第18讲 椭圆的简单几何性质 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第18讲 椭圆的简单几何性质 知识再现 一 椭圆的简单几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长：；短轴长： 长轴长：；短轴长： 顶点 离心率 离心率越接近0，则椭圆越圆；离心率越接近1，则椭圆越扁 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 二 直线与椭圆的位置关系 1、位置关系的判断 直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为：． 3、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程； （3）写出根与系数的关系； （4）将所求问题或题中关系转化为关于，的形式； （5）代入求解． 三 椭圆的中点弦问题 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有． 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴． 特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有． 题型一：椭圆简单的几何性质 例1.椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 解析：由，得，所以椭圆的标准方程为，则， 因为点在椭圆上，所以．故选：C 例2.已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【解析】由条件可知，，，则， 由条件可知，，得，所以，椭圆的长轴长.故选：B 例3.已知椭圆的标准方程为，则椭圆上的点P到椭圆中心O的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：设点，则，结合点P在椭圆上，得，结合的范围可得结果； 方法二：设，，，结合三角函数的性质可得结果. 【详解】方法一：设点，则. 由椭圆的范围，知，. ∵点P在椭圆上，∴，则， ∴. ∵，∴，即. 方法二：设，，， 则， 因为，所以. 故选：C. 例4.曲线与曲线的（    ）. A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等 【答案】B 解析：曲线是焦点在轴上的椭圆， 则，长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率. 曲线， 由得，且， 故曲线也是焦点在轴上的椭圆， ， 长轴长、离心率、短轴长均与有关，不一定与曲线的相同； 而其焦距为，与曲线的焦距相同. 故选：B. 例5．求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率： (1)； (2)． 【答案】(1)，，焦点坐标为， (2)，，焦点坐标为， 解析：（1）由可知这个椭圆的焦点在x轴上，且， 因此长轴长，半短轴长． 又因为，即． 因此，椭圆的焦点坐标为． 离心率． （2）已知椭圆的方程可化为， 由可知这个椭圆的焦点在y轴上，且3 因此长轴长，半短轴长． 又因为，即． 因此，椭圆的焦点坐标为． 离心率． 变式训练 1.椭圆与椭圆的（　　） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 解析：椭圆的焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为. 椭圆的焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为，焦距为8，离心率为，所以两椭圆焦距相等.故选：D. 2．若椭圆的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m的值为 ，焦点坐标为 ． 【答案】 /0.25 【分析】根据题意可得，再结合方程可得，运算求解即可. 【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 由题意可得：，则， 因为椭圆方程为，即， 且焦点在y轴上，则， 可得，解得， 所以，即焦点坐标为． 故答案为：；. 3.求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率： (1)；(2)；(3). 解析：（1）由椭圆方程可知其焦点在轴上，所以，则， 所以该椭圆长轴长为，短轴长为，焦距为； 上下顶点坐标为，左右顶点坐标为； 上下焦点坐标为，离心率. （2）由椭圆方程可知其焦点在轴上， 可得，则， 所以该椭圆长轴长为，短轴长为，焦距为； 上下顶点坐标为，左右顶点坐标为； 左右焦点坐标为，离心率. （3）将椭圆方程整理变形成标准方程可得，易知其焦点在轴上， 所以，则， 所以该椭圆长轴长为，短轴长为，焦距为； 上下顶点坐标为，左右顶点坐标为； 左右焦点坐标为，离心率. 题型二：利用几何性质求椭圆方程 例6.已知直线，经过椭圆的右顶点和上顶点，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线与坐标轴交点为，， 直线经过椭圆的右顶点和上顶点，所以，， 所以椭圆方程为：.故选：C. 例7.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，解得，所以椭圆方程为：，故选：A. 例8.已知是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若的周长为6.且椭圆的离心率为，则椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设椭圆的半焦距为， 由题意可得，解得， 所以椭圆方程为.故选：C. 例9.与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】椭圆化成标准方程为，焦点在轴上， 设所求椭圆方程为， 依题意有，所以，所求椭圆方程为.故选：B 变式训练 1.已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（    ） A． B． C．或 D． 解析：由题意知，，，所以，， ∴， 又因为椭圆的对称轴是坐标轴，则焦点可能在或轴上. ∴椭圆方程：或故选：C. 2.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 解析：根据题意可设椭圆方程为， 易知，且，解得； 所以，故椭圆方程为. 故选：A. 3.已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，过点的直线l交椭圆于A,B两点，若的周长为8，则C的方程为（     ） A． B．   C． D． 解析：依题意的周长为， .则C的方程为.故选:D. 题型三：求椭圆的离心率 例10.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，则，即， 则，从而，，所以， 如图，取的中点为，则， 在中，. 在中，由余弦定理得，， 化简得，则.故选：D 例11.已知椭圆的上顶点、左焦点、右顶点分别为A，F，B，且点A为的垂心，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的垂心为点是以为直角顶点的直角三角形， 又,与相似（为坐标原点）， ， ，解得或（舍），故选：A． 例12.，是椭圆E：的左，右焦点，点M为椭圆E上一点，点N在x轴上，满足，，则椭圆E的离心率为 . 【答案】 解：因为， 所以，则是的角平分线，所以， 又因为，所以，设， 由椭圆定义得，即，解得，则， 则，所以，则，故答案为： 变式训练 1.椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则（    ） A．C的焦距为2 B．C的短轴长为 C．C的离心率为 D．的周长为8 【答案】ABD 【解析】由于，所以, 故， 因此，故， 所以椭圆， 对于A，焦距为，故A正确， 对于B，短轴长为，B正确， 对于C，离心率为，C错误， 对于D，的周长为，D正确，故选：ABD 2.已知椭圆分别是的左，右焦点，为上一点，若线段的中点在轴上，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据中点关系可得轴，进而根据直角三角形中的边角关系，结合椭圆定义即可求解. 【解答过程】由于线段的中点在轴上,是的中点，所以轴， ，，所以， 由椭圆定义可得， 故选：A. 3.已知是椭圆的左，右焦点，上两点满足，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据所给线段的长度关系及椭圆的定义，求出的边长，利用余弦定理求，在中再由余弦定理即可求出离心率. 【详解】如图，    因为，所以可设， 又，所以， 由椭圆定义，，即， 又，即B点为短轴端点， 所以在中， ， 又在中，， 解得或（舍去）. 故答案为： 题型四：求椭圆离心率的取值范围 例13.设，分别是椭圆的左、右焦点，过作轴的垂线与椭圆交于，两点，若为钝角三角形，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，分别是椭圆的左、右焦点，过作轴的垂线与椭圆交于两点， 可得，即， 因为为钝角三角形，则，可得，即，即， 又因为，可得，即， 即，且，解得， 即椭圆的离心率的取值范围为.故选：A. 例14.已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故在为直径的圆上，即， 圆在椭圆内部，故，，故.故选：B. 例15.椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设椭圆的上顶点为，连接、，则，， 椭圆上存在点，使得，则需， 则，显然，所以， 所以，所以， 又，所以，即椭圆离心率的取值范围为．故选：D． 例16.已知椭圆，P是椭圆C上的点，是椭圆C的左右焦点，若恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，，， ， 因为，所以，又， 所以时，取得最大值， 恒成立，则，变形得， 又，故解得，故选：D． 变式训练 1.设分别是椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点P，使线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：由题意椭圆C上存在点P，使线段的垂直平分线过点， 则,且需满足以为圆心，以为半径的圆与椭圆有交点，    即，即，又，故椭圆离心率的取值范围是，故选：C. 2.已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，直线与椭圆另交于点，且，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 解析：如图，设椭圆的左焦点为，连接，所以四边形为平行四边形． 设，则． 因为，所以， 又因为，所以，所以． 在中，， 由余弦定理得， 所以，所以． 故选：B. 题型五：直线与椭圆的位置关系 例17.已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 解析：联立，消去，整理得到，该方程判别式，于是此方程无解，即直线和椭圆没有交点，故直线和椭圆相离. 故选：C. 例18.已知直线l：，曲线C：，则直线l与曲线C的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 解：由直线l：，得直线l过定点， 因为，所以该点在曲线C：内部. 所以直线l与曲线C相交. 故选：C. 例19.若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（    ） A．2个 B．至少一个 C．1个 D．0个 解析直线和圆没有交点，直线与圆相离，圆心，半径 ，即 点在以原点为圆心，半径为2的圆内， 又椭圆短轴长为4，圆=2内切于椭圆，点在椭圆内， 则过点的直线与椭圆的交点个数为2个. 故选：A. 例20.已知直线与椭圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点A在椭圆C外，则直线l与椭圆C相离 B．若点A在椭圆C上，则直线l与椭圆C相切 C．若点A在椭圆C内，则直线l与椭圆C相交 D．若点A在直线l上，则直线l与椭圆C的位置关系不确定 解析：当，则，则直线， ①若点A在椭圆C外，则，则，直线l与椭圆C相交； ②若点A在椭圆C上，则，则，直线l与椭圆C相切； ③若点A在椭圆C内，则，则，直线l与椭圆C相离； 当时，联立方程，消去y得： ， 所以， ①若点A在椭圆C外，则，则，直线l与椭圆C相交； ②若点A在椭圆C上，则手，则，直线l与椭圆C相切； ③若点A在椭圆C内，则，则，直线l与椭圆C相离； 若点A在直线l上，则满足，即点A在椭圆C上，由以上讨论可知直线l与椭圆C相切，D错误. 综上所述：B正确； 故选：B. 变式训练 1.已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 【答案】A 【解析】由消去y并整理得：，显然， 因此方程组有两个不同的解， 所以与相交.故选：A 2.已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【解析】，即，令，解得， 则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内， 则直线与椭圆的位置关系为相交.故选：B. 3.直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【解析】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交.故选：C. 4.已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 因为是焦点在轴上的椭圆，所以， 直线过定点， 因为直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点， 所以点在椭圆上或椭圆内部，所以，解得， 综上所述，.故选：D. 题型六：直线与椭圆相交弦长 例21.过椭圆的左焦点作斜率为1的弦，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由,得椭圆方程, 左焦点为, 过左焦点的直线为， 代入椭圆方程得，解得或， ，故选：D. 例22.过椭圆的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于两点，则等于（    ） A．4 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】因为椭圆，可得，所以， 所以椭圆的右焦点的坐标为， 将，代入椭圆的方程，求得，所以.故选：C. 变式训练 1.直线：在椭圆上截得的弦长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设与椭圆交于， 联立可得， 且，， 所以，故选：D. 2.已知椭圆C：（，）的长轴为，短轴长为4． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l：与椭圆C交于不同两点A、B，且，求直线的方程． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由已知长轴为，短轴长为4，可得，， 则椭圆C的标准方程为：； （2）依题意，解得， 因为，可得，且， 因为，解得， 所以直线的方程为l：． 题型七：椭圆的中点弦问题 例23.若椭圆的弦AB被点平分.则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 解析：设，则满足， 两式作差得，即， 又被点平分，故，且直线的斜率存在， 所以，整理得，即， 则所在直线方程为， 化简得. 故选：A. 例24.已知直线交椭圆于A，B两点，且线段AB的中点为，则直线的斜率为（    ） A．-2 B． C．2 D． 解析：设，，因为A，B都在椭圆上， 所以，两式相减，得， 得， 又因为线段AB中点坐标为，，， 所以， 故选：D. 例25.若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 解析：设，则 所以，整理得， 因为为弦的中点， 所以， 所以， 所以弦所在直线的方程为，即. 故选：A. 例26.已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 解析：设，则， 由已知有，， 作差得， 则， 所以，解得， 则的方程为.故选：D． 变式训练 1.不经过原点的直线与椭圆相交于，，线段的中点为，设直线的斜率为，直线（为原点）的斜率为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，，，， 则，又， 所以，即，即， 又，，所以.故选：A 2.若椭圆的动弦斜率为，则弦中点坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，则由已知得，，， 两式作差可得，，整理可得. 中点D的坐标为，则有. 又点D在椭圆的内部，所以故选：B. 3.已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆与，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】的中点坐标为，则， 设，，则，， 相减得到：，即，， 又，，解得，，椭圆的方程为.故选：C. 4.已知椭圆的短半轴为3，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过的直线交椭圆于两点，且为的中点，求弦的长度. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由椭圆 的短半轴为，离心率为， 可得且，即， 因为，可得，解得，所以， 所以椭圆的方程为. （2）设，因为为的中点，可得， 则 ，两式相减得， 即，即， 所以直线的方程为，即， 联立方程组，整理得，可得， 则. 题型八：椭圆的综合应用 例27.已知椭圆. 斜率为的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为. (1)求椭圆的离心率； (2)求的面积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由已知有，，故，所以离心率. （2）如图，设，，的中点为. 则由，可知. 而， 故. 所以，从而在直线上. 由知，故， 结合可知直线的方程为. 所以是直线和的交点，故. 而，故的方程为，与椭圆联立解得，. 所以，，故. 例28.已知椭圆的焦点坐标为、，点为椭圆上一点. (1)求椭圆的标准方程； (2)经过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，求的面积. 【解题思路】（1）由椭圆的定义求出的值，结合的值可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）设点、，写出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点、的纵坐标，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【解答过程】（1）解：由椭圆的定义可得， 所以，，又因为，则， 所以，椭圆的标准方程为. （2）解：设点、，由题意可知，直线的方程为，即. 联立可得，解得，，    所以，. 例29.已知点为椭圆上一点，直线l：与椭圆C交于A､B两点. (1)当时，求的面积； (2)设直线AM和BM分别与直线交于点P，Q，若与的面积满足，求实数t的值. 【解题思路】（1）先求出椭圆方程，设，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式求出，求出点到直线的距离，即可的解； （2）设，利用韦达定理求出，再根据弦长公式求出，求出点到直线的距离，即可求得，求出的方程，令可得点的坐标，从而可求出，再根据即可得解. 【解答过程】（1）将代入，得，解得， 所以椭圆， 联立，得，设， 则， 则， 点到直线的距离为， 故的面积； （2）设， 联立得， 恒成立， 则， 则， 点到直线的距离， 则， 直线的方程为， 令，则， 即， 同理， 因为， 所以， 因为，所以， 化简得，解得. 变式训练 1.已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于两点；当直线过焦点且与轴垂直时，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线过点，椭圆的左顶点为，当面积为时，求直线的斜率. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意得：，，，，， ，即，； 当直线过焦点且与轴垂直时，，不妨令， 由得：，， 由得：，椭圆的方程为：. （2）由题意知：直线斜率不为，可设， 由得：， 则， 设，则，， ， 又，， ，解得：， 直线的斜率. 2.已知㭻圆：（）经过点，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于点（异于顶点）与轴交于点，点为椭圆的右焦点，为坐标原点，，求直线的方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可得所以， 所以椭圆方程为； （2）由题意可得直线的斜率存在，故设直线的方程为，， ， 所以，所以， 故，, 所以， 所以， 所以，解得， 故直线的方程为. 3.已知椭圆的右焦点为，且过点. (1)求C的方程； (2)若过点的直线与交于两点，为坐标原点，求面积的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）椭圆的右焦点为， 则椭圆的半焦距为， 由于，则椭圆的方程变为：， 将点的坐标代入，， 解得：或（舍去），得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，直线l的斜率不为0，则设直线l的方程为， ，， 由消去x并整理得：， ，， 的面积， ， 设，， ， 因为，当且仅当，时取得“=”， 于是得，， 所以面积的最大值为1. 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $第18讲椭圆的简单几何性质 知识再现 一椭圆的简单几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 环 A2 必 F b 图形 A A2 B bO B2 B A 标准方程 x2 =1(a>b>0) y2 x2 =1(a>b>0) 范围 -a≤x≤a,-b≤y≤b -b≤x≤b,-a≤y≤a 对称性 关于x,y轴、原点对称 轴长 长轴长：2a；短轴长：2b 长轴长：2a；短轴长：2b 项点 (±a,0)(0,±b) (0,±a)(±b,0) 0<e<) b2 b2 离心率 5- 0<e<) 离心率越接近0，则椭圆越圆；离心率越接近1，则椭圆越扁 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径 通径的大小： 2b2 a 二直线与椭圆的位置关系 1、位置关系的判断 直线)0与海同。是-10>方>0)的位重关系 [y=+m, 义上，y2,消去y得一个天的一元三次方程 ①△>0台直线和椭圆相交台直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）； ②△=0台直线和椭圆相切台直线和椭圆有一个切，点（或一个公共，点）； 第1页共20页 ③△<0台直线和椭圆相离台直线和椭圆无公共，点. 2、直线与椭圆相交的弦长公式 (1)定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦. (2)求弦长的方法 ①交，点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的 距离公式来求 ②根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k,被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(，)，(，)， 1 则孩长公式为：4WG+5广-4=3+⅓广-4为 3、解决直线与圆维曲线相交问题的常用步骤： (1)得出直线方程，设交点为A(,),B(x,y); (2)联立直线与曲线方程，得到关于x(或)的一元二次方程； (3)写出根与系数的关系； (4)将所求问题或题中关系转化为关于x1+x2,xx的形式； (5)代入求解. 三椭圆的中点弦问题 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二 次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差， 狗造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线1（不平行于y轴）过稽圆。+ a>b>0)上两点4、B,其中B中点为P,)，则有。k。 足+=1 证明：设4A(,)、B(,),则有aB A(x,） P5) 0 B(x2,2） 上式减下式得兰+业=0，片 b2 62 - 第2页共20页 当-业.当+业=乃-业.2%=乃-2.%=-b2 5-或与+55-为26西-为6。，= a2 特味的：痘线停在斜卡过搭回兰茶-108>0上丙点4、B,线餐奶中为 a P(xo,),则有kAB·kor= b2· 题型一：椭圆简单的几何性质 例1椭圆9x2+25y=225上的点P(x,y)的横、纵坐标的范围分别为(） A.≤3，y川≤5 .内兮写 C.x≤5，y≤3 D.5号 的2已加箱因2号=1的高心李为 ，则椭圆的长轴长为() A.12N2 B.65 C.3v2 D.6 创3已知花圆的标准方程为高+后-1，明箱图上的立P到错国中心0的死高0四约收位 范围为() A.[6,10] B.[6,8 c.[8,10] D.[16,20] 第3页共20页 的4动若号-1与物收三。一k习的《) A.长轴长相等B.焦距相等 C.离心率相等 D,短轴长相等 例5.求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率： (①36+241；②8x2+3y2=24. x2.y2 变式训练 16四芳号1与指回分号1的() 226 A,长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 2.若椭圆x2十y°=1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m的值为 焦点坐标为一 第4页共20页 3求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、项点坐标、焦点坐标和离心率： 若号-1：西话-1：49y-1 69 题型二：利用几何性质求椭圆方程 例6.已知直线x+2y-2=0,经过椭圆的右项点和上项点，则椭圆的标准方程为(） 人若y1B若写1cr1 53 例7.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为？，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是 () 4+31B.g少 A. 1612=1 C. -+y2=1 D. 4 161 @圆8巴知P是精国。+Q>b>0上一点，月、马分别是精国的左、右焦点，昌 △PF乃，的周长为6.且椭圆的离心率为2，则椭圆方程为() A. 2+y=1B. 4*少=1 C.M+31 D.+-1 34 第5页共20页 例9.与椭圆9x+4y2=36有相同焦点，且满足短半轴长为2V5的椭圆方程是() A.+-1B.+卫=1 D.+=1 2520 2025 8085 变式训练 1.已知辅园的对称轴是坐标轴，离心率为写，长轴长为12，则裤圆方程为(） A+若=1 B. +=1 c.元+=1+6=1 D.+=1 2.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点哈好将长轴三等分，则此椭圆的 方程是() A品+号=1 B.+号=1 c+ 81 721 3.已知精国C塔+若=1(a>b>0)的左右袋点分到为F1P2,离心率为， ,过点F1的直线1 交椭圆于A,B两，点，若△AF2B的周长为8，则C的方程为(） 第6页共20页 A+=1B.+品=1 C. +后=1 D. +y2=1 题型三：求椭圆的离心率 x2,y2 例10，已知精圆。+示=1a>b>0)的左、右焦点分别为R,B，过B的直线交精圆于4，B 两，点，且AF:BF:BF=3:2:6,则椭圆的离心率为() C.v 10 5 D. 5 制肥知指回C等+若=K0b>0的上预点、专热点、古孩支分到为人品。具点A 为△AFB的垂心，则椭圆C的离心率为（) A.5-1 B.2 C. 2 D. 2 2 2 2风，R是圆E氏。+Q>b>O)的左，右焦点，点M为椭回E上一点，点 在x轴上，满足∠FN=∠FN=45°，3NF=4NF,则椭圆E的离心率为一· 第7页共20页 变式训练 1椭圆C:xy =1(m>0)的焦点为耳，F,上顶点为A,直线A与C的另一个交点 m2+1m2 为B,若R迟=背，则（) A.C的焦距为2 B.C的短轴长为2V3 C.C的离心率为 2 D.△ABF的周长为8 2已知腾国C后+若=1(a>b>0)F15分到是C的左，右猴点，P为C上一点，若线P听，的 中点在y轴上，∠PFF2=?则C的离心率为（） A.3 3 B C. D.2-V3 且已知，E是椭圆E,+1>b>0的左，右焦点，E上两点AB满足 3AF=2FB,AF=2AF,则E的离心率为 第8页共20页 题型四：求椭圆离心率的取值范围 3设飞，分别是猫因C怎+)1(Q>6>0)的左、右焦点，过乃作x轴的垂线 圆C交于A,B两，点，若△ABF为钝角三角形，则离心率的取值范围为(） A.0<es5-1B.h-1<e<1C.e<1 D.0<e月 例14.已知FF是椭圆的两个焦点，满足M瓜⊥M的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率 的取值范围是() 1V2 B. C.22 D. 例15椭圆 b>0)的左，右焦点分别为耳，F,若椭圆 ∠FQF,=l20°，则椭圆离心率e的取值范围为（) B 0, 3 2 第9页共20页 6吧知楷国C名+1a>b>0,P关稀国C上的点，-c0,G0)是椅圆G的 左右焦点，若PF1·PF?s2ac恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范固是(） A. B.(0,V2-1 D.[2-1, 变式训练 1.设R、F2分别是精国C学+后=1(@>b>0)的左右焦点，若裤圆C上存在点B,使线段PF, 的垂直平分线过，点F2,则椭圆离心率的取值范固是() A.(o,引 B.(o, C. D.6) 2已知转國C后+茶=1a>b>0的右层点为P,过丝标原点0的直线与骺回G交于PQ两点， 点P位于第一象限，直线PF与掂圈C另交于点A,且PF=FA,若AFQ=-3,|FQ=2 |FA川，则椭圆C的离心率为() A.9 B.9 c.号 D.V5 4 第10页共20页