第十二章 三角形（复习课件）数学北京版2024八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了三角形的定义、分类、性质、全等判定、特殊三角形（等腰、直角、等边）、尺规作图及轴对称等核心知识，通过单元知识图谱构建从基础概念到特殊应用的逻辑脉络，如将三角形三边关系、内角和定理与全等判定定理串联，形成完整的知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”三阶复习策略，结合易错点（如等腰三角形分类讨论、勾股定理误用）设计分层练习，例如通过“折叠问题求线段长”培养几何直观和推理意识，“最短路径问题”发展应用意识。这种设计帮助学生巩固知识，教师也能精准把握学情，提升复习针对性。

单元复习课件 第十二章 三角形 北京版2024·八年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 5 题型剖析 4 6 课堂总结 针对训练 1. 掌握三角形的定义、分类（按边 / 角）及基本要素，能准确区分中线、角平分线、高线，理解重心的概念与性质。​ 2. 理解并应用三角形核心性质：三边关系（两边和大于第三边、两边差小于第三边）、内角和定理（180°）、外角性质，能解释三角形的稳定性。​ 3. 掌握全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）与性质（对应边 / 角相等），能完成证明与计算。​ 4. 掌握等腰 / 等边三角形、直角三角形的性质与判定，熟练运用 “三线合一”“勾股定理” 及逆定理解决问题。​ 5. 掌握基本尺规作图（作线段、角、三角形），理解逆命题与逆定理的关系，能识别轴对称图形。​ 6. 能运用三角形知识解决实际问题（如测量、最短路径、密铺设计等）。 单元学习目标 基础与性质：掌握三角形三边关系、内角和与外角性质；辨中线、角平分线、高线。​ 全等三角形：熟练运用 SSS、SAS、ASA、AAS 判定全等；直角三角形用 HL 定理，能在复杂图形中找对应边 / 角，解决测量问题。​ 特殊三角形：等腰三角形 与直角三角形的性质，灵活运用勾股定理及逆定理。​ 作图与轴对称：掌握作线段、角、三角形及垂直平分线、角平分线的尺规操作； 1. 分类讨论：等腰三角形已知角 / 边易漏解，直角三角形未明确斜边致错，需按 “顶角 / 底角”“腰 / 底边” 分类，用三边关系验证。 2. 勾股应用：非直角三角形误用定理、立体图形不会展开求路径，可作高线构造直角三角形，展开立体图形化折线为斜边计算。 单元学习目标 画框内容为易错点 单元知识图谱 考点一 三角形 1. 认识三角形 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 三角形的表示：用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，字母的顺序可以自由安排，即∆ABC， ∆ACB等均为同一个三角形. 2. 三角形的分类 考点串讲 考点一 三角形 3. 三角形的三边关系 文字表述 数字语言 理论依据 图形 三角形的任意两边之和大于第三边 在△ABC中，a+b＞c；a+c＞b；b+c＞a 两点之间 线段最短 三角形的任意两边之差小于第三边 在△ABC中，|a-b|＜c；|a-c|＜b；|b-c|＜a 4. 三角形的高、中线、角平分线   三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 性质 ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC= S△ABC ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 考点串讲 考点一 三角形 1. 三角形的内角和定理 定理：三角形三个内角和等于180°． 2. 三角形的外角 三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.图中的∠ACD为△ABC的一个外角. 三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 三角形的外角和定理：三角形的外角和为360°． 考点串讲 题型一 三角形 类型一 利用三角形的三边关系求解 【解题方法】判定三条线段能否构成三角形时，不需要分别计算，只要三条线段中较小的两条线段之和大于第三条线段就能构成三角形.当较小的两条线段之和等于或小于第三条线段时，就不能构成三角形. 例1．为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（    ） A． B． C． D． D 1．有长度分别为，，，的四根木条，从中选出三根组成三角形，能组成（    ）个三角形． A． B． C． D． C 2．已知一个三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边且为偶数，则此三角形的周长为 ． 题型剖析 3．已知a，b，c是三角形的三边，化简 ． 【详解】∵，是一个三角形的三条边长， 故答案为：． 4．已知三角形的三边长分别为3，8，． (1)求的取值范围； (2)若为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？ （1）解：由题意可得， 即,则的取值范围为； （2）由（1）得 为偶数为6，8，10 要组成三角形的周长最小，只能为6， 三角形的周长最小为， 则三角形的周长最小为17 针对训练 题型一 三角形 类型二 利用三角形中线的性质求线段长/面积 例2．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 解题方法：1）周长差=中线两边的边长差= 长边-短边 2）三角形的一条中线把原来的三角形分成两个同地等高的三角形，因此分得的两个三角形面积相等，利用这一特点可以求解有关的面积问题. D 例3．如图，在中，已知分别是的中点，且，那么阴影部分的面积为 ． 2 题型剖析 1．如图是一块面积为的三角形纸板，其中点分别是线段的中点，则阴影部分的面积是 ． 【详解】解：连接， ∵点D、E、F分别是线段的中点 ∴，，， ∴，，，，，， ∴被分为7个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是的，所以阴影部分的面积是 ． 针对训练 题型一 三角形 类型三 等面积法求高或线段长 例4．如图，在中，若，，则的高与的比值是 ． 解题方法：①有高首先想到面积，可以考虑等面积法求高线. ②高相等，面积之比等于底边之比. 1．如图，中，，点D在上，于E、于F，若，面积为，则的长为 ． 4 2．如图，，垂足为，，垂足为，且与相交于点，若，，，则的长为 ． 题型剖析 题型一 三角形 类型四 利用网格求三角形的面积 例5．如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为），点，，恰好在网格图中的格点上，则的面积是 ． 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点的坐标分别为，求四边形的面积． 【详解】解：如图：连接，将四边形分割为和． 因为四边形的四个顶点坐标分别为，， 所以， 所以四边形的面积为16 题型剖析 题型一 三角形 类型五 三角形高、中线、角平分线综合 例6．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 1．如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①；②；③ ；④．其中结论正确的是（　　） A．①③ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 题型剖析 2．如图，已知，分别是的高和中线，． (1)若的面积为20，求的长； (2)若，求的长． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵的面积为， ∴，即， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴，， ∴． 针对训练 题型一 三角形 类型六 求三角形中的角度 例7．在中，，则的形状是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 解题方法：1）三角形的内角和为180°； 2）直角三角形中两锐角和为90°； 3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. B 1．如图，线段、、两两相交，连接、、，则（    ） A． B． C． D． A 题型剖析 2．（1）如图1，已知在中，，沿着剪去后变成四边形，求的值； （2）如图2，把沿着折成如图2所示的形状，猜想与的关系，并说明理由． 解：（1）∵， ； （2），理由如下： 连接，由翻折可知：， ． 针对训练 考点二 全等三角形 1. 全等三角形的性质： 1）全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等． 3）全等三角形的周长相等，面积相等（注意：周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形） 2.判定两个三角形全等的思路：证明两个三角形全等时，要认真分析已知条件，仔细观察图形，弄清已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法，一般可按下面的思路进行: 考点串讲 题型二 全等三角形 类型一 利用全等三角形的性质求解 【解题方法】利用全等三角形的性质求线段的长和角的度数关键是找出对应边和对应角，根据全等三角形的对应边、对应角相等来求解，同时常常结合三角形的内角和或外角的性质进行计算. 例1．若，，，，则的周长为 1．一个三角形的三条边长分别为4、7、x，另一个三角形的三条边分别为y、4、6，若这两个三角形全等，则＝ ． 13 2．如图，已知点在上，点在上，，且，若，则 ． 题型剖析 3．如图，，，，如果点P在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，若经过t秒后，与全等，则t的值是 ． 【详解】解：由题意知，，， ， ①当时， ∴，，； ②当时， ∴，，， 综上，当的值是1或2时，能够使与全等， 故答案为：1或2． 针对训练 题型二 全等三角形 类型二 添加合适的条件使两个三角形全等 例2．如图，给出下列四组条件：①；②；③；④．其中能使的条件是 ． ①②③ 1．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 块． 4 2．如图，下面甲、乙、丙三个三角形和全等的是（   ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．乙 D．丙 B 题型剖析 题型二 全等三角形 类型三 选择合适的方法证明两个三角形全等 例3．如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 证明：∵，∴， ∵，， ∴，∴． 1．如图，在中，点D是边上一点，点E是边延长线上一点，，点F为外一点，连接，，，，求证：． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵，∴， 在与中，， ∴． 题型剖析 2．如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 针对训练 题型二 全等三角形 类型四 热考模型 例4． 如图，已知在中．，，，连接，则的取值范围是 ． 【详解】解：延长到点，使，连接． ∵，，， ∴． ∴． 在中，， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型剖析 题型二 全等三角形 类型四 热考模型 例5．如图，在直角平面坐标系中，，，，，则点C的坐标是 ． 【详解】解：如图所示，过点C作轴于E， ∴， ∴， ∴，又∵， ∴，∴， ∵，，∴， ∴， ∴，∴， 故答案为：． 题型剖析 考点三 等腰三角形 1.等腰三角形性质定理： 1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.. 2. 等腰三角形的判定定理： 1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2）判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个三角形是等腰三角形. 3.等边三角形的性质：等边三角形的三条边相等，三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 4. 等边三角形的判定： 1）定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形； 2）等角法：三个角都相等的三角形是等边三角形. 3）等腰三角形法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 考点串讲 题型三 等腰三角形 类型一 等腰三角形分类讨论问题 解题方法：等腰三角形的边有腰、底之分，角有顶角、底角之分，若题目中的边没有明确是底还是腰，角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. 例1．（1）等腰三角形的两条边长分别为9和12，则这个等腰三角形的周长是 ． （2）若等腰三角形的周长为，一条边长为，则这个等腰三角形的底边长为 ． 30或33 1．等腰三角形的一个角等于，则它的顶角的度数是 ． 2．在等腰中，，一边上的中线将这个三角形的周长分为15或12两个部分，则该等腰三角形的底边长等于 ． 3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形顶角为 ． 或 7或11 或 题型剖析 题型三 等腰三角形 类型二 利用等腰三角形的性质求解 例2．如图，平分，，若，则的度数是 1．如图，中，于D，E､F为上两点，连接，则图中阴影部分的面积为 ． 2．如图，在中，厘米，、分别是和的角平分线，且，，则的周长是 ． 3．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．如图②，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，点C固定，点D，E可在槽中滑动，．若，则的度数是 ． 题型剖析 题型三 等腰三角形 类型三 等腰三角形的判定 例3．如图，，相交于点E，，求证：． 证明：作， ∵是的外角，∴， 同理， ∵，∴， 又∵，∴， ∴，， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴． 题型剖析 1．如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点，且，分别交、于点、，则的周长是 ． 11 2．如图，在中，，于点D．若的周长为20，，则的长为 ． 8 针对训练 题型三 等腰三角形 类型四 利用等边三角形的性质求解 例4．已知等边三角形的边长如图所示，那么 ． 4 1．如图，在等边中，，是的中线，，交于点，则的度数为 ． 2．如图，是等边三角形，在中，，连接交于点E，则的度数为 ． 3．如图，是等边三角形，为上一点，在上取一点，使，且，则的度数是 ． 题型剖析 题型三 等腰三角形 类型五 等边三角形的判定 例5．如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是 ． 1．已知，，是的三条边，若满足，则的形状为 ． 等边三角形 2．如图，点P是等边三角形内一点，D是延长线上一点，，，求证：是等边三角形． 证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中，， ∴，∴， ∴，即， ∴是等边三角形． 题型剖析 考点四 直角三角形 直角三角形的性质： 1）直角三角形两个锐角互余. 2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 2. 直角三角形的判定： 1）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 2） 有两个角互余的三角形是直角三角形. 3）如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 4）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 考点串讲 题型四 直角三角形 类型一 利用直角三角形的性质求解 例1．一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是 ． 1．如图，，，，，垂足分别为D、E，，则 ． 2．如图，已知，点在边上，，点，在边上，．若，则 ． 3．如图，中，，，于，若，则 . 题型剖析 题型四 直角三角形 类型二 利用HL证明两个三角形全等 例2．如图，，，，要根据“HL”证明，则还需要添加一个条件是 ． （答案不唯一） 1．如图，在中，是的中点，，，垂足分别是、，且. 求证：． 证明：∵，， ∴， ∵是的中点，∴， 在和中，， ∴． 题型剖析 题型四 直角三角形 类型三 尺规作图 例3．如图，已知线段、和，利用尺规作，使、、．（保留作图痕迹，不写作法） 解：作，在上截取，在上截取，连接，为求作的图形． 题型剖析 1．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，在边找一点，使得点到边距离相等； (2)如图2，找一点，使得点到的三个顶点距离相等． 针对训练 考点五 轴对称   轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 具有特殊形状的图形 对象不同 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 在两个图形之间 过图形的某条直线 对称轴的数量不同 只有一条 不一定只有一条 联系 1)沿对称轴折叠，两个图形重合. 2)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形. 1)沿对称轴折叠，图形的两部分重合. 2)如果把轴对称图形的两部分看作两个图形，那么这两个图形成轴对称. 1. 轴对称与轴对称图形的区别与联系： 2. 轴对称的性质 1）关于某条直线对称的两个图形是全等形. 2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线. 3）如果图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上. 考点串讲 题型五 轴对称 类型一 轴对称图形的识别 例1．“书同文，车同轨”，秦始皇统一六国后，以秦国的“小篆”作标准统一全国文字，下列是“美丽茅箭”四个汉字对应的小篆体，其中是轴对称图形的是（　　） 解题方法：寻找对称轴是确定轴对称图形的关键，能找出对称轴的图形为轴对称图形，否则就不是轴对称图形. A 2．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（   ） B 题型剖析 题型五 轴对称 类型二 垂直平分线的判定与性质 例2 ．如图，在等边三角形中，是边上的高，E是上一点．若，则 度． 25 1．如图，中，，是边的中线，点E是上的动点，点F是边上的动点，若的最小值为，则的面积为（   ） A．12 B．19 C．24 D．48 A 题型剖析 2．如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为20． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，则___________． （1）解：垂直平分，，同理， ； （2）点在边的垂直平分线上， 理由：连接， 与是，的垂直平分线，， ，点在边的垂直平分线上； 针对训练 2．如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为20． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，则___________． （3）解：垂直平分线段垂直平分线段， ， ， ，， ，， ， 针对训练 题型五 轴对称 类型三 角平分线的判定与性质 例3．如图，的外角的平分线与内角平分线交于点，若，则（    ）． A． B． C． D． 1）图中有角平分线，可向两边做垂直； 2）图中有角平分线，对折一看关系现； 3）角平分线加垂线，三线合一试试看； 4）角平分线平行线，可得等腰三角形. 【详解】解：过P点作 于F，于N，于M， 设，∵平分，∴，， ∵平分，∴，，∴， 又∵于F，于M，∴ ∵，∴， ∴， ∴，∴，故选B． 题型剖析 1．如图，证明的外角的平分线的交点在的平分线上． 【详解】证明：如图，作的平分线，相交于点，过点作于点，于点，于点， ∵平分，，∴， 同理得，∴，∴平分， ∴的外角的平分线的交点在的平分线上． 针对训练 2．如图，在四边形中，，为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． （1）证明：作，垂足为， 平分，，，， ，， ，，平分； （2）证明：由（1）可知：， 在和中，，， ，同理可证： ，即． 针对训练 题型五 轴对称 类型四 根据轴对称求坐标 例1．已知点和点关于轴对称，则= ． 1．已知点与点关于x轴对称，则的值是 ． 2．若，则点关于轴的对称点的坐标为 ． 解题方法：关于x轴对称的两个点的横坐标相同，关于y轴对称的两个点的纵坐标相同，即关于哪个坐标轴对称，哪个坐标相同. 题型剖析 考点六 勾股定理 勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形，所以常作辅助线，构造直角三角形，比如作高等. 勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即满足关系的3个正整数a，b，c称为勾股数. 勾股定理逆定理：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边. 考点串讲 题型六 勾股定理 类型一 利用勾股定理求解 例1．【易错】若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（　　） A．13 B．13或 C．13或15 D．15 1．下列是勾股数的一组是（   ） A．4，5，6 B．5，7，12 C．3，4，5 D．12，13，15 2．我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（   ） B C D 题型剖析 3．如图，在数轴上，点对应的数是1，点对应的数是3，线段于点，且线段长为1个单位长度，若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． A 4．如图，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外作正方形、半圆、等边三角形、半圆，这四个图形中，，之间的关系满足的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 D 针对训练 题型六 勾股定理 类型二 折叠问题 解题方法：解决翻折问题时，要弄清翻折前后的边、角的对应情况，将待求线段、角与已知线段、角联系到一起，尤其是求线段长度时，常常利用勾股定理直接求出未知线段的长度或列方程解决问题. 例2．如图，中，，将折叠，使点A与的中点D重合，折痕为，那么的长为（　　） A．3 B． C．4 D． B 1．如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上且与重合，则的长为（   ） A． B． C． D． A 题型剖析 2．如图，一张三角形纸片，，，．现将纸片折叠，使点A与点B重合，那么折痕长等于（   ） A．3cm B． C． D．5cm C 针对训练 题型六 勾股定理 类型三 利用勾股定理逆定理求解 例3．三边为，下列条件不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 1．已知、、是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（       ） A．底与边不相等的等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 D D 2．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　） A．点A到直线的距离是2 B． C． D． D 题型剖析 3．如图，每个小正方形的边长为1，，，是小正方形的顶点，则的度数为（   ） A． B． C． D ． B 针对训练 题型六 勾股定理 类型四 勾股定理与实际问题 例4．如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（   ）（假设绳子是直的） A． B． C． D． A 1．如图，一根长5米的竹竿斜靠在竖直的墙上，这时为4米，若竹竿的顶端沿墙下滑2米至处，则竹竿底端外移的距离（    ） A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．以上都不对 A 2．在笔直的铁路上、两点相距，、为两村庄，，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．则应建在距 ． 15 题型剖析 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 5 4．如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛．测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向．若A，B两港口之间的距离为65nmile，则C岛到港口B的距离是 nmile． 25 针对训练 高频易错点提醒 1）应用三边关系时，忽略 “任意” 二字（需同时满足 “两边和大于第三边”“两边差小于第三边”）； 2）等腰三角形分类讨论漏解（已知一角求顶角、已知两边求周长，需验证是否符合三边关系）； 3）全等判定混淆 “SAS” 的 “夹角” 与 “任意角”，误用 SSA 判定； 4）直角三角形用勾股定理时，混淆 “直角边” 与 “斜边”（需先明确斜边是最长边）。 课堂总结 感谢聆听! （2）证明：由（1）可知，，， 在和中， ，， ，即． （1）证明：，，即， 在和中， $