： 由折叠而成， ． 是的平分线， ， ． ． （3） 解：依照题意画出图形，如图所示． 设， 是的平分线， ． 由折叠而成， ． 平分， ， ． ， ， ． ． 题型四 最短路径问题 【例4】如图，直线是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作点M关于直线a的对称点，连接交直线a于O． 根据两点之间，线段最短，可知选项C修建的管道，则所需管道最短． 故选：C． 【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别． 【变式4-1】如图，在等边三角形中，边上的高，是高上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】先连接CE，再根据EB=EC，将FE+EB转化为FE+CE，最后根据两点之间线段最短，根据等边三角形的各边上的高相等，求得CF的长，即为FE+EB的最小值． 【详解】连接CE， ∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线 ∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC ∴EB=EC， 当C. F. E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF， ∵等边△ABC中，F是AB边的中点， 是等边三角形边上的高， 和中 ∴AD=CF=8， ∴EF+BE的最小值为8， 故选D 【点睛】此题考查等边三角形的性质、轴对称-最短路线问题，解题关键在于作辅助线. 【变式4-2】为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄和李庄的群众出行到河岸．张庄和李庄位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄和李庄到河岸的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在，之间距离 m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 【答案】 【分析】此题主要考查了最短路线问题，作点关于直线的对称点，连接交于点，此时点到与的距离和最短，正确作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决本题的解题关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， ， ，此时点到与的距离和最小， 过作，延长与交于点， ， ，，且， ， ， ， 点与点的距离是， 故答案为：． 题型五 角平分线的性质与判定 【例5】如图，平分，P是上一点，于点H，若，则点P与射线上某一点连线的长度可以是（　　） A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质可知点P到的距离为10，进而得出答案． 【详解】解：∵平分，，， ∴点P到的距离为10， ∴点P与射线上某点连线的长度大于等于10，可以是11． 故选：D． 【变式5-1】如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是 ． 【答案】18 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 过点作于点，先根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式即可得答案． 【详解】解：过点作于点，如图， 由题中的作图过程可知，是的平分线， ，， ， ， ， 故答案为：18． 【变式5-2】如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点． (1)延长至点，求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查的是角平分线的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握判定与性质是解题的关键． （1）过点P作于点F，于点N，于点M，根据角平分线的性质得出，，根据角平分线的判定得出平分； （2）设，根据角平分线定义得出，即可得出，求出，即可求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，过点P作于点F，于点N，于点M，如图所示： 又∵平分，平分， ∴，， ∴， 又∵，， ∴平分． （2）解：设，由（1）知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型六 中心对称图形的识别 【例6】如图，记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为（    ） A．点B B．点C C．点D D．点E 【答案】C 【分析】此题考查了中心对称图形．点A绕点O旋转即可与点D重合，根据中心对称图形的定义进行解答即可． 【详解】解：记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为D， 故选：C 【变式6-1】在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 【变式6-2】下列图形中，左边的图形与右边的图形可看成中心对称的有 ． 【答案】B，D 【分析】本题考查中心对称，根据中心对称的定义逐个判断即可得到答案；解题的关键是熟练掌握中心对称的定义：将一个图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形． 【详解】解：由题意可得， A选项左边的图形与右边的图形不成中心对称，不符合题意， B选项左边的图形与右边的图形可看成中心对称，符合题意， C选项左边的图形与右边的图形不成中心对称，不符合题意， D选项左边的图形与右边的图形可看成中心对称，符合题意． 故答案为：B，D． 题型七 利用中心对称性质求解 【例7】如图，已知长方形的长为10，宽为4，则图中阴影部分的面积为（   ） A．20 B．15 C．10 D．25 【答案】A 【详解】解：根据题意观察图形可知，长方形的面积=10×4=40cm2， 再根据中心对称的性质得： 图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半， 则图中阴影部分的面积=×40=20cm2． 故选：A． 【变式7-1】如图，四边形为平行四边形，点从点出发向点运动，为平行四边形的中心，射线和相交于点，若，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：连接， 四边形是关于点的中心对称，为过中心的线段， ，， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ，、、三点在同一直线上， ， ， ， 故答案为：． 【变式7-2】如图，与关于点成中心对称，若，，求的长度和的度数． 【答案】2， 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ， ，． 题型八 利用图形的位置变换进行设计 【例8】如图（1），在边长为2的正方形纸片上，以它的中心为圆心，以1为半径作半圆；再分别以B，C为圆心，以1为半径作四分之一圆，剪去图（1）中的阴影部分，得到图（2）．用两个图（2）中的纸片，在每个纸片上各剪1刀，再将剪成的四部分拼成一个正方形（无缝隙、无重叠），则不同的裁剪方法共有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【详解】解：由题意可知两个题图（2）中的图形的面积和为4，故拼成的正方形的边长为2，如图，共有3种不同的裁剪方法， 故选 C． 【变式8-1】将正方形纸片裁剪后可通过平移、旋转等方式拼接出多种有创意的美丽图形．将下列正方形沿虚线剪开后，通过平移、旋转拼成的“鸟”的图案为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：根据正方形的性质，平移、旋转性质，得到图案为． 故选：B． 【变式8-2】在古代的两河流域，人们用粘土制成泥版，在泥版上进行书写．古巴比伦时期的泥版BM15285（如图1）记录着祭司学校的数学几何练习题，该图片由完美的等圆组成．受泥版上的图案启发，某设计师设计出形似雨伞的图案用作平面镶嵌（如图2），若图案中伞顶与伞柄的最长距离为2，则一块伞形图案的面积为 ． 【答案】2 【详解】解：观察图形， 一块伞形图案的面积为：矩形面积-下半圆面积+上半圆面积=矩形面积， ∴一块伞形图案的面积为：2×1=2． 故答案为：2． 题型九 利用轴对称性质求解 【例9】如图，内有一点点关于的对称点是点关于的轴对称点是分别交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵点关于的对称点是点关于的轴对称点是， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式9-1】如图，点是外一点，点、分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在线段的延长线上．若，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在线段的延长线上， ∴，， ∵， ∴，， 即， 则线段的长为：． 故选：B． 【变式9-2】如图，与关于射线对称，与关于射线对称，点，，，在一条直线上，记，，则，的数量关系为 【答案】 【详解】解：∵与关于射线对称， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与关于射线对称， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型十 画对称图形 【例10】在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．在图中画出关于点成中心对称的，使点，分别与点，对应． 【答案】见解析． 【详解】解：（）连接并延长至点，使，得到点关于点的对称点，同法作出点、点关于点的对称点； （）连接； ∴即为所求． 【变式10-1】知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成面积相等的两个部分．如图，直线经过对角线的交点，则    (1)如图，两个正方形如图所示摆放，为小正方形对角线的交点，请利用直尺求作过点的直线将整个图形分成面积相等的两部分． (2)个大小相同的正方形如图所示摆放，利用直尺求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用两种不同的方法分割）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：如图所示：   ． 【变式10-2】如图，请你仔细观察图①中三个网格中的阴影部分构成的图案，按要求回答下列问题： (1)图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是___________图形（填“轴对称”或“中心对称”） (2)请你在图②、图③的网格中涂上阴影，使阴影部分构成的图案与图①中的图案有相同特征． 【答案】(1)中心对称 (2)（答案不唯一） 【详解】（1）解：从图中看出，都是中心对称图形． 故答案为：中心对称． （2）解：如图所示（答案不唯一）： 基础巩固通关测 1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形，轴对称图形，掌握中心对称图形，轴对称图形的定义是关键． 一个图形绕着某固定点旋转度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可． 【详解】解：A、选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 2．如图，在，已知点在上，且，则点在（   ） A．的垂直平分线上 B．的平分线上 C．的中线上 D．的垂直平分线上 【答案】A 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的判定，到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上． 根据线段垂直平分线的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴点在的垂直平分线上， 故选：A． 3．已知与分别在直线的两侧且关于直线对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线的对称点，下列线段被直线垂直平分的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质即可得线段、、都被直线垂直平分，进而可得答案． 【详解】解：∵点与点、点与点，点与点都是关于直线的对称点， ∴线段、、都被直线垂直平分． 故选：B． 4．如图，平分，于点，，是射线上的任一点，则的长度不可能是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，垂线段最短，过点D作于H，则，根据垂线段最短可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于H， ∵平分，，， ∴， ∵垂线段最短， ∴， ∴的长度不可能是2024， 故选：A． 5．如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（　　） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 根据题意易求，由角平分线的性质定理可知D点到的距离等于D点到的距离的长度，则答案可解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴是的角平分线， ∴D点到和的距离相等， ∵表示D点到的距离，， ∴D到的距离为3． 故选：A． 6．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．中线、角平分线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．高线、中线、角平分线 D．角平分线、中线、高线 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠的性质，根据折叠的性质，结合三角形角平分线、高线、中线的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：由图①可知，，即：是的角平分线； 由图②可知：， ∴， ∴是的高线， 由图③可知：，即D为的中点， ∴是的中线， 综上分析可知：依次是的角平分线、高线、中线， 故选：B． 7．如图，在中，，，的面积为，平分，点，分别为，上动点，连结，，则的最小值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，垂线段最短．作F关于的对称点为M，作边上的高，求出，根据垂线段最短得出，求出即可得出的最小值． 【详解】解：作F关于的对称点为M，作边上的高， ∵平分， ∴M必在上， ∵F关于的对称点为M， ∴， ∴，即 (垂线段最短)， ∵的面积为，， ∴， ∴，即的最小值为5． 故选：B 8．在字母、、、、、中不是轴对称图形的是 ，有两条对称轴的是 ． 【答案】 【详解】解答：题中的、、、、为轴对称图形，不是轴对称图形． 其中、、、有一条对称轴，有两条对称轴． 故答案为：，． 9．在中，平分，若，则D点到的距离为 ． 【答案】7 【详解】解：如图，过点D作于E， ∵平分，， ∴． 故答案为：7． 10．如图，是边的垂直平分线，若的周长是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查垂直平分线的性质．根据是边的垂直平分线得，再根据的周长是即可得到答案． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为（）， 故答案为：． 11．如图，把长方形沿折叠后，点D，C分别落在，的位置，若，则 ． 【答案】/度 【分析】根据平行线的性质可得，根据邻补角的性质可得，即可求出的度数． 本题主要考查了平行线的性质和邻补角的性质，熟练掌握平行线的性质和邻补角的性质是 解题的关键． 【详解】解：∵长方形中，， ， 由∵ ． 故答案为：． 12．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的度数是 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．利用三角形内角和定理，角平分线的定义求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知平分， ∴． 故答案为：． 13．如图，某电信部门要在公路、之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄、的距离相等，到公路、的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点表示出发射塔应建的位置（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【详解】解：如图所示，点P即为所求作的点． 14．如图，在四边形中，，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接，当时，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵E为的中点， ∴． 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴垂直平分， ∴． 答：的长为5． 15．如图，在中，O为，的平分线的交点，，，，垂足分别为． (1)与是否相等，请说明理由； (2)若的周长是40，且，求的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到该角两边的距离相等是解题的关键。 （1）根据角平分线的性质得到，则； （2）如图所示，连接，根据推出，再由的周长是40，得到，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵O为，的平分线的交点，，，， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接， 由（1）得， ∵， ∴ ， ∵的周长是40， ∴， ∴． 16．如图，中，，，垂直平分，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：，， ∴垂直平分 ∵垂直平分， ， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴的周长为 17．如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，的顶点A，B，C均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图．（保留必要的画图痕迹） (1)在直线上找一点P，使得点P到点B，C的距离相等； (2)在图中找一点O，使得； (3)在（1）（2）小题的基础上，请在上确定一点M，使得两线段，的长度之和的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解；如图，点即为所求． （2）解；如图，点即为所求． （3）解；如图，点即为所求． 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小． 18．教材呈现：如图是八年级上册数学教材第96页的部分内容． 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，如图12.3－4，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E，将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有： 角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图12.3－4，，点P在上，，，垂足分别为D，E，求证：． 定理证明：结合图1，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用：如图2，的周长是12，，分别平分和，点D，若，则的面积为__________． 【答案】定理证明：见解析；定理应用：18． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理是解题的关键； 定理证明：由题意易得，然后可得，进而问题可求证； 定理应用：连接，过点O分别作，垂足分别为E、F，则有，然后根据三角形的面积公式可进行求解． 【详解】定理证明：证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 定理应用：连接，过点O分别作，垂足分别为E、F，如图所示： ∵，分别平分和，点D，， ∴， ∴， ∵的周长是12，即， ∴； 故答案为18． 能力提升进阶练 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上)折叠，点与点恰好重合，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接、， ，为的平分线， ， 又， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 为的平分线，， ≌， ， 点在的垂直平分线上， 又是的垂直平分线， 点是的外心， ， ， 根据折叠的性质可得， ， ， ． 故选：C． 3．下面是作线段的垂直平分线的尺规作图方法． 如图所示，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和，作直线． 这样作的理由是（   ） ①等腰三角形的三线合一 ②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ③两点确定一条直线 ④到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 A．① B．②③ C．③④ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的判定，两点确定一条直线，先结合作图过程，得出都在的垂直平分线上，两点所在直线即为的垂直平分线，故这样作的理由是到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，以及两点确定一条直线，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： 依题意，， 即都在的垂直平分线上， ∴两点所在直线即为的垂直平分线， ∴这样作的理由是到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，以及两点确定一条直线 故选：C 4．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，直线与、分别相交于点和点，连接，若，的周长为，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，作图基本作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由作图可得：垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，，结合的周长为，求出，即可得解． 【详解】解：由题意得：垂直平分， ，， ， 的周长为， ， ， 的周长， 故选：C． 5．按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（   ） A．与互余 B． C．平分 D．与互补 【答案】C 【详解】解：由折叠的性质可得， ∴， ∴与互余，故A正确，不符合题意； ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴不平分，故C错误，符合题意； ∵， ∴与互补，故D正确，不符合题意； 故选：C． 6．如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7．已知如图，中，是角平分线，，垂足为E．若，则点D到边的距离是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：过D作于F， ∵平分，，， ∴， 即点到的距离为2， 故选：C． 8．如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与，交于点，，则以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的为（   ） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质，作，可得，由此可判定①②③，连接，根据三角形三边关系可判定④，由此即可求解． 【详解】解：∵点在的角平分线上， ∴， 如图所示，过点作于点，作于点， ∴，，， ∴在四边形中，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由①正确可得，， ∴，故②正确； 由可得， ∴， ∴四边形的面积是定值，故③正确； 如图所示，连接，由上述结论可得，，，，， ∴，即的长度发生变化，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共3个， 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，四边形面积的计算方法等知识，掌握添加合理的辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 9．如图，中，点E、F分别在的延长线上，的角平分线交于点P，过点P作于点M，于点N，连结．下列结论：①平分； ②；③；   ④．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】对于①，利用角平分线的性质证明点到两边的距离相等，从而得出平分； 对于②，通过角平分线性质和三角形内角和定理进行角度推导； 对于③，通过构造全等三角形，证明线段之间的关系； 对于④，利用三角形外角性质和角平分线性质进行角度关系的推导． 【详解】①：过点作于点， 平分，，，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等， ， 平分，，， 同理可得， ， 又，， 平分，故①正确； ②：设，， 在中， ， ， 在中， ， 而， 由三角形内角和， 即， 解得， 那么， 所以， 而，故②错误； ③：在上截取， 平分， ， 又，，根据边角边可得， ，， 由①知， ， 平分，，， ， 又，， ， ， ，故③正确； ④：是的外角， ， 又平分， ， ，故④正确． 综上，①③④正确，正确的结论有个， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角性质．通过作辅助线，构造全等三角形，利用角平分线性质进行角度和线段关系的推导是解题的关键． 10．如图，在中，，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，通过轴对称把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键．作点关于的对称点，连接，，则，，当点C、P、M共线，且时，的值最小，根据三角形的面积公式求出的长度，即为的最小值． 【详解】解：如下图所示，作点关于的对称点，连接，，则，，当点C、P、M共线，且时，的值最小， 在中，，，，， ， ， 解得：， 的最小值是． 故选：A． 11．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．若，，则的面积是 ． 【答案】35 【详解】解：过点G作于点H， 由作图可得，为的平分线， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图，将纸片 沿 折叠，使点 落在点 处，且 平分 ， 平分 ，若 ， ，则 的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线是解答本题的关键．连接，根据折叠的性质及三角形外角的性质求出，再根据三角形内角和定理可知，由 平分 ， 平分 即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， 沿折叠， ，， ，， ， ， ， 平分， 平分  ， ，， ， ， 故答案为：． 13．如图在中，，，是它的角平分线，是边上的中线，的周长比的周长大4，过点作于，若，则到的距离 ． 【答案】 【详解】解：∵是边上的中线， ∴； ∵的周长比的周长大4， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴； ∵是边上的中线， ∴； 如图所示，过点D作于G，于H， ∵是的角平分线，，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴到的距离为， 故答案为：． 14．如图，在中，是的平分线，的垂直平分线交的延长线于点，已知，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了三角形的外角性质，角平分线定义，线段垂直平分线性质，熟练应用相关性质定理是解题的关键．根据线段垂直平分线得出，推出，根据角平分线得出，根据三角形外角性质得到，结合，即可得到． 【详解】解：的垂直平分线交的延长线于点， ， ， 平分， ， ，， ． 故答案为：． 15．如图，在中，平分，交于点平分，交于点交于点平分，交于点．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点O作于M，于N，则，可证明，则可推出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点O作于M，于N， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴同理可得， ∴， 故答案为：． 16．已知直线及其两侧两点，，如图．    (1)在直线上求一点，使； (2)在直线上求一点，使直线平分． (以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的运用，掌握基本作图是解题关键． （1）作线段的垂直平分线与l的交点即为所求； （2）找出点B关于直线l对称的点C，再连接并延长，交直线l于点Q，再作射线即可． 【详解】（1）解：如下图所示：点P即为所求作的点，    （2）解：如下图所示：点Q即为所求作的点，    17．画图并计算，在如图的三角形中： (1)过点画的垂线，垂足为． (2)过点画的平行线交于点．（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） (3)在线段的延长线上有一点，若，求的度数． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3) 【分析】本题主要考查了尺规作垂线，尺规作一个角等于已知角，对顶角相等，垂直定义， 对于（1），以点A为圆心，以为半径画弧，交于点D，再以点C，D为圆心，以为半径画弧，两弧交于点H，作射线交于点E，则即为所求作； 对于（2），以点B为圆心，以为半径画弧，交于点J，再以点E为圆心，以为半径画弧，交于点I，以点I为圆心为半径画弧，交前弧于点L，作射线，交于点F，可知，则，则即为所求作； 对于（3），先求出，再求出，然后根据得出答案. 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：如图所示； （3）解：如图所示， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴. 18．如图方格纸中，每个小正方形边长均为，点，点，点在小正方形的顶点上． (1)在图中画出的边上的高以及上的中线； (2)直接写出的面积为_____． (3)在图中作图，在上找一点使点到和的距离相等，并在射线上找一点使． 【答案】(1)画图见解析； (2)； (3)作图见解析． 【分析】本题考查了作图——作角平分线，垂直平分线，垂直平分线的性质，三角形有关线段，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据网格特征即可画图； （）先求出面积，然后通过中线性质即可求出的面积； （）作平分线交于点，作垂直平分线交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图， ∴即为所求； （2）解：由， ∵为中线， ∴， 故答案为：； （3）解：如图，作平分线交于点，作垂直平分线交于点， ∴点到和的距离相等， ， ∴点即为所求． 19．（1）如图1，在边上求作一点，使得点到边、距离相等；（尺规作图，不写作法，不需说明理由，保留作图痕迹．） （2）如图2，过点作于点，交（1）中的射线于，是线段上一点，且，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】此题主要考查了尺规作图，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作图作角平分线，理解角平分线的性质是解决问题的关键． （1）以点A为圆心，以适当的长为半径画弧分别交，于E，F，再分别以点E，F为圆心画弧，以大于的长为半径画弧，两弧交于点D，过点A，D作射线交于点P，则点P即为所求作的点； （2）过点作于点，由（1）知是的角平分线，根据角平分线的性质得，证明得，由，得，证明，得，再根据，可得结论． 【详解】（1）解：作的平分线交于P，则点P为所求作的点，如图1所示： 理由如下： ∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴点P到边、距离相等， 故点P为所求作的点； （2）证明：如图，过点作于点， 由（1）知是的角平分线， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．如图，已知在中，． (1)尺规作图：作的平分线交于点，交于点；（要求：保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． ∵， ∴， ∴ ①， 又∵ ②， ∴ ③， ∵， ∴ ④， ∵平分， ∴ ⑤， ∴． 【答案】(1)见解析 (2)，，，， 【分析】本题考查了作角平分线，等角的余角相等，对顶角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键． ()根据题意，按照尺规作角平分线的步骤完成作图即可； ()根据角平分线的定义，可得，根据等角的余角相等证明，即可得证． 【详解】（1）解：以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于两点； 分别以这两个交点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在内部交于一点； 过点和这个交点作射线，交于点，交于点， 如图： （2）解：在（）的条件下，求证：． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：，，，，． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六章 轴对称和中心对称（复习讲义） 1.理解轴对称、中心对称的定义， 掌握常见图形的对称轴或对称中心特征，会作简单图形的轴对称图形； 2.区分轴对称与中心对称的异同，利用对称性质解决实际几何问题（如最短路径、图形设计等）； 3.通过观察、折叠、画图等活动，培养空间想象能力，运用对称变换解决拼图、图案设计等实际问题； 4.培养学生几何直观，发展逻辑推理能力（如通过对称性质证明线段、角度相等）； 5.利用对称设计剪纸、标志等生活创意，理解对称在物理（光学）、化学（分子结构）等领域的应用。 知识点 重点归纳 常见易错点 轴对称的概念 一个图形沿某条直线折叠后，两部分完全重合，则该图形是轴对称图形，这条直线称为对称轴。 将轴对称误判为中心对称：例如，认为长方形（矩形）是中心对称图形（长方形只有轴对称，对称轴是两对边中点连线）；混淆对称轴和对称中心：如把圆的圆心当作对称轴（正确：圆心是对称中心，任何直径都是对称轴）。 中心对称的概念 一个图形绕某点旋转180°后，能与原图形完全重合，则该图形是中心对称图形，这个点称为对称中心。 混淆对称轴和对称中心：如把圆的圆心当作对称轴（正确：圆心是对称中心，任何直径都是对称轴）；忽略图形的旋转角度：中心对称必须要求旋转180°后重合，学生可能错误用90°或360°测试。 轴对称与中心对称的异同 相似点：两者都是全等变换，保持图形不变形；差异点：轴对称基于直线折叠（反射变换），中心对称基于点旋转（旋转变换）；所有中心对称图形至少有一个对称中心，但轴对称图形不一定有对称中心（如等腰三角形不是中心对称）。 误认为所有对称图形都有对称轴和对称中心：如正三角形是轴对称（3条对称轴），但不是中心对称；在问题解决中滥用对称性质：如在求图形面积时，错误假设所有部分对称分布（需先验证对称性）；混淆对称与全等：对称是变换关系，全等是形状相同，但学生可能忽略对称隐含全等。 轴对称与中心对称的应用 利用其性质可在建筑、剪纸、齿轮、标志图中进行设计中； 易混淆概念误判图形；如把三角形误判为中心对称图形，平行四边形误判为轴对称图形。 线段的垂直平分线概念及性质 过线段中点的垂线叫线段的垂直平分线，又叫中垂线，性质为：到线段两个端点的距离相等，常用来求周长、角度，选址等应用。 与角平分线的性质记混淆以及直接记错概念与性质。 角平分线的概念与性质 将角分为相等的两部分的射线叫这个角的角平分线，性质为：角平分线上的点到角两边的距离相等，常用来求线段长、角度，选址等应用。 与线段的垂直平分线的概念与性质记混淆。 折叠问题的处理 通过折叠，利用轴对称的性质进行求解。 忘记轴对称的性质，不会灵活运用。将对称边、对应角搞错 题型一 轴对称的相关概念 【例1】下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【变式1-1】如图，图中有（    ）条对称轴 A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1-2】如图，是一个轴对称图形，点A和点D，点B和点E是对应点．若，，则的度数为 ． 题型二 线段的垂直平分线 【例2】如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，A、B、C是某景区邻近的三座山的山顶，为了促进当地旅游发展，要在三个山顶组成的三角形平面内修建一个空中观景台，要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是 ． 【变式2-2】如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若的周长为，求的长； (2)试判断点F是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 题型三 折叠问题 【例3】如图，将沿直线折叠后，使得点与点重合，若，的长为15，则的周长为（    ） A．15 B．18 C．20 D．21 【变式3-1】如图，把一张长方形纸片沿折叠后，、分别落在，的位置上，与交于点，若，则 ． 【变式3-2】如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在点F处，折痕为． (1)______（填“>”“=”或“<”）． (2)如果是的平分线，那么与有怎样的位置关系？为什么？ (3)在（2）的条件下，将沿折叠使其落在的内部，交于点M，若平分，求的大小． 题型四 最短路径问题 【例4】如图，直线是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在等边三角形中，边上的高，是高上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式4-2】为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄和李庄的群众出行到河岸．张庄和李庄位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄和李庄到河岸的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在，之间距离 m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 题型五 角平分线的性质与判定 【例5】如图，平分，P是上一点，于点H，若，则点P与射线上某一点连线的长度可以是（　　） A．2 B．5 C．8 D．11 【变式5-1】如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是 ． 【变式5-2】如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点． (1)延长至点，求证：平分； (2)若，求的度数． 题型六 中心对称图形的识别 【例6】如图，记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为（    ） A．点B B．点C C．点D D．点E 【变式6-1】在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ）． A． B． C． D． 【变式6-2】下列图形中，左边的图形与右边的图形可看成中心对称的有 ． 题型七 利用中心对称性质求解 【例7】如图，已知长方形的长为10，宽为4，则图中阴影部分的面积为（   ） A．20 B．15 C．10 D．25 【变式7-1】如图，四边形为平行四边形，点从点出发向点运动，为平行四边形的中心，射线和相交于点，若，，则四边形的面积为 ． 【变式7-2】如图，与关于点成中心对称，若，，求的长度和的度数． 题型八 利用图形的位置变换进行设计 【例8】如图（1），在边长为2的正方形纸片上，以它的中心为圆心，以1为半径作半圆；再分别以B，C为圆心，以1为半径作四分之一圆，剪去图（1）中的阴影部分，得到图（2）．用两个图（2）中的纸片，在每个纸片上各剪1刀，再将剪成的四部分拼成一个正方形（无缝隙、无重叠），则不同的裁剪方法共有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式8-1】将正方形纸片裁剪后可通过平移、旋转等方式拼接出多种有创意的美丽图形．将下列正方形沿虚线剪开后，通过平移、旋转拼成的“鸟”的图案为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】在古代的两河流域，人们用粘土制成泥版，在泥版上进行书写．古巴比伦时期的泥版BM15285（如图1）记录着祭司学校的数学几何练习题，该图片由完美的等圆组成．受泥版上的图案启发，某设计师设计出形似雨伞的图案用作平面镶嵌（如图2），若图案中伞顶与伞柄的最长距离为2，则一块伞形图案的面积为 ． 题型九 利用轴对称性质求解 【例9】如图，内有一点点关于的对称点是点关于的轴对称点是分别交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，点是外一点，点、分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在线段的延长线上．若，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，与关于射线对称，与关于射线对称，点，，，在一条直线上，记，，则，的数量关系为 题型十 画对称图形 【例10】在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．在图中画出关于点成中心对称的，使点，分别与点，对应． 【变式10-1】知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成面积相等的两个部分．如图，直线经过对角线的交点，则    (1)如图，两个正方形如图所示摆放，为小正方形对角线的交点，请利用直尺求作过点的直线将整个图形分成面积相等的两部分． (2)个大小相同的正方形如图所示摆放，利用直尺求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用两种不同的方法分割）． 【变式10-2】如图，请你仔细观察图①中三个网格中的阴影部分构成的图案，按要求回答下列问题： (1)图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是___________图形（填“轴对称”或“中心对称”） (2)请你在图②、图③的网格中涂上阴影，使阴影部分构成的图案与图①中的图案有相同特征． 基础巩固通关测 1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．B．C． D． 2．如图，在，已知点在上，且，则点在（   ） A．的垂直平分线上 B．的平分线上 C．的中线上 D．的垂直平分线上 3．已知与分别在直线的两侧且关于直线对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线的对称点，下列线段被直线垂直平分的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，平分，于点，，是射线上的任一点，则的长度不可能是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 5．如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（　　） A．3 B．4 C．6 D．10 6．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．中线、角平分线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．高线、中线、角平分线 D．角平分线、中线、高线 7．如图，在中，，，的面积为，平分，点，分别为，上动点，连结，，则的最小值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 8．在字母、、、、、中不是轴对称图形的是 ，有两条对称轴的是 ． 9．在中，平分，若，则D点到的距离为 ． 10．如图，是边的垂直平分线，若的周长是，则 ． 11．如图，把长方形沿折叠后，点D，C分别落在，的位置，若，则 ． 12．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的度数是 ． 13．如图，某电信部门要在公路、之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄、的距离相等，到公路、的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点表示出发射塔应建的位置（保留作图痕迹，不写作法） 14．如图，在四边形中，，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接，当时，，，求的长． 15．如图，在中，O为，的平分线的交点，，，，垂足分别为． (1)与是否相等，请说明理由； (2)若的周长是40，且，求的面积． 16．如图，中，，，垂直平分，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 17．如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，的顶点A，B，C均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图．（保留必要的画图痕迹） (1)在直线上找一点P，使得点P到点B，C的距离相等； (2)在图中找一点O，使得； (3)在（1）（2）小题的基础上，请在上确定一点M，使得两线段，的长度之和的值最小． 18．教材呈现：如图是八年级上册数学教材第96页的部分内容． 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，如图12.3－4，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E，将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有： 角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图12.3－4，，点P在上，，，垂足分别为D，E，求证：． 定理证明：结合图1，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用：如图2，的周长是12，，分别平分和，点D，若，则的面积为__________． 能力提升进阶练 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上)折叠，点与点恰好重合，则为（ ） A． B． C． D． 3．下面是作线段的垂直平分线的尺规作图方法． 如图所示，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和，作直线． 这样作的理由是（   ） ①等腰三角形的三线合一 ②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ③两点确定一条直线 ④到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 A．① B．②③ C．③④ D．④ 4．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，直线与、分别相交于点和点，连接，若，的周长为，则的周长是（    ） A． B． C． D． 5．按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（   ） A．与互余 B． C．平分 D．与互补 6．如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 7．已知如图，中，是角平分线，，垂足为E．若，则点D到边的距离是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 8．如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与，交于点，，则以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的为（   ） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 9．如图，中，点E、F分别在的延长线上，的角平分线交于点P，过点P作于点M，于点N，连结．下列结论：①平分； ②；③；   ④．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．如图，在中，，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．若，，则的面积是 ． 12．如图，将纸片 沿 折叠，使点 落在点 处，且 平分 ， 平分 ，若 ， ，则 的度数为 ． 13．如图在中，，，是它的角平分线，是边上的中线，的周长比的周长大4，过点作于，若，则到的距离 ． 14．如图，在中，是的平分线，的垂直平分线交的延长线于点，已知，则的度数为 ． 15．如图，在中，平分，交于点平分，交于点交于点平分，交于点．若，则的值为 ． 16．已知直线及其两侧两点，，如图．    (1)在直线上求一点，使； (2)在直线上求一点，使直线平分．(以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法) 17．画图并计算，在如图的三角形中： (1)过点画的垂线，垂足为． (2)过点画的平行线交于点．（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） (3)在线段的延长线上有一点，若，求的度数． 18．如图方格纸中，每个小正方形边长均为，点，点，点在小正方形的顶点上． (1)在图中画出的边上的高以及上的中线； (2)直接写出的面积为_____． (3)在图中作图，在上找一点使点到和的距离相等，并在射线上找一点使． 19．（1）如图1，在边上求作一点，使得点到边、距离相等；（尺规作图，不写作法，不需说明理由，保留作图痕迹．） （2）如图2，过点作于点，交（1）中的射线于，是线段上一点，且，求证：． 20．如图，已知在中，． (1)尺规作图：作的平分线交于点，交于点；（要求：保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $