专题2.7 直线与圆中的最值及范围讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题2.7 直线与圆中的最值及范围 目录 考点1 直线中的最值 0 题型1 斜率的范围 0 题型2 两点间的距离最值 3 题型3 点到直线的距离最值 5 题型4 两平行线间的距离最值 7 题型5 将军饮马求最值 9 考点2 直线与圆中的最值 12 题型5 点到圆上点的距离最值 12 题型6 直线与圆上点的距离最值 15 考点3 圆与圆中的最值 19 题型7 圆与圆的距离最值 19 考点1 直线中的最值 题型1 斜率的范围 1．（25-26高二上·北京·阶段练习）已知点，直线，若直线上至少存在三个点，使得为直角三角形，直线倾斜角的取值范围是 . 【答案】 【分析】考虑，两种情况，要想直线上至少存在三个点，使得为直角三角形，则以为直径的圆的方程为与直线至少有1个公共点，利用点到直线距离公式得到不等式，解得或，从而求出倾斜角的取值范围. 【详解】直线恒过点， 当时，直线上不存在，使得为直角三角形， 当时，过点或作轴的平行线，两平行线一定与直线相交， 这时可以保证为直角三角形，且直角顶点为或， 以为直径的圆的方程为，    要想直线上至少存在三个点，使得为直角三角形， 则与直线至少有1个公共点， 故，解得或， 设直线倾斜角为，则或， 所以 故答案为： 2．（25-26高二上·江西·阶段练习）直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率的定义及正切函数的性质，即可求得结果. 【详解】设直线的倾斜角为，斜率为，因为， 又因为，由正切函数的性质可得， 故选：C. 3．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知直线经过点，且不经过第四象限，则直线的斜率的取值可以是（    ） A．0 B． C．2 D．3 【答案】ABC 【分析】求出极端位置的斜率即可得到答案. 【详解】如图，，，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故. 对比选项可知ABC符合题意． 故选：ABC. 4．（24-25高二上·云南·阶段练习）已知动点M与两个定点，，且，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用动点与定点的距离之比为2，坐标化可以得到点的轨迹方程，数形结合即可求解. 【详解】设动点，则，化简得， 所以点M的轨迹为圆E：， 如图，过点O作圆E的切线，切点分别为M、，连接， 则，，所以，同理， 则直线的斜率范围为. 故选：C. 5．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用倾斜角与斜率的关系计算即可. 【详解】设直线的倾斜角为，若，则的斜率不存在，此时； 若，则， 由正弦函数的性质知， 所以，所以； 综上所述：. 故选：A 题型2 两点间的距离最值 1．（25-26高二上·山西晋中·阶段练习）函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据两点间距离公式，结合两点间线段最短进行求解即可. 【详解】由， 设，，. 得的几何意义为的值. 点关于轴对称点， 所以. 故选：B 2．（25-26高二上·江苏盐城·阶段练习）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合和两点间的距离公式进行求解． 【详解】由， 可转化成轴上一点到点的距离与到点的距离之差， 则（当且仅当三点共线时取等号）， 所以的最大值为． 故选：D 3．（25-26高二上·江西上饶·阶段练习）已知x，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】问题转化为点到点的距离的平方，等价于在直线上找一点，使得它到图象的距离的平方最小，利用函数图象的对称性即可得解. 【详解】可看成点到点的距离的平方， 点在直线的图象上，点在反比例函数的图象上， 问题转化为在图象上找一点，使得它到直线的距离的平方最小. 注意到反比例函数的图象关于直线对称，直线也关于对称， 设，因为所以到直线的距离为， 当且仅当即时距离最小， 最短距离为，所以的最小值为. 故选：A. 4．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域. 【答案】 【分析】设，，，结合图形，将问题转化成求的范围，数形结合，考虑极限情况确定函数的值域即可. 【详解】因， 可将函数的值域转化为动点到，两点的距离之差的范围.如图， 由图知，当且仅当点为直线与轴的交点时，， 即， 又当时，直线可近似看作平行关系，此时， 综上可知， 即函数的值域为. 5．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）已知点，直线与直线交于点，则的值可以为（    ）． A．7 B．6 C．8 D．19 【答案】C 【分析】由题意确定直线与互相垂直，得到点轨迹，即可求解. 【详解】由题意可知，当时，直线与互相垂直， 当时，，直线与互相垂直， 且直线经过定点，直线经过定点，所以. 设，则，即， 则点在以点为圆心，5为半径的圆（除去与、）上， 所以的最大值为， 最小值为. 故的取值范围是. 故选：C 题型3 点到直线的距离最值 1．（25-26高二上·重庆·阶段练习）若点到直线（为任意实数）的距离取最大值时，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先求出直线所过定点，得到最大距离时，然后由斜率关系可得. 【详解】直线方程可化为， ，解得， 所以直线恒过点，设为点 此时为点到直线的最大距离，且， 由斜率关系可得. 故选：B. 2．（25-26高二上·黑龙江·阶段练习）当点 到直线 的距离取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直线的方程化为点斜式，确定直线所过的定点；当点到直线的距离最大时，直线与和定点的连线垂直，通过斜率关系求解的值. 【详解】∵直线 ，可变形为，恒过定点， ∴当点 到直线 的距离取最大值时，. 直线的斜率， 直线的斜率为，且， 两直线斜率之积为，即，代入可得：，解得. 故选：C. 3．（2025高二·全国·专题练习）已知，直线：，当变化时，点到直线的距离的最大值为，则（   ） A．3或7 B．3或8 C．2或7 D．2或8 【答案】D 【分析】根据题意，直线恒过点，所以点到直线的距离的最大值可转化为点到定点的距离，根据两点间的距离公式，求解即可. 【详解】当变化时，直线恒过定点，所以点到直线的距离的最大值为， 即，解得或. 故选：D． 4．（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值为 ． 【答案】4 【分析】求得直线恒过的定点，判断两直线位置关系，找到与的关系，利用均值不等式求最值. 【详解】直线可整理为，故恒过定点，即为A的坐标； 直线整理为，故恒过定点，即为B的坐标； 又两条直线垂直，故可得， 即 整理得, 即，解得，当且仅当时取得最大值. 故答案为：4 5．（25-26高二上·天津滨海新·阶段练习）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时过点P且垂直于直线l的直线方程分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 【答案】C 【分析】如果直接用点到直线距离公式，求出距离与之间的关系再求最值，计算会相当繁琐；所以先考虑直线过的定点，再从几何的角度求得距离最大值，进而求出直线方程. 【详解】直线变形得. 当时，方程成立；此时，因此直线过定点. 结合图象可知，随着直线绕点旋转，点到的距离也会变化，但距离都会小于等于. 所以点到直线的距离最大为. 此时过点且垂直于直线的直线即为直线. 直线的方程为，即. 故选： 题型4 两平行线间的距离最值 1．（25-26高二上·福建福州·阶段练习）点P和点Q分别在直线和直线上运动，则点P与点Q之间距离的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】利用平行线之间的距离公式求解即可. 【详解】直线即和直线互相平行， 故点P与点Q之间距离的最小值即两条直线间的距离， 且两条直线间的距离：， 即点P与点Q之间距离的最小值是. 故答案为： 2．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）直线与直线上各有一动点、，那么最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线方程得出两直线的斜率相等，从而得出两直线平行，则的最小值即为两直线间的距离，再利用两平行直线间的距离公式计算求解． 【详解】 直线，， 直线，即，， ，显然两直线不重合， ，即最小值即为两直线间的距离， 由两平行直线间的距离公式可得，即最小值为1． 故选：B． 3．（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意确定点在直线上，点在直线上，将的最小值转化为两平行线间距离的平方，即可求得答案. 【详解】由题意知实数满足， 则， 故点在直线上，点在直线上， 而表示点和点之间的距离的平方， 故的最小值为两平行线和间距离的平方， 最小值为， 故选：B 4．（24-25高二上·阶段练习）直线、是分别经过、两点的两条平行直线，当、间的距离最大时，直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由平面几何知识判定和这两条直线都垂直时，、间的距离最大，再利用两点坐标求的斜率，进而求出所求直线的斜率和方程. 【详解】由题意可得，、间的距离最大时，和这两条直线都垂直． 由于的斜率为，故直线的斜率为， 故它的方程是，即. 故选:A． 5．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知两条平行直线，，当之间的距离最大时，（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点确定最大距离，进而求出值. 【详解】直线， 由，得，则直线过定点， 直线， 由，得，则直线过定点， 因此直线之间的距离最大为， 此时，而直线斜率， 则，所以. 故选：C 题型5 将军饮马求最值 1．（25-26高二上·陕西·阶段练习）已知直线.及点，.为上任意一点，则的最小值是 . 【答案】5 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，线段与直线的交点为，最小值为. 【详解】    如图，设点关于直线的对称点的坐标为， 则，解得，即， 则直线的方程为，联立解得，即交点为， 此时，的值最小，最小值为. 故答案为：5. 2．（25-26高二上·江苏盐城·阶段练习）已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，设点在点的左下方，推导出点，利用两点间距离公式计算 ，利用距离公式将其转化成两定点与一条定直线上的点的距离之和的最小值问题解决． 【详解】不妨设点在点的左边，因为直线的倾斜角为， 且，所以点的坐标为 ， 则． 记， 则可将理解为直线上一动点到的距离之和， 如图，作出点关于直线的对称点， 则，连接，交直线于点， 则即的最小值， 且， 故的最小值为．    故选：A. 3．（25-26高二上·山东枣庄·阶段练习）已知实数满足，则最小值为 . 【答案】 【分析】利用两点距离公式，转化问题式为动点到两定点距离之和的最小值，根据将军饮马模型计算即可. 【详解】由， 即转化问题为：直线上一动点到点的距离之和最小，    如图所示，设直线与轴分别交于点，则， 由直线方程可得其倾斜角为，易知是等腰直角三角形， 设关于直线的对称点为，连接， 则三点共线，易知也是等腰直角三角形，所以， 故， 当且仅当重合时取得最小值. 故答案为： 4．（25-26高二上·河北邯郸·阶段练习）在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对称，将直线同侧折线段化为直线异侧两定点间的折线段之和，由两点之间线段最短可知. 【详解】设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为. 如图，两点之间线段最短可知，的长即为周长的最小值. 设，则 解得即， 关于轴的对称点为， 故周长的最小值为. 故选：C. 5．（多选题）（25-26高二上·广东·阶段练习）已知点，，且点P在直线上，下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．存在点，使得 D．的最大值为6 【答案】ABD 【分析】借助点到直线距离公式计算可得A；化折线为直线，利用两点之间线段最短判断可得B；借助斜率公式计算可得C；借助几何意义计算可得D. 【详解】对A：点到直线的距离为， 故的最小值为，故A正确； 对B：设点关于直线的对称点为， 则有，解得，即， 则， 当且仅当、、三点共线时取等号，故B正确；    对C：假设存在点，使得， 则， 化简得，显然方程无解， 故不存在点，使得，故C错误； 对D：， 当且仅当、、三点共线时取等，故D正确. 故选：ABD. 考点2 直线与圆中的最值 题型6 点到圆上点的距离最值 1．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知圆：，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据“将军饮马”模型，求得对称点，利用两点距离公式结合圆的性质，可得答案． 【详解】如图，设爬到轴上的点，再到圆上点处，    要求它爬行的最短路程，即求的最小值， 圆心，半径， 设点关于轴的对称点为,则坐标为，且， 由于（当三点共线时取等号）， 又点到圆上点的最短距离（当三点共线时取等号）， 所以,即该蚂蚁爬行的最短路程为3． 故选：C． 2．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知圆，则过点的圆的最短弦所在的直线方程为 . 【答案】 【分析】设点，则最短弦过点P且与垂直，根据两直线垂直时的斜率关系及点斜式方程求解. 【详解】由题意知，圆，设点，最短弦过点P且与垂直， 因为，所以最短弦所在直线的斜率， 所以最短弦所在的直线方程为，即． 故答案为：． 3．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知直线，圆，当直线被圆截得的弦最短时，的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线过的定点及圆的圆心的坐标，再结合已知求出直线的斜率即可得解. 【详解】依题意，直线，由，解得， 所以直线过定点， 由，得， 所以圆心，半径， 显然，即点在圆内， 所以直线斜率， 当时，直线被圆截得的弦最短， 所以，即，解得, 所以直线的方程为，即， 经检验，此时，满足题意. 故选：C. 4．（25-26高三上·四川成都·阶段练习）若过圆内不同于圆心的点恰好可以作5条长度为正整数的弦，则点到点的距离的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据过圆内一点的最长弦长和最短弦长得到过点的最短弦长的取值范围，从而得到点与圆心之间距离的取值范围. 【详解】由得，所以圆的圆心为，半径， 因为直径是最长的弦，所以点在圆内，过点的弦中，直径是最长的弦，长度为， 以下分析过点的最短的弦， 由垂径定理知，，其中为圆心到弦的距离， 要使得最短，则最大， 由图可知，，当 时，取到最大值，此时弦长最短， 根据圆的对称性，这5条长度为正整数的弦长度分别是， 要使得有两条长度为4的弦，则最短弦长小于4，要使得没有长度为3的弦，则最短弦长大于3， 因此，过点的最短的弦长， 因为弦长最短时 ，所以，，， 故选：B 5．（多选题）（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知实数，满足圆的方程，则（   ） A．圆心为，半径为 B．的最大值为2 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】AC 【分析】根据圆的标准方程得出圆心半径判断A，根据的范围判断B，应用两点间距离计算判断C，应用二次函数值域计算判断D. 【详解】对于A，由圆的方程，得圆心为，半径为，故A正确； 对于B，由，有， 所以的最大值为，故B错误； 对于C，表示圆上点到定点的距离， 圆心到定点的距离为， 所以圆上点到定点的距离的最大值为，故C正确； 对于D，由得， 所以，， 令，由在上单调递增，所以， 所以的最大值为，故D错误. 故选：AC. 题型7 直线与圆上点的距离最值 1．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知直线和圆.若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定其圆心和半径，再根据两点距离公式，得，再根据圆的切线性质可得，结合二次函数性质即可求得其最小值. 【详解】由圆，得， 故圆心，半径， 又已知直线，点在直线上，设点， 则， 由圆的切线性质可得，，    当且仅当时，取得最小值，最小值为. 故答案为： 2．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，把问题转化为直线与圆的位置关系问题，进而利用点到直线距离公式即可求解. 【详解】因为实数满足，所以点在圆上， 圆心，半径. 设，则点在直线上，所以直线与圆有公共点. 如下图所示：    所以圆心到直线的距离，即，解得， 则的取值范围为. 故选：A 3．（多选题）（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，直线，动点满足，则（    ） A．满足点到直线的距离为3的直线有两条 B．面积的最大值为8 C．点到距离的最大值为17 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】根据点到直线的距离即可求解A；由，根据距离公式化简得到点轨迹，进而根据面积公式即可求解B；利用直线恒过定点，当直线与过和的直线垂直时，点到直线的距离最大即可求解C；对于D，根据直线PM与圆C相切时，最大，此时，在直角三角形中计算． 【详解】设，由，得， 即，即点的轨迹是圆，且圆心为，半径， 对于A，若到直线的距离为3，即，解得，因此只有一条直线符合条件，故A错误； 对于B，在圆上运动，其圆心在轴上，则面积的最大值为，B正确； 对于C，由于恒过定点，和之间的距离为13，当直线与过点和的直线垂直时，点到直线的距离最大，且最大距离为，故到距离的最大值为，C正确； 对于D，当直线与圆C相切时，最大，此时，易知，，则，D错误． 故选：BC. 4．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知为圆上任一点， ，为直线：上的两个动点，且，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用已知条件恒定，要使面积的最大只需找到圆上距离直线最远的点，根据圆和直线的方程结合点到直线的距离公式求解． 【详解】 为圆心是，半径是1的圆， ， 要使的面积最大，只需使点到直线的距离最大， 圆心到直线的距离为：， 点到直线的距离的最大值为：， 面积的最大值为：． 故答案为：． 5．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知圆 点P在直线上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．最小时，弦AB所在直线的斜率为 C．最小时，弦AB长为 D．四边形面积的最小值为 【答案】C 【分析】根据圆的几何性质和切线的条件，结合点到直线距离得出切线长最小值判断A，根据四边形面积计算判断D，C，再根据直线垂直计算得出斜率判断B. 【详解】圆心为 ，半径为.点 满足 ，即 . 设切线方程为 和 ，由圆的切线性质可知， 的最小值，出现在 最小时. 此时圆心到直线距离为：， 代入得 ，A选项错误； 四边形面积的最小值为，D选项错误； 四边形面积的最小值为，所以，C选项正确； 当最小时，，直线的斜率为， 因为此时，所以，弦AB所在直线的斜率为，B选项错误. 故选: C. 6．（多选题）（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，已知点是圆上一动点，则（   ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．四边形面积的最小值为 D．当最小时，直线的方程为 【答案】ABD 【分析】对于A：利用圆心到直线的距离减去半径可得到；对于B：当与圆相切且直线时，最大，计算此时的即可；对于C：当直线时，最小，计算此时的四边形面积即可；对于D：当直线时，最小，利用以线段为直径的圆与圆的相交弦直线即为直线的方程，两圆作差即得到此时的直线的方程. 【详解】选项A：，故A正确； 选项B：当与圆相切且直线时，最大， 此时，，，，故B正确； 选项C：由， 当与直线垂直，最小，最小， ， ，故C错误； 选项D：由题意知，则， ，即， ， ， 当最小，取得最小值，此时垂直于直线， 所以直线方程为.，联立，解得，即， 则以为直径的圆的方程为， 即为四边形的外接圆，方程为， 由四边形的外接圆与圆相交于， 两圆方程相减即为的方程，故D正确.    故选：ABD. 考点3 圆与圆中的最值 题型8 圆与圆的距离最值 1．（25-26高二上·吉林·阶段练习）已知是圆上的一点，是圆上的一点，为直线上一点，则下列说法不正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】对于A，由两圆圆心距离加上两半径即可判断；对于B，作图观察得到当位于一侧且三点共线时取得最大值为，再求出最大值即可得解；对于C，作圆和点关于对称的圆和点，由图即可求解最小值判断；对于D，设，直接由坐标计算数量积，再结合一元二次函数性质即可判断. 【详解】由题意可得圆圆心为，半径为3，圆圆心为，半径为1， 则两圆心距离，即两圆相离， 对于A，由题意可得两圆上的点的距离最大值为，故A正确； 对于B，如图可知当位于一侧且三点共线时取得最大值为， 而最大值为，故B正确． 对于C，因为点关于直线对称的点为， 所以点关于直线对称的点为， 所以如图，作圆和点关于对称的圆， 则由图可知当对称圆的圆心和对称点以及四点共线时， 可得的最小值为，故C正确； 对于D，由题可设， 则， ， 所以当时，取得最小值为，故D错误. 故选：D 2．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知实数、、、满足，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定、在圆上，且，首先求出的最小值，转化为、到直线的距离之和，变换得到，计算，即得到答案. 【详解】设、，，，， 故、在圆上， 且， 因为，则， 因为，则是边长为的等边三角形，    而表示、到直线的距离之和， 又原点到直线的距离为， 如图所示：，，是的中点，作于，且， 所以，， 故在圆上，所以. 故的最小值为， 又， 所以的最小值为. 故选：D. 3．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆与圆相外切，可得，再根据圆的对称性不妨令，再分，和三种情况讨论即可. 【详解】圆D：的圆心，半径为， 圆C：的圆心，半径为， 因为圆与圆相外切，所以，所以， 且圆与轴交于，不妨记， 因为圆关于轴对称，点与点关于轴对称，点在轴上， 由对称性不妨令， 当时，则，解得， 故 ， 当时，则，解得， 此时， 故， 当时，则，解得， 故 ， 综上所述，所求范围为. 故选：B. 4．（24-25高二·全国·课后作业）已知点P(m，n)在圆上运动，则的最大值为 ，最小值为 ，的范围为 ． 【答案】 64 4 【分析】将问题转化为在圆上点到距离的平方、到原点的距离范围，结合点圆关系确定最值和范围. 【详解】由圆C的圆心为，半径为3，且P在圆上， 则表示在圆上点到距离的平方， 而圆心到的距离为， 所以在圆上点到距离的最大值为8，最小值为2， 故的最大值为64，最小值为4； 又表示在圆上点到原点的距离，而圆心到原点距离为， 所以的范围为. 故答案为：64，4， 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.7 直线与圆中的最值及范围 目录 考点1 直线中的最值 0 题型1 斜率的范围 0 题型2 两点间的距离最值 1 题型3 点到直线的距离最值 1 题型4 两平行线间的距离最值 2 题型5 将军饮马求最值 3 考点2 直线与圆中的最值 3 题型6 点到圆上点的距离最值 3 题型7 直线与圆上点的距离最值 4 考点3 圆与圆中的最值 5 题型8 圆与圆的距离最值 5 考点1 直线中的最值 题型1 斜率的范围 1．（25-26高二上·北京·阶段练习）已知点，直线，若直线上至少存在三个点，使得为直角三角形，直线倾斜角的取值范围是 . 2．（25-26高二上·江西·阶段练习）直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知直线经过点，且不经过第四象限，则直线的斜率的取值可以是（    ） A．0 B． C．2 D．3 4．（24-25高二上·云南·阶段练习）已知动点M与两个定点，，且，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型2 两点间的距离最值 1．（25-26高二上·山西晋中·阶段练习）函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26高二上·江苏盐城·阶段练习）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 3．（25-26高二上·江西上饶·阶段练习）已知x，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域. 5．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）已知点，直线与直线交于点，则的值可以为（    ）． A．7 B．6 C．8 D．19 题型3 点到直线的距离最值 1．（25-26高二上·重庆·阶段练习）若点到直线（为任意实数）的距离取最大值时，则（   ） A． B． C． D．2 2．（25-26高二上·黑龙江·阶段练习）当点 到直线 的距离取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二·全国·专题练习）已知，直线：，当变化时，点到直线的距离的最大值为，则（   ） A．3或7 B．3或8 C．2或7 D．2或8 4．（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值为 ． 5．（25-26高二上·天津滨海新·阶段练习）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时过点P且垂直于直线l的直线方程分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 题型4 两平行线间的距离最值 1．（25-26高二上·福建福州·阶段练习）点P和点Q分别在直线和直线上运动，则点P与点Q之间距离的最小值是 ． 2．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）直线与直线上各有一动点、，那么最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 3．（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·阶段练习）直线、是分别经过、两点的两条平行直线，当、间的距离最大时，直线的方程是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知两条平行直线，，当之间的距离最大时，（   ） A． B． C．2 D． 题型5 将军饮马求最值 1．（25-26高二上·陕西·阶段练习）已知直线.及点，.为上任意一点，则的最小值是 . 2．（25-26高二上·江苏盐城·阶段练习）已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·山东枣庄·阶段练习）已知实数满足，则最小值为 . 4．（25-26高二上·河北邯郸·阶段练习）在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（多选题）（25-26高二上·广东·阶段练习）已知点，，且点P在直线上，下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．存在点，使得 D．的最大值为6 考点2 直线与圆中的最值 题型6 点到圆上点的距离最值 1．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知圆：，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知圆，则过点的圆的最短弦所在的直线方程为 . 3．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知直线，圆，当直线被圆截得的弦最短时，的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·四川成都·阶段练习）若过圆内不同于圆心的点恰好可以作5条长度为正整数的弦，则点到点的距离的范围是（    ） A． B． C． D． 5．（多选题）（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知实数，满足圆的方程，则（   ） A．圆心为，半径为 B．的最大值为2 C．的最大值为 D．的最大值为 题型7 直线与圆上点的距离最值 1．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知直线和圆.若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为 . 2．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，直线，动点满足，则（    ） A．满足点到直线的距离为3的直线有两条 B．面积的最大值为8 C．点到距离的最大值为17 D．的最大值为 4．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知为圆上任一点， ，为直线：上的两个动点，且，则面积的最大值为 ． 5．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知圆 点P在直线上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．最小时，弦AB所在直线的斜率为 C．最小时，弦AB长为 D．四边形面积的最小值为 6．（多选题）（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，已知点是圆上一动点，则（   ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．四边形面积的最小值为 D．当最小时，直线的方程为 考点3 圆与圆中的最值 题型8 圆与圆的距离最值 1．（25-26高二上·吉林·阶段练习）已知是圆上的一点，是圆上的一点，为直线上一点，则下列说法不正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 2．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知实数、、、满足，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高二·全国·课后作业）已知点P(m，n)在圆上运动，则的最大值为 ，最小值为 ，的范围为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $