第四章 指数函数、对数函数与幂函数（复习讲义）数学人教B版2019必修第二册

第四章指数函数、对数函数与幂函数（复习讲义） 基础目标 能复述n次方根、根式、实数指数幂的定义及性质，对数概念、指对数式互化关系，指数函数对数函数且)、常见幂函数（等）的定义与结构特征；会进行根式与分数指数幂互化、基础指对数运算，画出四种函数的简单图象，判断其定义域、值域、过定点及单调性，掌握1的对数为0、底数的对数为1等基础性质。 进阶目标 会推导实数指数幂的运算性质、对数运算性质及指对数函数单调性；能应用性质化简复杂指对数式子，用换底公式转化不同底数对数，利用函数图象对称性与底数对图象的影响解题，分析幂函数在不同区间的单调性，解决阶段考中含具体数值的计算、图象识别类题目。 拓展目标 理解指数幂从整数到实数的推广逻辑、指对数函数的反函数关系（图象关于\(y=x\)对称）；会处理含参数的指对数函数与幂函数问题（如讨论单调性、求最值），建立指对数模型解决实际问题（如增长/衰减问题），分析指对数复合函数的性质，结合幂函数单调性比较不同函数值大小，应对中高考中涉及函数性质综合应用的压轴类题目。 一、指对数运算 1．利用指数幂的运算性质化简求值的方法：进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． 指数幂的运算公式：①；②且； ③；④；⑤. 2．对数的运算：根据定义进行指数与对数的互化，利用对数的性质和运算性质进行对数运算 对数的运算性质：（1）；（2）； （3）. 3．对数的换底公式：. 换底公式的变形及推广： （1）；（2）； 应用换底公式应注意：①化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用； ②题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式． 二、指数函数 1．指数函数的结构特征：（1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1. 2．指数函数的图象及性质 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数与的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 图象 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，；当时， 当时，；当时， 3．处理指数函数图象问题的3个策略： （1）抓住特殊点：指数函数的图象过定点，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的的值，即可得函数图象所过的定点． （2）巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． （3）利用函数的奇偶性与单调性：奇偶性确定函数图象的对称情况，单调性决定函数图象的走势． 4．关于指数型函数且的单调性由两点决定，一是底数还是；二是的单调性．它由两个函数复合而成，然后利用复合函数单调的性质解题 5．指数不等式的求解策略： （1）形如的不等式：可借助的单调性求解．如果的值不确定，需分和两种情况讨论． （2）形如的不等式：注意将化为以为底的指数幂的形式，再借助的单调性求解． 三、对数函数 1．对数函数且)的结构特征：(1)系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的常数；(3)对数的真数仅有自变量. 注意：（1）真数大于零；（2）对数的底数大于零且不等于1. 2． 对数函数的图象和性质 一般地，对数函数的图象与性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 在上是减函数 在上是增函数 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 3．处理对数函数图象问题的3个注意点： （1）明确图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当趋近于0时，函数图象会越来越靠近轴，但永远不会与轴相交． （2）建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数的取值范围是，还是 （3）牢记特殊点．对数函数且)的图象经过点： 4．求对数型函数单调区间的方法： (1)求形如的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由，先求定义域． (2)求此类型函数单调区间的两种思路：①利用定义求解；②借助函数的性质，研究函数和在定义域上的单调性，利用“同增异减”的结论，从而判定的单调性． 5．常见对数不等式：（1）形如的不等式，借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分和两种情况讨论； （2）形如的不等式，应将化为以为底数的对数式的形式，再借助的单调性求解. 四、反函数 反函数的性质：（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称 （2）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致 （3）函数的定义域是其反函数的值域:函数的值域是其反函数的定义域 五、常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 上递增 上递减 定点 注意：幂函数在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数． 题型一指数与对数的化简求值 例1．已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．10 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【详解】由题意，，∴， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 变式1-1．设，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，错误； 对于B，，错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确， 故选：D. 变式1-2．（1）计算：． （2）计算：； 【答案】（1）；（2）8. 【分析】 【详解】（1）原式 ； （2）原式. 变式1-3．求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式； （2）原式. 题型二整体换元法求代数式的值 例2．（1）计算：； （2）已知，求； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）4 【分析】 【详解】（1）． （2）由，所以． （3）因为，所以， 则， 所以． 变式2-1．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，，则，因此， 所以. 故选：C 变式2-2．若，则的值为 ． 【答案】 【详解】由，则. 故答案为：. 变式2-3．计算或化简： (1)化简：； (2)已知，求以及的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】 【详解】（1）化简， 分子为， 分母为， 则； 化简和， 对于，因为，所以， 可得， 对于，可得； 综上所述，． （2）对两边平方可得，则， 对平方可得，所以， 即， 根据立方和公式可得， 所以， 对两边平方，可得，则， 所以． 题型三由已知对数表示其他对数 例3．已知，. (1)求的值； (2)用，表示. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）由，，得. （2）由，，得， 所以. 变式3-1．已知，，用含、的式子表示 ． 【答案】 【详解】，， 则，故，， 则. 故答案为：. 变式3-2．，则用和表示的结果为 【答案】 【详解】由，得，而， 所以. 故答案为： 变式3-3．已知，，用a，b表示下列各数的值： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） ； （2）； （3） . 题型四指对幂函数的概念和解析式 例4．若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为 ． 【答案】 【详解】设函数解析式为，且， 由函数的图象过点，得，即，解得， 所以该对数函数的解析式为为. 故答案为： 变式4-1．下面的函数中是幂函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 【答案】C 【详解】由幂函数定义可知，②④是幂函数， 故选：C. 变式4-2．已知指数函数，则的值为 . 【答案】27 【详解】因为为指数式，则，解得或， 又因为且，可得，即， 所以. 故答案为：27. 变式4-3．已知幂函数的图像经过点和点则 . 【答案】3 【详解】， ， . 故答案为：3 题型五指对幂函数的定义域问题 例5．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，解得. 故选：A 变式5-1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于集合，由于，解得，则， 对于集合，由于，即，则，所以； 故选：A 变式5-2．函数的定义域为 . 【答案】 【详解】由题意可得，解得：，所以函数的定义域为. 故答案为：. 变式5-3．若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为 ． 【答案】1 【详解】若幂函数（为整数）的定义域为，则，解得， 而是整数，则只能，经检验符合题意. 故答案为：1 题型六指对幂函数的值域问题 例6．求下列函数的值域. （1） （2）函数 . 【答案】（1）； （2）； 【分析】 【详解】(1) 令,因为,所以,因此有, ,二次函数对称轴为：,因为, 所以当时,函数有最大值,最大值为3； 当时,函数有最小值,最小值为,所以函数的值域为； (2)令,所以有,又,即, 所以,,它是减函数,故函数的最小值为 ,故函数的值域为：. 【点睛】考查了用换元法求函数值域.考查了二次函数、对数函数的单调性,考查了数学运算能力. 变式6-1．已知，函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，函数单调递增，所以， 要使得函数的值域为， 则当时，，解得，所以实数的取值范围是 故选：D. 变式6-2．函数的最小值为 . 【答案】/ 【详解】由题设，且， 令，则， 当，即时，. 故答案为： 变式6-3．已知函数的值域为，且，则 . 【答案】 【详解】由指数函数的性质可知， 若，则，为常数，不合题意； 若，则，不合题意； 若，则， 因为函数的值域为，则， 又，则，解得， 所以. 故答案为：. 题型七指数函数的图象与性质 例7．已知函数（，且）在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，该函数为指数型复合函数， 当时，令，对称轴为，则要使（，且）在区间上单调递增，则则； 当时， 要使（，且）在区间上单调递增， 则，则，综上，. 综上，实数的取值范围为. 故选：D 变式7-1．已知，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为，，函数在单调递增，函数在R上单调递减， 所以由得，即，满足充分性； 所以由得，即，满足必要性． 所以“”是“”的充要条件． 故选：C. 变式7-2．（多选）下列函数中，在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A：因为与在区间上为增函数， 所以在区间上为增函数，故A正确； 对于B：因为在区间上为增函数，在区间上为减函数， 所以在区间上为增函数，故B正确； 对于C：，所以在上单调递增，在上单调递减，故C错误； 对于D：在上单调递增，故D正确. 故选：ABD 变式7-3．若函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】作出的图象如图，由图可知，在第一象限内该函数图象无限接近于直线，因此将此函数图象向下平移1个单位长度可得，在轴右侧，函数图象无限接近于直线，不再经过第一象限，满足题意，因此的取值范围为． 故答案为： 题型八对数函数的图象与性质 例8．已知且，则函数与函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，在R上单调递减且恒过 ，在 上单调递减且恒过 ，B不符合，D符合， 当时, 在R上单调递增且恒过，在 上单调递增且恒过，A、C不符合. 故选：D. 变式8-1．（多选）下列函数中是偶函数，且满足“对任意，当时，都有”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】函数满足“对任意，当时，都有”， 则函数在上单调递增， 对于A，的定义域为，，它是奇函数，A不是； 对于B，的定义域为，，它是偶函数； 当时，是增函数，B是； 对于C，函数在上单调递减，C不是； 对于D，的定义域为R，，它是偶函数；当时，是增函数，D是. 故选：BC 变式8-2．已知函数的图象过定点，则的值为 ． 【答案】2 【详解】因为（）， 所以函数的图象恒过定点，令，解得， 当时，， 所以函数的图像过定点，即， 所以，． 故答案为：2． 变式8-3．函数与在区间上的单调性相同，则实数a的取值范围是 【答案】 【详解】因为在区间上单调递减， 若函数与在区间上的单调性相同， 则，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 题型九幂函数的图象与性质 例9．（多选）以下关于幂函数图像的说法，正确的有（    ） A．的图像一定过原点 B．的图像一定过点 C．的图像可能经过第三象限 D．的图像可能经过第四象限 【答案】BC 【详解】函数不过原点，A选项错误； 而，所有幂函数的图像一定过点，B选项正确； 函数为奇函数，图像经过一、三象限，C选项正确； 当时，，的图像不可能在第四象限，D选项错误. 故选：BC. 变式9-1．以下函数是奇函数且在单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对A：的定义域为，不为奇函数，故A错误； 对B：令，则，故， 又定义域为，故为偶函数，故B错误； 对C：当时，， 则在上单调递增，故C错误； 对D：令，则， 有，又定义域为，故为奇函数， 当时，，单调递减符合题意，故D正确. 故选：D. 变式9-2．已知，则满足此式的点的全体构成的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】由可得，进而可得， 结合幂函数的性质可知A中的图象符合特征, 故选：A 变式9-3．已知函数是偶函数，则 ，函数的单调递增区间为 ． 【答案】 （区间开闭均可） 【详解】因为函数是偶函数， 则，即，所以恒成立， 所以； 所以，则定义域为，又在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为：；（区间开闭均可） 题型十利用单调性解指对幂不等式 例10．“”是“”（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【详解】，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：D 变式10-1．已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，令，即， 解得或，结合可知，此时； 当时，，令，解得， 综合上可知不等式的解集为， 故选：C 变式10-2．解不等式：． 【答案】 【详解】根据题意，， 即， 因为为上的减函数， 所以，解得. 变式10-3．若关于的不等式：的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，单调递增，故等价于， 即，解得或，不符合题意； 当时，单调递减，故等价于， 即，解得，符合题意，故的取值范围是. 故答案为： 题型十一指对幂比较大小问题 例11．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，即. 故选：D 变式11-1．已知四个数，，，，其中最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且， 所以， 又，所以， 故最大的是d. 故选：D 变式11-2．已知函数，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为的图象关于直线对称，且在上单调递减． 而， 所以， 故选：D. 变式11-3．设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，，，所以， 比较和，，，所以， 再比较，，，，所以， 故. 故选：C 题型十二反函数及其应用 例12．若函数 与函数 的图象关于直线 对称，则 的大致图象是（    ） A．   B．     C．   D．   【答案】A 【详解】由题意函数 与函数 互为反函数， 所以，解得，它在定义域内单调递增，且过定点， 对比选项可知A符合题意. 故选：A. 变式12-1．若函数且的图象关于直线对称，则的最大值为 . 【答案】 【详解】由函数，可得，即， 所以函数的反函数为， 因为函数的图象关于直线对称，可得， 可得，所以， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 变式12-2．若函数，函数与函数的图象关于直线对称，则的单调递减区间是 ． 【答案】（或） 【详解】因为函数，且函数与函数的图象关于直线对称， 所以，所以， 令，解得，所以的定义域为， 又在上单调递增，在上单调递减， 而在定义域上单调递增， 所以的单调递减区间为（或， 故答案为：（或）． 变式12-3．已知函数存在反函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】易知函数的定义域为， 若函数存在反函数，则在定义域内和上单调， 又，显然时，满足题意. 因此，实数a的取值范围是. 故答案为： 题型十三指对幂函数模型的应用 例13．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则大约增加了（    ）（附：） A．20% B．23% C．28% D．50% 【答案】B 【详解】依题意，，， 则， 所以大约增加了23%. 故选：B 变式13-1．指标在金融、物理等学科具有重要应用.在进行正态分布的合理调整之后，可得一种B－S模型的定价公式：（），其中代表期权的初始合理价格与金融资产现价之差，为执行价格，为利率，为期权的有效期.已知，，，则 . 【答案】 【详解】由B－S模型的定价公式：（）， 因为，，可得，即， 所以，可得， 则，因为，可得， 即，即，所以，即. 故答案为：. 变式13-2．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．普森（Pogson）公式：将两个天体的星等和亮度联系起来．由此可知，星等越大的天体亮度越 （填“大”或“小”）；已知牛郎星的星等为0.75，且牛郎星与织女星的亮度之比为，则织女星的星等为 ． 【答案】 小 / 【详解】若，则， 所以，故，则星等越大的天体亮度越小， 令牛郎星为天体1，织女星为天体2，则，， 所以，则. 故答案为：小， 变式13-3．某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快．开始在某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为平方米，经过3个月其覆盖面积达到平方米．该生物覆盖面积（单位：平方米）与经过时间（）个月的关系适合函数模型（，）． (1)求出该模型的函数解析式； (2)问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的倍？ （参考数据：，，月份保留到整数） 【答案】(1)（）. (2)个月 【分析】 【详解】（1）该生物覆盖面积（单位：平方米）与经过时间（）个月的关系适合函数模型（，）， 又经过2个月其覆盖面积为平方米，经过3个月其覆盖面积达到平方米， ，解得， ∴该模型的函数解析式为（）． （2）， 当时，， 此生物的初始投放面积为平方米， 设经过个月该水域的生物的面积是当初投放的倍，则 ，即，解得． ，取， 约经过个月，该水域中此生物的面积是当初投放的倍． 题型十四指对幂函数的综合应用 例14．已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】画出的函数图象如图：    不妨设，令，则结合和图象可知， 因，则， 则 则. 故选：D 变式14-1．已知函数的零点分别为，则大小顺序为 .（按由小到大排列） 【答案】 【详解】由题意，令，即，得， 由，即，得，则，得， 由，即，得， 所以. 故答案为：. 变式14-2．已知正实数满足，则下列关系不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为正实数，令， 所以，，， 因为在上单调递增且， 在上单调递增且， 在上单调递减且， 在同一平面直角坐标系下画出，，的图象如下所示（为了理解，将横坐标缩短处理）： 由图可知当时，即当时； 当时，即当时； 当时，即当时； 综上可得不可能成立. 故选：A 变式14-3．已知函数是奇函数． (1)求的值并判断的单调性； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，函数在R上为增函数 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）若为奇函数，则， 即， ，则， ，解得：． 又函数在R上是增函数，函数在R上是减函数， 因此函数在R上为增函数． （2）由题意得在时恒成立， 因为是R上单调递增的奇函数， 所以，即在时恒成立， 得到，且令，即在时恒成立， 又，当且仅当时等号成立， 即，故，即． （3）由题意，使得，所以， 因为，由（1）可得， 因为的对称轴为直线 ①当时，在区间上单调递增，所以 由，得，所以； ②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，则，所以； ③当时，在区间上单调递减，所以， 由，得，所以； 综上所述，满足题意的实数的取值范围为． 基础巩固通关测 一、单选题 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，，，显然B正确. 故选：B 2．幂函数在上递减，则实数（   ） A． B． C．2 D．2或 【答案】C 【详解】因为为幂函数，则， 即，解得或， 当时，在上递减，所以满足题意， 当时，在上递增，所以不满足题意， 综上，实数， 故选：C. 3．函数的反函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以函数的值域为， 由，所以，得， 所以， 所以函数的反函数为. 故选：B. 4．使“”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，则，解得：， 对于A，，，则“”为“”的必要不充分条件，A错误； 对于B，，，则“”为“”的充分不必要条件，B正确； 对于C，“”为“”的充要条件，C错误； 对于D，，，则“”为“”的必要不充分条件，D错误. 故选：B. 5．已知火箭的最大速度v（单位：km/s）与燃料质量M（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系为．若已知火箭的质量为3100 kg，火箭的最大速度为11 km/s，则火箭需要加注的燃料质量约为（参考数据：，结果精确到0.01t，）（   ） A．890.23 t B．755.44 t C．244.69 t D．243.69 t 【答案】B 【详解】根据题意时，则， 所以，则， 即， 所以． 故选：B． 6．设函数，则使得成立的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为都是R上的增函数，所以也是R上的增函数， 因为，且，所以函数为R上的奇函数， 则等价于， 由函数在R上单调递增，得，解得. 故选：B. 7．已知指数函数，，，若，，满足，且，，均大于，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，由，则， 由，则，即， 由，则，即， 则，，， 由，则，则， 又在上单调递增，则， 故，即有. 故选：A. 8．已知定义在R上的函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为R，， 函数是奇函数，而函数在R上都递增， 则函数在R上递增，不等式， 因此，解得，所以原不等式的解集为. 故选：D 二、多选题 9．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于选项 A： 由于 ，指数函数 是减函数， 给定 ，有 ，故选项 A 错误； 对于选项 B： 令 ，则不等式可化为 . 因为 且 （即 )，， 所以 恒成立，故选项 B 正确； 对于选项 C：当 时， ，，故选项 C 错误； 对于选项 D： 等价于 由，可得， 又因为，对数函数 是减函数， 所以，故选项D正确. 故选：BD 10．已知函数是幂函数，对任意，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论可能成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【详解】∵函数是幂函数， ∴或． ∵对任意，且，满足， ∴在上单调递增． 当时，满足题意， 当时，不符合题意， ∴， ∴在上单调递增． ∵的值为负数， ∴． 当时，，故A可能成立； 当时，，故B可能成立； 当时，，故C可能成立； 故选：ABC． 三、填空题 11．已知函数若，则 m 的值为 【答案】0或2 【详解】当时，由，得，解得，符合题意， 当时，由，得，解得，符合题意， 综上，或. 故答案为：或2. 12．设函数过定点，则 ． 【答案】4 【详解】由过定点，可知， 解得，故. 故答案为：4. 13．若两个正实数，满足，并且恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为两个正实数，满足， 则， 当且仅当，即时，取得等号， 又恒成立，即恒成立，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 14．（1）化简. （2）已知，，求的值. 【答案】（1）0；（2）. 【分析】 【详解】（1）； （2）由，则，故， 又，故. 15．已知，求的值域． 【答案】 【详解】令，则， 所以原函数的值域为. 16．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断奇偶性，并加以证明； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)偶函数，证明见解析 (3)或 【分析】 【详解】（1）由题意得：且， 解得，所以函数定义域为； （2）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数； （3）， 则，化简得 ， 解得或， 故实数的取值范围为或. 17．已知幂函数为偶函数，且． (1)求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以幂函数在区间上为单调递减函数， 所以，解得， 又因为，则m的值为， 函数为偶函数，所以为偶数，所以． （2）由（1）知函数，其图象关于轴对称，且在区间上为单调递减函数， 所以不等式，即为， 解得或，即的取值范围是． 能力提升进阶练 1．（2024·25高一下·浙江杭州·期末）设是定义在R上的偶函数，当时，．若对任意，均有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数是偶函数，则， 当时，，可得， 所以， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，由，则，由，则， 由函数在上单调递增，则不等式显然不成立； 当，即时，由，则， 由，则，由函数在上单调递减，则不等式显然成立； 当，即时， ①当时，，由，则， 由，则，由函数在上单调递减，则不等式显然成立； ②当且时，由，则， 由，则，由函数在上单调递增，则， 化简可得，解得； 当且时，由，则， 由，则，由函数在上单调递增，则不等式显然不成立. 综上所述，. 故选：D. 2．（2025·26高三上·辽宁大连·期中）已知函数，若有四个不同的解，，，，且，则的最小值为 . 【答案】16 【详解】由二次函数可知，当，函数单调递减，当，函数单调递增，且， 由对数函数可知，当，函数单调递减，当，函数单调递增，且， 故作分段函数图像如下： 若有四个不同的解，则， 即 由二次函数的对称性可知， 由对数函数可知，即，则，即，且. 所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为16. 故答案为：16. 3．（2024·25高一下·湖南永州·期中）（多选）已知，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若有两个零点，则 D．若的定义域为，且，且与图象的交点为，，，，则必为奇数 【答案】BD 【详解】对于A选项，， 因为在上在上单调递增，则在上单调递减， 当时，故A错误； 对于B选项，不妨设， ， 又在上单调递减，则，，故B正确； 对于C选项，，则可知的图象如图所示， 要使存在两个不同的根，则，故C错误； 对于D选项，因为，所以关于（0，1）对称， 又由B中知为奇函数，所以关于（0，1）对称， 在上存在个根，， 由对称性可知在上也存在个根， 则与共存在个交点，，所以一定为奇数，故D正确． 故选：BD. 4．（2025·26高一上·新疆·期中）已知函数，且是上的奇函数. (1)求实数的值； (2)①判断函数的单调性并用定义证明； ②求不等式的解集； (3)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)0 (2)①单调递增，证明见解析；② (3) 【分析】 【详解】（1）因为是上的奇函数，所以， 所以，所以， 即，化简得， 即，所以，解得； （2）①由（1）得， 所以， 所以函数在上单调递增，证明如下： 由于的定义域为R，任取， 则， 因为，所以，，，所以， 所以，所以函数在上单调递增； ②因为是上的奇函数，所以不等式等价于，即， 因为函数在上单调递增，所以，解得， 所以不等式的解集为； （3）因为，所以，即， 因为，不等式恒成立， 所以当时，恒成立，则； 当时，恒成立， 令，， 则，该函数在为减函数， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 5．（2025·26高三上·河北·期中）已知，函数的最大值为3，最小值为. (1)求的值； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【分析】 【详解】（1）依题意，， 由，得，，又， 因此，， 所以，. （2）由（1）知，则， 即，依题意，不等式在上有解， 因此，不等式成立， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，，则，于是， 所以k的取值范围是. 1/3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章指数函数、对数函数与幂函数（复习讲义） 基础目标 能复述n次方根、根式、实数指数幂的定义及性质，对数概念、指对数式互化关系，指数函数对数函数且)、常见幂函数（等）的定义与结构特征；会进行根式与分数指数幂互化、基础指对数运算，画出四种函数的简单图象，判断其定义域、值域、过定点及单调性，掌握1的对数为0、底数的对数为1等基础性质。 进阶目标 会推导实数指数幂的运算性质、对数运算性质及指对数函数单调性；能应用性质化简复杂指对数式子，用换底公式转化不同底数对数，利用函数图象对称性与底数对图象的影响解题，分析幂函数在不同区间的单调性，解决阶段考中含具体数值的计算、图象识别类题目。 拓展目标 理解指数幂从整数到实数的推广逻辑、指对数函数的反函数关系（图象关于\(y=x\)对称）；会处理含参数的指对数函数与幂函数问题（如讨论单调性、求最值），建立指对数模型解决实际问题（如增长/衰减问题），分析指对数复合函数的性质，结合幂函数单调性比较不同函数值大小，应对中高考中涉及函数性质综合应用的压轴类题目。 一、指对数运算 1．利用指数幂的运算性质化简求值的方法：进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． 指数幂的运算公式：①；②且； ③；④；⑤. 2．对数的运算：根据定义进行指数与对数的互化，利用对数的性质和运算性质进行对数运算 对数的运算性质：（1）；（2）； （3）. 3．对数的换底公式：. 换底公式的变形及推广： （1）；（2）； 应用换底公式应注意：①化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用； ②题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式． 二、指数函数 1．指数函数的结构特征：（1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1. 2．指数函数的图象及性质 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数与的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 图象 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，；当时， 当时，；当时， 3．处理指数函数图象问题的3个策略： （1）抓住特殊点：指数函数的图象过定点，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的的值，即可得函数图象所过的定点． （2）巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． （3）利用函数的奇偶性与单调性：奇偶性确定函数图象的对称情况，单调性决定函数图象的走势． 4．关于指数型函数且的单调性由两点决定，一是底数还是；二是的单调性．它由两个函数复合而成，然后利用复合函数单调的性质解题 5．指数不等式的求解策略： （1）形如的不等式：可借助的单调性求解．如果的值不确定，需分和两种情况讨论． （2）形如的不等式：注意将化为以为底的指数幂的形式，再借助的单调性求解． 三、对数函数 1．对数函数且)的结构特征：(1)系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的常数；(3)对数的真数仅有自变量. 注意：（1）真数大于零；（2）对数的底数大于零且不等于1. 2． 对数函数的图象和性质 一般地，对数函数的图象与性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 在上是减函数 在上是增函数 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 3．处理对数函数图象问题的3个注意点： （1）明确图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当趋近于0时，函数图象会越来越靠近轴，但永远不会与轴相交． （2）建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数的取值范围是，还是 （3）牢记特殊点．对数函数且)的图象经过点： 4．求对数型函数单调区间的方法： (1)求形如的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由，先求定义域． (2)求此类型函数单调区间的两种思路：①利用定义求解；②借助函数的性质，研究函数和在定义域上的单调性，利用“同增异减”的结论，从而判定的单调性． 5．常见对数不等式：（1）形如的不等式，借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分和两种情况讨论； （2）形如的不等式，应将化为以为底数的对数式的形式，再借助的单调性求解. 四、反函数 反函数的性质：（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称 （2）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致 （3）函数的定义域是其反函数的值域:函数的值域是其反函数的定义域 五、常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 上递增 上递减 定点 注意：幂函数在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数． 题型一指数与对数的化简求值 例1．已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．10 B．12 C．18 D．24 变式1-1．设，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．（1）计算：． （2） 计算：； 变式1-3．求值： (1)； (2). 题型二整体换元法求代数式的值 例2．（1）计算：； （2）已知，求； （3）已知，求的值． 变式2-1．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．若，则的值为 ． 变式2-3．计算或化简： (1)化简：； (2)已知，求以及的值． 题型三由已知对数表示其他对数 例3．已知，. (1)求的值； (2)用，表示. 变式3-1．已知，，用含、的式子表示 ． 变式3-2．，则用和表示的结果为 变式3-3．已知，，用a，b表示下列各数的值： (1)； (2)； (3) 题型四指对幂函数的概念和解析式 例4．若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为 ． 变式4-1．下面的函数中是幂函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 变式4-2．已知指数函数，则的值为 . 变式4-3．已知幂函数的图像经过点和点则 . 题型五指对幂函数的定义域问题 例5．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 变式5-1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 变式5-2．函数的定义域为 . 变式5-3．若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为 ． 题型六指对幂函数的值域问题 例6．求下列函数的值域. （1） （2）函数 . 变式6-1．已知，函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-2．函数的最小值为 . 变式6-3．已知函数的值域为，且，则 . 题型七指数函数的图象与性质 例7．已知函数（，且）在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式7-1．已知，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式7-2．（多选）下列函数中，在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 变式7-3．若函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围是 ． 题型八对数函数的图象与性质 例8．已知且，则函数与函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 变式8-1．（多选）下列函数中是偶函数，且满足“对任意，当时，都有”的是（    ） A． B． C． D． 变式8-2．已知函数的图象过定点，则的值为 ． 变式8-3．函数与在区间上的单调性相同，则实数a的取值范围是 题型九幂函数的图象与性质 例9．（多选）以下关于幂函数图像的说法，正确的有（    ） A．的图像一定过原点 B．的图像一定过点 C．的图像可能经过第三象限 D．的图像可能经过第四象限 变式9-1．以下函数是奇函数且在单调递减的是（    ） A． B． C． D． 变式9-2．已知，则满足此式的点的全体构成的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   变式9-3．已知函数是偶函数，则 ，函数的单调递增区间为 ． 题型十利用单调性解指对幂不等式 例10．“”是“”（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 变式10-1．已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式10-2．解不等式：． 变式10-3．若关于的不等式：的解集是，则的取值范围是 ． 题型十一指对幂比较大小问题 例11．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 变式11-1．已知四个数，，，，其中最大的是（   ） A． B． C． D． 变式11-2．已知函数，设，，，则（    ） A． B． C． D． 变式11-3．设，，则（    ） A． B． C． D． 题型十二反函数及其应用 例12．若函数 与函数 的图象关于直线 对称，则 的大致图象是（    ） A．   B．     C．   D．   变式12-1．若函数且的图象关于直线对称，则的最大值为 . 变式12-2．若函数，函数与函数的图象关于直线对称，则的单调递减区间是 ． 变式12-3．已知函数存在反函数，则实数a的取值范围是 ． 题型十三指对幂函数模型的应用 例13．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则大约增加了（    ）（附：） A．20% B．23% C．28% D．50% 变式13-1．指标在金融、物理等学科具有重要应用.在进行正态分布的合理调整之后，可得一种B－S模型的定价公式：（），其中代表期权的初始合理价格与金融资产现价之差，为执行价格，为利率，为期权的有效期.已知，，，则 . 变式13-2．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．普森（Pogson）公式：将两个天体的星等和亮度联系起来．由此可知，星等越大的天体亮度越 （填“大”或“小”）；已知牛郎星的星等为0.75，且牛郎星与织女星的亮度之比为，则织女星的星等为 ． 变式13-3．某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快．开始在某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为平方米，经过3个月其覆盖面积达到平方米．该生物覆盖面积（单位：平方米）与经过时间（）个月的关系适合函数模型（，）． (1)求出该模型的函数解析式； (2)问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的倍？ （参考数据：，，月份保留到整数） 题型十四指对幂函数的综合应用 例14．已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式14-1．已知函数的零点分别为，则大小顺序为 .（按由小到大排列） 变式14-2．已知正实数满足，则下列关系不可能的是（    ） A． B． C． D． 变式14-3．已知函数是奇函数． (1)求的值并判断的单调性； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若，使得成立，求实数的取值范围． 基础巩固通关测 一、单选题 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．幂函数在上递减，则实数（   ） A． B． C．2 D．2或 3．函数的反函数是（   ） A． B． C． D． 4．使“”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 5．已知火箭的最大速度v（单位：km/s）与燃料质量M（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系为．若已知火箭的质量为3100 kg，火箭的最大速度为11 km/s，则火箭需要加注的燃料质量约为（参考数据：，结果精确到0.01t，）（   ） A．890.23 t B．755.44 t C．244.69 t D．243.69 t 6．设函数，则使得成立的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知指数函数，，，若，，满足，且，，均大于，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．已知定义在R上的函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若，则（    ） A． B． C． D． 10．已知函数是幂函数，对任意，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论可能成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 三、填空题 11．已知函数若，则 m 的值为 12．设函数过定点，则 ． 13．若两个正实数，满足，并且恒成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题 14．（1）化简. （2）已知，，求的值. 15．已知，求的值域． 16．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断奇偶性，并加以证明； (3)若，求实数的取值范围. 17．已知幂函数为偶函数，且． (1)求； (2)若，求的取值范围． 能力提升进阶练 1．（2024·25高一下·浙江杭州·期末）设是定义在R上的偶函数，当时，．若对任意，均有，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·26高三上·辽宁大连·期中）已知函数，若有四个不同的解，，，，且，则的最小值为 . 3．（2024·25高一下·湖南永州·期中）（多选）已知，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若有两个零点，则 D．若的定义域为，且，且与图象的交点为，，，，则必为奇数 4．（2025·26高一上·新疆·期中）已知函数，且是上的奇函数. (1)求实数的值； (2)①判断函数的单调性并用定义证明； ②求不等式的解集； (3)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 5．（2025·26高三上·河北·期中）已知，函数的最大值为3，最小值为. (1)求的值； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 1/3 学科网（北京）股份有限公司 $