第18讲：双曲线的几何性质【知识梳理+10个题型归纳+方法总结】讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 【第18讲：双曲线的几何性质】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、双曲线的标准方程与核心参数 焦点在x轴上：（，） 焦点在y轴上：（，） 关键参数关系：（为焦点到原点的距离，） 二、核心几何性质（分两种标准方程） 1.范围 焦点在x轴：， 焦点在y轴：， 2.对称性 关于x轴、y轴、原点都对称，原点是对称中心（双曲线中心）。 3.顶点 焦点在x轴：左顶点，右顶点，顶点间距离为 焦点在y轴：下顶点，上顶点，顶点间距离为 注：双曲线只有两个顶点，无“下焦点”“左焦点”对应的顶点概念。 4.离心率 定义：（描述双曲线“开口宽窄”） 范围：（越大，开口越宽；越接近1，开口越窄） 5.渐近线 焦点在x轴： 焦点在y轴： 求法：将标准方程右边的“1”改为“0”，因式分解即可得。 三、常考结论（高频考点） 1.离心率拓展：（由推导，必考变形） 2.渐近线与a、b、e的关系： 若渐近线斜率为，焦点在x轴时，则 焦点在y轴时（需注意斜率对应的参数关系，避免混淆） 3.焦点三角形性质： 双曲线上一点与两焦点、构成，则 面积公式：（） 4.直线与双曲线位置关系： 相切：联立方程后判别式，注意需验证直线不与渐近线平行 相交：，当直线与渐近线平行时，只与双曲线一支相交（仅有一个交点，但非相切） 5.共渐近线的双曲线系： 与共渐近线的双曲线方程为（） 时焦点在x轴，时焦点在y轴 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：根据性质求双曲线的标准方程】 【解题策略】 一、第一步：确定焦点位置（定轴）——避免方程形式出错 这是解题的前提，不确定轴会导致方程形式错误，常见判断方法： 1.由顶点位置判断：顶点在x轴上（如(±a,0)）→焦点在x轴；顶点在y轴上（如(0,±a)）→焦点在y轴。 2.由渐近线斜率判断：渐近线为→焦点在x轴；渐近线为→焦点在y轴（斜率绝对值大的对应分母参数）。 3.由离心率结合其他条件：若已知e，且给出“过x轴上某点”“横半轴长”等，优先考虑x轴；若给出“纵半轴长”“过y轴上某点”，优先考虑y轴。 4.无法直接判断时：设双曲线方程为或，代入条件验证；或设统一形式（m·n>0，m>0时焦点在x轴，n>0时焦点在y轴）。 二、第二步：利用已知性质求参数a、b（核心步骤） 根据题目给出的性质（离心率、渐近线、过定点、焦点距离等），结合，列方程求解，常见场景： 1.已知离心率e和a/b/c中的一个 由得，代入，可建立a与b的关系。 例：e=2，a=1→c=2→b²=c²-a²=3→方程为（焦点在x轴时）。 2.已知渐近线方程 焦点在x轴：渐近线→（k为渐近线斜率绝对值），结合其他条件（如过定点、c的值）求a、b。 共渐近线的双曲线系：直接设方程为（λ≠0），代入已知条件（如过某点）求λ，无需单独求a、b。 3.已知双曲线上一点（过定点） 设对应焦点位置的标准方程，将点的坐标代入方程，再结合其他性质（如e、渐近线）列方程组，解a²、b²。 例：过点(2,√3)，渐近线为→设（由渐近线推导），代入点得4-9=λ→λ=-5→方程为。 4.已知焦点三角形或焦点距离 焦点坐标为(±c,0)或(0,±c)，若已知焦点到某点的距离、焦点三角形面积等，先求c，再结合其他条件求a、b。 三、第三步：验证参数合理性+写标准方程 验证a>0、b>0，确保成立（避免计算错误）。 按焦点位置写出标准方程，分母为a²、b²（注意不是a、b），符号对应正确（x²项正→焦点在x轴，y²项正→焦点在y轴）。 四、易错点提醒 1.混淆a和b的对应关系：焦点在y轴时，渐近线斜率为，而非，需格外注意。 2.忽略参数范围：a、b、c均为正数，c>a，e>1，求解后需验证。 3.已知渐近线时，未用双曲线系方程导致计算繁琐：优先设λ形式，简化运算。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）与双曲线：有相同焦点，且过点的双曲线的标准方程为 . 【答案】 【分析】设双曲线方程为，将点代入求出的值，从而可得双曲线方程. 【详解】由题意可设双曲线方程为，又经过点， 所以，即，解得或(舍)， 所以双曲线的标准方程为， 故答案为：. 【例题2】（2017·全国III卷·高考真题）已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】双曲线的焦点与椭圆的焦点相同,得到c相等，构造方程求出即可. 【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即， 因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距， 又因为双曲线满足，即， 又由，即，解得，可得， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 相似练习 【相似题1】（23-24高二上·全国·课后作业）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与椭圆有公共焦点，且过点； (2)焦点在轴上，焦距为，渐近线斜率为； (3)离心率，且经过点； (4)经过点，且一条渐近线的方程为． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）依题意设所求双曲线为，代入点的坐标，求出，即可得解； （2）设双曲线的标准方程为，即可得到渐近线方程，从而求出、，即可得解； （3）由离心率得到，即可得到双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为，代入点的坐标，求出，即可得解； （4）设双曲线方程为，代入点的坐标，求出，即可得解； 【详解】（1）椭圆的焦点， 由题意设所求双曲线为， 双曲线过点， ，整理得， 解得或（舍去）， 所求双曲线方程为． （2）设双曲线的标准方程为， 则渐近线为， 焦距为，渐近线斜率为， ，， 又，所以，， 双曲线的标准方程为， （3）离心率，经过点， 则，所以， 所以双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为， ，解得，所以双曲线方程为，即. （4）因为双曲线的一条渐近线的方程为， 所以设双曲线方程为，又双曲线过点， 所以，解得， 所以双曲线方程为. 【相似题2】（22-23高二·江苏·假期作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)过点P，Q且焦点在坐标轴上． 【答案】(1)． (2) (3) 【分析】（1）设出双曲线的标准方程，代入已知条件求解即可； （2）根据焦点设出双曲线的方程，代入经过的点计算即可； （3）设出双曲线的标准方程，代入两个经过的点求解即可. 【详解】（1）由， 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得． 故所求双曲线的标准方程为． （2）法一：∵双曲线1的焦点在轴上，∴设所求双曲线的标准方程为， ∴，即．　① ∵双曲线经过点，∴．② 由①②得，故双曲线的标准方程为． 法二：设所求双曲线的方程为． ∵双曲线过点，∴， 解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）设双曲线的方程为． ∵点在双曲线上， ∴，解得， 故双曲线的标准方程为． 【题型2：求双曲线中x,y的取值范围】 【解题策略】 一、第一步：确定双曲线方程形式（前提） 取值范围直接依赖方程类型，先明确方程形式避免推导错误： 1.标准方程（最常见） 焦点在x轴：（，） 焦点在y轴：（，） 2.参数方程（偶考） 焦点在x轴：，（为参数，，） 焦点在y轴：，（为参数，，） 3.一般式（需整理） 形如（），时焦点在x轴，时焦点在y轴。 二、第二步：分场景推导取值范围（核心策略） 1.标准方程下的基础取值范围（直接推导） 利用“平方项≥0”的代数约束，结合方程变形推导： 焦点在x轴（） 1.变形为，右边≥1（因） 2.故→→或 3.对y：，右边可取任意非负数（x满足范围时）→ 焦点在y轴（） 1.变形为→→或 2.对x：，右边可取任意非负数→ 2.含附加条件的取值范围（联立约束） 若题目给出“过定点、离心率、渐近线、与直线有交点”等条件，需先确定a、b或方程，再推导范围： 例1：已知双曲线（e=2，过点(3,0)），求x、y范围 1.过(3,0)→；e=→；由得 2.方程为→x≥3或x≤-3， 例2：双曲线与直线y=x+m有交点，求y的范围 1.联立方程得，整理为 2.有交点→→→或 3.由得，代入双曲线方程→，结合→或 3.参数方程下的取值范围（利用三角函数有界性） 焦点在x轴：，且→ ，→ 焦点在y轴：→；→ 三、易错点提醒 1.混淆焦点位置：焦点在y轴时，是y的范围受约束（），而非x，避免颠倒。 2.忽略附加条件的约束：仅靠标准方程推导是基础，有额外条件时需联立不等式（如判别式、参数关系）。 3.参数方程中三角函数的限制：，，故或是“≥a”而非“>a”（a>0，等号可取）。 例题精选 【例题1】（24-25高二上·吉林延边·期中）已知曲线：，为上一点， ①的取值范围为； ②的取值范围为； ③不存在点，使得； ④的取值范围为. 则上述命题正确的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】分段化简方程画出图形，数形结合得到判断①；数形结合，结合椭圆性质判断②；由双曲线渐近线性质及图形判断③；利用的几何意义，结合三角换元得到求出取值范围判断④. 【详解】曲线化为， 画出图形如下，其中直线为曲线对应双曲线的渐近线，    对于①，当时，，①错误； 对于②，当时，；当时，， 当时，，因此的取值范围为，②正确； 对于③，直线与直线平行且在该直线左侧，曲线在直线的右侧， 因此直线与曲线无公共点，不存在点，使得，③正确； 对于④，表示点到直线的距离的倍， 又直线与直线平行且在该直线左侧，且距离为， 于是，随着的增大，值无限接近于， 当在上时，该点到直线的距离可取得最大值， 设，则到直线的距离为 ，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为，④正确. 故答案为：②③④ 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 【例题2】（23-24高二下·江苏南京·期末）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分，，和四种情况讨论，然后画出图象，结合图象求解即可. 【详解】解：根据题意，对于方程， 当时，原方程为，为椭圆在第一象限的部分； 当时，原方程为，为双曲线在第四象限的部分； 当时，原方程为，为双曲线在第二象限的部分； 当时，原方程无解，曲线在第三象限没有图象， 记，变形可得，则的几何意义是直线纵截距的2倍， 由图知，，当直线与四分之一椭圆相切时，取最大值， ，而，当且仅当时等号成立， 则有，变形可得， 则有，当且仅当时等号成立， 即的取值范围为． 故选：B．    【点睛】关键点点睛：此题考查曲线与方程，考查椭圆和双曲线，解题的关键是对方程化简，作出图象，结合图象求解，考查分类讨论思想和数形结合的思想，属于较难题. 相似练习 【相似题1】【多选】（22-23高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知实数满足，则下列正确的选项有（    ） A．的最小值为 B．的取值范围为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】对A，将双曲线方程代入可得，再结合或求解最小值即可；对B，设，根据题意可得与有交点，再数形结合分析的范围即可；对C，根据展开，结合基本不等式取等号的条件判断即可；对D，注意到所求式为二次时，故可根据“1”的妙用，可得，再根据双曲线性质可得，再换元根据基本不等式求解即可. 【详解】对A，因为，故，故，又由双曲线性质可得或，故当时原式取最小值，故A正确； 对B，设，则与有交点，此时分析相切时的临界条件. 联立，即，故，解得，数形结合可得或，故B正确； 对C，，当且仅当，即时取等号，但代入可得无解，故的最大值不能取到，故C错误； 对D，由题，，由双曲线的渐近线可得，，故可设，则，当且仅当，即时取等号，此时，故的最小值为，故D正确. 故选：ABD 【相似题2】【多选】（21-22高二上·福建厦门·期末）曲线，则（    ） A．C上的点满足， B．C关于x轴、y轴对称 C．C与x轴、y轴共有3个公共点 D．C与直线只有1个公共点 【答案】ACD 【分析】去掉绝对值即可根据双曲线和椭圆的性质判断. 【详解】表示椭圆在x轴上方的部分， 表示双曲线在x轴下方的部分， 作出图象：      双曲线的一条渐近线为， 故选项ACD正确，选项B错误. 故选：ACD. 【题型3：根据双曲线中的x,y的范围求最值】 【解题策略】 一、第一步：明确x、y的范围约束（前提） 先根据双曲线方程确定x、y的取值边界，避免后续最值分析出错，核心范围如下： 焦点在x轴（）：或， 焦点在y轴（）：或， 参数方程（焦点在x轴）：（），（） 二、第二步：分场景求最值（核心策略） 1.一次函数型最值（如、） 策略：利用x/y的范围单调性分析，因x/y是无限区间，需判断系数符号确定最值存在性。 例子：双曲线（或），求的最值 1.由双曲线方程得，代入得 2.当时，递增，也递增，故无最大值； 3.最小值在时取得，，； 4.当时，递减，递减，故无最小值，最大值在时取得，。 2.二次函数型最值（如、） 策略：将双曲线方程代入，转化为关于单一变量（x或y）的二次函数，结合变量范围（如）求最值。 例子：双曲线（或），求的最值 1.由双曲线方程得，但，需保留为核心变量； 2.，因，故 3.令（），则， 4.当（即）时，；无最大值（因可无限大）。 3.距离型最值（如双曲线上点到定点/定直线的距离） 策略：利用几何意义或参数方程转化，距离平方（避免根号）更易计算。 例子：双曲线，求双曲线上点到原点的距离最小值 1.距离平方，由双曲线方程得； 2.代入得； 3.因，故，（当，时取得）。 4.均值不等式型最值（如、） 策略：先确定变量正负（如x≥a>0时x正），再利用均值不等式，注意“一正二定三相等”。 例子：双曲线（），求的最小值 1.由，，取时为正，时为负； 2.求最小值即求负向最大值，令，则； 3.令，； 4.当（）时，；无最大值（x增大时z趋向负无穷）。 三、易错点提醒 1.忽略无限区间的特殊性：x/y是“≥a”“≤-a”的无限区间，一次函数若系数为正，可能无最大值（仅最小值），反之亦然。 2.二次函数对称轴判断失误：转化为二次函数后，需注意定义域是（非全体实数），对称轴若在内，最值需在区间端点（）取得。 3.均值不等式“相等条件”不满足：需验证等号成立时的x/y是否在双曲线的取值范围内，否则需用函数单调性求最值。 例题精选 【例题1】（2025·辽宁·一模）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用坐标计算，再利用进行消元，解关于的不等式. 【详解】点在上，则，且或， 因，则，， 则， 解得，故或. 故选：B 【例题2】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为（     ） A．96 B．81 C． D． 【答案】D 【分析】设，将P化为双曲线上任意一点；将M化为圆C：上任意一点，则，根据圆的性质可知，再利用二次函数性质即可求出最小值，从而得到答案. 【详解】设，则P为双曲线上任意一点， M为圆C：上任意一点，， 根据圆的性质可知， ， 又， 所以， 又或，所以根据二次函数性质可知，当时，， 所以， 所以. 故选：D 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·重庆·期中）已知为双曲线上一动点，过原点的直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，再根据向量数量积公式化简，结合点在双曲线上，可得最值. 【详解】设，且，即， 又直线过原点，且双曲线关于坐标原点对称， 可得与关于坐标原点对称， 则， 所以，， 即， 又， 即的最小值为， 故选：B. 【相似题2】【多选】（23-24高二上·江苏泰州·期中）若点在双曲线上，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】依题意可得，，，从而可得到的取值范围，进而即可判断A；根据题意整理双曲线方程即可判断B；根据题意即可求得双曲线的渐近线方程，进而即可判断C；当时，有，进而即可判断D． 【详解】对于A，依题意得，，，所以，故A正确； 对于B，依题意得，则，所以，故B正确； 对于C，依题意得双曲线的渐近线方程为，所以，故C正确； 对于D，依题意得，则当时，有，此时，故D错误． 故选：ABC． 【题型4:根据双曲线方程求实轴虚轴焦距】 【解题策略】 一、第一步：将方程化为标准形式（前提） 无论给出的是一般式还是非标准形式，都需整理为以下两类标准方程之一，确保右边为1，左边x²、y²项一正一负： 1. 焦点在x轴：（，，x²项为正） 2. 焦点在y轴：（，，y²项为正） 常见转化场景： 一般式（A、B异号，C≠0）： 1. 两边同除以C，得； 2. 调整符号使左边为“正项-负项”，例如→（焦点在x轴）。 非标准形式（m>0，n>0）： 1. 变形为（焦点在y轴），此时a²=n，b²=m。 二、第二步：确定参数a、b、c（核心） 1. 找a²和b²： 标准方程中，正项的分母为a²，负项的分母为b²（与焦点位置对应，不看a、b大小）； 例：（y²项为正）→a²=5，b²=4→a=√5，b=2。 2. 求c： 利用固定关系（c>0），直接代入a²、b²计算； 例：上述方程中c²=5+4=9→c=3。 三、第三步：计算实轴、虚轴、焦距（直接套用定义） 实轴长：双曲线的实轴是过焦点的轴，长度=2a（a是实半轴长）； 虚轴长：双曲线的虚轴是垂直于实轴的轴，长度=2b（b是虚半轴长）； 焦距：两焦点之间的距离，长度=2c（c是半焦距）。 典型例题： 1. 方程： a²=16→a=4，b²=9→b=3，c²=16+9=25→c=5； 实轴长=8，虚轴长=6，焦距=10。 2. 方程： 化为标准式→a²=2，b²=3，c²=2+3=5→c=√5； 实轴长=2√2，虚轴长=2√3，焦距=2√5。 四、易错点提醒 1. 未化标准方程直接取系数：例如把误判为a²=1、b²=2，实际需化为，a²=4、b²=2。 2. 混淆a和b的定义：a是“正项分母的平方根”，而非“数值大的分母平方根”，例如中，a=√3，b=√5（b>a完全合理）。 3. 焦距计算漏乘2：误将c当作焦距，实际焦距是2c（c是半焦距）。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·河北沧州·期中）双曲线的实轴长为，焦距为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的方程求出，从而由求出，进而可求出实轴长与焦距之差. 【详解】由知双曲线的焦点在轴上，且. ∴，， 所以，，. 故选：C. 【例题2】（2024·河南新乡·三模）双曲线的实轴长为4，则 . 【答案】1 【分析】根据给定条件，确定双曲线的焦点位置，再列式计算即得. 【详解】显然恒成立，则双曲线的焦点在x轴上， 于是，所以. 故答案为：1 相似练习 【相似题1】（23-24高二下·安徽淮北·开学考试）若双曲线的虚轴长与实轴长相等，则的值为（    ） A．4 B． C． D．1 【答案】C 【分析】将双曲线方程转化为标准方程，根据实轴长与虚轴长相等列方程来求得的值. 【详解】依题意，双曲线的标准方程为，即， 由于虚轴长与实轴长相等，所以，即，即，解得. 故选：C 【相似题2】（25-26高二上·辽宁铁岭·期中）若双曲线的实轴长是虚轴长的两倍，则（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】确定双曲线标准方程，求得，即可求解. 【详解】由，得， 所以， 所以， 由题意， 解得：， 故选：C 【题型5：求双曲线的渐近线】 【解题策略】 一、第一步：确定双曲线方程类型（前提） 先明确方程形式，避免渐近线斜率混淆，常见类型及特征： 1.标准方程（核心类型） 焦点在x轴：（，，x²项为正） 焦点在y轴：（，，y²项为正） 2.一般方程：（、异号，），需先转化为标准式 3.共渐近线系方程：与某双曲线共渐近线时，可设为（） 4.参数方程：焦点在x轴为，（为参数） 二、第二步：分场景求渐近线（核心策略） 1.标准方程下的“代1为0”法（最快捷） 这是通用核心方法，无需记斜率公式，直接变形推导： 操作步骤：将标准方程右边的“1”替换为“0”，因式分解后求解y与x的关系。 焦点在x轴（） 1.代1为0： 2.因式分解： 3.得渐近线： 焦点在y轴（） 1.代1为0： 2.因式分解： 3.得渐近线： 例子：方程→代1为0得→ 2.一般方程转化法（先化标准再求解） 若方程为一般式，先整理为标准式，再用“代1为0”法： 操作步骤： 1.移项、两边同除以常数项，使右边为1； 2.调整符号为“正项-负项”的标准形式； 3.应用“代1为0”法推导。 例子：方程 1.化为标准式：（焦点在x轴） 2.代1为0：→ 3.共渐近线的双曲线系（快速设方程） 已知双曲线与某已知双曲线共渐近线，无需单独求斜率，直接设系方程： 设方程技巧： 1.若已知双曲线为，共渐近线的方程设为（）； 2.时焦点在x轴，时焦点在y轴（需变形为）； 3.代入已知条件（如过定点）求，再用“代1为0”法得渐近线（或直接沿用原双曲线渐近线）。 例子：求过点(2,√3)且与共渐近线的双曲线渐近线 1.设方程为，代入点得→（舍去，换设） 2.重新代入：→（错误，实际应为，代入得→，说明点在渐近线上，渐近线仍为） 4.参数方程转化法（三角函数化简） 若给出参数方程，利用三角函数关系消参推导： 焦点在x轴：， 1.由，； 2.利用三角恒等式，得； 3.代1为0得渐近线：。 三、易错点提醒 1.混淆焦点位置导致斜率颠倒：焦点在y轴时，渐近线斜率为，而非，需通过标准方程正项位置判断。 2.一般式未化标准直接求解：例如，误直接代1为0得，实际需先化为，结果一致，但复杂一般式易出错，建议先化标准。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·重庆·月考）若双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据离心率得出，再根据关系得出渐近线方程即可. 【详解】双曲线的离心率为， 所以， 则它的渐近线方程为. 故选：D. 【例题2】（25-26高三上·湖北武汉·月考）若双曲线的两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为（  ） A． B．2 C．2或 D．或 【答案】C 【分析】根据双曲线的渐近线方程和倾斜角进行求解即可. 【详解】因为双曲线的两条渐近线夹角为， 则渐近线的倾斜角为或， 所以渐近线的斜率为或. 因为该双曲线方程为，所以渐近线方程为. 所以或. 所以双曲线的离心率为或2. 故选：C. 相似练习 【相似题1】（2025·云南大理·模拟预测）若圆与双曲线（，）的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由圆与渐近线相切得到，进而求出离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 不妨取其中一条渐近线，即， 则，即， ∴. 故选：A. 【相似题2】（25-26高二上·北京·期中）已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线，分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点.若是线段的中点，则的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】设双曲线的右焦点，根据题意求出的坐标，利用中点坐标公式列式计算得的关系，进而可得渐近线方程. 【详解】设双曲线的右焦点，如图所示： 过第一象限的渐近线方程为， 所以直线与直线交于点， 联立，解得：， 由是线段的中点， 所以’ 所以双曲线的渐近线方程为：， 故答案为：. 【题型6：根据双曲线的渐近线求参数】 【解题策略】 一、第一步：明确方程形式与渐近线的对应关系（前提） 先确定双曲线方程类型，建立渐近线与参数a、b的直接关联，避免比例关系颠倒： 1.标准方程（核心类型） 焦点在x轴：，渐近线为→比例关系（k为渐近线斜率绝对值） 焦点在y轴：，渐近线为→比例关系（k为渐近线斜率绝对值） 2.一般方程：（A、B异号，C≠0） 先化为标准式（A>0时），再按标准方程对应渐近线与a、b的关系。 3.共渐近线系方程：（λ≠0） 渐近线与λ无关，始终为（焦点在x轴，λ>0）或（焦点在y轴，λ<0）。 二、第二步：分场景求参数（核心策略） 1.已知渐近线方程，求a、b或比例 策略：提取渐近线斜率，建立a与b的比例，结合其他条件（如a、b的具体值、a+b等）求解。 例子：双曲线的渐近线为，且a=6，求b。 1.焦点在x轴，渐近线斜率； 2.代入a=6，得。 2.已知渐近线+离心率，求a、b、c 策略：由渐近线得（或），结合离心率公式和，联立方程求解。 例子：双曲线焦点在y轴，渐近线为，e=，求a、b。 1.焦点在y轴，渐近线斜率→； 2.离心率→； 3.由，代入得，恒成立，设a=3k（k>0），则b=4k，c=5k（若已知a=3，则b=4，c=5）。 3.已知渐近线+过定点，求参数λ（共渐近线系） 策略：设共渐近线系方程，代入定点坐标求λ，进而得到a、b。 例子：求过点(3,2)且渐近线为的双曲线参数a、b。 1.渐近线斜率，设双曲线方程为（k>0，焦点在x轴）； 2.代入点(3,2)：→→k=； 3.方程为→a=1，b=。 4.已知渐近线+焦点位置，求参数范围 策略：由渐近线得a、b比例，结合焦点位置的参数约束（如c>a>0），确定参数范围。 例子：双曲线的渐近线为，求离心率e的范围。 1.焦点在y轴，→b=； 2.→e=（固定值，无范围，若a为变量，e恒为）。 三、易错点提醒 1.颠倒a与b的比例：焦点在y轴时，渐近线斜率是，而非，需通过方程正项位置判断。 2.忽略参数的正数约束：a、b、c、λ（正项分母对应的λ）均为正数，求解后需验证。 3.共渐近线系方程设错形式：若渐近线为，焦点在x轴设，焦点在y轴设，避免比例错误。 4.离心率与渐近线的关系混淆：离心率（焦点在x轴），（焦点在y轴时，是的倒数，需注意公式变形）。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）渐近线方程为，经过的双曲线标准方程为 ． 【答案】 【分析】分双曲线焦点在x轴，y轴分类讨论，若在x轴上，设双曲线方程为：，由渐近线方程可得，代入，可得方程；若在y轴上，类似可得结果. 【详解】若双曲线焦点在x轴上，设双曲线方程为：，则， 则，代入，得， 则双曲线方程为：； 若双曲线焦点在y轴上，设双曲线方程为：，则， 则，代入，得，矛盾. 综上，双曲线方程为：. 故答案为： 【例题2】 （25-26高三上·河北衡水·开学考试）过原点O的直线与双曲线：交于A，B两点，D为的右顶点，若的渐近线方程为，则直线与直线的斜率之积为（   ） A．1 B．3 C．4 D．9 【答案】C 【分析】利用题给渐近线方程得出，设点，根据双曲线的性质结合直线过原点得出点坐标，由双曲线性质得出右顶点坐标，从而列出斜率之积表达式，结合双曲线方程化简得出，从而得出答案. 【详解】因为双曲线C的渐近线方程为，所以， 设点，因为直线过原点，则， 又因为双曲线的右顶点为， 则①， 又因为在双曲线上，则，所以②， ②代入①化简可得. 故选：C. 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为，若直线与在第一象限的交点为，且轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线的性质得，从而得到，，结合条件，直接求出，即可求解. 【详解】因为的渐近线方程为，所以，即，故， 又，且轴，在中，令，得， 因为点在第一象限，故，所以， 故选：A. 【相似题2】（24-25高二下·上海黄浦·期中）若双曲线的一条渐近线与直线平行，则 ． 【答案】3 【分析】由题意可得出渐近线的斜率，据此列方程求解即可. 【详解】若双曲线的一条渐近线与直线平行， 故，解得：. 故答案为：3. 【题型7：根据方程求双曲线的离心率】 【解题策略】 一、第一步：将方程化为标准形式（前提） 离心率依赖a²、b²的准确识别，必须先把方程整理为“正项-负项=1”的标准形式： 1.目标形式： 焦点在x轴：（x²项为正，a>0，b>0） 焦点在y轴：（y²项为正，a>0，b>0） 2.转化方法： 一般式（A、B异号，C≠0）：两边同除以C，调整符号为“正项-负项”，例如→。 非标准式（m>0，n>0）：变形为，此时a²=n，b²=m。 二、第二步：确定a²和b²（核心） 关键规则：标准方程中，正项的分母是a²（实半轴的平方），负项的分母是b²（虚半轴的平方），与a、b的数值大小无关。 例子： 方程（y²项为正）→a²=5，b²=12； 方程（x²项为正）→a²=4，b²=1。 三、第三步：计算离心率e（直接套用公式） 利用双曲线核心参数关系和离心率定义，分两步计算： 1.求c：由（c>0），代入a²、b²得c； 2.求e：根据定义（e>1，双曲线离心率恒大于1）。 3.简化技巧：直接用计算，避免开根号的中间步骤，最后再开根号得e。 典型场景示例： 1.标准方程直接求e 方程： 1.a²=16，b²=9→c²=16+9=25→c=5； 2.e=（或e²=1+=→e=）。 2.一般方程转化后求e 方程： 1.化为标准式→a²=6，b²=4； 2.c²=6+4=10→c=； 3.e=（或e²=1+=→e==）。 3.含参数方程求e 方程（k>0）： 1.a²=k，b²=k+3→c²=k+(k+3)=2k+3； 2.e²=1+=1+1+=2+； 3.若已知k=1，则e²=5→e=。 四、易错点提醒 1.未化标准方程误判a²、b²：例如把直接当作a²=1、b²=2，实际需化为，a²=4、b²=2。 2.混淆a²和b²的定义：误将负项分母当作a²，导致e计算错误，记住“正项分母是a²”。 3.忽略e的范围：双曲线e>1，若计算结果e≤1，必是a²、b²判断错误，需回头检查标准方程变形。 4.计算e时未开根号：误将e²当作e，例如e²=，错写e=，正确结果应为e=。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·浙江·期中）双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为 ． 【答案】 【分析】利用双曲线的简单性质的应用和离心率的求法即可求解. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为， 则，离心率， 故答案为：. 【例题2】（2025·云南·模拟预测）已知双曲线的实轴长为8，过的焦点且垂直于实轴的弦长为6，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的性质，列方程组，即可求解. 【详解】不妨设双曲线的标准方程为，由题意，得， 解得，所以的半焦距，所以的离心率. 故选：D 相似练习 【相似题1】（25-26高二上·广西钦州·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（　　） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线方程确定渐近线，结合已知得，再由离心率的求法求双曲线的离心率. 【详解】由双曲线的方程知，渐近线为，又一条渐近线方程为， 所以，则双曲线的离心率. 故选：B 【相似题2】（25-26高二上·河南南阳·期中）双曲线C的一条渐近线方程为，且经过点，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意设出双曲线的方程，再代入点，求出标准方程，即可求出离心率. 【详解】根据题意，设双曲线的方程为， 又因为经过点，代入可得， 故标准方程为，故， ， ，故， 故选：. 【题型8：根据几何图形求双曲线的离心率】 【解题策略】 一、第一步：识别图形核心元素（前提） 先明确几何图形中与双曲线相关的关键元素，避免找错关系： 基础元素：双曲线的焦点（F₁、F₂）、顶点（A₁、A₂）、中心（原点O）、渐近线； 图形特征：焦点三角形（△PF₁F₂，P为双曲线上点）、渐近线与坐标轴/垂线构成的直角三角形、过焦点的直线与双曲线的交点、与圆/三角形的结合图形； 隐含条件：双曲线上点满足||PF₁|-|PF₂||=2a，焦距|F₁F₂|=2c，实轴长2a，渐近线斜率与a、b的比例关系。 二、第二步：分场景转化几何关系（核心策略） 1.焦点三角形场景（高频考点） 焦点三角形是双曲线上一点与两焦点构成的三角形，核心用“边长关系+三角函数/勾股定理”转化： 策略： 1.由双曲线定义得||PF₁|-|PF₂||=2a； 2.由图形条件（角度、边长、垂直）列等式（如余弦定理、勾股定理）； 3.联立c²=a²+b²，消去|PF₁|、|PF₂|，转化为a、c的比例（即e）。 例子：双曲线C：，焦点三角形△PF₁F₂中，∠F₁PF₂=90°，且|PF₁|=3|PF₂|，求e。 1.设|PF₂|=m，则|PF₁|=3m，由定义得3m-m=2a→m=a； 2.直角三角形中，|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²→9a²+a²=(2c)²→10a²=4c²； 3.e²===→e=（e>1，舍去负根）。 2.渐近线相关图形场景 渐近线与坐标轴、垂线、切线构成的图形，核心用“斜率→直角三角形边长比”转化： 策略： 1.渐近线斜率对应直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）； 2.图形中若有垂直、平行或角度条件，转化为a、b、c的比例（如tanθ=或）； 3.用e²=1+()²化简求解。 例子：双曲线渐近线为y=±x，且渐近线与过焦点F(c,0)的垂线交于点P，△OPF为直角三角形（O为原点），求e。 1.渐近线斜率=→=； 2.e²=1+=→e=（△OPF直角在O，隐含渐近线斜率与OF的关系已满足）。 3.过焦点的直线与双曲线相交场景 直线过焦点（如垂直x轴、与渐近线平行）与双曲线交于A、B，核心用“通径、交点坐标”转化： 策略： 1.通径长（过焦点垂直实轴的弦长）=； 2.若直线与双曲线交于两点，用弦长、垂直条件（向量点积为0）列等式； 3.联立a、b、c关系求e。 例子：过双曲线右焦点F(c,0)作垂直x轴的直线，交双曲线于A、B两点，若|AB|=|F₁F₂|（F₁为左焦点），求e。 1.通径|AB|=，焦距|F₁F₂|=2c； 2.等式：=2c→b²=ac； 3.代入c²=a²+b²→c²=a²+ac→两边除以a²得e²-e-1=0； 4.解得e=（e>1，舍去负根）。 4.与圆结合的图形场景 双曲线与圆（如以焦点为圆心、以a为半径的圆）相切/相交，核心用“圆心距、半径关系”转化： 策略： 1.圆的圆心（如焦点F(c,0)）、半径（如a、c、b）； 2.相切时圆心距=半径，相交时用勾股定理列等式； 3.转化为a、c的比例求e。 例子：以双曲线右焦点F(c,0)为圆心，a为半径作圆，圆与双曲线右支相切于点A，求e。 1.切点A在双曲线上且在圆上→|AF|=a，且A在右支上→|AF₁|-|AF|=2a→|AF₁|=3a； 2.F₁(-c,0)、F(c,0)，由两点间距离公式：|AF₁|²=(x_A+c)²+y_A²=9a²，|AF|²=(x_A-c)²+y_A²=a²； 3.两式相减得4cx_A=8a²→x_A=； 4.又A在双曲线上：，结合|AF|=a，化简得e=2。 三、第三步：通用化简技巧（避免复杂计算） 1.优先用e²=1+()²，将所有等式转化为e的方程（如b²=ac→c²-a²=ac→e²-e-1=0）； 2.遇到三角函数（如角度θ），用tanθ=或，结合sin²θ+cos²θ=1转化为a、b、c的比例； 3.结果必须满足e>1，若解得e≤1，说明几何关系转化错误（如混淆a、b的比例）。 四、易错点提醒 1.混淆焦点三角形的定义式：双曲线上点满足||PF₁|-|PF₂||=2a，而非|PF₁|+|PF₂|=2a（椭圆的关系）； 2.渐近线对应的直角三角形颠倒a、b：焦点在x轴时，渐近线斜率对应直角边“a（x轴）、b（y轴）”，焦点在y轴时相反； 3.忽略隐含条件：如“圆与双曲线相切”可能隐含切点在顶点或通径端点，未结合双曲线方程验证； 例题精选 【例题1】（25-26高二上·黑龙江·期中）如图所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图中的两点反射后，分别经过点和，且 ，，则的离心率为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意设，结合双曲线定义可得，在中，由勾股定理列式求得，得解. 【详解】如图，由，得，设， 由双曲线定义，得， 所以，， 在中，可得，解得， 所以双曲线的离心率. 故选：B. 【例题2】 （2025·浙江丽水·一模）已知为双曲线的左右焦点，点的坐标为．若为等边三角形，则双曲线的离心率是（　　） A． B．2 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由题可得，即，再根据求解即可． 【详解】为等边三角形，为的中点， ，则， ， ． 故选：C． 相似练习 【相似题1】（2025·浙江宁波·一模）双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点在轴右侧，由双曲线定义可得，，由是直角三角形，建立等式求解即可. 【详解】如图，设点在轴右侧，则，    因为， 所以， 因为点在以为直径的圆上， 所以是直角三角形，， 即，化简得， 所以离心率. 故选：D 【相似题2】（25-26高二上·河南·月考）已知双曲线的左､右焦点分别为，是双曲线上的一点，直线与轴交于点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据双曲线的定义和勾股定理得出，再在中得出，最后在中利用余弦定理即可求出. 【详解】因为，所以设，则， 因为点在轴上，所以， 因为点在双曲线上，由双曲线定义得：，即， 由，所以，所以， 即，解得， 所以，，则， 在中，由余弦定理得：， 即，所以，所以. 故选：B. 【题型9：求双曲线离心率的取值范围】 【解题策略】 一、基础核心公式（所有场景通用） 1.离心率定义：（，，） 2.参数关系：（，双曲线核心恒等式） 3.离心率平方转化公式：（消去，核心转化工具） 二、分场景规范公式（含适用条件） 1.参数约束场景（含参数方程） 适用条件：方程含参数（如、），已知参数取值范围 核心公式： 若，，则 由参数范围得，代入，得 最终范围：（结合取交集） 2.焦点三角形场景 适用条件：已知焦点三角形的角度（） 核心公式： 双曲线定义： 余弦定理： 联立推导：，得 角度约束转化： 若，则，得， 若，则，得， 3.渐近线斜率场景 适用条件：已知渐近线斜率的范围 核心公式： 焦点在轴：渐近线，，则， 焦点在轴：渐近线，，则， 斜率范围转化：若，代入对应公式，求解的范围（结合） 4.直线与双曲线位置关系场景 适用条件：直线与双曲线有交点、仅与一支相交等位置约束 核心公式： 联立直线与双曲线，整理得： 恒有两个交点： 仅与右支相交：（为方程两根） 转化为、不等式后，代入，求解的范围 三、公式使用注意事项 1.所有公式均需满足，最终范围需与取交集； 2.焦点位置决定渐近线斜率与、的对应关系，避免颠倒公式； 3.涉及不等式化简时，两边除以正数（、等）不改变不等号方向； 4.二次方程相关公式需注意“二次项系数≠0”（避免直线与渐近线平行）。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·辽宁铁岭·期中）已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为 【答案】 【分析】设，确定中点，由其在渐近线上得到点P在直线上，再由直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】因为双曲线的右焦点为,则,即, 且双曲线C的渐近线方程为, 设为圆上一点,且圆心为,半径, 则的中点在其渐近线上,可得, 即,所以点P在直线上, 因为圆心到直线的距离， 因为圆M上存在点P满足条件,所以直线与圆M有公共点, 所以,即,可得,可得,所以, 又因为双曲线的离心率,所以, 所以双曲线C的离心率的取值范围为. 故答案为： 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交于，且，当时，双曲线离心率的最大值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据渐近线方程求出直线的方程为，可求得，再由双曲线定义利用即可求得双曲线离心率的最大值. 【详解】如图所示： 不妨取渐近线方程为，又易知， 则直线的方程为， 联立直线与双曲线， 可得， 所以； 且，由双曲线定义可得， 当时，可得， 所以，解得； 因此双曲线离心率的最大值为． 故选：D 相似练习 【相似题1】（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用双曲线的定义及矩形的性质建立不等式解之即可. 【详解】根据圆与双曲线的对称性可知三点共线，则四边形为矩形， 设，则， 所以，即. 故答案为：.    【相似题2】【多选】（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，，若以为圆心，为半径作圆，过双曲线右支上一点P作圆的切线，切点为T，且的最小值不大于，则双曲线的离心率e的取值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据，得到，由求解. 【详解】如图所示： 连接，则， 因为，所以， 由题意得，化简得， 即，即， 则，即， 又，则， 故选：ABC 【题型10：双曲线性质的综合题型】 例题精选 【例题1】【多选】（25-26高二上·广东广州·期中）已知双曲线的离心率为，分别是左、右焦点，是该双曲线右支上一点，点满足，则下列结论正确的为（   ） A．双曲线的实轴长为 B． C．的面积为 D． 【答案】ACD 【分析】A：根据离心率和可求出，则实轴长可知；B：根据向量关系判断出的位置，结合双曲线定义可求；C：根据双曲线定义以及勾股定理可求，则的面积可求；D：根据可求结果. 【详解】因为，解得，所以实轴长为，故A正确； 因为，所以为的中点且， 又因为为的中点，所以， 所以，故B错误； 因为，可得， 所以，故C正确； 因为， 所以，故D正确； 故选：ACD.    【例题2】【多选】（25-26高二上·安徽淮南·期中）双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与曲线的一条渐近线交于、两点，在第一象限，且，则下列说法一定正确的是（    ） A．的离心率为 B． C． D．当时，四边形的面积为 【答案】BCD 【分析】通过联立方程组的方法求得两点的坐标，根据列方程，求得的关系式，结合双曲线的离心率、对称性、两点间的距离、四边形的面积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】如图所示： 因为圆的方程为， 双曲线的渐近线的一条方程为， 联立，得或， 不妨设，则， 又因为 所以，， 所以， 又因为， 所以， 从而得，， 所以， 对于A，由题意可得 又因为，解得，故A错误； 对于B，由对称性可得四边形为平行四边形， 又因为， 所以，故B正确； 对于C，设，则，因为， 且，即， 所以， 所以，C选项正确. 对于D，当时，， 所以， 所以， 又因为四边形的面积，故D正确. 故选：BCD. 相似练习 【相似题1】【多选】（25-26高二上·安徽·月考）记双曲线的左､右焦点分别为.若，以为圆心､4为半径的圆与的右支交于两点，点为上一点，满足，则（    ） A．离心率 B．的面积为 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据条件，先求出的方程为，对A，直接法求出离心率即可；对B，根据双曲线的定义，令，，结合条件可得，再求出的面积，即可求解；对C，联立圆与双曲线的方程，直接求出的坐标，再利用三角形的性质，即可求解；对D，根据条件，利用余弦定理，即可求解. 【详解】由题意得，，解得，故的方程为， 对于A，因为的方程为，故，所以双曲线的离心率为，故A正确； 对于B，由双曲线定义可知，不妨令，而，故，即，整理得到， 所以的面积，故B错误； 对于C，易知圆的方程为，联立， 消得，解得（舍去）或， 代入，可得， 不妨令在第一象限，则，，显然. 由B可知与不重合，而在中，，故C正确； 对于D，因为，在中，由余弦定理可得，故D正确. 故选：ACD. 【相似题2】【多选】（25-26高三上·河北秦皇岛·阶段练习）已知双曲线，圆，的左、右顶点分别为，的一条渐近线与圆交于两点，且，则（   ） A． B．直线与恰有两个公共点 C．或 D．四边形的面积为 【答案】AC 【分析】由双曲线的对称性，得到为平行四边形，可判定A正确；设双曲线的渐近线为，联立方程组，求得的坐标，利用向量的夹角公式，列出方程求得，得到渐近线为，可判定B错误；求得向量，结合向量的模的计算公式，可判定C正确；求得，得到，结合，利用，可判定D错误. 【详解】对于A，由双曲线的对称性，可得关于原点对称，且也关于原点对称， 即四边形的对角线互相平分，所以四边形为平行四边形， 因为，所以，所以A正确； 对于B，不妨设双曲线的渐近线为与圆交于两点， 联立方程组，解得或， 不妨设， 因为，所以， 因为，可得， 可得，所以双曲线的渐近线为， 因为与平行，所以与仅有一个公共点，所以B错误； 对于C，由，可得， 所以，所以，即 当两点位置互换时，此时，即， 综上可得，或，所以C正确； 对于D，由向量，所以，所以, 因为，所以，所以D错误. 故选：AC. 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二上·福建福州·期中）已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线离心率为，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建厦门·期中）若直线l过点，且与双曲线过第一和第三象限的渐近线互相垂直，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2021·全国·一模）已知双曲线：的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江杭州·一模）已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于（    ） A． B． C． D．或 5．（25-26高二上·福建福州·期中）等轴双曲线经过点，则其焦点到渐近线的距离为（    ） A．3 B．2 C． D． 6．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知双曲线C：与椭圆有相同的焦点，且离心率为，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知双曲线的左右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山东·二模）已知分别为双曲线的左、右焦点，为左支上一点，满足，与的右支交于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（   ） A．双曲线的一条渐近线方程为 B．椭圆和双曲线共焦点 C．椭圆的离心率 D．椭圆和双曲线的图象有2个公共点 10．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知曲线的方程为，则（   ） A．当时，曲线为圆 B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为 C．当时，曲线为焦点在轴上的椭圆 D．存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为 11．（24-25高三上·福建福州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于点，，若，则（   ） A． B．双曲线的渐近线方程为 C． D．，面积记为，，则 12．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知双曲线的一条渐近线的方程为，上、下焦点分别为，.下列判断正确的是（   ） A．的方程为 B．的离心率为 C．若点为的上支上的任意一点，，则的最小值为 D．若点为的上支上一点，则的内切圆的半径为 三、填空题 13．（24-25高三上·河北沧州·期中）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，，是上关于原点对称的两点，且，，则的离心率为 ． 14．（25-26高二上·全国·单元测试）与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为 ． 15．（24-25高二下·福建福州·期中）已知双曲线的右焦点为，过的直线（为常数）与双曲线在第一象限交于点．若（为原点），则的离心率为 ． 16．（25-26高二上·福建福州·期中）已知，为双曲线（，）上关于原点对称的两点，点与点关于轴对称，，直线与双曲线另一个交点为，若以为直径的圆恰好经过点，则双曲线的离心率为 ． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B A C D C D AC ABC 题号 11 12 答案 ACD ACD 1．C 【分析】由双曲线的基本性质求出的值求出双曲线方程. 【详解】由题意可知①， 渐近线方程：，交点坐标为， ∴，∴②， 由①②解得，， ∴双曲线：. 故选：C. 2．B 【分析】由双曲线方程写出其渐近线方程，根据两直线垂直求出直线的斜率，由点斜式即得的方程. 【详解】 如图，由可知双曲线过第一和第三象限的渐近线方程为：， 直线l与之垂直，则直线l的斜率为， 又直线l过点，故直线l的方程为，即. 故选：B. 3．B 【分析】根据条件可求出，即可得到双曲线的标准方程. 【详解】由题意得，，， ∵， ∴，故双曲线的标准方程为. 故选：B. 4．A 【分析】借助双曲线的渐近线方程可得，即可得，即可得离心率. 【详解】由题意可得，故， 则， 故. 故选：A. 5．C 【分析】根据给定条件，求出双曲线方程，进而求出目标值. 【详解】设等轴双曲线方程为，则， 双曲线，即的渐近线方程为，半焦距， 所以焦点到渐近线的距离. 故选：C 6．D 【分析】根据椭圆方程可求得焦点坐标，再由离心率为即可得双曲线C的方程. 【详解】由椭圆方程可得其焦点坐标为，即； 又双曲线离心率为，可得，可知； 则， 所以双曲线C的方程. 故选：D 7．C 【分析】设，根据平面向量数量积和线性运算的坐标表示可得建立方程组，解得，代入双曲线方程可得e的方程，解之即可求解. 【详解】如图，，设， 则, 由，得， 解得，又在双曲线上， 所以，即，整理得， 即，由解得. 故选：C 8．D 【分析】依据题意找到等量关系，列齐次方程求解即可. 【详解】    因为，，所以的三个内角都是， 从而，结合双曲线定义得，故， 又，故，结合， 故由余弦定理得，化简得，解得. 故选：D. 9．AC 【分析】根据方程求出椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长，双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距长，逐项分析可得答案. 【详解】对于椭圆的方程为，可得， 对于双曲线的方程为，可得， 且椭圆的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上， 对于选项A：因为双曲线的渐近线方程为， 所以双曲线的一条渐近线方程为，故A正确； 对于选项B：因为椭圆的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上， 所以椭圆和双曲线不共焦点，故B错误： 对于选项C：椭圆的离心率，故C正确； 对于选项D：因为，可知双曲线的顶点在椭圆内部， 所以椭圆和双曲线的图象有4个公共点，故D错误； 故选：AC. 10．ABC 【分析】对于ABC，将代入结合椭圆、双曲线的方程和性质验证即可；对于D，由题意根据离心率列出方程，说明方程无解即可. 【详解】对于选项A：当时，曲线C的方程为，即曲线C为圆，故A正确； 对于选项B：当时，曲线C的方程为，其渐近线方程为，故B正确； 对于选项C：若，则， 且，可得，即， 所以曲线为焦点在轴上的椭圆，故C正确； 对于选项D：若曲线C为双曲线，且其离心率为， 则，即或， 当时，方程为，，令得，解得，无解； 当时，方程为，，令得，解得，无解， 综上，不存在满足条件的实数，故D错误. 故选：ABC. 11．ACD 【分析】根据可得，即可判断A；，利用余弦定理求出，根据双曲线的定义结合的值可求出可确定C；从而在直角三角形中可得的齐次式，可求渐近线方程确定B，根据直角三角形的面积公式可确定D. 【详解】对于选项A：因为， 可得，故A正确； 对于选项C：因为，可得， 不妨设， 在中，由余弦定理得， 可得，则，可知， 所以，故C正确； 对于选项B：在直角三角形中，因为，可得， 在三角形中，因为，可得， 因为，可得， 即， 在直角三角形中，，即， 可得，则，即， 所以渐近线方程为，故B错误； 对于选项D：因为，，则， 即，所以，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：焦点三角形的作用：在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． 12．ACD 【分析】根据渐近线方程可求得，可得的方程及其离心率；再根据双曲线定义将转化为，即可知当三点共线时，的最小值为，即C正确，易知，求出的周长并利用等面积法得出关于内切圆半径与周长的关系可得D正确. 【详解】对于A，由可得，其渐近线的方程为， 即可得，所以的方程为，即，可知A正确； 对于B，易知，，即， 所以离心率为，可知B错误； 对于C，如下图所示：    根据双曲线定义可得，所以， 又，， 因此， 当三点共线时，满足题意，此时的最小值为，即C正确； 对于D，若点为的上支上一点，可得，如下图所示：    由可得，， 又，因此的周长为， 易知的面积为， 设的内切圆圆心为，半径为， 易知，即， 解得，即的内切圆的半径为，即D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：求解三角形内切圆半径时经常利用等面积法求出三角形周长与内切圆半径的关系式，即可得出相应半径. 13． 【分析】由图，题意，双曲线对称性可得为直角三角形，然后设，由及勾股定理可表示出a，c，即可得答案. 【详解】由双曲线对称性及，可知， 则为以为顶点的直角三角形.又由双曲线对称性， 可知四边形为平行四边形，结合， 可知四边形为矩形，则为直角三角形. 设，则. 故. 故答案为： 14．2 【分析】设所求双曲线方程为，将点代入即可求解. 【详解】设所求双曲线方程为， 将点代入双曲线方程得， 故双曲线方程为，则双曲线的实轴长为2． 故答案为：2. 15．5． 【分析】取双曲线的左焦点，连接，可得，利用点到直线的距离和中位线性质得，根据双曲线定义可得，由勾股定理列方程求解即可. 【详解】取的中点，因为，所以， 取左焦点，连接，则，且， 所以， 双曲线的右焦点在直线上，所以，即， 所以直线的方程为， 到直线的距离为，所以，， 在中，由勾股定理可得， 即：，整理可得：， 即，，解得， 故答案为：5． 16． 【分析】设，，求得，，而以为直径的圆恰好经过点可得，据此求得直线MP的斜率，进一步得的值，再利用点差法求得，两者联立后代入离心率公式求解即可． 【详解】设，，则，，由得， 从而有，， 因为以为直径的圆恰好经过点，所以，所以， 又由得，则， 即，所以，所以． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 【第18讲：双曲线的几何性质】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、双曲线的标准方程与核心参数 焦点在x轴上：（，） 焦点在y轴上：（，） 关键参数关系：（为焦点到原点的距离，） 二、核心几何性质（分两种标准方程） 1.范围 焦点在x轴：， 焦点在y轴：， 2.对称性 关于x轴、y轴、原点都对称，原点是对称中心（双曲线中心）。 3.顶点 焦点在x轴：左顶点，右顶点，顶点间距离为 焦点在y轴：下顶点，上顶点，顶点间距离为 注：双曲线只有两个顶点，无“下焦点”“左焦点”对应的顶点概念。 4.离心率 定义：（描述双曲线“开口宽窄”） 范围：（越大，开口越宽；越接近1，开口越窄） 5.渐近线 焦点在x轴： 焦点在y轴： 求法：将标准方程右边的“1”改为“0”，因式分解即可得。 三、常考结论（高频考点） 1.离心率拓展：（由推导，必考变形） 2.渐近线与a、b、e的关系： 若渐近线斜率为，焦点在x轴时，则 焦点在y轴时（需注意斜率对应的参数关系，避免混淆） 3.焦点三角形性质： 双曲线上一点与两焦点、构成，则 面积公式：（） 4.直线与双曲线位置关系： 相切：联立方程后判别式，注意需验证直线不与渐近线平行 相交：，当直线与渐近线平行时，只与双曲线一支相交（仅有一个交点，但非相切） 5.共渐近线的双曲线系： 与共渐近线的双曲线方程为（） 时焦点在x轴，时焦点在y轴 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：根据性质求双曲线的标准方程】 【解题策略】 一、第一步：确定焦点位置（定轴）——避免方程形式出错 这是解题的前提，不确定轴会导致方程形式错误，常见判断方法： 1.由顶点位置判断：顶点在x轴上（如(±a,0)）→焦点在x轴；顶点在y轴上（如(0,±a)）→焦点在y轴。 2.由渐近线斜率判断：渐近线为→焦点在x轴；渐近线为→焦点在y轴（斜率绝对值大的对应分母参数）。 3.由离心率结合其他条件：若已知e，且给出“过x轴上某点”“横半轴长”等，优先考虑x轴；若给出“纵半轴长”“过y轴上某点”，优先考虑y轴。 4.无法直接判断时：设双曲线方程为或，代入条件验证；或设统一形式（m·n>0，m>0时焦点在x轴，n>0时焦点在y轴）。 二、第二步：利用已知性质求参数a、b（核心步骤） 根据题目给出的性质（离心率、渐近线、过定点、焦点距离等），结合，列方程求解，常见场景： 1.已知离心率e和a/b/c中的一个 由得，代入，可建立a与b的关系。 例：e=2，a=1→c=2→b²=c²-a²=3→方程为（焦点在x轴时）。 2.已知渐近线方程 焦点在x轴：渐近线→（k为渐近线斜率绝对值），结合其他条件（如过定点、c的值）求a、b。 共渐近线的双曲线系：直接设方程为（λ≠0），代入已知条件（如过某点）求λ，无需单独求a、b。 3.已知双曲线上一点（过定点） 设对应焦点位置的标准方程，将点的坐标代入方程，再结合其他性质（如e、渐近线）列方程组，解a²、b²。 例：过点(2,√3)，渐近线为→设（由渐近线推导），代入点得4-9=λ→λ=-5→方程为。 4.已知焦点三角形或焦点距离 焦点坐标为(±c,0)或(0,±c)，若已知焦点到某点的距离、焦点三角形面积等，先求c，再结合其他条件求a、b。 三、第三步：验证参数合理性+写标准方程 验证a>0、b>0，确保成立（避免计算错误）。 按焦点位置写出标准方程，分母为a²、b²（注意不是a、b），符号对应正确（x²项正→焦点在x轴，y²项正→焦点在y轴）。 四、易错点提醒 1.混淆a和b的对应关系：焦点在y轴时，渐近线斜率为，而非，需格外注意。 2.忽略参数范围：a、b、c均为正数，c>a，e>1，求解后需验证。 3.已知渐近线时，未用双曲线系方程导致计算繁琐：优先设λ形式，简化运算。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）与双曲线：有相同焦点，且过点的双曲线的标准方程为 . 【例题2】（2017·全国III卷·高考真题）已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（23-24高二上·全国·课后作业）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与椭圆有公共焦点，且过点； (2)焦点在轴上，焦距为，渐近线斜率为； (3)离心率，且经过点； (4)经过点，且一条渐近线的方程为． 【相似题2】（22-23高二·江苏·假期作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)过点P，Q且焦点在坐标轴上． 【题型2：求双曲线中x,y的取值范围】 【解题策略】 一、第一步：确定双曲线方程形式（前提） 取值范围直接依赖方程类型，先明确方程形式避免推导错误： 1.标准方程（最常见） 焦点在x轴：（，） 焦点在y轴：（，） 2.参数方程（偶考） 焦点在x轴：，（为参数，，） 焦点在y轴：，（为参数，，） 3.一般式（需整理） 形如（），时焦点在x轴，时焦点在y轴。 二、第二步：分场景推导取值范围（核心策略） 1.标准方程下的基础取值范围（直接推导） 利用“平方项≥0”的代数约束，结合方程变形推导： 焦点在x轴（） 1.变形为，右边≥1（因） 2.故→→或 3.对y：，右边可取任意非负数（x满足范围时）→ 焦点在y轴（） 1.变形为→→或 2.对x：，右边可取任意非负数→ 2.含附加条件的取值范围（联立约束） 若题目给出“过定点、离心率、渐近线、与直线有交点”等条件，需先确定a、b或方程，再推导范围： 例1：已知双曲线（e=2，过点(3,0)），求x、y范围 1.过(3,0)→；e=→；由得 2.方程为→x≥3或x≤-3， 例2：双曲线与直线y=x+m有交点，求y的范围 1.联立方程得，整理为 2.有交点→→→或 3.由得，代入双曲线方程→，结合→或 3.参数方程下的取值范围（利用三角函数有界性） 焦点在x轴：，且→ ，→ 焦点在y轴：→；→ 三、易错点提醒 1.混淆焦点位置：焦点在y轴时，是y的范围受约束（），而非x，避免颠倒。 2.忽略附加条件的约束：仅靠标准方程推导是基础，有额外条件时需联立不等式（如判别式、参数关系）。 3.参数方程中三角函数的限制：，，故或是“≥a”而非“>a”（a>0，等号可取）。 例题精选 【例题1】（24-25高二上·吉林延边·期中）已知曲线：，为上一点， ①的取值范围为； ②的取值范围为； ③不存在点，使得； ④的取值范围为. 则上述命题正确的序号是 ． 【例题2】（23-24高二下·江苏南京·期末）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】【多选】（22-23高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知实数满足，则下列正确的选项有（    ） A．的最小值为 B．的取值范围为 C．的最大值为 D．的最小值为 【相似题2】【多选】（21-22高二上·福建厦门·期末）曲线，则（    ） A．C上的点满足， B．C关于x轴、y轴对称 C．C与x轴、y轴共有3个公共点 D．C与直线只有1个公共点 【题型3：根据双曲线中的x,y的范围求最值】 【解题策略】 一、第一步：明确x、y的范围约束（前提） 先根据双曲线方程确定x、y的取值边界，避免后续最值分析出错，核心范围如下： 焦点在x轴（）：或， 焦点在y轴（）：或， 参数方程（焦点在x轴）：（），（） 二、第二步：分场景求最值（核心策略） 1.一次函数型最值（如、） 策略：利用x/y的范围单调性分析，因x/y是无限区间，需判断系数符号确定最值存在性。 例子：双曲线（或），求的最值 1.由双曲线方程得，代入得 2.当时，递增，也递增，故无最大值； 3.最小值在时取得，，； 4.当时，递减，递减，故无最小值，最大值在时取得，。 2.二次函数型最值（如、） 策略：将双曲线方程代入，转化为关于单一变量（x或y）的二次函数，结合变量范围（如）求最值。 例子：双曲线（或），求的最值 1.由双曲线方程得，但，需保留为核心变量； 2.，因，故 3.令（），则， 4.当（即）时，；无最大值（因可无限大）。 3.距离型最值（如双曲线上点到定点/定直线的距离） 策略：利用几何意义或参数方程转化，距离平方（避免根号）更易计算。 例子：双曲线，求双曲线上点到原点的距离最小值 1.距离平方，由双曲线方程得； 2.代入得； 3.因，故，（当，时取得）。 4.均值不等式型最值（如、） 策略：先确定变量正负（如x≥a>0时x正），再利用均值不等式，注意“一正二定三相等”。 例子：双曲线（），求的最小值 1.由，，取时为正，时为负； 2.求最小值即求负向最大值，令，则； 3.令，； 4.当（）时，；无最大值（x增大时z趋向负无穷）。 三、易错点提醒 1.忽略无限区间的特殊性：x/y是“≥a”“≤-a”的无限区间，一次函数若系数为正，可能无最大值（仅最小值），反之亦然。 2.二次函数对称轴判断失误：转化为二次函数后，需注意定义域是（非全体实数），对称轴若在内，最值需在区间端点（）取得。 3.均值不等式“相等条件”不满足：需验证等号成立时的x/y是否在双曲线的取值范围内，否则需用函数单调性求最值。 例题精选 【例题1】（2025·辽宁·一模）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为（     ） A．96 B．81 C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·重庆·期中）已知为双曲线上一动点，过原点的直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】【多选】（23-24高二上·江苏泰州·期中）若点在双曲线上，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型4:根据双曲线方程求实轴虚轴焦距】 【解题策略】 一、第一步：将方程化为标准形式（前提） 无论给出的是一般式还是非标准形式，都需整理为以下两类标准方程之一，确保右边为1，左边x²、y²项一正一负： 1. 焦点在x轴：（，，x²项为正） 2. 焦点在y轴：（，，y²项为正） 常见转化场景： 一般式（A、B异号，C≠0）： 1. 两边同除以C，得； 2. 调整符号使左边为“正项-负项”，例如→（焦点在x轴）。 非标准形式（m>0，n>0）： 1. 变形为（焦点在y轴），此时a²=n，b²=m。 二、第二步：确定参数a、b、c（核心） 1. 找a²和b²： 标准方程中，正项的分母为a²，负项的分母为b²（与焦点位置对应，不看a、b大小）； 例：（y²项为正）→a²=5，b²=4→a=√5，b=2。 2. 求c： 利用固定关系（c>0），直接代入a²、b²计算； 例：上述方程中c²=5+4=9→c=3。 三、第三步：计算实轴、虚轴、焦距（直接套用定义） 实轴长：双曲线的实轴是过焦点的轴，长度=2a（a是实半轴长）； 虚轴长：双曲线的虚轴是垂直于实轴的轴，长度=2b（b是虚半轴长）； 焦距：两焦点之间的距离，长度=2c（c是半焦距）。 典型例题： 1. 方程： a²=16→a=4，b²=9→b=3，c²=16+9=25→c=5； 实轴长=8，虚轴长=6，焦距=10。 2. 方程： 化为标准式→a²=2，b²=3，c²=2+3=5→c=√5； 实轴长=2√2，虚轴长=2√3，焦距=2√5。 四、易错点提醒 1. 未化标准方程直接取系数：例如把误判为a²=1、b²=2，实际需化为，a²=4、b²=2。 2. 混淆a和b的定义：a是“正项分母的平方根”，而非“数值大的分母平方根”，例如中，a=√3，b=√5（b>a完全合理）。 3. 焦距计算漏乘2：误将c当作焦距，实际焦距是2c（c是半焦距）。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·河北沧州·期中）双曲线的实轴长为，焦距为，则（    ） A．1 B． C． D． 【例题2】（2024·河南新乡·三模）双曲线的实轴长为4，则 . 相似练习 【相似题1】（23-24高二下·安徽淮北·开学考试）若双曲线的虚轴长与实轴长相等，则的值为（    ） A．4 B． C． D．1 【相似题2】（25-26高二上·辽宁铁岭·期中）若双曲线的实轴长是虚轴长的两倍，则（    ） A． B． C．4 D．2 【题型5：求双曲线的渐近线】 【解题策略】 一、第一步：确定双曲线方程类型（前提） 先明确方程形式，避免渐近线斜率混淆，常见类型及特征： 1.标准方程（核心类型） 焦点在x轴：（，，x²项为正） 焦点在y轴：（，，y²项为正） 2.一般方程：（、异号，），需先转化为标准式 3.共渐近线系方程：与某双曲线共渐近线时，可设为（） 4.参数方程：焦点在x轴为，（为参数） 二、第二步：分场景求渐近线（核心策略） 1.标准方程下的“代1为0”法（最快捷） 这是通用核心方法，无需记斜率公式，直接变形推导： 操作步骤：将标准方程右边的“1”替换为“0”，因式分解后求解y与x的关系。 焦点在x轴（） 1.代1为0： 2.因式分解： 3.得渐近线： 焦点在y轴（） 1.代1为0： 2.因式分解： 3.得渐近线： 例子：方程→代1为0得→ 2.一般方程转化法（先化标准再求解） 若方程为一般式，先整理为标准式，再用“代1为0”法： 操作步骤： 1.移项、两边同除以常数项，使右边为1； 2.调整符号为“正项-负项”的标准形式； 3.应用“代1为0”法推导。 例子：方程 1.化为标准式：（焦点在x轴） 2.代1为0：→ 3.共渐近线的双曲线系（快速设方程） 已知双曲线与某已知双曲线共渐近线，无需单独求斜率，直接设系方程： 设方程技巧： 1.若已知双曲线为，共渐近线的方程设为（）； 2.时焦点在x轴，时焦点在y轴（需变形为）； 3.代入已知条件（如过定点）求，再用“代1为0”法得渐近线（或直接沿用原双曲线渐近线）。 例子：求过点(2,√3)且与共渐近线的双曲线渐近线 1.设方程为，代入点得→（舍去，换设） 2.重新代入：→（错误，实际应为，代入得→，说明点在渐近线上，渐近线仍为） 4.参数方程转化法（三角函数化简） 若给出参数方程，利用三角函数关系消参推导： 焦点在x轴：， 1.由，； 2.利用三角恒等式，得； 3.代1为0得渐近线：。 三、易错点提醒 1.混淆焦点位置导致斜率颠倒：焦点在y轴时，渐近线斜率为，而非，需通过标准方程正项位置判断。 2.一般式未化标准直接求解：例如，误直接代1为0得，实际需先化为，结果一致，但复杂一般式易出错，建议先化标准。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·重庆·月考）若双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高三上·湖北武汉·月考）若双曲线的两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为（  ） A． B．2 C．2或 D．或 相似练习 【相似题1】（2025·云南大理·模拟预测）若圆与双曲线（，）的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【相似题2】（25-26高二上·北京·期中）已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线，分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点.若是线段的中点，则的渐近线方程为 . 【题型6：根据双曲线的渐近线求参数】 【解题策略】 一、第一步：明确方程形式与渐近线的对应关系（前提） 先确定双曲线方程类型，建立渐近线与参数a、b的直接关联，避免比例关系颠倒： 1.标准方程（核心类型） 焦点在x轴：，渐近线为→比例关系（k为渐近线斜率绝对值） 焦点在y轴：，渐近线为→比例关系（k为渐近线斜率绝对值） 2.一般方程：（A、B异号，C≠0） 先化为标准式（A>0时），再按标准方程对应渐近线与a、b的关系。 3.共渐近线系方程：（λ≠0） 渐近线与λ无关，始终为（焦点在x轴，λ>0）或（焦点在y轴，λ<0）。 二、第二步：分场景求参数（核心策略） 1.已知渐近线方程，求a、b或比例 策略：提取渐近线斜率，建立a与b的比例，结合其他条件（如a、b的具体值、a+b等）求解。 例子：双曲线的渐近线为，且a=6，求b。 1.焦点在x轴，渐近线斜率； 2.代入a=6，得。 2.已知渐近线+离心率，求a、b、c 策略：由渐近线得（或），结合离心率公式和，联立方程求解。 例子：双曲线焦点在y轴，渐近线为，e=，求a、b。 1.焦点在y轴，渐近线斜率→； 2.离心率→； 3.由，代入得，恒成立，设a=3k（k>0），则b=4k，c=5k（若已知a=3，则b=4，c=5）。 3.已知渐近线+过定点，求参数λ（共渐近线系） 策略：设共渐近线系方程，代入定点坐标求λ，进而得到a、b。 例子：求过点(3,2)且渐近线为的双曲线参数a、b。 1.渐近线斜率，设双曲线方程为（k>0，焦点在x轴）； 2.代入点(3,2)：→→k=； 3.方程为→a=1，b=。 4.已知渐近线+焦点位置，求参数范围 策略：由渐近线得a、b比例，结合焦点位置的参数约束（如c>a>0），确定参数范围。 例子：双曲线的渐近线为，求离心率e的范围。 1.焦点在y轴，→b=； 2.→e=（固定值，无范围，若a为变量，e恒为）。 三、易错点提醒 1.颠倒a与b的比例：焦点在y轴时，渐近线斜率是，而非，需通过方程正项位置判断。 2.忽略参数的正数约束：a、b、c、λ（正项分母对应的λ）均为正数，求解后需验证。 3.共渐近线系方程设错形式：若渐近线为，焦点在x轴设，焦点在y轴设，避免比例错误。 4.离心率与渐近线的关系混淆：离心率（焦点在x轴），（焦点在y轴时，是的倒数，需注意公式变形）。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）渐近线方程为，经过的双曲线标准方程为 ． 【例题2】 （25-26高三上·河北衡水·开学考试）过原点O的直线与双曲线：交于A，B两点，D为的右顶点，若的渐近线方程为，则直线与直线的斜率之积为（   ） A．1 B．3 C．4 D．9 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为，若直线与在第一象限的交点为，且轴，则（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高二下·上海黄浦·期中）若双曲线的一条渐近线与直线平行，则 ． 【题型7：根据方程求双曲线的离心率】 【解题策略】 一、第一步：将方程化为标准形式（前提） 离心率依赖a²、b²的准确识别，必须先把方程整理为“正项-负项=1”的标准形式： 1.目标形式： 焦点在x轴：（x²项为正，a>0，b>0） 焦点在y轴：（y²项为正，a>0，b>0） 2.转化方法： 一般式（A、B异号，C≠0）：两边同除以C，调整符号为“正项-负项”，例如→。 非标准式（m>0，n>0）：变形为，此时a²=n，b²=m。 二、第二步：确定a²和b²（核心） 关键规则：标准方程中，正项的分母是a²（实半轴的平方），负项的分母是b²（虚半轴的平方），与a、b的数值大小无关。 例子： 方程（y²项为正）→a²=5，b²=12； 方程（x²项为正）→a²=4，b²=1。 三、第三步：计算离心率e（直接套用公式） 利用双曲线核心参数关系和离心率定义，分两步计算： 1.求c：由（c>0），代入a²、b²得c； 2.求e：根据定义（e>1，双曲线离心率恒大于1）。 3.简化技巧：直接用计算，避免开根号的中间步骤，最后再开根号得e。 典型场景示例： 1.标准方程直接求e 方程： 1.a²=16，b²=9→c²=16+9=25→c=5； 2.e=（或e²=1+=→e=）。 2.一般方程转化后求e 方程： 1.化为标准式→a²=6，b²=4； 2.c²=6+4=10→c=； 3.e=（或e²=1+=→e==）。 3.含参数方程求e 方程（k>0）： 1.a²=k，b²=k+3→c²=k+(k+3)=2k+3； 2.e²=1+=1+1+=2+； 3.若已知k=1，则e²=5→e=。 四、易错点提醒 1.未化标准方程误判a²、b²：例如把直接当作a²=1、b²=2，实际需化为，a²=4、b²=2。 2.混淆a²和b²的定义：误将负项分母当作a²，导致e计算错误，记住“正项分母是a²”。 3.忽略e的范围：双曲线e>1，若计算结果e≤1，必是a²、b²判断错误，需回头检查标准方程变形。 4.计算e时未开根号：误将e²当作e，例如e²=，错写e=，正确结果应为e=。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·浙江·期中）双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为 ． 【例题2】（2025·云南·模拟预测）已知双曲线的实轴长为8，过的焦点且垂直于实轴的弦长为6，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（25-26高二上·广西钦州·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（　　） A．10 B． C． D． 【相似题2】（25-26高二上·河南南阳·期中）双曲线C的一条渐近线方程为，且经过点，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【题型8：根据几何图形求双曲线的离心率】 【解题策略】 一、第一步：识别图形核心元素（前提） 先明确几何图形中与双曲线相关的关键元素，避免找错关系： 基础元素：双曲线的焦点（F₁、F₂）、顶点（A₁、A₂）、中心（原点O）、渐近线； 图形特征：焦点三角形（△PF₁F₂，P为双曲线上点）、渐近线与坐标轴/垂线构成的直角三角形、过焦点的直线与双曲线的交点、与圆/三角形的结合图形； 隐含条件：双曲线上点满足||PF₁|-|PF₂||=2a，焦距|F₁F₂|=2c，实轴长2a，渐近线斜率与a、b的比例关系。 二、第二步：分场景转化几何关系（核心策略） 1.焦点三角形场景（高频考点） 焦点三角形是双曲线上一点与两焦点构成的三角形，核心用“边长关系+三角函数/勾股定理”转化： 策略： 1.由双曲线定义得||PF₁|-|PF₂||=2a； 2.由图形条件（角度、边长、垂直）列等式（如余弦定理、勾股定理）； 3.联立c²=a²+b²，消去|PF₁|、|PF₂|，转化为a、c的比例（即e）。 例子：双曲线C：，焦点三角形△PF₁F₂中，∠F₁PF₂=90°，且|PF₁|=3|PF₂|，求e。 1.设|PF₂|=m，则|PF₁|=3m，由定义得3m-m=2a→m=a； 2.直角三角形中，|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²→9a²+a²=(2c)²→10a²=4c²； 3.e²===→e=（e>1，舍去负根）。 2.渐近线相关图形场景 渐近线与坐标轴、垂线、切线构成的图形，核心用“斜率→直角三角形边长比”转化： 策略： 1.渐近线斜率对应直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）； 2.图形中若有垂直、平行或角度条件，转化为a、b、c的比例（如tanθ=或）； 3.用e²=1+()²化简求解。 例子：双曲线渐近线为y=±x，且渐近线与过焦点F(c,0)的垂线交于点P，△OPF为直角三角形（O为原点），求e。 1.渐近线斜率=→=； 2.e²=1+=→e=（△OPF直角在O，隐含渐近线斜率与OF的关系已满足）。 3.过焦点的直线与双曲线相交场景 直线过焦点（如垂直x轴、与渐近线平行）与双曲线交于A、B，核心用“通径、交点坐标”转化： 策略： 1.通径长（过焦点垂直实轴的弦长）=； 2.若直线与双曲线交于两点，用弦长、垂直条件（向量点积为0）列等式； 3.联立a、b、c关系求e。 例子：过双曲线右焦点F(c,0)作垂直x轴的直线，交双曲线于A、B两点，若|AB|=|F₁F₂|（F₁为左焦点），求e。 1.通径|AB|=，焦距|F₁F₂|=2c； 2.等式：=2c→b²=ac； 3.代入c²=a²+b²→c²=a²+ac→两边除以a²得e²-e-1=0； 4.解得e=（e>1，舍去负根）。 4.与圆结合的图形场景 双曲线与圆（如以焦点为圆心、以a为半径的圆）相切/相交，核心用“圆心距、半径关系”转化： 策略： 1.圆的圆心（如焦点F(c,0)）、半径（如a、c、b）； 2.相切时圆心距=半径，相交时用勾股定理列等式； 3.转化为a、c的比例求e。 例子：以双曲线右焦点F(c,0)为圆心，a为半径作圆，圆与双曲线右支相切于点A，求e。 1.切点A在双曲线上且在圆上→|AF|=a，且A在右支上→|AF₁|-|AF|=2a→|AF₁|=3a； 2.F₁(-c,0)、F(c,0)，由两点间距离公式：|AF₁|²=(x_A+c)²+y_A²=9a²，|AF|²=(x_A-c)²+y_A²=a²； 3.两式相减得4cx_A=8a²→x_A=； 4.又A在双曲线上：，结合|AF|=a，化简得e=2。 三、第三步：通用化简技巧（避免复杂计算） 1.优先用e²=1+()²，将所有等式转化为e的方程（如b²=ac→c²-a²=ac→e²-e-1=0）； 2.遇到三角函数（如角度θ），用tanθ=或，结合sin²θ+cos²θ=1转化为a、b、c的比例； 3.结果必须满足e>1，若解得e≤1，说明几何关系转化错误（如混淆a、b的比例）。 四、易错点提醒 1.混淆焦点三角形的定义式：双曲线上点满足||PF₁|-|PF₂||=2a，而非|PF₁|+|PF₂|=2a（椭圆的关系）； 2.渐近线对应的直角三角形颠倒a、b：焦点在x轴时，渐近线斜率对应直角边“a（x轴）、b（y轴）”，焦点在y轴时相反； 3.忽略隐含条件：如“圆与双曲线相切”可能隐含切点在顶点或通径端点，未结合双曲线方程验证； 例题精选 【例题1】（25-26高二上·黑龙江·期中）如图所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图中的两点反射后，分别经过点和，且 ，，则的离心率为（      ） A． B． C． D． 【例题2】 （2025·浙江丽水·一模）已知为双曲线的左右焦点，点的坐标为．若为等边三角形，则双曲线的离心率是（　　） A． B．2 C．2 D．3 相似练习 【相似题1】（2025·浙江宁波·一模）双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（25-26高二上·河南·月考）已知双曲线的左､右焦点分别为，是双曲线上的一点，直线与轴交于点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【题型9：求双曲线离心率的取值范围】 【解题策略】 一、基础核心公式（所有场景通用） 1.离心率定义：（，，） 2.参数关系：（，双曲线核心恒等式） 3.离心率平方转化公式：（消去，核心转化工具） 二、分场景规范公式（含适用条件） 1.参数约束场景（含参数方程） 适用条件：方程含参数（如、），已知参数取值范围 核心公式： 若，，则 由参数范围得，代入，得 最终范围：（结合取交集） 2.焦点三角形场景 适用条件：已知焦点三角形的角度（） 核心公式： 双曲线定义： 余弦定理： 联立推导：，得 角度约束转化： 若，则，得， 若，则，得， 3.渐近线斜率场景 适用条件：已知渐近线斜率的范围 核心公式： 焦点在轴：渐近线，，则， 焦点在轴：渐近线，，则， 斜率范围转化：若，代入对应公式，求解的范围（结合） 4.直线与双曲线位置关系场景 适用条件：直线与双曲线有交点、仅与一支相交等位置约束 核心公式： 联立直线与双曲线，整理得： 恒有两个交点： 仅与右支相交：（为方程两根） 转化为、不等式后，代入，求解的范围 三、公式使用注意事项 1.所有公式均需满足，最终范围需与取交集； 2.焦点位置决定渐近线斜率与、的对应关系，避免颠倒公式； 3.涉及不等式化简时，两边除以正数（、等）不改变不等号方向； 4.二次方程相关公式需注意“二次项系数≠0”（避免直线与渐近线平行）。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·辽宁铁岭·期中）已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交于，且，当时，双曲线离心率的最大值为（   ） A． B． C．2 D． 相似练习 【相似题1】（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是 . 【相似题2】【多选】（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，，若以为圆心，为半径作圆，过双曲线右支上一点P作圆的切线，切点为T，且的最小值不大于，则双曲线的离心率e的取值可能是（   ） A． B． C． D． 【题型10：双曲线性质的综合题型】 例题精选 【例题1】【多选】（25-26高二上·广东广州·期中）已知双曲线的离心率为，分别是左、右焦点，是该双曲线右支上一点，点满足，则下列结论正确的为（   ） A．双曲线的实轴长为 B． C．的面积为 D． 【例题2】【多选】（25-26高二上·安徽淮南·期中）双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与曲线的一条渐近线交于、两点，在第一象限，且，则下列说法一定正确的是（    ） A．的离心率为 B． C． D．当时，四边形的面积为 相似练习 【相似题1】【多选】（25-26高二上·安徽·月考）记双曲线的左､右焦点分别为.若，以为圆心､4为半径的圆与的右支交于两点，点为上一点，满足，则（    ） A．离心率 B．的面积为 C． D． 【相似题2】【多选】（25-26高三上·河北秦皇岛·阶段练习）已知双曲线，圆，的左、右顶点分别为，的一条渐近线与圆交于两点，且，则（   ） A． B．直线与恰有两个公共点 C．或 D．四边形的面积为 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二上·福建福州·期中）已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线离心率为，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建厦门·期中）若直线l过点，且与双曲线过第一和第三象限的渐近线互相垂直，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2021·全国·一模）已知双曲线：的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江杭州·一模）已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于（    ） A． B． C． D．或 5．（25-26高二上·福建福州·期中）等轴双曲线经过点，则其焦点到渐近线的距离为（    ） A．3 B．2 C． D． 6．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知双曲线C：与椭圆有相同的焦点，且离心率为，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知双曲线的左右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山东·二模）已知分别为双曲线的左、右焦点，为左支上一点，满足，与的右支交于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（   ） A．双曲线的一条渐近线方程为 B．椭圆和双曲线共焦点 C．椭圆的离心率 D．椭圆和双曲线的图象有2个公共点 10．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知曲线的方程为，则（   ） A．当时，曲线为圆 B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为 C．当时，曲线为焦点在轴上的椭圆 D．存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为 11．（24-25高三上·福建福州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于点，，若，则（   ） A． B．双曲线的渐近线方程为 C． D．，面积记为，，则 12．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知双曲线的一条渐近线的方程为，上、下焦点分别为，.下列判断正确的是（   ） A．的方程为 B．的离心率为 C．若点为的上支上的任意一点，，则的最小值为 D．若点为的上支上一点，则的内切圆的半径为 三、填空题 13．（24-25高三上·河北沧州·期中）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，，是上关于原点对称的两点，且，，则的离心率为 ． 14．（25-26高二上·全国·单元测试）与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为 ． 15．（24-25高二下·福建福州·期中）已知双曲线的右焦点为，过的直线（为常数）与双曲线在第一象限交于点．若（为原点），则的离心率为 ． 16．（25-26高二上·福建福州·期中）已知，为双曲线（，）上关于原点对称的两点，点与点关于轴对称，，直线与双曲线另一个交点为，若以为直径的圆恰好经过点，则双曲线的离心率为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $