4.4探索三角形相似的条件（第3课时）（导学案）数学北师大版九年级上册

4.4 探索三角形相似的条件（第3课时） 导学案 1. 能准确表述“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理，理解定理的推导过程. 2. 能够运用该定理判断两个三角形是否相似，并解决相关的几何问题. 3. 借助改变k值重复验证定理的过程，感受数学的严谨性，激发对数学推理的兴趣. 学习重点：理解“三边成比例的两个三角形相似”判定定理的定理内容及其几何表示. 学习难点：推理出“三边成比例”与“三角形相似”的因果关系，突破 “从边的关系推导角的关系” 的逻辑障碍. 第一环节 自主学习 温故知新： 1. 三角形相似的判定定理一：______________的两个三角形相似. 2. 三角形相似的判定定理二：____________________________的两个三角形相似. 3. 三角形全等的“边边边（SSS）”判定定理具体内容：______________的两个三角形全等 新知自研：自研课本第93-94页的内容． 【学法指导】 情景引入 我们知道两三角形的三边对应相等能判定两个三角形全等，也就是说通过三边是可以判断两个三角形之间的关系的，那么两个三角形的三边对应成比例能否判定两个三角形相似呢？ 自研课本P93-94页的内容，思考： ●探究一：探究三边成比例与三角形相似的关系 ◆1.画与，使得=2. ①先画； ②再根据比例，计算，，，画出. ◆2.测量与、与、与的度数，记录并比较它们的大小；同时观察两个三角形的形状，判断它们是否“形状相同”. ◆3. 知识归纳 文字语言：如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形相似. 符号语言：若，则 练一练 即时训练 1.以下各组三角形的三边长度（单位：cm），请判断是否相似，并说明理由。 （1）△ABC：3, 4, 5；△DEF：6, 8, 10 （2）△MNP：2, 3, 4；△QRS：4, 6, 8 （3）△ABC：1, 2, 3；△DEF：2, 3, 4 例题导析 例1 如图，在△ABC和△ADE中，，，求的度数。 【分析】本题先利用三边成比例的两个三角形相似来判定两个三角形相似，再利用相似三角形的定义来推导出角的关系，最后通过和差关系求得目标角。 即时训练： 如图，已知＝＝，求证：∠ABD＝∠CBE. ●探究二 多种方法的应用与比较 ◆1. 利用勾股定理计算△ABC的边长： ，，； ◆2. 利用勾股定理计算△A'B'C'的边长： ，，. ◆3. 三边成比例判定以上两个三角形相似. ，，， 因为 所以根据“三边成比例的两个三角形相似”，可判定。 ◆4. 两边成比例且夹角相等判定以上两个三角形相似. 由三边比例可知，且可通过量角器测量与的度数，发现 因此根据“____________________________的两个三角形相似”，可判定相似. ◆5. 两角分别相等判定判定以上连个三角形相似. 用量角器分别测量和的三个内角，会发现，， 根据“_____________________的两个三角形相似”，可判定相似 ◆6. 知识归纳 三边成比例判定是从 “边的整体比例” 出发； 两边成比例且夹角相等判定需结合 “边的比例” 和 “角的相等”； 两角分别相等判定则从 “角的相等” 推导相似. 三种方法各有适用场景，需根据题目条件灵活选择。. 练一练 1.如图，在4×4的正方形网格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的正方形的顶点上． (1)填空：∠ABC＝_______度，BC＝_______； (2)用恰当的方法证明∠C＝∠E. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A. 以小组为单位，交流以下问题： （1）你们组测量的∠A与∠A^'相等吗？其他对应角呢？ （2）两个三角形的形状是否完全相同？ （3）若改变k的值，重复画图和测量，结论还成立吗？； B.讨论例题的解决方案. 1. 甲三角形的三边分别是1，，，乙三角形的三边分别是5，，，则甲，乙两个三角形( ) A．一定相似　　 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判断 2.如图，点O是△ABC内任一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，则图中相似三角形有( ) A．1对　　　　 B．2对 C．3对 D．4对 3．下列两个三角形不一定相似的是（ ） A．两个等边三角形 B．两个顶角是120°的等腰三角形 C．两个全等三角形 D．两个直角三角形 4．如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC＝∠BAC，那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是（ ） A．CA平分∠BCD B． C．AC2＝BC•CD D．∠DAC＝∠ABC 5. 如图所示，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK.其中②～⑥中与①相似的是( ) A．②③④　 B．③④⑤　 C．④⑤⑥　 D．②③⑥ 6. 一个三角形的边长分别为5 cm，8 cm，12 cm，另一个三角形的最长边为7.2cm，则当另一个三角形的另外两边长是______________cm时，这两个三角形相似． 7. 在△ABC中，AB＝3，AC＝4，在△A′B′C′中，A′B′＝8，A′C′＝6，则当BC∶B′C′＝_______时，△A′B′C′∽_______． 8.在△ABC中，AB=4，BC=5，AC=6； （1）如果DE=10，那么当EF=_______，FD=_______时，△ABC∽△DEF； （2）如果DE=10，那么当EF=_______，FD=_______时，△ABC∽△FDE； 9.如图， （1）判断△ABC与△ADE是否相似？并说明理由； （2）若∠BAC=100°，∠EAC=70°，求∠CAD的度数； 题型一：直接利用三边成比例判定三角形相似 1. (2023·山东泰安中考) 若△ABC 的三边长分别为 2，3，4，△DEF 的三边长分别为 4，6，8，则△ABC 与△DEF 的关系是（ ） A. 全等 B. 相似 C. 既不全等也不相似 D. 无法判断 2. (2022·江苏苏州模拟) 已知△MNO 的三边长为 5cm，12cm，13cm，△PQR 的三边长为 10cm，24cm，26cm，下列说法正确的是（ ） A. △MNO 与△PQR 相似，相似比为 1:2 B. △MNO 与△PQR 相似，相似比为 2:1 C. △MNO 与△PQR 不相似 D. 无法确定两者关系 3.(2024·浙江杭州模拟) 若△ABC 的三边之比为 3:4:5，△A'B'C' 的三边之比为 6:8:10，则△ABC 与△A'B'C' ( ) A. 相似且对应角相等 B. 相似但对应角不相等 C. 不相似 D. 以上都不对 4.(2023·广东深圳中考) 已知△ABC 的三边长分别为，，3，△DEF 的三边长分别为 2，2，6，则△ABC 与△DEF ( ) A. 相似 B. 不相似 C. 全等 D. 无法判断 题型二： 网格中利用三边成比例判定三角形相似 5．（2024·江苏南通期末）如图，在的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是（ ） A． B． C． D． 6．（2024·湖南衡阳期中）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）．    7．如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 8．如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：，； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 题型三 结合相似性质求角度 / 边长 9．(2023·河南郑州中考) 如图，在△ABC 和△ADE 中，AB:AD = BC:DE = AC:AE = 2:3，若∠BAC = 60°，则∠DAE 的度数为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 10. (2022·湖北武汉模拟) 如图，已知△ABC∽△DEF，且 AB:DE = BC:EF = AC:DF = 1:2，若 BC = 3，则 EF 的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 11.（2024·浙江温州阶段练习）如图，在Rt中，，是边上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 题型四 多判定方法综合应用 12.（2024·全国专题练习）如图，D是的边上的一点，，，，求证：． 13.（2024·安徽安庆阶段练习）如图，点在的边上，与相交于点，，．试说明：． 14．（2025·广东广州三模）如图，点，分别在正方形的边，上，且．求证：． 15．如图，在中，，于点D． (1)求证: ． (2)若O是边上一点，连接交于点E，交边于点F，求证: ． 4.4探究三角形相似的条件（第3课时） 1. 相似三角形的判定定理3： （1）文字描述：______________的两个三角形相似 （2）符号语言：若_____________________，则 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4 探索三角形相似的条件（第3课时） 导学案 1. 能准确表述“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理，理解定理的推导过程. 2. 能够运用该定理判断两个三角形是否相似，并解决相关的几何问题. 3. 借助改变k值重复验证定理的过程，感受数学的严谨性，激发对数学推理的兴趣. 学习重点：理解“三边成比例的两个三角形相似”判定定理的定理内容及其几何表示. 学习难点：推理出“三边成比例”与“三角形相似”的因果关系，突破 “从边的关系推导角的关系” 的逻辑障碍. 第一环节 自主学习 温故知新： 1. 三角形相似的判定定理一：两角分别相等的两个三角形相似. 2. 三角形相似的判定定理二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 3. 三角形全等的“边边边（SSS）”判定定理具体内容：三边分别相等的两个三角形全等 新知自研：自研课本第93-94页的内容． 【学法指导】 情景引入 我们知道两三角形的三边对应相等能判定两个三角形全等，也就是说通过三边是可以判断两个三角形之间的关系的，那么两个三角形的三边对应成比例能否判定两个三角形相似呢？ 自研课本P93-94页的内容，思考： ●探究一：探究三边成比例与三角形相似的关系 ◆1.画与，使得=2. ①先画； ②再根据比例，计算，，，画出. ◆2.测量与、与、与的度数，记录并比较它们的大小；同时观察两个三角形的形状，判断它们是否“形状相同”. ◆3. 知识归纳 文字语言：如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形相似. 符号语言：若，则 练一练 即时训练 1.以下各组三角形的三边长度（单位：cm），请判断是否相似，并说明理由。 （1）△ABC：3, 4, 5；△DEF：6, 8, 10 （2）△MNP：2, 3, 4；△QRS：4, 6, 8 （3）△ABC：1, 2, 3；△DEF：2, 3, 4 解：（1）相似。 理由： 将两组三角形的边按从小到大排序： △ABC：3（最短边）、4（中边）、5（最长边）； △DEF：6（最短边）、8（中边）、10（最长边）。 对应边的比例： ，，。  三组对应边的比例均相等，因此△ABC∽△DEF（SSS相似）。 （2）相似。 理由： 按边长按从小到大排序： △MNP：2（最短边）、3（中边）、4（最长边）； △QRS：4（最短边）、6（中边）、8（最长边） 对应边的比例： ，，  三组对应边的比例均相等 因此△MNP∽△QRS（SSS相似）。 （3）不相似。 理由： 按边长按从小到大排序： △ABC：1（最短边）、2（中边）、3（最长边）； △DEF：2（最短边）、3（中边）、4（最长边） 对应边的比例： ，，. 三组对应边的比例均不相等，因此△ABC与△DEF不相似。 例题导析 例1 如图，在△ABC和△ADE中，，，求的度数。 【分析】本题先利用三边成比例的两个三角形相似来判定两个三角形相似，再利用相似三角形的定义来推导出角的关系，最后通过和差关系求得目标角。 【解答】解： ， （三边成比例的两个三角形相似） ， 即 【点评】准确运用了本节课的核心知识点 “三边成比例判定三角形相似”，并将其与相似三角形对应角相等的性质结合，体现了知识的综合运用能力. 即时训练： 如图，已知＝＝，求证：∠ABD＝∠CBE. 证明：已知， 根据相似三角形的SSS判定定理 可得： 因此 观察图形，和均包含公共角： 化简得： ●探究二 多种方法的应用与比较 ◆1. 利用勾股定理计算△ABC的边长： ，，； ◆2. 利用勾股定理计算△A'B'C'的边长： ，，. ◆3. 三边成比例判定以上两个三角形相似. ，，， 因为 所以根据“三边成比例的两个三角形相似”，可判定。 ◆4. 两边成比例且夹角相等判定以上两个三角形相似. 由三边比例可知，且可通过量角器测量与的度数，发现 因此根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定相似. ◆5. 两角分别相等判定判定以上连个三角形相似. 用量角器分别测量和的三个内角，会发现，， 根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定相似 ◆6. 知识归纳 三边成比例判定是从 “边的整体比例” 出发； 两边成比例且夹角相等判定需结合 “边的比例” 和 “角的相等”； 两角分别相等判定则从 “角的相等” 推导相似. 三种方法各有适用场景，需根据题目条件灵活选择。. 练一练 1.如图，在4×4的正方形网格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的正方形的顶点上． (1)填空：∠ABC＝135度，BC＝； (2)用恰当的方法证明∠C＝∠E. 解： EF=2；；; ；； 因此, ∴△ABC∽△DEF ∠C=∠E（对应角相等） 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A. 以小组为单位，交流以下问题： （1）你们组测量的∠A与∠A^'相等吗？其他对应角呢？ （2）两个三角形的形状是否完全相同？ （3）若改变k的值，重复画图和测量，结论还成立吗？； B.讨论例题的解决方案. 1. 甲三角形的三边分别是1，，，乙三角形的三边分别是5，，，则甲，乙两个三角形( A ) A．一定相似　　 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判断 2.如图，点O是△ABC内任一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，则图中相似三角形有( C ) A．1对　　　　 B．2对 C．3对 D．4对 3．下列两个三角形不一定相似的是（ D ） A．两个等边三角形 B．两个顶角是120°的等腰三角形 C．两个全等三角形 D．两个直角三角形 4．如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC＝∠BAC，那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是（ C ） A．CA平分∠BCD B． C．AC2＝BC•CD D．∠DAC＝∠ABC 5. 如图所示，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK.其中②～⑥中与①相似的是( B ) A．②③④　 B．③④⑤　 C．④⑤⑥　 D．②③⑥ 6. 一个三角形的边长分别为5 cm，8 cm，12 cm，另一个三角形的最长边为7.2cm，则当另一个三角形的另外两边长是3和4.8cm时，这两个三角形相似． 7. 在△ABC中，AB＝3，AC＝4，在△A′B′C′中，A′B′＝8，A′C′＝6，则当BC∶B′C′＝时，△A′B′C′∽△ACB． 8.在△ABC中，AB=4，BC=5，AC=6； （1）如果DE=10，那么当EF=12.5，FD=15时，△ABC∽△DEF； （2）如果DE=10，那么当EF=12，FD=8时，△ABC∽△FDE； 9.如图， （1）判断△ABC与△ADE是否相似？并说明理由； （2）若∠BAC=100°，∠EAC=70°，求∠CAD的度数； （1）； ； △ABC与△ADE的三边对应成比例（SSS），因此相似（） （2）由于，对应角∠BAC与∠DAE相等（） ，因此； （即∠CAE=70°） 角度关系： （∠DAE是∠CAD与∠CAE的和） 计算∠CAD： 题型一：直接利用三边成比例判定三角形相似 1. (2023·山东泰安中考) 若△ABC 的三边长分别为 2，3，4，△DEF 的三边长分别为 4，6，8，则△ABC 与△DEF 的关系是（ B ） A. 全等 B. 相似 C. 既不全等也不相似 D. 无法判断 【分析】判断两个三角形的关系，需先区分“全等”（边完全相等）和“相似”（边成比例）。根据相似三角形的SSS判定定理（三边对应成比例），计算△ABC与△DEF对应边的比值. 【解答】△ABC的三边长按从小到大排列为：； △DEF的三边长按从小到大排列为：； 对应边的比值为：，三边对应成比例。 因此，△ABC与△DEF相似（非全等，因边不相等）。 答案：B 【点评】本题考查相似三角形的SSS判定（三边对应成比例） 2. (2022·江苏苏州模拟) 已知△MNO 的三边长为 5cm，12cm，13cm，△PQR 的三边长为 10cm，24cm，26cm，下列说法正确的是（ A ） A. △MNO 与△PQR 相似，相似比为 1:2 B. △MNO 与△PQR 相似，相似比为 2:1 C. △MNO 与△PQR 不相似 D. 无法确定两者关系 【分析】用SSS判定相似，需计算对应边的比值，并确定相似比（前一个三角形与后一个三角形的边长比）． 【解答】△MNO的三边长为：； △PQR的三边长为：； 对应边的比值为：，三边对应成比例，故相似。 相似比为△MNO : △PQR = 。 答案：A． 【点评】本题考点是相似三角形的SSS判定及相似比的计算. 易错点：相似比的顺序——若颠倒顺序（如写成2:1），会误选B。需注意“△MNO与△PQR相似”的相似比是前者比后者。. 3.(2024·浙江杭州模拟) 若△ABC 的三边之比为 3:4:5，△A'B'C' 的三边之比为 6:8:10，则△ABC 与△A'B'C' ( A ) A. 相似且对应角相等 B. 相似但对应角不相等 C. 不相似 D. 以上都不对 【分析】先简化△A'B'C'的三边比，看是否与△ABC的三边比一致；再根据相似三角形的性质（对应角相等）判断选项. 【解答】△ABC的三边之比为：； △A'B'C'的三边之比为：，简化后为（除以2）； 两边三角形的三边比完全一致，故相似。 相似三角形的对应角相等（相似的基本性质），因此“相似且对应角相等”。 答案：A 【点评】本题考查相似三角形的判定（三边比一致）及性质（对应角相等）。 易错点：误认为“相似但对应角不相等”，这是错误的——相似三角形的对应角一定相等（通过平行线或全等三角形可证明） 4.(2023·广东深圳中考) 已知△ABC 的三边长分别为，，3，△DEF 的三边长分别为 2，2，6，则△ABC 与△DEF ( A ) A. 相似 B. 不相似 C. 全等 D. 无法判断 【分析】即使边长为无理数，仍可通过SSS判定（三边对应成比例）判断相似。计算△ABC与△DEF对应边的比值即可。 【解答】△ABC的三边长为：； △DEF的三边长为：； 对应边的比值为：，三边对应成比例。 因此，△ABC与△DEF相似。 答案：A 【点评】本题考点：相似三角形的SSS判定（无理数边长的处理）。 易错点：因边长为无理数而犹豫，但相似的判定只关注“比值是否相等”，与数的类型（有理数/无理数）无关 题型二： 网格中利用三边成比例判定三角形相似 5．（2024·江苏南通期末）如图，在的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是（ B ） A． B． C． D． 【分析】先求出题干三角形的三边长，再分别求出各选项三角形的三边长，判断三边是否对应成比例来判断相似． 【解答】解：可求题干三角形中三边长（从小到大）为：， A、可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意； B、可求三角形三边长（从小到大）为：，则，故相似，符合题意； C、同理可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意； D、同理可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．。 6．（2024·湖南衡阳期中）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ A ）．    【分析】根据网格中的数据求出的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可． 【解答】解：根据题意可得： A．三边之比为图中的三角形（阴影部分）与相似． B．三边之比为图中的三角形（阴影部分）与不相似． C．三边之比为图中的三角形（阴影部分）与不相似． D．三边之比为图中的三角形（阴影部分）与不相似． 故答案为：A． 【点评】此题考查了相似三角形的判定以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键． 7．（2024·上海期末）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 【分析】利用勾股定理求出每条边的长度，再求对应边的相似比即可． 【详解】证明：由图知：，，， ，，． ， ． 【点评】本题考查了勾股定理和相似三角形的判定，先计算出三角形的各个边的长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似证明即可 8．（24-25九年级上·广西·期中）如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：，； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 【分析】（1）取格点G，连接，，根据勾股定理得到，，得到是等腰直角三角形，求出，进而求出根据勾股定理即可求出； （2）首先根据勾股定理求出与各边长，然后得到，即可证明出． 【详解】（1）解：如图所示，取格点G，连接，， 由网格得，点G，A，C三点共线 ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴； 由勾股定理得，； （2）解：∵在中，，，， ∵在中，，， ∴ ∴． 【点评】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 题型三 结合相似性质求角度 / 边长 9．(2023·河南郑州中考) 如图，在△ABC 和△ADE 中，AB:AD = BC:DE = AC:AE = 2:3，若∠BAC = 60°，则∠DAE 的度数为（ B ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 【分析】题目给出△ABC和△ADE的三边对应成比例（AB:AD=BC:DE=AC:AE=2:3），根据SSS相似判定定理，两三角形相似。相似三角形的对应角相等，∠BAC与∠DAE是两边对应成比例的夹角（AB对应AD，AC对应AE），因此是对应角. 【解答】由三边对应成比例（AB:AD=BC:DE=AC:AE=2:3），得△ABC∽△ADE（SSS）。 相似三角形对应角相等，∠BAC与∠DAE是对应角，故∠DAE=∠BAC=60°。 【点评】本题考点：相似三角形的SSS判定及对应角相等的性质。 10. (2022·湖北武汉模拟) 如图，已知△ABC∽△DEF，且 AB:DE = BC:EF = AC:DF = 1:2，若 BC = 3，则 EF 的长为（ B ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【分析】△ABC∽△DEF，且对应边比例为1:2（AB:DE=BC:EF=AC:DF=1:2），根据相似三角形对应边成比例的性质，BC与EF是对应边，可列出比例式求解． 【解答】由相似三角形对应边成比例，得BC:EF=1:2（AB:DE=BC:EF=1:2）。 代入BC=3，得3:EF=1:2，解得EF=6。 答案：B 【分析】本题考点：相似三角形对应边成比例的性质. 11.（2024·浙江温州阶段练习）如图，在Rt中，，是边上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【分析】（1）直接利用两边成比例，夹角相等的两个三角形相似判定即可； （2）先利用相似性质得出，再分别在两个直角三角形和中，利用角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【解答】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，30°直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键 题型四 多判定方法综合应用 12.（2024·全国专题练习）如图，D是的边上的一点，，，，求证：． 【分析】先根据，，求出的长，再根据，即可得出结论． 【解答】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵为公共角， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS） 13.（2024·安徽安庆阶段练习）如图，点在的边上，与相交于点，，．试说明：． 【分析】证明，根据相似三角形的判定方法进行判断即可． 【解答】证明：， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 14．（2025·广东广州三模）如图，点，分别在正方形的边，上，且．求证：． 【分析】先根据正方形的性质得到，再证明，然后根据相似三角形的判定方法得到结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解答】证明：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【点评】题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，同角的余角相等，垂直的定义 15．如图，在中，，于点D． (1)求证: ． (2)若O是边上一点，连接交于点E，交边于点F，求证: ． 【分析】（1）利用两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）利用两角对应相等的两个三角形相似证明即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【解答】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）证明：由(1)可知， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点评】本题考查三角形相似的判定. 4.4探究三角形相似的条件（第3课时） 1. 相似三角形的判定定理3： （1）文字描述：三边成比例的两个三角形相似 （2）符号语言：若，则 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $