专题08 相似三角形重要模型之手拉手模型（几何模型讲义）数学浙教版九年级上册

专题08 相似三角形中的基本模型之手拉手模型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。手拉手模型相似是手拉手模型当中相对于手拉手全等模型较难的一种模型，在实际的应用和解题当中出现时，对于同学们来说，都比较困难。而深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型（旋转模型）。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.手拉手（旋转）模型 4 14 “手拉手”模型名称源于几何图形的动态特征：当两个具有‌公共顶点‌的相似三角形通过旋转或缩放后，连接对应顶点形成的图形如同两人“手拉手”。民间数学爱好者根据此特征命名，使其成为几何解题中的通用术语。虽模型归类为现代教学成果，但其数学思想早有体现：7世纪印度数学家‌婆罗摩笈多‌研究的圆内接四边形定理中，对角线交点与边的垂足关系隐含手拉手结构。 “手拉手”模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；3）图形是任意三角形(只要这两个三角形是相似的)。 （2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与实践 “手拉手”模型是初中几何图形的一种全等变形的重要模型，可以借助旋转和全等形的相关知识结合勾股定理等，来解决有关线段的长、角的度数等问题，在学习和生活中应用广泛，有着十分重要的地位和作用． 某校数学活动小组进行了有关旋转的系列探究： 如图①，已知和均是等腰直角三角形，，且，，易证：，． 深入探究： （1）如图②，将图①中绕点A逆时针旋转，连接、，并延长分别与、相交于点、，求证：，． 解决问题： （2）如图③，将图①中绕点逆时针旋转，使与重合，其他条件不变，若，，则_______，_______． 拓展应用： （3）如图④，将图①中绕点逆时针旋转，连接、，若，，，则______，______．（提示：求时，可过点作于点） 【答案】（1）证明见解析；（2），；（3）， 【分析】（1）只需要利用SAS证明即可得到，，再证，即可推出即可证明，． （2）同理可证△ABD≌△ACE，则CE=BD，∠ACE=∠ABD，AE=AD=3，可以推出BE=6利用勾股定理求出，证明△AEC∽△FEB，求出，则； （3）如图所示，过点E作EH⊥AB于H，求出，则，利用勾股定理即可求出；求出，证明∠CBE=90°，则，同理可证△ACE≌△ABD，则． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，． （2）同理可证△ABD≌△ACE， ∴CE=BD，∠ACE=∠ABD，AE=AD=3， ∴BE=6 ∵∠BAD=90°，AD=3，AB=6， ∴， 又∵∠AEC=∠BEF， ∴△AEC∽△FEB， ∴ ∴， ∴， ∴； （3）如图所示，过点E作EH⊥AB于H， ∵∠ABE=45°， ∴∠HEB=45°=∠HBE， ∴BH=EH， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=45°，， ∴∠CBE=90°， ∴， 同理可证△ACE≌△ABD， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟练掌握全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． （2025·江苏淮安·二模）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，和全等的三角形是______，和的数量关系是______； (2)如图2，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，． ①求的度数； ②连接交于点，直接写出的值； (3)如图3，已知点为线段上一点，，和为同侧的两个等边三角形，连接交于，连接交于，连接，线段的最大值是______． 【答案】(1)，， (2)①；② (3) 【分析】（1）证明，即可得到； （2）①过作交于，连接，如图，由证明，得出，，证明，得出，即可得出结果；②连接，由勾股定理求出 ，利用三角形内角和定理证明，推出，进而证明，即可求出； （3）证明为等边三角形，就有，由条件可以得出，设，就可以用相似三角形的性质把用含x的式子表示出来，从而求出最大值． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①过作交于，连接，如图， 则， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形与四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ②连接，交于H， ∵为正方形的对角线， ∴，，， ∴， 在中，， 在中，， 又∵，， ∴， 根据对顶角的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵和为同侧的两个等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则有． ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值是2． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及二次函数的最值的运用．在解答的过程中书写全等三角形时对应顶点的字母要写在对应的位置上，灵活运用顶点式求最值． 1.手拉手相似模型（任意三角形） 图1 图2 条件:如图1，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 2.手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图2，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 3.手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形） 图3 图4 条件:M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 证明：∵M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点，∴，∠BMC=∠EMF=90°， ∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴， 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；. 证明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE， ∴，∠ACE=∠ABD=90° 手拉手相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“手拉手”模型（旋转模型） 例1（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变换的同时，始终存在一对全等三角形，通过资料查询，他们知道这种模型称为手拉手模型.如图1，两个等腰直角三角形和，，这个就是手拉手模型，在这个模型中易得到． 学习小组继续探究： （1）如图2，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接、，求证：； （2）小刚同学发现，不等腰的三角形也可得到手拉手模型，例如：在中，，将三角形旋转一定的角度（如图3），连接和，求证：； （3）如图4，四边形中，，，，，，请在图中构造小刚发现的手拉手模型求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）图见解析，的长为． 【分析】（1）先根据等边三角形的性质、角的和差可得，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）先根据平行线分线段成比例定理推出可得两组对边对应成比例，再根据角的和差可得其夹角相等，然后根据相似三角形的判定定理即可得证； （3）如图（见解析），过点B作BC的垂线，交CD的延长线于点E，连接AE，先根据相似三角形的判定定理可得，从而根据相似三角形的性质可得BE的长，再根据勾股定理可得CE的长，同理可得AE的长及，从而可得是直角三角形，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】（1）和都是等边三角形 ，即 在和中， ； （2） ，即 由旋转的性质可得，，且线段AD、AE的长均不变，则旋转后，仍满足 ，即 在和中， ； （3）如图，过点B作BC的垂线，交CD的延长线于点E，连接AE 在和中， ，即 则在中， 又 在和中， 则在中， 故的长为． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，构造小刚发现的手拉手模型（即相似三角形）是解题关键． 例2（2025·河南洛阳·模拟预测）综合与实践综合与实践课上，数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展数学活动两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．    (1)操作判断  已知点为和的公共顶点，将绕点顺时针旋转，连接，，如图1，若和均为等边三角形，请完成如下判断： ①线段与线段的数量关系是________； ②直线与直线相交所夹锐角的度数是________； (2)迁移探究  如图2，若，，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由； (3)拓展应用：如图3，若，，，，当点，，三点共线时，请直接写出的长． 【答案】(1)①；② (2)①不成立，理由见解析；②成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）设直线交直线于点．由等边三角形的性质可得出，，． 进而可求出，即可证，从而得出结论．再根据，即得出答案； （2）由题意得出，，进而可证，得出．由（1）同理可证； （3）分类讨论：当点D落在线段上时和当点E落在线段上时，分别画出图形，根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：①如图1，设直线交直线于点．     和都是等边三角形， ，，． ． 在△BCD 和△ACE 中， , ． ； ②， ， ， ； 故答案为：；； （2）不成立，理由如下：如图2，    延长交的延长线于点． ，， ，． ， ， ； ②成立，理由如下： ， ， ． ； （3）①如图3，当点落在线段上时．   ，，， ∴，． ∴，． ∴．， ∴； ②如图4，当点落在线段上时，    同理可得，． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识．正确作出辅助线构造全等或相似三角形是解题关键． 例3（24-25九年级下·福建莆田·阶段练习）某数学兴趣小组在探究“手拉手”模型时，等边三角形和按如图1摆放．连接，，延长交于点，连接，保持不动，将绕点旋转． 【初步探究】（1）如图2，当点，重合时，请写出，，之间的数量关系并加以证明： 【深入探究】（2）如图1，当点，不重合时，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，当和都是等腰直角三角形，．连接，，延长交于点，连接，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【推广应用】（4）如图，在中，若．连接，、延长交于点，连接，请直接写出，，之间的数量关系：________． 【答案】（1），证明见解析（2）成立，理由见解析（3），理由见解析（4） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质； （1）证即可求解； （2）作交线段于点M，证得，再证得，，即可求解； （3）作交线段于点N，证得，再证得，，进一步可证，即可求解； （4）作交线段于点，证得，再证得，，进一步可证，即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵和都是等边三角形，点，重合 ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ （2）成立，作交线段于点M    ∵和都是等边三角形 ∴，， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴， ∵， ∴是等边三角形 ∴， ∴ （3），理由如下： 作交线段于点N，    ∵和都是等腰直角三角形 ∴，， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ （4），理由如下： 作交线段于点，    ∵中，． ∴， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 例4（2025·河南郑州·二模）由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．    (1)【问题发现】 如图1所示，两个等腰直角三角形和中，，，，连接、，两线交于点P，和的数量关系是 　 　；和的位置关系是 　 　； (2)【类比探究】 如图2所示，点P是线段上的动点，分别以、为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段、于点M、N． ①求的度数； ②连接交于点H，直接写出的值； (3)【拓展延伸】 如图3所示，已知点C为线段上一点，，和为同侧的两个等边三角形，连接交于N，连接交于M，连接，直接写出线段的最大值． 【答案】(1)， (2)①；② (3) 【分析】（1）证明，即可得到，，问题得证； （2）①连接、、，证明，再证明，即可得出结果；②证明，即有，即可求解； （3）证明为等边三角形，就有MN=CN，由条件可以得出，即有，可得，设为x，则有，用相似三角形的性质把用含x的式子表示出来，从而求出最大值． 【详解】（1）∵， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）①连接、、，AC    ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，，，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵和为等边三角形， ∴，，． ∴， 即． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设为x，则有， ∴， ∴， ∴， ∴当时，NC有最大值是， 即点C在的中点时，线段最大，最大值是． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及二次函数的最值的运用．在解答的过程中书写全等三角形时对应顶点的字母要写在对应的位置上，灵活运用顶点式求最值． 例5（24-25九年级上·山西临汾·期中）综合与探究 问题情境 小丽在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小丽进行了如下操作： (1)问题发现 如图1，在和中，，，，连接，交于点M．小丽发现这就是手拉手模型，易证，进而可以得知： ①的值为______； ②的度数为______． (2)类比探究 如图2，在和中，若，，连接交的延长线于点M，与交于点P．小丽发现不等腰的三角形也可得到手拉手模型．请你求出此时的值及的度数，并说明理由； (3)拓展延伸 在（2）的条件下，将绕点O在平面内任意旋转，，所在直线交于点M，若，，请直接写出当点C与点M重合时的长． 【答案】(1)① 1；② 40° (2)，，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）①利用证明，得出，即可得出答案； ②根据，得出，根据三角形的内角和定理即可得出答案； （2）根据两边的比相等且夹角相等，得出，根据相似三角形的性质及三角形内角和即可得出答案； （3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：图3和图4，同理可证，则有，，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）① ， 故答案为：1； ② 在中，故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ，， ∵， ∴， ∴； （3）①点C与点M重合时，如图3，同理得：， ∴，， 设，则， ∵，，， ∴， 同理可得； 在中，由勾股定理得：， ，（舍去）， ∴； ②点C与点M重合时，如图4，同理得：， 设，则 在中，由勾股定理得：， （舍去）， ∴ 综上所述，的长为或． 1．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）综合与实践 问题情境： 在数学兴趣小组活动中，小宇将正方形和正方形按如图1所示的方式放置，点是两个正方形的公共点，点在正方形的边上，连接，． 问题解决： （1）如图1，连接，，则和的位置关系是__________；和的数量关系是__________． 操作探究： （2）如图2，将正方形绕点顺时针旋转，则（1）中和的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1），；（2）仍然成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，证明是解题的关键． （1）根据正方形的性质可得，则可得到；由勾股定理可推出，，则可证明，得到，即； （2）根据正方形的性质可得，则可得到；由勾股定理可推出，，则可证明，得到，即． 【详解】解：（1）∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∵点在正方形的边上， ∴， ∴； 在中，， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即； （2）仍然成立，理由如下： 如图所示，连接， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 在中，， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即． 2．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）【问题探究】 在中，，D为直线上一动点，，且，连接、，其中， （1）如图1，若，点D在线段上，则与之间有怎样的数量关系，并求k的值； （2）如图2 ，若 ，点D在的延长线上，试探究与之间有怎样的数量关系，并求k的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，D为上一点，以为边，在其左侧作正方形，点O为正方形的对称中心，且，求的长． 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】（1）分别证明、为等边三角形，则可得出，，，根据等式的性质得出，根据证明，得出，，即可求解； （2）证明，得出，，再证明，根据相似三角形的性质求解即可； （3）连接，，根据正方形的性质，等腰直角三角形的性质可得出，，证明，求出，在中，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， 又，， ∴， ∴，， ∴； （2）∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，，即； （3）连接，， ∵点O为正方形的对称中心， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 3．（24-25八年级下·山东泰安·期末）综合与实践课上，同学们以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】（1）如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．则_____． 【拓展探究】（2）如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2说明理由． 【解决问题】（3）如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心（即正方形两条对角线的交点），连接，若，，求的长． 【答案】（1）；（2）仍然成立，理由见解析；（3）的长为或 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，由相似三角形的性质计算即可得解； （2）图1中，，，则，推出，图2中，由旋转可得：，推出，进而可得，由相似三角形的性质计算即可得解； （3）分两种情况：①如图3，当点在线段上时，连接、；②如图4，当点在线段延长线上时，连接、；分别利用正方形的性质、相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：（1）在矩形中，， ， ，， ， 又， ， ， ， ，即， ； （2）仍然成立．理由如下： 图1中，，， ， ， 图2中，由旋转可得：， ， ， ， ， ， ； （3）分两种情况：①如图3，当点在线段上时，连接、， 四边形，四边形为正方形， ，， ， ， ， ，， ， ； ②如图4，当点在线段延长线上时，连接、， 四边形，四边形为正方形， ，， ， ， ， ，， ， ， 综上所述，的长为或． 4．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中， ，，． 【问题探究】 （1）如图①，连接，在纸片绕点旋转过程中，求证：∽； 【问题解决】 （2）如图②，在纸片绕点旋转过程中，点恰好落在的高线的延长线上，连接，求的长； 【问题拓展】 （3）如图③，在纸片绕点旋转过程中，点恰好落在的中线的延长线上，连接，求的周长． 【答案】（1）见详解 （2） （3）的周长为 【分析】（1）根据题意，运用两边对应成比例，两边夹角相等，两三角形相似的判定方法即可求证； （2）根据题意可证，得，再证，得，由此即可求解； （3）如图所示，设交于点，连接，可得，，可证，得，点为的中点，再证明四边形是矩形，得到，则，由此即可求解． 【详解】解：（1）证明：在中，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴． （2）∵是边上的高，即，点恰好落在高线的延长线上， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 又， ∴； （3）如图所示，设交于点，连接， ∵旋转， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴点为的中点， 又， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴的周长为． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识的综合，掌握以上知识的综合运用是关键． 5．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）小赵在学习完相似三角形后，把两个相似但不全等的三角形纸片作为操作对象进行相关问题的研究，下面是他在操作纸片过程中研究的问题． 请你解决这些问题： (1)把两个三角形按如图1方式摆放，若，则_____； (2)如图2，把绕点旋转一定的角度，连接线段、．请写出与的关系并说明理由； (3)如图3，延长交的延长线于点，交于点，若，求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理． （1）利用相似三角形的性质即可求解； （2）由相似三角形的性质求得，，推出，利用“两角对应相等的两个三角形相似”即可得到； （3）由相似三角形的性质求得，利用邻补角的性质求得，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：由（2）得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 6．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）（1）【问题发现】如图①，正方形，将正方形绕点旋转，直线、交于点，请直接写出线段与之间的数量关系是___________，位置关系是___________． （2）【拓展探究】如图2，矩形，将矩形绕旋转；直线交于点，（1）中线段之间的关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段之间的关系； （3）【解决问题】若，矩形绕旋转过程中当点与点重合时，直接写出线段的长是___________． 【答案】（1），；（2）、的数量关系不成立，位置关系仍成立，、的数量关系为：，理由见解析；（3）或 【分析】本题综合考查了全等三角形及相似三角形的判定及性质，以及勾股定理的应用，根据题意画出符合题意的图形是解决本题的关键． （1）证明得到与的数量关系，通过角的等量代换，求得，得到和的位置关系； （2）可通过已知对应角，和对应边的比例关系，证明，求得和的数量关系；然后利用角的等量代换，求得，得到和的位置关系； （3）分情况讨论，①当点和点在边上方重合时，②当点和点在边下方重合时，分别求解． 【详解】解：（1），； ∵四边形，都是正方形， ∴，，． ∴， ∴． ∴． ∴，， ∵， ∴． ∴； （2）（1）中数量关系不成立，位置关系成立． ，． 理由如下：由题意知在矩形、中， ， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． 综上所述：，； （3）∵ ∴ 如解图①， ； 如解图2，连接，设，则，     ，， 在中，， ， ∴（舍去）． 综上所述，当点与点重合时，线段的长为或． 故答案为：或． 7．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）综合与探究：如图，在中，，，． (1)问题发现：如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，，线段与的位置关系是______，与的数量关系是______； (2)类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的位置关系、数量关系与（1）中结论是否一致？若与交于点，与交于点，请结合图说明理由； (3)拓展延伸：如图，将绕点旋转一定角度得到，当点 落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】(1)； (2)线段与的数量关系，位置关系与（1）中结论一致，理由见解析 (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，继而得到，，，，可得出与的夹角； （2）证明得，，即可得证； （3）利用勾股定理求出的长，证明，求出，由等腰三角形的性质可求出的长． 【详解】（1）解：如图，延长交于， ∵将绕点按顺时针方向旋转得到，，，， ∴，，， ∴，， ，， ∴，， ∴，， ∴线段与的位置关系是，与的数量关系是， 故答案为：；； （2）线段与的数量关系，位置关系与（1）中结论一致． 理由：如图， ∵将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴； （3）如图，过点作于， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵将绕点旋转一定角度得到，点 落到边上，， ∴， ∴， 由（2）可知：． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握旋转的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 8．（2025·河北邢台·模拟预测）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动． 【初步观察】如图1，矩形和矩形重合，，，矩形保持不动，将矩形绕点A逆时针旋转． （1）如图2，当经过点D时，DF的长为______． 【实践探究】 （2）①如图3，当点E落在对角线上时，连接，的度数为______； 的长为______． ②如图4，当点F落在的延长线上时，延长交于点H，请判断与的数量关系并说明理由． 【拓展延伸】 （3）矩形绕点A逆时针旋转，若直线，交于点P，请直接写出点P到直线的距离的最大值． 【答案】（1）；（2）①，；②，理由见解析；（3）4． 【分析】（1）由矩形得到，，当经过点D时，勾股定理求出，进而求解即可； （2）①证明出，得到，求出，如图所示，连接，勾股定理求出，由相似得到，设，，则，勾股定理求出，进而求解即可； ②如图所示，连接，，，得到，证明出四边形是平行四边形，得到，证明出，得到，即可得到； （3）首先得到，点P在以为直径得圆上运动，如图所示，连接，交于点O，当点P在经过对角线交点O，垂直的直径上时，点P到的距离最大，即的值，然后利用勾股定理求出，求出，进而求解即可． 【详解】（1）四边形，是矩形，且初始位置重合， ，，， 当经过点D时，中，， ， 故答案为：； （2）①， ，即，， ， ， ， ，即， 如图所示，连接， 根据题意，， ， ， 设，，则， 在中，， ， 整理得，， 解得，不符合题意，舍去，， ， ， 故答案为：，； ②，理由如下， 四边形，是矩形， ， 当点F落在的延长线上时，，即， 如图所示，连接，，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 根据题意可得，，， ， ， ； （3）根据（2）中①可得直线，交于点P，同理可得， 点P在以为直径得圆上运动，如图所示，连接，交于点O， 当点P在经过对角线交点O，垂直的直径上时，点P到的距离最大，即的值， 根据矩形，勾股定理得到，，， ， 在中，点O是中点， ， ， 点P到直线的距离的最大值为． 【点睛】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 9．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，，，，一个以点为顶点的角绕点旋转，角的两边与，分别交于点，，与，的延长线分别交于点，，连接． (1)在旋转的过程中，当时，如图1，求证：； (2)在旋转的过程中，当时，如图2，如果，，求的值，写出解答过程． 【答案】(1)见解析； (2)2，过程见解析． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，关键在于能够找到相似三角形． （1）先证明，然后再证明即可得； （2）过点C作于点G，先求出的长，再证明，根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：过点作于点， ，， ， ， ． ， ． 又， ． ． ，即． ． 10．（2025·黑龙江佳木斯·一模）在同一平面内，和绕点C旋转．如图①，当和均为等腰直角三角形时，时，易证：；如图②，当和为等边三角形；如图③，当和为直角三角形，，且时，请直接写出图②、图③中与的数量关系，并在图②、图③中选择一个加以证明． 【答案】图②中与的数量关系为，图③中与的数量关系为；证明见解答过程． 【分析】本题考查三角形中的旋转问题，解题的关键是掌握全等三角形判定定理和相似三角形的判定定理． 选图②可证明，故；选图③可证明，故，从而 【详解】解：图②中与的数量关系为，图③中与的数量关系为； 选图②证明如下： 和为等边三角形， ， ，即， 在和中， ， ， ； 选图③证明如下： ，且， ，即， ， ， 11．（2025·辽宁铁岭·二模）【问题背景】数学课上，王老师让大家将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形． 【初步感受】 （1）①展示1：如图1，和都是等腰直角三角形，，的理论依据是 ； ②展示2：如图2，和都是等腰直角三角形，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图3，在等腰直角三角形中，，点D为边上一点，以为一边作正方形，连接，求证：； 【迁移拓展】 （3）如图4，在四边形中，点E为对角线上一点，且，其中，求的长． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3） 【分析】（1）①证明，即可解答；②根据等腰直角三角形的性质可得，，可证明，即可解答； （2）连接，结合正方形的性质以及等腰直角三角形的性质可得，，可证明，即可解答； （3）延长交于点M，根据，可得 ，可证明，从而得到，再由，可得，即可解答． 【详解】（1）解：①∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为： ②∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）如图，延长交于点M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要查了正方形的性质以及等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，利用类比思想解答是解题的关键． 12．（2025·广东东莞·模拟预测）【问题情境】已知正方形和正方形，其中，． 【初步探究】（1）如图1，正方形的边，分别与正方形的边，重合． ①填空：与的数量关系是________； ②求证：； 【拓展探索】（2）将图1中的正方形绕点按逆时针方向旋转． ①如图2，当点落在边上时，连接，，延长与交于点，求的长； ②如图3，连接，，线段与交于点，当点在直线左侧时，连接，若存在实数满足等式，求出的值． 【答案】[初步探究]（1）①；②，见解析 [拓展探索]（2）①；② 【分析】[初步探究]（1）①先利用正方形的性质得出，，再结合，求得； ②先利用正方形的性质得出，列出比例式，证得，从而有结论成立； [拓展探索]（2）①先证明，通过相似得出比例式，，求得，再得出，然后利用勾股定理求得，再求出； ②先证得，得出，再证明，得出，，再利用等腰直角三角形的性质得了，从而可得出结果． 【详解】解：[初步探究]（1）①∵正方形和正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵正方形和正方形，正方形的边，分别与正方形的边，重合， ∴， ∴， ∴， ∴； [拓展探索]（2）①延长，，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴，， ∴，解得：， ∴， ∴，即， ∵， ∴； ②如图，在上取点，使得，连接． ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，， ∴，即， ∴（）， ∴， ∵， ∴（）， ∴，． ∵， ∴， 即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是找准相似三角形，列出比例式求出相关线段． 13．（2025·山东东营·三模）【问题呈现】 和都是直角三角形，，，，连接，，探究和的数量关系和位置关系． 【问题探究】 （1）如图1，当时，直接写出和的数量关系是___________，位置关系是___________； （2）如图2，当时，（1）中位置关系的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由； 【拓展应用】 （3）当，，时，将绕点旋转，使，，三点恰好在同一直线上，请直接写出的长． 【答案】（1），；（2）成立，见解析；（3）或 【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （3）分两种情况，当点在线段上时，当点在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：（1）延长交于点，如图， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）成立，理由如下： 如图延长交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）当点在线段上时，连接，如图所示； 设，则， 根据（2）可知， ， ， 根据（2）可知，， ， 根据勾股定理得， 即， 解得或（舍去）， 此时； 当点在线段上时，连接，如图所示， 设，则， 根据（2）可知， ， ， 根据（2）可知， ， 根据勾股定理得， 即， 解得或（舍去）， 此时； 综上，或． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用、解一元二次方程和勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法和分类讨论． 14．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）【课前引入】 【问题背景】如图1 ，在和中，，且，连接，易证明；小刚同学尝试改变条件，继续探究．如图2，在中，，将旋转一定的角度，如图3 ，连接和，求证： ； 【尝试运用】 如图4，，且，点D在上， ① 的值为 ； ②若 ，求的值； ③若在②的基础上，与的交点为M，直接写出的值 【答案】问题背景：证明见解析；尝试运用：①1；②；③ 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质及勾股定理的应用， 问题背景：先证明，得出，再根据得出结论； 尝试运用：①证明即可证明结论； ②先证明，设，则，根据勾股定理求出，进而求出结论； ③证明，根据相似三角形性质求出结论． 【详解】解：问题背景：如图2，在中，， ， ， ， 将旋转一定的角度，如图3 ， ， ； 尝试运用：①， ， ， ， ， ， ， 故答案为：1； ②，且， ， ， ， ， 设， ， ， 在中，， 在中，， 则， ， ； ③如下图： ， ， ， 由②知：，， ， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图1，将矩形绕点C按顺时针方向旋转，旋转角为，得到矩形．连接，过点E作交于点M． (1)求证：； (2)如图2，连接，若射线分别交于点P，N，请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查旋转性质、矩形性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）连接，证明，得到，再根据平行线的性质及等量代换得到，再根据等边对等角得到，进而角的和差运算可得结论； （2）证明，利用相似三角形的性质可得结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， 由矩形与旋转可得：，， 在和中， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为，所以， 所以 则， 所以； （2）解：． 证明：如图2，在和中， 由（1）知，即 又因为， 所以， 所以， 所以． 16．（2025·吉林白城·模拟预测）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图①所示的位置摆放（点，，在同一条直线上），发现且． 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： (1)将正方形绕点按逆时针方向旋转（如图②），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由； (2)把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点按顺时针方向旋转（如图③），试问当与的大小满足怎样的关系时，； (3)如图④，把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，请直接写出与满足的数量关系． 【答案】(1)能得到，证明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）由可得，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （3）证明，即可得解． 【详解】（1）解：能得到． 证明：∵四边形为正方形， ∴，， 又∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：当时，． 理由：∵， ∴， ∴， 又∵四边形和四边形均为菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识点，掌握全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 17．（24-25九年级下·吉林延边·阶段练习）在菱形中，垂直于，垂足为，将三角形绕点逆时针方向旋转得到三角形，点的对应点为点，点的对应点为点，旋转角为（）． (1)如图①，过点，的延长线与边交于点， ①当时，_________． ②求证：． (2)如图②，旋转过程中，点在的延长线上，边与边交于点，若，则的长为___________． 【答案】(1)①；②见详解 (2) 【分析】（1）①菱形的对角相等且对角线平分每一组对角，由旋转的性质，得，，因为旋转后过点，说明旋转角即为的度数； ②利用旋转的性质，得，，结合菱形性质，通过全等证明，全等三角形对应边相等，故． （2）过点作于，求：菱形面积，代入数据得，由旋转性质：，且（因），设交于点，证四边形为矩形，得，易证，根据相似三角形对应线段成比例得，，解得， 计算． 【详解】（1）解：①菱形中，， ， 三角形绕点逆时针方向旋转得到三角形，根据旋转的性质得， ， ， ， 故答案为： ②三角形是由绕点逆时针方向旋转得到的， ， ，， ， ， ． （2）在中，， ， 过点作于点， ， ， 由旋转的性质可知，， ， ， ， 令交于点， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， ， ，即， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造矩形和相似三角形． 18．（2025·湖北孝感·一模）已知中，．现将绕点旋转至． (1)如图1，连接，，求证：． (2)如图2，在绕点旋转过程中，点的对应点恰好落在的中线的延长线上． ①求证：； ②求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）首先求出，得到，然后推出，即可证明； （2）①由得到，然后求出，得到，然后等量代换求解即可； ②延长交于点，连接，根据题意证明出，得到，然后证明出四边形是矩形，勾股定理求出，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1），． ， ， ，即， ； （2）①根据（1）得， ， 是边上的中线 ， ， ， ，即， ； ②延长交于点，连接， 由①知，，， 在和中 ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， ， 由（1）知 ， ． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 19．（2025九年级下·全国·学业考试）如图，等边可以看作由等边绕顶点经过旋转相似变换得到．但是我们注意到图形中的和的关系，上述变换也可以理解为图形是由绕顶点旋转形成的．于是我们得到一个结论：如果两个正三角形存在着公共顶点，则该图形可以看成是由一个三角形绕着该顶点旋转形成的． (1)利用上述结论解决问题：如图，在中，，，，，，都是等边三角形，求四边形的面积． (2)图中，，，，仿照上述结论，推广出符合图的结论．（写出结论即可） 【答案】(1) (2)当等腰与等腰与顶角均为，则可以看成由绕该顶点旋转形成的． 【分析】（）由等边三角形的性质可证，得到，即得，同理得，即可得四边形为平行四边形，得到，即得，由勾股定理的逆定理可得，即得，进而得到，即得到边上的高为，最后根据平行四边形的面积公式计算即可； （）由，，，可知，即可证，据此可得结论． 【详解】（1）解：（）∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ， ， ， ， ∵， ， ， 边上的高为， ； （2）解：当等腰与等腰与顶角均为，则该图形可以看成由绕该顶点旋转形成的． 证明如下：∵，， ∴，则， ∵， ∴， ∴，   ∴， 即：当等腰与等腰与顶角均为，则可以看成由绕该顶点旋转形成的． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，相似三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 20．（2025·江西新余·三模）【初步感知】 （1）如图1，和相交于点，且，， ①则______（填“＜”“＞”或“＝”）； ②如图2，将图1中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，求证：； 【变式探究】 （2）如图3，在与中，，．猜想，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图4，在四边形中，，，若，求，两点间的最大距离．    【答案】（1）①；②见解析；（2），证明见解析；（3）10 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）①证明平行线的性质以及等腰三角形的性质与判定，得出，即可求解． ②由①可知，，，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质，即可求解； （3）连接，在的上方取点，证明，进而证明，根据相似三角形的性质得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：（1）①∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴，即 故答案为：； ②证明：由①可知，，， ，即， 又， ， ； （2）；理由如下： ， ， 又， ， ； （3）如图，连接，在的上方取点，    使， ． ， 在中，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，，两点间的距离最大， ，两点间的最大距离为10． 21．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 在综合实践课上，刘老师组织同学们以“三角形中手拉手模型”为主题开展数学活动． (1)提出问题：若和都是等边三角形，连接和交于点，如图1所示，线段与线段的数量关系是_______，_______； (2)探究证明：若和都是直角三角形，，连接和交于点，如图2所示，试猜想与的关系，并说明理由； (3)拓展延伸： ①“智慧小组”发现在（2）的条件下，若，使图2中固定不动，将绕顶点旋转，当点在同一条直线上时，则_______； ②“勤奋小组”发现在（2）的条件下，若是的中点，使图3中固定不动，将绕顶点旋转，在旋转过程中，则的最小值为_______． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①或；② 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得， 则有，证明，得到，由三角形内角和定理可得，由此即可求解； （2）根据题意可得，由勾股定理可得，则有，可证，由相似三角形的性质可得，，在中，由三角形内角和定理可得，即，由此即可求解； （3）①根据含角的直角三角形的性质可得，，，设，则，，由，运用勾股定理即可求解； ②根据题意可得点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，连接，在中，，当点三点共线时，，此时线段的值最小，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得的值，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，即， ∵和都是直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， 综上所述，； （3）解：由（2）可得，， ①如图所示，点在同一条直线上， ∵，，，， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴，即， 解得，，， 当时，； 当时，； 故答案为：或； ②如图所示， ∵绕顶点旋转， ∴点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，连接， 在中，， 当点三点共线时，，此时线段的值最小， ∵和都是直角三角形，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，直线三角形斜边中线等于斜边的一半等知识的综合，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 22．（2025·河南洛阳·一模）定义：有一组对角互余的四边形叫做“对余四边形”． 【认识模型】 （1）如图①，四边形是对余四边形，则与的度数之和为______； 【性质探究】 四边形是对余四边形，为对角线，已知． 如图②，若，求证：，小唯发现将绕点按逆时针方向旋转，构造等边三角形结合对余四边形即可得证，下面是小唯的部分证明过程： 证明：如图②，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， … （2）请补全上面的证明过程； （3）如图③，连接，若，，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明过程，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）（2）中的结论不成立，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质，等腰三角形的性质与等边三角形的性质，理解对余四边形的性质是解题的关键； （1）根据定义得，进而根据四边形内角和为，即可求解； （2）根据等边三角形的性质，结合（1）的结论，根据勾股定理，即可求解； （3）根据（2）的方法旋转，并缩小，得出，连接，进而根据相似三角形的性质，证明即可求解． 【详解】解：（1）解：∵四边形是对余四边形， ∴， ∴ 故答案为：． （2）证明：如图②，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∴ （3）（2）中的结论不成立，理由见解析 ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ 如图②，将绕点按逆时针方向旋转，并缩小，得到，连接， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∴ 即 23．（24-25九年级上·河北保定·期中）一次小组合作探究课上，嘉嘉将两个正方形按如图所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），发现且．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： (1)将正方形绕点按逆时针方向旋转（如图1），则与的数量关系为______，位置关系为______． (2)把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点按顺时针方向旋转（如图2），试问当与的大小满足怎样的关系时，背景中的结论仍成立？请说明理由； (3)把背景中的正方形分别改成矩形和矩形，且，将矩形绕点按顺时针方向旋转（如图3），写出与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)， (2)当时，，理由见解析； (3)，理由见解析 【分析】（1）由正方形的性质得出， 得出， 证明，则可得出结论； （2）由菱形的性质得出， 证明， 由全等三角形的性质可得出结论； （3）根据矩形的性质得到，即可得到，然后证明即可解题． 【详解】（1）； ； 理由如下： 如图（1）， 延长交于， 交于点， ∵四边形、四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为： ； ； （2）当时， ， 理由如下： ， ， 又∵四边形和四边形为菱形， ， ， ； （3）解：∵和是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质 ，菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 相似三角形中的基本模型之手拉手模型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。手拉手模型相似是手拉手模型当中相对于手拉手全等模型较难的一种模型，在实际的应用和解题当中出现时，对于同学们来说，都比较困难。而深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型（旋转模型）。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.手拉手（旋转）模型 4 14 “手拉手”模型名称源于几何图形的动态特征：当两个具有‌公共顶点‌的相似三角形通过旋转或缩放后，连接对应顶点形成的图形如同两人“手拉手”。民间数学爱好者根据此特征命名，使其成为几何解题中的通用术语。虽模型归类为现代教学成果，但其数学思想早有体现：7世纪印度数学家‌婆罗摩笈多‌研究的圆内接四边形定理中，对角线交点与边的垂足关系隐含手拉手结构。 “手拉手”模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；3）图形是任意三角形(只要这两个三角形是相似的)。 （2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与实践 “手拉手”模型是初中几何图形的一种全等变形的重要模型，可以借助旋转和全等形的相关知识结合勾股定理等，来解决有关线段的长、角的度数等问题，在学习和生活中应用广泛，有着十分重要的地位和作用． 某校数学活动小组进行了有关旋转的系列探究： 如图①，已知和均是等腰直角三角形，，且，，易证：，． 深入探究： （1）如图②，将图①中绕点A逆时针旋转，连接、，并延长分别与、相交于点、，求证：，． 解决问题： （2）如图③，将图①中绕点逆时针旋转，使与重合，其他条件不变，若，，则_______，_______． 拓展应用： （3）如图④，将图①中绕点逆时针旋转，连接、，若，，，则______，______．（提示：求时，可过点作于点） （2025·江苏淮安·二模）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，和全等的三角形是______，和的数量关系是______； (2)如图2，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，． ①求的度数； ②连接交于点，直接写出的值； (3)如图3，已知点为线段上一点，，和为同侧的两个等边三角形，连接交于，连接交于，连接，线段的最大值是______． 1.手拉手相似模型（任意三角形） 图1 图2 条件:如图1，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 2.手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图2，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 3.手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形） 图3 图4 条件:M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 证明：∵M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点，∴，∠BMC=∠EMF=90°， ∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴， 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；. 证明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE， ∴，∠ACE=∠ABD=90° 手拉手相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“手拉手”模型（旋转模型） 例1（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变换的同时，始终存在一对全等三角形，通过资料查询，他们知道这种模型称为手拉手模型.如图1，两个等腰直角三角形和，，这个就是手拉手模型，在这个模型中易得到． 学习小组继续探究： （1）如图2，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接、，求证：； （2）小刚同学发现，不等腰的三角形也可得到手拉手模型，例如：在中，，将三角形旋转一定的角度（如图3），连接和，求证：； （3）如图4，四边形中，，，，，，请在图中构造小刚发现的手拉手模型求的长． 例2（2025·河南洛阳·模拟预测）综合与实践综合与实践课上，数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展数学活动两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．    (1)操作判断  已知点为和的公共顶点，将绕点顺时针旋转，连接，，如图1，若和均为等边三角形，请完成如下判断： ①线段与线段的数量关系是________； ②直线与直线相交所夹锐角的度数是________； (2)迁移探究  如图2，若，，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由； (3)拓展应用：如图3，若，，，，当点，，三点共线时，请直接写出的长． 例3（24-25九年级下·福建莆田·阶段练习）某数学兴趣小组在探究“手拉手”模型时，等边三角形和按如图1摆放．连接，，延长交于点，连接，保持不动，将绕点旋转． 【初步探究】（1）如图2，当点，重合时，请写出，，之间的数量关系并加以证明： 【深入探究】（2）如图1，当点，不重合时，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，当和都是等腰直角三角形，．连接，，延长交于点，连接，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【推广应用】（4）如图，在中，若．连接，、延长交于点，连接，请直接写出，，之间的数量关系：________． 例4（2025·河南郑州·二模）由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．    (1)【问题发现】 如图1所示，两个等腰直角三角形和中，，，，连接、，两线交于点P，和的数量关系是 　 　；和的位置关系是 　 　； (2)【类比探究】 如图2所示，点P是线段上的动点，分别以、为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段、于点M、N． ①求的度数； ②连接交于点H，直接写出的值； (3)【拓展延伸】 如图3所示，已知点C为线段上一点，，和为同侧的两个等边三角形，连接交于N，连接交于M，连接，直接写出线段的最大值． 例5（24-25九年级上·山西临汾·期中）综合与探究 问题情境 小丽在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小丽进行了如下操作： (1)问题发现 如图1，在和中，，，，连接，交于点M．小丽发现这就是手拉手模型，易证，进而可以得知： ①的值为______； ②的度数为______． (2)类比探究 如图2，在和中，若，，连接交的延长线于点M，与交于点P．小丽发现不等腰的三角形也可得到手拉手模型．请你求出此时的值及的度数，并说明理由； (3)拓展延伸 在（2）的条件下，将绕点O在平面内任意旋转，，所在直线交于点M，若，，请直接写出当点C与点M重合时的长． 1．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）综合与实践 问题情境： 在数学兴趣小组活动中，小宇将正方形和正方形按如图1所示的方式放置，点是两个正方形的公共点，点在正方形的边上，连接，． 问题解决： （1）如图1，连接，，则和的位置关系是__________；和的数量关系是__________． 操作探究： （2）如图2，将正方形绕点顺时针旋转，则（1）中和的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 2．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）【问题探究】 在中，，D为直线上一动点，，且，连接、，其中， （1）如图1，若，点D在线段上，则与之间有怎样的数量关系，并求k的值； （2）如图2 ，若 ，点D在的延长线上，试探究与之间有怎样的数量关系，并求k的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，D为上一点，以为边，在其左侧作正方形，点O为正方形的对称中心，且，求的长． 3．（24-25八年级下·山东泰安·期末）综合与实践课上，同学们以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】（1）如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．则_____． 【拓展探究】（2）如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2说明理由． 【解决问题】（3）如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心（即正方形两条对角线的交点），连接，若，，求的长． 4．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中， ，，． 【问题探究】 （1）如图①，连接，在纸片绕点旋转过程中，求证：∽； 【问题解决】 （2）如图②，在纸片绕点旋转过程中，点恰好落在的高线的延长线上，连接，求的长； 【问题拓展】 （3）如图③，在纸片绕点旋转过程中，点恰好落在的中线的延长线上，连接，求的周长． 5．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）小赵在学习完相似三角形后，把两个相似但不全等的三角形纸片作为操作对象进行相关问题的研究，下面是他在操作纸片过程中研究的问题． 请你解决这些问题： (1)把两个三角形按如图1方式摆放，若，则_____； (2)如图2，把绕点旋转一定的角度，连接线段、．请写出与的关系并说明理由； (3)如图3，延长交的延长线于点，交于点，若，求的度数． 6．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）（1）【问题发现】如图①，正方形，将正方形绕点旋转，直线、交于点，请直接写出线段与之间的数量关系是___________，位置关系是___________． （2）【拓展探究】如图2，矩形，将矩形绕旋转；直线交于点，（1）中线段之间的关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段之间的关系； （3）【解决问题】若，矩形绕旋转过程中当点与点重合时，直接写出线段的长是___________． 7．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）综合与探究：如图，在中，，，． (1)问题发现：如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，，线段与的位置关系是______，与的数量关系是______； (2)类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的位置关系、数量关系与（1）中结论是否一致？若与交于点，与交于点，请结合图说明理由； (3)拓展延伸：如图，将绕点旋转一定角度得到，当点 落到边上时，连接，求线段的长． 8．（2025·河北邢台·模拟预测）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动． 【初步观察】如图1，矩形和矩形重合，，，矩形保持不动，将矩形绕点A逆时针旋转． （1）如图2，当经过点D时，DF的长为______． 【实践探究】 （2）①如图3，当点E落在对角线上时，连接，的度数为______； 的长为______． ②如图4，当点F落在的延长线上时，延长交于点H，请判断与的数量关系并说明理由． 【拓展延伸】 （3）矩形绕点A逆时针旋转，若直线，交于点P，请直接写出点P到直线的距离的最大值． 9．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，，，，一个以点为顶点的角绕点旋转，角的两边与，分别交于点，，与，的延长线分别交于点，，连接． (1)在旋转的过程中，当时，如图1，求证：； (2)在旋转的过程中，当时，如图2，如果，，求的值，写出解答过程． 10．（2025·黑龙江佳木斯·一模）在同一平面内，和绕点C旋转．如图①，当和均为等腰直角三角形时，时，易证：；如图②，当和为等边三角形；如图③，当和为直角三角形，，且时，请直接写出图②、图③中与的数量关系，并在图②、图③中选择一个加以证明． 11．（2025·辽宁铁岭·二模）【问题背景】数学课上，王老师让大家将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形． 【初步感受】 （1）①展示1：如图1，和都是等腰直角三角形，，的理论依据是 ； ②展示2：如图2，和都是等腰直角三角形，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图3，在等腰直角三角形中，，点D为边上一点，以为一边作正方形，连接，求证：； 【迁移拓展】 （3）如图4，在四边形中，点E为对角线上一点，且，其中，求的长． 12．（2025·广东东莞·模拟预测）【问题情境】已知正方形和正方形，其中，． 【初步探究】（1）如图1，正方形的边，分别与正方形的边，重合． ①填空：与的数量关系是________； ②求证：； 【拓展探索】（2）将图1中的正方形绕点按逆时针方向旋转． ①如图2，当点落在边上时，连接，，延长与交于点，求的长； ②如图3，连接，，线段与交于点，当点在直线左侧时，连接，若存在实数满足等式，求出的值． 13．（2025·山东东营·三模）【问题呈现】 和都是直角三角形，，，，连接，，探究和的数量关系和位置关系． 【问题探究】 （1）如图1，当时，直接写出和的数量关系是___________，位置关系是___________； （2）如图2，当时，（1）中位置关系的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由； 【拓展应用】 （3）当，，时，将绕点旋转，使，，三点恰好在同一直线上，请直接写出的长． 14．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）【课前引入】 【问题背景】如图1 ，在和中，，且，连接，易证明；小刚同学尝试改变条件，继续探究．如图2，在中，，将旋转一定的角度，如图3 ，连接和，求证： ； 【尝试运用】 如图4，，且，点D在上， ① 的值为 ； ②若 ，求的值； ③若在②的基础上，与的交点为M，直接写出的值 15．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图1，将矩形绕点C按顺时针方向旋转，旋转角为，得到矩形．连接，过点E作交于点M． (1)求证：； (2)如图2，连接，若射线分别交于点P，N，请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 16．（2025·吉林白城·模拟预测）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图①所示的位置摆放（点，，在同一条直线上），发现且． 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： (1)将正方形绕点按逆时针方向旋转（如图②），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由； (2)把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点按顺时针方向旋转（如图③），试问当与的大小满足怎样的关系时，； (3)如图④，把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，请直接写出与满足的数量关系． 17．（24-25九年级下·吉林延边·阶段练习）在菱形中，垂直于，垂足为，将三角形绕点逆时针方向旋转得到三角形，点的对应点为点，点的对应点为点，旋转角为（）． (1)如图①，过点，的延长线与边交于点， ①当时，_________． ②求证：． (2)如图②，旋转过程中，点在的延长线上，边与边交于点，若，则的长为___________． 18．（2025·湖北孝感·一模）已知中，．现将绕点旋转至． (1)如图1，连接，，求证：． (2)如图2，在绕点旋转过程中，点的对应点恰好落在的中线的延长线上． ①求证：； ②求的长． 19．（2025九年级下·全国·学业考试）如图，等边可以看作由等边绕顶点经过旋转相似变换得到．但是我们注意到图形中的和的关系，上述变换也可以理解为图形是由绕顶点旋转形成的．于是我们得到一个结论：如果两个正三角形存在着公共顶点，则该图形可以看成是由一个三角形绕着该顶点旋转形成的． (1)利用上述结论解决问题：如图，在中，，，，，，都是等边三角形，求四边形的面积． (2)图中，，，，仿照上述结论，推广出符合图的结论．（写出结论即可） 20．（2025·江西新余·三模）【初步感知】 （1）如图1，和相交于点，且，， ①则______（填“＜”“＞”或“＝”）； ②如图2，将图1中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，求证：； 【变式探究】 （2）如图3，在与中，，．猜想，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图4，在四边形中，，，若，求，两点间的最大距离．    21．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 在综合实践课上，刘老师组织同学们以“三角形中手拉手模型”为主题开展数学活动． (1)提出问题：若和都是等边三角形，连接和交于点，如图1所示，线段与线段的数量关系是_______，_______； (2)探究证明：若和都是直角三角形，，连接和交于点，如图2所示，试猜想与的关系，并说明理由； (3)拓展延伸： ①“智慧小组”发现在（2）的条件下，若，使图2中固定不动，将绕顶点旋转，当点在同一条直线上时，则_______； ②“勤奋小组”发现在（2）的条件下，若是的中点，使图3中固定不动，将绕顶点旋转，在旋转过程中，则的最小值为_______． 22．（2025·河南洛阳·一模）定义：有一组对角互余的四边形叫做“对余四边形”． 【认识模型】 （1）如图①，四边形是对余四边形，则与的度数之和为______； 【性质探究】 四边形是对余四边形，为对角线，已知． 如图②，若，求证：，小唯发现将绕点按逆时针方向旋转，构造等边三角形结合对余四边形即可得证，下面是小唯的部分证明过程： 证明：如图②，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， … （2）请补全上面的证明过程； （3）如图③，连接，若，，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明过程，若不成立，请说明理由． 23．（24-25九年级上·河北保定·期中）一次小组合作探究课上，嘉嘉将两个正方形按如图所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），发现且．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： (1)将正方形绕点按逆时针方向旋转（如图1），则与的数量关系为______，位置关系为______． (2)把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点按顺时针方向旋转（如图2），试问当与的大小满足怎样的关系时，背景中的结论仍成立？请说明理由； (3)把背景中的正方形分别改成矩形和矩形，且，将矩形绕点按顺时针方向旋转（如图3），写出与的数量关系并说明理由． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $