专题07 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型）（几何模型讲义）数学浙教版九年级上册

专题07 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型） 相似三角形是初中数学几何中的重要模块，想要学好相似三角形，就必须掌握相似三角形的特殊模型，通过观察几何图形中的隐藏的模型，可以快速找到解决几何问题的技巧；相似三角形考查时一般会出现在压轴题中，难度比较大，其中常见的模型又以“母子型”应用较为广泛；本专题带我们深入理解模型的内涵，灵活运用相关结论可以显著提高我们做题的效率和正确率，同时也为其他模型的学习打下坚实的基础。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 4 13 相似三角形的比例性质源于欧几里得《几何原本》，但未明确形成“母子模型”的命名。其核心原理（如共角共边的三角形相似性）已蕴含其中。后来在直角三角形中，斜边上的高将原三角形分割为两个小直角三角形，三者互为相似形，由此衍生出‌射影定理‌，构成母子模型的数学内核。此时尚未出现“母子”的拟人化命名。 直到20世纪80年代现代教学归纳出‌形象化命名“母子模型”。‌后来该模型被纳入初中数学教材，作为相似三角形证明的核心模型之一。其核心价值在于简化比例证明，例如通过母子关系直接推导线段比例式。 （2024·浙江·一模）如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 ． ​ 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的有关知识.由等腰三角形的判定与性质知是等腰三角形的中垂线.根据相似三角形 的对应边成比例、等腰三角形的性质列出比例式，即 ，最后在直角中利用勾股定理来求的值． 【详解】，四边形是正方形, ， 又∵平分交于, ，, ， 在 和 中, ， ， 即 ， 即 , 即 ， 故答案为： ． （2024·安徽·模拟预测）如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，得出，证明四边形为平行四边形，得出，则可得出结论；（2）证明，得出，证明，得，则得出结论；（3）证明，得出，设，解方程求出，则可得出答案． 【详解】（1） 在和中， 又 （SAS） 四边形为平行四边形 （2） 又 ，即 ． 又 ，即 （3） ， ． 设，则有 解得（负值舍去） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，利用相似三角形的判定和性质是本题解题的关键． （2025·河南商丘·三模）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项积点”．如图1，在中，D是边上一点，连接AD，若，则称点D是中边上的“比中项积点”． (1)在中，，于点D，则点D______（填“是”或“不是”）中边上的“比中项积点”； (2)如图2，中，，点E为边上一点，连接交对角线于点F，点F恰好是中边上的“比中项积点”． ①求证：点F也是中边上的“比中项积点”； ②连接并延长，交于点G，若点F是中边上的“比中项积点”，且，直接写出边的长． 【答案】(1)是 (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了新定义、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确找出相似三角形探究线段间的关系是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质可得出，再根据“比中项妙点”的定义判断即可； （2）①根据“比中项妙点”的定义可得出，证明可得出，则，即，然后据“比中项妙点”的定义即可解答；②根据平行四边形的性质可可得、、、；证明、可得，即，解得：；再说明，然后证明结合可得，进而求得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵在中，，于点D， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D是中边上的“比中项积点”． 故答案为：是． （2）解：①证明：∵点F恰好是中边上的“比中项积点”， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴点F也是中边上的“比中项积点”． ②解：如图3， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵，即，即，， ∴， ， ∵， ∴， ， ，即，解得：， ∵点F是中边上的“比中项积点”， ∴，即， 又∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，即， ， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，     ∴， ． “母子型”模型（共边共角模型）：（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 母子型相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 例1（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝ ． 【答案】 【分析】证明△BCD∽△BAC，根据相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACB＝∠CDB＝90°， ∵∠B＝∠B， ∴△BCD∽△BAC， ∴＝，即＝， ∴, ∵ ∴BC＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，牢记相关知识点并能结合图形灵活应用是解题关键． 例2（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，中，点在边上，且，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质可得出，代入AC、AD的值可求出AB的长，再根据BD=AB-AD即可求出结论． 【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD， ∴． ∵AC=，AD=1， ∴， ∴AB=3， ∴BD=AB-AD=3-1=2． 故答案为2 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键． 例3（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【答案】（1）见解析；（2）AD=． 【分析】（1）证明△ADC∽△ACB，即可得出结论； （2）证明△BFE∽△BCF，得出BF2=BE•BC，求出BC，则可求出AD． 【详解】（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2=AD•AB． （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，∠A=∠C， 又∵∠BFE=∠A， ∴∠BFE=∠C， 又∵∠FBE=∠CBF， ∴△BFE∽△BCF， ∴， ∴BF2=BE•BC， ∴BC===， ∴AD=． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 例4（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，于，于，试说明： （1） （2） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）直接根据相似三角形的判定证明即可； （2）首先根据相似三角形的性质得出，进而证明△ADE∽△ACB，最后根据相似三角形的性质即可证明． 【详解】解：（1）∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E， ∴∠AEB=∠ADC=90°， 在△ABE和△ACD中 ∴△ABE∽△ACD； （2）∵△ABE∽△ACD， ∴． 在△ADE和△ACB中， ∴△ADE∽△ACB ∴ ∴AD·BC=DE·AC． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 例5（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，角直角三角形的性质等知识点，识别基本图形是解题的关键． （1）根据等角的余角相等得到，再结合，即可求证； （2）先根据角直角三角形性质得到，再解即可． 【详解】（1）证明：由题意得，，而， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 1．（24-25九年级上·山西太原·期末）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．那么何时由P，B，Q三点连成的三角形与相似？ 【答案】经过2秒或秒时，与相似． 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．分两种情况，利用相似三角形的判定建立方程求解即可； 【详解】解：设经过t秒时，以与相似，厘米， ， ∴当时，，即； 解得：， 当时，，即； 解得：， 即经过2秒或秒时，与相似． 2．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝． （1）求证 △ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出 （2）由得，，推出，由相似三角形的性质得，即可求出CD的长． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键． 3．（24-25九年级上·上海金山·期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】（1）由题意易得，则有，进而问题可求证； （2）由（1）及题意可知，然后可得，进而可证，最后问题可求证． 【详解】解：（1）∵DEBC， ∴， ∵， ∴， ∴DFBE； （2）∵AF＝2，EF＝4， ∴由（1）可知，，AE=6， ∵AB＝6， ∴， ∴， ∴， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△AEB． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 4．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB＝2∠PCB． （1）求证：CP是⊙O的切线； （2）若M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝6，求MC•MN的值． 【答案】（1）见解析；（2）18 【分析】（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可，根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP即可； （2）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ABM＝∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MN•MC，根据锐角三角函数求出BM，代入数据可得MN•MC= BM2=18． 【详解】（1）证明：∵OA＝OC， ∴∠CAO＝∠ACO． 又∵∠COB＝2∠CAO，∠COB＝2∠PCB， ∴∠CAO＝∠ACO＝∠PCB． 又∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACO+∠OCB＝90°． ∴∠PCB+∠OCB＝90°． 即OC⊥CP， ∵OC是⊙O的半径． ∴PC是⊙O的切线； （2）解：连接MA，MB， ∵点M是弧AB的中点， ∴， ∴∠ACM＝∠BCM． ∵∠ACM＝∠ABM， ∴∠BCM＝∠ABM． ∵∠BMN＝∠BMC， ∴△MBN∽△MCB． ∴， ∴BM2＝MN•MC． ∵AB是⊙O的直径，， ∴∠AMB＝90°，AM＝BM． ∴∠ABM=∠BAM=45°， ∵AB＝6， ∴BM＝ABsin45°==， ∴MN•MC＝BM2＝18． 【点睛】本题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用，等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4． 【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据相似三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后根据平行线分线段成比例定理即可得证； （3）先根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得的长，再根据相似三角形的判定可得，然后利用相似三角形的性质可求出的长，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】证明：（1）， ， ， ， 在和中，， ； （2）点为的中点， ， 由（1）已证：， ， 设，则，， ， （等腰三角形的三线合一）， ， 又， ， 即； （3）由（2）已证：， ， ， ， ，即， 解得， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 由（2）可知，设，则， ， 解得或（不符题意，舍去）， ， 则在中，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 6．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，进而求出，再利用相似三角形的性质得出答案即可； （2）由可证，进而得出，再由（1）可证，由此即可得出线段之间关系． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， AD是△ABC的中线， ， ，即：， ∴． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出是解题关键． 7．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，已知矩形的两条对角线相交于点O，过点作分别交、于点、． （1）求证：； （2）连接，若．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）易证△BEG∽△AEB，利用对应边成比例即可解决； （2）由（1）的结论及BE=CE，易证明△CEG∽△AEC，从而可得∠CGE=∠ACE，由OB=OC，可得． 【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ABE=90° ∴∠ABG+∠EBG=90° ∵ ∴∠ABG+∠BAG=90° ∴∠EBG=∠BAG ∴Rt△BEG∽Rt△AEB ∴ ∴ （2）由（1）有： ∵BE=CE ∴ ∴ ∵∠CEG=∠AEC ∴△CEG∽△AEC ∴∠CGE=∠ACE ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD ∴OB=OC ∴∠DBC=∠ACE ∴ 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 8．（2024·浙江嘉兴·一模）（1）如图1，在中，为上一点，．求证：． （2）如图2，在中，是上一点，连接，．已知，，．求证：． （3）如图3，四边形内接于，、相交于点．已知的半径为2，，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由化比例，与，可证∽即可； （2）由，可得，AD=BC，根据线段比值计算，，可得，由∠EAC=∠CAB，可证∽即可； （3）连接交于点，连接，根据，，可得AC=2AE，根据线段比值计算可得，由∠BAC=∠EAB，可证∽，可证∠ABD=∠ADB，可得BF=DF，根据勾股定理OF=，可求，可证，，可得S△BCD= 即可． 【详解】（1）证明：如图1， ∵， ∴， 又∵， ∴∽， ∴． （2）证明：如图2，∵， ∴，AD=BC， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵∠EAC=∠CAB， ∴∽， ∴，即， ∴． ∴； （3）解：如图3，连接OA交于点，连接， ∵，， ∴AC=2AE， ∴，， ∴， ∵∠BAC=∠EAB， ∴∽， ∴， ∵∠ADB=∠ACB， ∴∠ABD=∠ADB， ∴点A是弧的中点，BD为弦，OA为半径， ∴，BF=DF， ∵，， ∴BF=DF= ， 在Rt△OBF中， 根据勾股定理OF=， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴S△BCD=S△BCE+S△DCE=， ∴． 【点睛】本题考查三角形相似判定与性质，垂径定理，勾股定理，与三角形高有关的计算，掌握三角形相似判定与性质，垂径定理，勾股定理，与三角形高有关的计算是解题关键． 9．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在等腰中，顶角，点D在一腰上，连接，线段与底边的长相等．若．则 ；若，则 ． 【答案】 6 【分析】根据等边对等角和外角的性质证明∠ABD=∠A，得到AD=BD=BC=6；设AD=x，再证明△ABC∽△BDC，得到，解之即可． 【详解】解：∵∠A=36°，AB=AC， ∴∠ABC=∠C=（180°-36°）÷2=72°， ∵BD=BC， ∴∠BDC=∠C=72°， ∵∠BDC=∠A+∠ABD， ∴∠ABD=72°-36°=36°， ∴∠ABD=∠A， ∴AD=BD， ∵BD=BC=6， ∴AD=6； 若AB=AC=6， 设AD=x，则BD=BC=x， ∴CD=6-x， ∵∠BDC=∠ABC=72°，∠C=∠C， ∴△ABC∽△BDC， ∴，即， 解得：x=或（负值舍去）， 经检验：x=是原方程的解， ∴AD=， 故答案为：6，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，外角的性质，解分式方程和一元二次方程，解题的关键是灵活运用等边对等角，从而证明三角形相似． 10．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，交AC于点E，点F在AC的延长线上，∠CBF＝∠BAC．    （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若FC＝2，BF＝6，求CE的长． 【答案】（1）见解析；（2）CE＝1.6． 【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝ ∠BAC，求得∠CBF＝∠BAD，得到∠ABF＝90°，由切线的判定定理即可得到结论； （2）设AB＝AC＝m，则AF＝AC＋CF＝n＋2，根据勾股定理得到AB＝AC＝8，AF＝8＋2＝10，连接BE，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接AD，    ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD+∠ABD＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠BAD＝BAC， ∵∠CBF＝BAC， ∴∠CBF＝∠BAD， ∴∠CBF+∠ABD＝90°， ∴∠ABF＝90°， 即BF⊥OB， ∵OB是⊙O的半径， ∴BF是⊙O的切线； （2）设AB＝AC＝m，则AF＝AC+CF＝m+2， 在Rt△ABF中， ∵BF2+AB2＝AF2， ∴62+m2＝（m+2）2， 解得：m＝8， ∴AB＝AC＝8，AF＝8+2＝10， 连接BE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠AEB＝∠ABF＝90°， ∵∠BAE＝∠FAB， ∴△ABE∽△AFB， ∴， ∴AE＝＝＝6.4， ∴CE＝AC﹣AE＝8﹣6.4＝1.6． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解答此题的关键. 11．（2024·江苏南通·一模）如图，中，，，，点，分别在，上，，．把绕点旋转，得到，点落在线段上．若点在的平分线上，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据计算可知，结合定理两边成比例且夹角相等的三角形相似证明△PQC∽△BAC，再根据相似三角形的性质得出∠CPQ=∠B，由此可得出PQ∥AB；连接AD，根据PQAB和点D在∠BAC的平分线上可证∠ADQ=∠DAQ，由此可得AQ＝DQ，分别表示AQ和DQ由此可得方程12﹣4x＝2x，解出x，即可求出CP． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，AB＝15，BC＝9， ∴AC＝＝＝12． ∵＝＝，＝＝， ∴＝． ∵∠C＝∠C， ∴△PQC∽△BAC， ∴∠CPQ＝∠B， ∴PQAB； 连接AD， ∵PQAB， ∴∠ADQ＝∠DAB． ∵点D在∠BAC的平分线上， ∴∠DAQ＝∠DAB， ∴∠ADQ＝∠DAQ， ∴AQ＝DQ． ∵PD＝PC＝3x，QC=4x ∴在Rt△CPQ中，根据勾股定理PQ=5x. ∴DQ＝2x． ∵AQ＝12﹣4x， ∴12﹣4x＝2x，解得x＝2， ∴CP＝3x＝6． 故选C． 【点睛】本题考查几何变换——旋转综合题，勾股定理，相似三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，熟练掌握定理并能灵活运用是解决此题的关键． 12．（24-25九年级·浙江·期末）如图1，四边形内接于是的直径，．延长交的延长线于点． （1）证明：． （2）当时， ①求的长度． ②如图2，作平分交于点，连结，求的面积． 【答案】（1）见详解；（2）①；② 【分析】（1）由题意易得∠BAD=∠ACD，由圆内接四边形的外角等于它的内对角得∠ECD=∠BAD，然后问题可求解； （2）①由（1）及题意易得△CDE∽△ABE，则有，进而可得，然后设，最后根据勾股定理可求解； ②连接CF，过点F作FH⊥AE于点H，由题意易得∠ABF=∠ACF=∠ADF=45°，由①可得，，则有，进而可得，△FHD是等腰直角三角形，然后设DH=FH=x，则，由勾股定理可求解x的值，最后根据三角形面积计算公式可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴∠BAD=∠ACD， ∵四边形内接于， ∴∠ECD=∠BAD， ∴； （2）解：①由（1）得：， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC=∠CDE=90°， ∵CD=CD， ∴△ADC≌△EDC（ASA）， ∴AD=DE，AC=CE， ∵∠E=∠E， ∴△CDE∽△ABE， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，在Rt△CDE中，， ∴，解得：， ∴； ②连接CF，过点F作FH⊥AE于点H，如图所示： 由①得：，， ∵平分，∠ABC=90°， ∴∠ABF=45°， ∴∠ACF=∠ADF=45°， ∵AC是是⊙O的直径， ∴∠AFC=90°， ∴△AFC和△FHD是等腰直角三角形， ∴AF=FC，FH=DH， ∴， 设DH=FH=x，则， ∴在Rt△AHF中，， 解得：（不符合题意，舍去） ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 13．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形． （1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（    ） A．2    B．    C．2或 （2）已知：如图1，中，是的角平分线，． 求证：与互为母子三角形． （3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值． 【答案】（1）C；（2）见解析；（3）或3． 【分析】（1）根据互为母子三角形的定义即可得出结论； （2）根据两角对应相等两三角形相似得出，再根据从而得出结论； （3）根据题意画出图形，分当分别在线段上时和当分别在射线上时两种情况加以讨论； 【详解】（1）∵与互为母子三角形， ∴或2 故选：C （2）是的角平分线， ， ， ． 又， 与互为母子三角形．        （3）如图，当分别在线段上时， 与互为母子三角形， ， ， 是中线， ， 又， ． ， ， ． 如图，当分别在射线上时， 与互为母子三角形， ， ， 是中线， ， 又， ． ， ， ． 综上所述，或3 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力．准确理解题设条件中互为母子三角形的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要考虑全面，进行分类讨论，避免漏解． 14．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）在矩形中，，，是边上一点，交于点，过点作，交射线于点，交射线于点． （1）如图，当点与点重合时，求的长． （2）如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出它的定义域． （3）连接，当与相似时，求线段的长． 【答案】（1）3；（2）；（3）或1 【分析】（1）由，得，又，得，得即可； （2）过点作，垂足为点，四边形是矩形，，可证，得，设，，利用线段和差即可得到； （3）， ，推出，当与相似时，分类讨论①若，推出，，，求得， ②若，设与交于点，由，，知，可证△AEO∽△ABC，利用性质可求，，综上所述，线段的长为或1时与相似． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）过点作，垂足为点， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴2x-y=4, 当点在线段上时， ∴． （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当与相似时， ①若， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵设，，， ∴． ②若，设与交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵AB=4，BC=3，则AC=5， 设， 由EO∥BC ∴△AEO∽△ABC ∴即 则，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 综上所述，线段的长为或1时与相似． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，函数解析式，相似三角形的性质，三角函数等知识，掌握等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，函数解析式的求法，相似三角形的性质，三角函数是解题关键． 15．（24-25九年级上·四川·阶段练习）已知正方形的边长为4，点在边上，点在边上，且，和交于点．    （1）如图，求证： ① ② （2）连接并延长交于点， ①若点为的中点（如图），求的长．    ②若点在边上滑动（不与点重合），当取得最小值时，求的长． 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）①；② 【分析】（1）①由正方形的性质得出AB=BC=4，∠ABC=∠BCD=90°，由SAS证明△ABE≌△BCF，即可得出结论； ②由①得：△ABE≌△BCF，得出∠BAE=∠CBF，证出∠AGB=90°，即可得出结论； （2）①由直角三角形的性质得出CF=BE=BC=2，由勾股定理得出BF=2，由（1）得：AE⊥BF，则∠BGE=∠ABE=90°，证明△BEG∽△AEB，得出，设GE=x，则BG=2x，在Rt△BEG中，由勾股定理得出方程，解方程得出BG=2×，由平行线得出，即可得出BH的长； ②由（1）得：∠AGB=90°，得出点G在以AB为直径的圆上，设AB的中点为M，当C、G、M在同一直线上时，CG为最小值，求出GM=AB=BM=2，由平行线得出=1，证出CF=CG=BE，设CF=CG=BE=a，则CM=a+2，在Rt△BCM中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=4，∠ABC=∠BCD=90°， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴AE=BF； ②由①得：△ABE≌△BCF， ∴∠BAE=∠CBF， ∵∠CBF+∠ABF=90°， ∴∠BAE+∠ABF=90°， ∴∠AGB=90°， ∴AE⊥BF； （2）解：①如图2所示：    ∵E为BC的中点， ∴CF=BE=BC=2， ∴BF=， 由（1）得：AE⊥BF， ∴∠BGE=∠ABE=90°， ∵∠BEG=∠AEB， ∴△BEG∽△AEB， ∴， 设GE=x，则BG=2x， 在Rt△BEG中，由勾股定理得：x2+（2x）2=22， 解得：x=， ∴BG=2×=， ∵AB∥CD， ∴，即， 解得：BH=； ②由（1）得：∠AGB=90°， ∴点G在以AB为直径的圆上， 设AB的中点为M， 由图形可知：当C、G、M在同一直线上时，CG为最小值，如图3所示：    ∵AE⊥BF， ∴∠AGB=90°， ∴GM=AB=BM=2， ∵AB∥CD， ∴=1， ∴CF=CG， ∵CF=BE， ∴CF=CG=BE， 设CF=CG=BE=a，则CM=a+2， 在Rt△BCM中，由勾股定理得：22+42=（a+2）2， 解得：a=2-2，即当CG取得最小值时，BE的长为2-2． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解题关键． 16．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，，，，，则CD的长为 ． 【答案】5 【分析】在CD上取点F，使，证明，求解 再证明，利用相似三角形的性质求解即可得到答案. 【详解】解：在CD上取点F，使， ，， 由， ， ，， 且， ， ， ∽， ， ， ， 又， ， ∽， ， 又， ， 或舍去， 经检验：符合题意， ． 故答案为：5． 本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，分式方程与一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键. 17．（24-25九年级上·上海·期中）如图D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，△ABC的内角平分线AQ交DE于点P，过点P作直线交AB、AC于R、S，若，则DE= ． 【答案】6 【分析】由 ，且∠RAS=∠CAB，可证得△ARS∽△ACB，所以∠ARS=∠ACB，再由∠BAP=CAQ可证得△ARP∽△ACQ，，再由DE∥BC，可知，把BC的值代入可求得DE． 【详解】解：∵，且∠RAS=∠CAB， ∴△ARS∽△ACB， ∴∠ARS=∠ACB， 又∵AQ为角平分线， ∴∠BAP=CAQ， ∴△ARP∽△ACQ， ∴， ∵DE∥BC， ∴， ∵BC=9， ∴， ∴DE=6． 【点睛】本题主要考查三角形相似的判定和性质，解题的关键是能利用条件两次证得三角形相似，从而得到DE和BC的比值． 18．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，是的直径，是的弦，是的切线，切点为，，的延长线相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）连接OD，由题意易证△CDO≌△CBO，然后根据三角形全等的性质可求证； （2）由题意易得△EDA∽△EBD，然后根据相似三角形的性质及可求解． 【详解】（1）证明：连接OD，如图所示： AD∥OC， ∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD， 又OA=OD， ∠DAO=∠ADO， ∠COD=∠COB， OD=OB，OC=OC， △CDO≌△CBO， ∠CDO=∠CBO， BC是的切线， ∠CBO=∠CDO=90°， 点D在上， CD是的切线； （2）由（1）图可得： ∠ADO+∠EDA=90°，∠ODB=∠DBO， 是的直径， ∠ADB=90°，即∠ADO+∠ODB=90°， ∠EDA=∠ODB=∠DBO， 又∠E=∠E， △EDA∽△EBD， ， 的半径为4，， AB=8，EB=AE+8， ， 解得：． 【点睛】本题主要考查圆的切线定理与判定定理和相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的切线定理及判定定理是解题的关键． 19．（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，在矩形中，点是边上的一点，且垂足为点． _ ． 若四边形的面积为，求的面积． 【答案】（1） （2）2 【分析】（1）由题意根据已知条件得到∠DAE=60°，∠BAE=30°，由直角三角形的性质可得BD=2AB，AB=2BF，以此即可求解； （2）根据题意通过证明△BEF∽△BDC，可得，进行分析即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∠DAE=2∠BAE， ∴∠DAE=60°，∠BAE=30°， 又∵AE⊥BD，∠BAD=90°， ∴BD=2AB，AB=2BF， ∴BD=4BF， ∴DF=3BF， ∴BF：DF=1：3， 故答案为：1：3； （2）∵∠BAE=30° ∴∠AEB=60°， ∵AE⊥BD， ∴∠DBC=30°，∠BFE=∠BCD=90° ∴， ∴， ∵∠FBE=∠CBD，∠BFE=∠DCB， ∴△BEF∽△BDC， ∴， ∵四边形的面积为， ∴12S△BEF=S△BCD=S△BEF+S四边形EFDC， ∴S△BEF=2． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质与矩形的性质以及直角三角形的性质，利用相似三角形的判定定理证明△BEF∽△BDC是解答本题的关键． 20．（2024九年级·全国·专题练习）（1）如图，点在线段上，点在直线的同侧，，求证：； （2）如图，点在线段上，点在直线的同侧，，，，，求的值； （3）如图，中，点在边上，且，，，点在边上，连接，，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）要证，可证，根据可得，即可证得； （2）根据，，可得到，从而求出相应的线段长度，得到的值； （3）根据，可得到，可求出的长，再根据已知条件证得即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵， ，， ∴， ∵， ∴， ∴． (2)解：如解图，与交于点， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴，， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：如解图， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， 以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接， ∵，，， ∴，∴， ∵，，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形得性质和判定，根据相似三角形对应边成比例求出相关的线段长度，最后一问以EC为腰作等腰三角形为解题关键． 21．（2024·江苏盐城·一模）如图，在中，AB=AC=4，，点D为边AC上一动点（点C除外），将线段BD绕点D顺时针旋转至ED，连接CE，则面积的最大值为 【答案】 【分析】设CD=x，过A作与Z，过B作的延长线于N，过E作的延长线于M，由得到，再利用勾股定理求出NC，证出，即可得出结果； 【详解】设CD=x，过A作与Z，过B作的延长线于N，过E作的延长线于M，如图所示： ∵AB=AC， ∴， ∵AC=4， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，解得， 根据勾股定理得， ∴， 根据题意可得， 即可得到, 线段BD绕点D顺时针旋转至ED ∴， ∴ME=DN=CN-CD=， ∴， ∴面积最大时，， 此时． 【点睛】本题主要考查了相似三角形、等腰三角形的性质以及勾股定理的灵活应用，做出辅助线是解题的关键． 22．（2024·安徽·三模）在中，，平分． （1）如图1，若，，求的长． （2）如图2，过分别作交于，于． ①求证：； ②求的值． 【答案】（1）；（2）①见解析；② 【分析】（1）由已知易证，利用可求得AD的长； （2）①由（1）和已知易证，进而证得；②过作，与的延长线交于，易证：、和均为等腰三角形，进而得到AC=BG，根据等腰三角形的“三线合一”性质即可得证． 【详解】解：（1）∵在中，，平分， ∴，又∠A=∠A， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）①∵交于，于， ∴∠AFB=∠EAC，又∠ABF=∠ACB， ∴， ∴， ∵，， ∴； ②过作，与的延长线交于， ∵， ∴， ∴、和均为等腰三角形， ∴， ∵在等腰中，于， ∴，即， ∴的值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，会借助作平行线，用等腰三角形的“三线合一”性质解决问题是解答的关键． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型） 相似三角形是初中数学几何中的重要模块，想要学好相似三角形，就必须掌握相似三角形的特殊模型，通过观察几何图形中的隐藏的模型，可以快速找到解决几何问题的技巧；相似三角形考查时一般会出现在压轴题中，难度比较大，其中常见的模型又以“母子型”应用较为广泛；本专题带我们深入理解模型的内涵，灵活运用相关结论可以显著提高我们做题的效率和正确率，同时也为其他模型的学习打下坚实的基础。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 4 13 相似三角形的比例性质源于欧几里得《几何原本》，但未明确形成“母子模型”的命名。其核心原理（如共角共边的三角形相似性）已蕴含其中。后来在直角三角形中，斜边上的高将原三角形分割为两个小直角三角形，三者互为相似形，由此衍生出‌射影定理‌，构成母子模型的数学内核。此时尚未出现“母子”的拟人化命名。 直到20世纪80年代现代教学归纳出‌形象化命名“母子模型”。‌后来该模型被纳入初中数学教材，作为相似三角形证明的核心模型之一。其核心价值在于简化比例证明，例如通过母子关系直接推导线段比例式。 （2024·浙江·一模）如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 ． ​ （2024·安徽·模拟预测）如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． （2025·河南商丘·三模）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项积点”．如图1，在中，D是边上一点，连接AD，若，则称点D是中边上的“比中项积点”． (1)在中，，于点D，则点D______（填“是”或“不是”）中边上的“比中项积点”； (2)如图2，中，，点E为边上一点，连接交对角线于点F，点F恰好是中边上的“比中项积点”． ①求证：点F也是中边上的“比中项积点”； ②连接并延长，交于点G，若点F是中边上的“比中项积点”，且，直接写出边的长． “母子型”模型（共边共角模型）：（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 母子型相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 例1（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝ ． 例2（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，中，点在边上，且，若，，则的长为 ． 例3（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 例4（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，于，于，试说明： （1） （2） 例5（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 1．（24-25九年级上·山西太原·期末）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．那么何时由P，B，Q三点连成的三角形与相似？ 2．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝． （1）求证 △ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 3．（24-25九年级上·上海金山·期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 4．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB＝2∠PCB． （1）求证：CP是⊙O的切线； （2）若M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝6，求MC•MN的值． 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 6．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 7．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，已知矩形的两条对角线相交于点O，过点作分别交、于点、． （1）求证：； （2）连接，若．求证：． 8．（2024·浙江嘉兴·一模）（1）如图1，在中，为上一点，．求证：． （2）如图2，在中，是上一点，连接，．已知，，．求证：． （3）如图3，四边形内接于，、相交于点．已知的半径为2，，，，求四边形的面积． 9．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在等腰中，顶角，点D在一腰上，连接，线段与底边的长相等．若．则 ；若，则 ． 10．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，交AC于点E，点F在AC的延长线上，∠CBF＝∠BAC．    （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若FC＝2，BF＝6，求CE的长． 11．（2024·江苏南通·一模）如图，中，，，，点，分别在，上，，．把绕点旋转，得到，点落在线段上．若点在的平分线上，则的长为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级·浙江·期末）如图1，四边形内接于是的直径，．延长交的延长线于点． （1）证明：． （2）当时， ①求的长度． ②如图2，作平分交于点，连结，求的面积． 13．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形． （1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（    ） A．2    B．    C．2或 （2）已知：如图1，中，是的角平分线，． 求证：与互为母子三角形． （3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值． 14．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）在矩形中，，，是边上一点，交于点，过点作，交射线于点，交射线于点． （1）如图，当点与点重合时，求的长． （2）如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出它的定义域． （3）连接，当与相似时，求线段的长． 15．（24-25九年级上·四川·阶段练习）已知正方形的边长为4，点在边上，点在边上，且，和交于点．    （1）如图，求证： ① ② （2）连接并延长交于点， ①若点为的中点（如图），求的长．    ②若点在边上滑动（不与点重合），当取得最小值时，求的长． 16．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，，，，，则CD的长为 ． 17．（24-25九年级上·上海·期中）如图D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，△ABC的内角平分线AQ交DE于点P，过点P作直线交AB、AC于R、S，若，则DE= ． 18．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，是的直径，是的弦，是的切线，切点为，，的延长线相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，，求的长． 19．（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，在矩形中，点是边上的一点，且垂足为点． _ ． 若四边形的面积为，求的面积． 20．（2024九年级·全国·专题练习）（1）如图，点在线段上，点在直线的同侧，，求证：； （2）如图，点在线段上，点在直线的同侧，，，，，求的值； （3）如图，中，点在边上，且，，，点在边上，连接，，，求的值． 21．（2024·江苏盐城·一模）如图，在中，AB=AC=4，，点D为边AC上一动点（点C除外），将线段BD绕点D顺时针旋转至ED，连接CE，则面积的最大值为 22．（2024·安徽·三模）在中，，平分． （1）如图1，若，，求的长． （2）如图2，过分别作交于，于． ①求证：； ②求的值． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $