第11章 整式的乘除（高效培优单元测试·提升卷）数学华东师大版2024八年级上册

第11章 整式的乘除（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．计算的结果为（ ） A. B. C. D. 2．下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3．若，则的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4．甲、乙、丙、丁四名同学各自表示了如图所示的大长方形的面积，其中正确的有（ ） 甲：． 乙：． 丙：． 丁：． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5．如图1，一块边长为a的正方形纸板，先将其四个角各剪去一个边长为b的小正方形，然后将其折成如图2所示的无盖的长方体盒子，则这个长方体盒子的底面积为（ ） A. B. C. D. 6．已知，则的值等于（　　） A. 2 B. C. D. 7．设 ，，．若，则的值是(　　) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8．已知，则等于（ ） A. B. C. D. 9．若关于的代数式的展开式不含的二次项，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 10．实数，，满足，，，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11．已知则________． 12.分解因式：5a3- 20a=___________． 13.已知2a=5，2b=10．2c=50，那么a、b、c之间满足的等量关系是________． 14．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，，，其面积S的小数部分为m，则m的值为______． 15．将个数，，，排成行，列，两边各加一条竖线记成，定义，上述记号就叫做阶行列式．若，则______． 16．，，，……，其中为正整数，则的值是___________． 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题8分） 因式分解： （1）； （2）． 18． （本题8分） 先化简，再求值：，其中． 19．（本题8分） 如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形空地，中间是边长米的正方形草坪，其余为活动场地，学校计划将活动场地（阴影部分）进行硬化． （1）用含，的代数式表示需要硬化的面积并化简； （2）当，时，求需要硬化的面积． 20．（本题8分） 已知，． （1）求的值． （2）求的值． 21．（本题8分） 数学课学完整式的乘法中的多项式与多项式相乘后，老师出了一道题让同学们解答，小红把前的“”抄错成了“”，得到的结果是，小芳把抄写成了，得到的结果是．请你通过计算得出正确的，的值并写出正确的结果． 22．（本题10分） 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？ 我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算时，可依照的计算方法用竖式进行计算． 因此． （1）的商是______，余式是______． （2）利用上述方法解决：若多项式能被整除，求值． 23．（本题10分） 阅读材料，利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： ． 根据以上材料，利用多项式的配方法解答下列问题． （1）分解因式：； （2）求多项式的最小值； （3）已知、、是的三边长，且满足，求的周长． 24．（本题13分） 如图，某物流公司的应急物资储藏室有，两个长方形存放区，这两个存放区的长和宽（单位：米）如图、图所示（其中），面积（单位：平方米）分别为和． （1）该公司计划采购防潮垫，已知区防潮垫的价格为元/平方米，区防潮垫的价格为元/平方米，请用含的代数式分别表示，两区的费用． 请通过计算说明，不论为何值，区所需费用总比区所需费用少． （2）若有一个面积为的正方形存放区，其周长与图长方形存放区的周长相等，则这个正方形存放区的边长为________米．（用含的代数式表示） （3）在（2）的条件下，试探究这个正方形存放区的面积与图中存放区的面积的差是不是一个定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 25．（本题13分） 在学习“整式的乘法”时，我们借助几何图形解释或分析问题，建立了形与数的联系．如图1，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式． （1）如图，若，，则图中阴影部分面积为 ； （2）若，求代数式的值； （3）观察图， ①从图中得到 ； ②根据得到的结论，解决问题： 已 知 ，，，代 数 式的值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 整式的乘除（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方．根据积的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．下列计算正确的是（　　） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法，幂的乘方，积的乘方，单项式乘以单项式，根据同底数幂除法，幂的乘方，积的乘方，单项式乘以单项式运算法则逐项判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 3．若，则的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，运算法则需要熟练掌握，利用对应项系数相等求解是解题的关键．运用多项式与多项式相乘的法则将等式左边展开，通过比较左右两边的对应项系数，将问题转化为关于，的方程来确定，的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，， 故选：C． 4．甲、乙、丙、丁四名同学各自表示了如图所示的大长方形的面积，其中正确的有（ ） 甲：． 乙：． 丙：． 丁：． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、根据图形中各个部分的面积得出答案即可． 【详解】解：大长方形的面积：， 表示成2个长方形的面积：， 表示成边长为2个长方形的面积：， 表示成4个长方形的面积：． 故选：D． 5．如图1，一块边长为a的正方形纸板，先将其四个角各剪去一个边长为b的小正方形，然后将其折成如图2所示的无盖的长方体盒子，则这个长方体盒子的底面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知完全平方公式的应用．根据长方体的底为边长为的正方形，即可求解． 【详解】解：这个长方体盒子的底面积为， 故选：C． 6．已知，则的值等于（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是非负数的性质，有理数的乘方，积的乘方，熟知几个非负数的和为0时，每一项都等于0是解题的关键． 先根据非负数的性质求出a，b的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：， ，， 解得，， ． 故选：C． 7．设 ，，．若，则的值是(　　) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方公式得出，，进而根据已知条件得出，进而即可求解． 【详解】，，， ，， ， ， ， ， 故选：C． 8．已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程可变形为，利用完全平方式将化成，从而整体代入计算即可． 【详解】解： 由方程两边同时除以得，变形为， 则， 故选：B． 【点睛】本题考查了代数式化简求值，利用完全平方公式变形并采用整体思想是解题关键． 9．若关于的代数式的展开式不含的二次项，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果，再根据结果中不含的二次项，即含的二次项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵关于的代数式的展开式不含的二次项， ∴， ∴， 故选：A． 10．实数，，满足，，，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，根据已知得出，，进而得到，，再代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11．已知则________． 【答案】18 【解析】 【分析】直接运用同底数幂的乘法逆运算求解即可． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：18． 12.分解因式：5a3- 20a=___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式5a，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案． 【详解】解：5a3- 20a=＝5a（a2−4）＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意先提取公因式，再利用公式法进行二次分解，注意分解要彻底． 13.已知2a=5，2b=10．2c=50，那么a、b、c之间满足的等量关系是________． 【答案】a+b=c 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可得到a、b、c之间的关系； 【详解】解：∵2a=5，2b=10， ∴， 又∵=50=， ∴a+b=c． 故答案：a+b=c． 14．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，，，其面积S的小数部分为m，则m的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，利用二次根式的性质进行化简等知识．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．将各值代入计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ， ∵， ∴的值为， 故答案为：． 15．将个数，，，排成行，列，两边各加一条竖线记成，定义，上述记号就叫做阶行列式．若，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，一元一次方程的应用，根据新定义得出，解方程，即可求解． 【详解】根据题意得， 整理得， 即， 解得． 故答案为：4． 16．，，，……，其中为正整数，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，，，的值，代入原式利用算术平方根和公式进行化简与计算，即可求解． 【详解】解：，，， ， ， ，， ． 故答案为． 【点睛】本题考查数式规律问题、算术平方根、有理数的加减混合运算等知识点，熟练掌握数式规律问题、算术平方根、有理数的加减混合运算等知识点是解题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题8分） 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据平方差法进行因式分解即可； （2）先提公因式再用完全平方公式进行求解． 【小问1详解】 【小问2详解】 18． （本题8分） 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，主要是考查完全平方公式和平方差公式的利用，熟记公式并灵活运用是解题的关键． 原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式= ， 当时，原式． 19．（本题8分） 如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形空地，中间是边长米的正方形草坪，其余为活动场地，学校计划将活动场地（阴影部分）进行硬化． （1）用含，的代数式表示需要硬化的面积并化简； （2）当，时，求需要硬化的面积． 【答案】（1）5a2＋3ab （2）155平方米 【解析】 【分析】（1）硬化面积是大长方形面积减去小正方形的面积； （2）把，代入求值即可； 【小问1详解】 解：由图得， 阴影面积=（3a＋b）×（2a＋b）－（a＋b）2=6a2＋3ab＋2ab＋b2－a2－2ab－b2=5a2＋3ab 【小问2详解】 解：当，时， 阴影面积=5×52＋3×5×2=155（平方米）， 答：需要硬化的面积是155平方米． 【点睛】本题考查了多项式的乘法混合运算，乘方的运算法则，完全平方公式的展开，结合图形准确列出阴影面积的代数式是解题关键． 20．（本题8分） 已知，． （1）求的值． （2）求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式的变形进行求解即可； （2）先根据完全平方公式的变形求出即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，平方根，熟知完全平方公式是解题的关键． 21．（本题8分） 数学课学完整式的乘法中的多项式与多项式相乘后，老师出了一道题让同学们解答，小红把前的“”抄错成了“”，得到的结果是，小芳把抄写成了，得到的结果是．请你通过计算得出正确的，的值并写出正确的结果． 【答案】，； 【解析】 【分析】本题主要考查了整式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 首先根据多项式乘以多项式法则计算，，根据题意列出方程组即可求解． 【详解】解：根据小红抄错前面的符号和小芳把抄写成了可知， ， ， ∴， 解得：， ∴． 22．（本题10分） 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？ 我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算时，可依照的计算方法用竖式进行计算． 因此． （1）的商是______，余式是______． （2）利用上述方法解决：若多项式能被整除，求值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查多项式除以多项式，抓住整除的定义找到系数的关系是求解本题的关键． （1）根据多项式除以多项式的法则计算． （2）根据多项式除以多项式的法则计算． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：． 多项式能被整除． ，． ，． ． 23．（本题10分） 阅读材料，利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： ． 根据以上材料，利用多项式的配方法解答下列问题． （1）分解因式：； （2）求多项式的最小值； （3）已知、、是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据阅读材料提供的思路，把多项式配方，使代数式中有一个完全平方式：，利用完全平方公式分解因式得到：，然后再利用平方差公式分解因式即可； （2）仿照（1）的思路把多项式分解因式得到：，根据平方的非负性可得：，所以可知当取最小值时，代数式有最小值，从而得到的最小值； （3）首先把等式右边的部分移项到左边，得到：，然后配方得到：，利用平方的非负性分别求出、、的值，根据三角形周长公式求出的周长． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 因，所以， 所以多项式的最小值为； 【小问3详解】 解：可变为： ， 所以，，， 所以的周长． 【点睛】本题主要考查了利用完全平方公式、平方差公式和配方法分解因式．解决本题的关键是理解阅读材料中提供的解题思路，把多项式配方得到完全平方式利用完全平方公式分解因式，然后再利用平方的非负性解决问题． 24．（本题13分） 如图，某物流公司的应急物资储藏室有，两个长方形存放区，这两个存放区的长和宽（单位：米）如图、图所示（其中），面积（单位：平方米）分别为和． （1）该公司计划采购防潮垫，已知区防潮垫的价格为元/平方米，区防潮垫的价格为元/平方米，请用含的代数式分别表示，两区的费用． 请通过计算说明，不论为何值，区所需费用总比区所需费用少． （2）若有一个面积为的正方形存放区，其周长与图长方形存放区的周长相等，则这个正方形存放区的边长为________米．（用含的代数式表示） （3）在（2）的条件下，试探究这个正方形存放区的面积与图中存放区的面积的差是不是一个定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）区的费用：元；区的费用：元．见解析 （2） （3）与的差不是一个定值，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查列代数式，多项式乘以多项式，完全平方公式，整式的加减运算，掌握多项式乘以多项式，整式的加减的计算法则是正确计算的前提，理解各个图形的周长和面积之间的关系是正确解答的关键． （1）用长方形的面积的计算方法可表示出为和，再用单价乘以面积即可得，两区的费用；利用作差法，可比较大小，进而判断区所需费用与区所需费用之间的大小关系． （2）先计算出图的长方形存放区的周长，进而求出正方形存放区的边长． （3）先求出正方形的面积，然后作差，求出差后再作出判断即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，， ， 区所需费用：元， 区所需费用：元． 区所需费用为，区所需费用为， ． ， ， 不论为何值，区所需费用总比区所需费用少． 【小问2详解】 解：图 长方形存放区的周长为， 正方形存放区的周长与图长方形存放区的周长相等， 正方形存放区的边长为， 故答案为：． 【小问3详解】 解：与的差不是一个定值． 理由如下： ， ． 不是一个定值， 不是一个定值， 正方形存放区的面积与图中长方形存放区的面积的差不是一个定值． 25．（本题13分） 在学习“整式的乘法”时，我们借助几何图形解释或分析问题，建立了形与数的联系．如图1，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式． （1）如图，若，，则图中阴影部分面积为 ； （2）若，求代数式的值； （3）观察图， ①从图中得到 ； ②根据得到的结论，解决问题： 已 知 ，，，代 数 式的值． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（）利用乘法公式计算即可求解； （）由乘法公式得，进而代入化简计算即可求解； （）①根据图形即可求解；②由①结论可得，进而可得，即得，再代入已知条件计算即可求解； 本题考查了完全平方公式在几何图形中的运用，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由乘法公式得，， 即， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①由图可得，， 故答案为：； ②∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $