精品解析：河南省信阳市淮滨县第二中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级上学期10月月考数学 注意事项： 1．本试卷共 6 页，三大题，满分 120 分，测试时间 100 分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 某校八年级组织班级足球友谊赛，每个班级都要和其他班级比一场，共比赛了21场．设参加这次比赛的有x个班级，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的过点，对称轴是直线，且顶点在第二象限．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是二次函数的部分图象，该图象经过点，其对称轴为：直线，则下列结论：①；②；③若且，则；④关于的一元二次方程的根为；⑤若点，在抛物线上，则．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 7. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 8. 若点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判定 9. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 10. 一元二次方程配方后，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11. 若是方程的根，则式子的值为_______． 12. 二次函数的与轴交点坐标为_______________． 13. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为______． 14. ☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如 的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取 则 的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程 时，若构造后的图形满足，则m的值为________． 15. 二次函数的最大值是______． 三、解答题（共 8 题，共 75 分） 16. 选择适当的方法解方程 （1） （2）． 17. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”． （1）若一元二次方程是“2倍根方程”，求出的值； （2）若是“2倍根方程”，求代数式的值． 18. 白露是秋季第三个节气，具有昼夜温差显著、气候转凉的特点，在这一天有收集清露、饮白露茶、吃龙眼等习俗．某水果店在白露节气来临之际，主推本地龙眼，已知该龙眼每千克成本为8元，原售价定为每千克20元时，每天可销售50千克．根据销售经验，每千克售价每降低1元，日销售量可增加10千克． （1）若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售多少千克？ （2）高温天气水果难以保鲜，水果店想在保证销售量尽可能大的前提下，通过调整售价使每天的利润达到660元，每千克龙眼售价应定为多少元？ 19. 某厂家销售一种产品，现准备从网上和市场两种销售方案中选择一种进行销售．由于受各种不确定因素影响，不同销售的方案会产生不同的成本和其它费用：设每月销售件，网上销售月利润为（元），市场直销月利润为，具体信息如下表： 名称 每件售价（元） 每件成本（元） 月其它费用（元） 网上销售 20 45000 市场直销 120 其中为常数，且．（月利润=月销售额月成本月其它费用） （1）分别求出，与之间的函数解析式（不必写的取值范围）； （2）若网上销售月利润的最大值与市场直销月利润的最大值相同，求的值； （3）如果某月要将3000件产品全部销售完，请你通过分析后帮厂家做出决策，选择在网上销售还是市场直销才能使月利润较大？ 20. 已知抛物线． （1）当抛物线经过坐标原点时，求抛物线的解析式； （2）若抛物线在这一段位于x轴下方，在这一段位于x轴上方，求a的值； （3）当时，若、是抛物线上两点，记抛物线在A、B之间的部分为图象M（包含A、B两点），若图象M上最高点与最低点的纵坐标之差为3，求m的值． 21. 随着贵州旅游业的高速发展，让越来越多的人看见了贵州的大好山河．暑期来临，两队户外徒步露营爱好者计划同一天从贵阳市出发，沿两条不同的路线徒步游玩乌蒙山周边自然景观，最后在九龙镇汇合．甲队走路线，全程120千米；乙队走路线，全程160千米．由于路线的路况没有路线好，甲队每天行驶的路程是乙队每天行驶路程的，最终甲队比乙队晚2天到达九龙镇． （1）求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地； （2）在他们的活动计划中，乙队每人每天的平均花费都为135元．甲队最开始计划有8个人同行，计划每人每天花费300元，后来又有个人加入队伍，经过计算，甲队每增加1人时，每人每天的平均花费将减少30元．若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致．两队共需花费17640元，求的值． 22. 为了给学校的柯尔鸭过冬提供舒适的环境，饲养小组决定用长为米的篱笆，和一面长为6米的墙围成如图所示的长方形的鸭圈．整个鸭圈的正中间被篱笆隔断成活动区和生活区，活动区和两区中间的篱笆上分别开了一个门，两个门的尺寸均为米，鸭圈垂直于墙的一边的长为米．（其中篱笆全部用完，不考虑高度，篱笆占地面积忽略，门的材料另备） 设计方案 小成 小韩 小林 （米 的长（米） （ ） （ ） （ ） （1）用含，的代数式表示鸭圈另一边长　　米． （2）若固定不变． ①若要求鸭圈面积为10平方米，求的值． ②小成、小韩和小林根据的长度分别给出了3种不同的设计方案见上表，请验算并分析谁的方案比较靠谱． ③请通过上述探究，直接写出的取值范围，并计算鸭圈面积的最大值． （3）若篱笆最多有16米，问：鸭圈面积能否达到24平方米？ 23. 已知抛物线L (b，c是常数)经过点 ． （1）若抛物线L的对称轴为直线 求b，c的值． （2）若抛物线L还经过另一点，且 ①求b 的取值范围； ②点 均在抛物线L 上．当 且 时， 求m的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期10月月考数学 注意事项： 1．本试卷共 6 页，三大题，满分 120 分，测试时间 100 分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行判断，即可解答． 【详解】解：A、，有2个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； B、，等号左边不是整式，不是一元二次方程，故不符合题意； C、，是一元二次方程，故符合题意； D、，是一元一次方程，故不符合题意； 故选：C． 2. 若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的增减性，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； 通过计算二次函数在各点的函数值，可得其大小关系． 【详解】解：∵ 二次函数为， ∴ 当时，； 当时，； 当时，． ， ． 故选：D． 3. 某校八年级组织班级足球友谊赛，每个班级都要和其他班级比一场，共比赛了21场．设参加这次比赛的有x个班级，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系“共进行了21场比赛”是解决本题的关键．设参加这次比赛的有x个班级，则每一个班比赛场，由于是单循环形式，故足球友谊赛的总场数为场，从而可建立方程解答． 【详解】解：设参加这次比赛的有x个班级，由题意得 ， 故选：D． 4. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； B．该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意； C．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意； D．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：A． 5. 抛物线的过点，对称轴是直线，且顶点在第二象限．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据二次函数的性质一一判断即可． 【详解】解：∵对称轴为，根据公式，得：，即． 将点代入抛物线方程得：， 根据题意，令顶点坐标为，其中， ∵顶点在第二象限，故，即：， 联立，消去得：，则，故B错误； 结合，得，故A正确； ∵， ∴， 即，故选项C错误． 联立，消去得：，则，∵，则； ∵对称轴为，与x轴一个交点为点，则与x轴另一个交点为点， 令，则， 令，则， 故，故D错误． 故选：A． 6. 如图，是二次函数的部分图象，该图象经过点，其对称轴为：直线，则下列结论：①；②；③若且，则；④关于的一元二次方程的根为；⑤若点，在抛物线上，则．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质逐项判断，由抛物线的顶点坐标为，可得函数有最小值，可判断①②；由且，则，可判断③；由对称性可得一元二次方程的根为或，可判断④错误；由抛物线开口向上，对称轴为直线，时，y随x的增大而增大，可得，可判断⑤．即可得到答案． 【详解】解：①∵对称轴为直线， ∴， ∴， 故①正确； ②根据函数图象可得抛物线开口向上， ∵由图可知抛物线的顶点坐标为， ∴时，函数有最小值， ∴， 故②错误； ③若且，则， ∴， 故③正确； ④由条件可得关于x的一元二次方程的根为或， 故④错误； ⑤∵抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故⑤正确． 综上所述，正确选项有3个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象和性质，包括二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握原式知识点是关键． 7. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由题意可得且，求解即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：D． 8. 若点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，坐标平面内点的坐标特征，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．先利用第二象限点的坐标特征得到，则判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∴方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 9. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规则是关键． 根据二次函数图象的平移规则“左加右减，上加下减”计算即可． 【详解】解：将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位， ∴平移后的解析为， 故选：A ． 10. 一元二次方程配方后，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案． 【详解】 移项，得， 方程两边同时加上4，得， 配方得， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握配方的步骤是解题的关键． 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11. 若是方程的根，则式子的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 二次函数的与轴交点坐标为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数与轴的交点，掌握坐标轴上的点的特点是解答本题的关键．令横坐标，求得的值即可解答． 【详解】解：将代入，得， ∴二次函数的图像与轴的交点坐标为． 故答案为：． 13. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】根据题意得，， 解得， 故答案为：． 14. ☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如 的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取 则 的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程 时，若构造后的图形满足，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的图解法，理解图解法的含义是解答本题的关键． 根据题意构造图形，则，，，然后代入一元二次方程即可求出m的值． 【详解】解：根据题意，构造图形如图所示: 则，， ∵， ∴， 即m就是的一个正根， ∴ 解得 (负值已舍)． 故答案为：． 15. 二次函数的最大值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解题关键． 根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴ ∴图象开口向下，顶点坐标为， ∴当时，函数有最大值5， 故答案为：5． 三、解答题（共 8 题，共 75 分） 16. 选择适当的方法解方程 （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）根据因式分解法进行化简求解即可； （2）根据因式分解法进行化简求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴． 【小问2详解】 ， ， ， ， ∴． 17. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”． （1）若一元二次方程是“2倍根方程”，求出的值； （2）若是“2倍根方程”，求代数式的值． 【答案】（1）的值为； （2）代数式的值为或． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． （1）根据新定义，设方程的两个根，由根与系数的关系列方程，即可解得的值； （2）解方程，由新定义得两根之间的关系，分类讨论，分别代入代数式，化简求值即可． 【小问1详解】 解：根据题意，设一元二次方程的两根分别为，， 由根与系数的关系可得，，， ∴， ∴， 答：的值为． 【小问2详解】 解：由可得，，， ∵是“2倍根方程”， ∴，或， ∴或， 当时，， 当时，，， 答：代数式的值为或． 18. 白露是秋季第三个节气，具有昼夜温差显著、气候转凉的特点，在这一天有收集清露、饮白露茶、吃龙眼等习俗．某水果店在白露节气来临之际，主推本地龙眼，已知该龙眼每千克成本为8元，原售价定为每千克20元时，每天可销售50千克．根据销售经验，每千克售价每降低1元，日销售量可增加10千克． （1）若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售多少千克？ （2）高温天气水果难以保鲜，水果店想在保证销售量尽可能大的前提下，通过调整售价使每天的利润达到660元，每千克龙眼售价应定为多少元？ 【答案】（1）龙眼每千克售价定为17元，每天可销售80千克 （2）为了销售量尽可能大，每千克龙眼售价应定为14元 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意． （1）根据“原售价定为每千克20元时，每天可销售50千克，每千克售价每降低1元，日销售量可增加10千克”列式计算即可． （2）设每千克龙眼售价为x元，根据利润数量每千克的利润，列方程解答即可． 【小问1详解】 解：（千克）． 答：若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售80千克． 【小问2详解】 解：设每千克龙眼售价为x元， 由题意得， 解得，， 要保证销售量尽可能大， 每千克龙眼售价应定为14元． 19. 某厂家销售一种产品，现准备从网上和市场两种销售方案中选择一种进行销售．由于受各种不确定因素影响，不同销售的方案会产生不同的成本和其它费用：设每月销售件，网上销售月利润为（元），市场直销月利润为，具体信息如下表： 名称 每件售价（元） 每件成本（元） 月其它费用（元） 网上销售 20 45000 市场直销 120 其中为常数，且．（月利润=月销售额月成本月其它费用） （1）分别求出，与之间的函数解析式（不必写的取值范围）； （2）若网上销售月利润的最大值与市场直销月利润的最大值相同，求的值； （3）如果某月要将3000件产品全部销售完，请你通过分析后帮厂家做出决策，选择在网上销售还是市场直销才能使月利润较大？ 【答案】（1）； （2） （3）当时，选择网上销售；当时，选择网上销售和市场直销利润一样；当时，选择市场销售． 【解析】 【分析】本题考查二次函数在实际生活中的应用，难度适中，根据利润的关系式分别写出，与x间的函数关系式是解题的关键． （1）根据（网上销售的每件售价每件成本）销售数量其他费用，（市场直销的每件售价每件成本）销售数量其他费用，列出函数关系式即可； （2）根据函数的性质，求出各个函数的最大值，再由已知等量关系列出方程即可； （3）由题意可知当时，，．再分三种情况：，，，分别求出k的取值范围即可． 【小问1详解】 解：由题意可得： ； ； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，网上销售的最大利润为为80000元， ∵， ∴市场销售的最大利润； ∵市场销售月利润的最大值与在网上销售月利润的最大值相同． ∴， 解得，， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：当时，， ， ①当． 解得：， ∵， 当时，选择网上销售； ②当， 解得：， 当时，选择网上销售和市场直销利润一样； ③当． 解得：， ∵， 当时，选择市场销售． 综上：当时，选择网上销售；当时，选择网上销售和市场直销利润一样；当时，选择市场销售． 20. 已知抛物线． （1）当抛物线经过坐标原点时，求抛物线的解析式； （2）若抛物线在这一段位于x轴下方，在这一段位于x轴上方，求a的值； （3）当时，若、是抛物线上两点，记抛物线在A、B之间的部分为图象M（包含A、B两点），若图象M上最高点与最低点的纵坐标之差为3，求m的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值等知识，分类讨论是解题的关键． （1）把原点坐标代入即可求出答案； （2）由题意可知，当时，，当时，，据此列出不等式组，求出答案即可； （3）根据的取值范围分三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：当抛物线经过坐标原点时，， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线的顶点坐标为，抛物线开口向上， ∵抛物线在这一段位于x轴下方，在这一段位于x轴上方， ∴当时，，当时，， ∴ 解得， 【小问3详解】 当时，， 当，即时， 在时取最小值，即， 在时取最大值，即， 由题意可得， 解得，符合题意； 当即，在顶点处取最小值，在处取最大值，即， 由题意可得，， 解得或， ∵， ∴或不符合题意，舍去， 当时， 在时取最大值，即， 在时取最小值，即， 由题意可得， 解得，符合题意； 综上可知，或． 21. 随着贵州旅游业的高速发展，让越来越多的人看见了贵州的大好山河．暑期来临，两队户外徒步露营爱好者计划同一天从贵阳市出发，沿两条不同的路线徒步游玩乌蒙山周边自然景观，最后在九龙镇汇合．甲队走路线，全程120千米；乙队走路线，全程160千米．由于路线的路况没有路线好，甲队每天行驶的路程是乙队每天行驶路程的，最终甲队比乙队晚2天到达九龙镇． （1）求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地； （2）在他们的活动计划中，乙队每人每天的平均花费都为135元．甲队最开始计划有8个人同行，计划每人每天花费300元，后来又有个人加入队伍，经过计算，甲队每增加1人时，每人每天的平均花费将减少30元．若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致．两队共需花费17640元，求的值． 【答案】（1）甲队计划6天到达目的地，则乙队计划4天到达目的地 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，根据题意找到等量关系建立对应的方程是解题的关键： （1）设甲队计划x天到达目的地，则乙队计划天到达目的地，根据甲队每天行驶的路程是乙队每天行驶路程的建立方程求解即可； （2）分别用含x的代数式计算出两队的费用，再根据总费用为17640元建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设甲队计划x天到达目的地，则乙队计划天到达目的地， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲队计划6天到达目的地，则乙队计划4天到达目的地； 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）． 22. 为了给学校的柯尔鸭过冬提供舒适的环境，饲养小组决定用长为米的篱笆，和一面长为6米的墙围成如图所示的长方形的鸭圈．整个鸭圈的正中间被篱笆隔断成活动区和生活区，活动区和两区中间的篱笆上分别开了一个门，两个门的尺寸均为米，鸭圈垂直于墙的一边的长为米．（其中篱笆全部用完，不考虑高度，篱笆占地面积忽略，门的材料另备） 设计方案 小成 小韩 小林 （米 的长（米） （ ） （ ） （ ） （1）用含，的代数式表示鸭圈另一边长　　米． （2）若固定不变． ①若要求鸭圈面积为10平方米，求的值． ②小成、小韩和小林根据的长度分别给出了3种不同的设计方案见上表，请验算并分析谁的方案比较靠谱． ③请通过上述探究，直接写出的取值范围，并计算鸭圈面积的最大值． （3）若篱笆最多有16米，问：鸭圈面积能否达到24平方米？ 【答案】（1） （2）①或； ②；小韩； 当时，，不合题意， 同理可得：时，符合题意，时，，不合题意， ∴小韩的方案更为靠谱； ③，； （3）鸭圈面积不能达到24平方米 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，列代数式和代数式求值： （1）（1）根据题意和图形，可以用含a的代数式表示出的长即可； （2）①先求出，再利用矩形面积公式建立方程求解即可；②根据（1）所求代值计算即可；③先求出，再利用矩形面积计算公式用含a的式子表示出矩形面积，再利用二次函数的性质求解即可； （3）令时，则，求出a的范围和函数解析式，进而求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：（米）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①由题意得， ∴， 解得：或； ②略 ③由题意得：，即， 解得：， 设鸭圈面积为平方米， 则， ，故有最大值， 当时，的最大值为：； 【小问3详解】 解：当时，， ∵， ∴ 设鸭圈面积为平方米， 则， ，对称轴为：直线， 当时，的最大值为， ∴鸭圈面积不能达到24平方米． 23. 已知抛物线L (b，c是常数)经过点 ． （1）若抛物线L的对称轴为直线 求b，c的值． （2）若抛物线L还经过另一点，且 ①求b 的取值范围； ②点 均在抛物线L 上．当 且 时， 求m的最大值． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由对称轴方程求得b的值，由点A坐标代入抛物线解析式即可求得c的值； （２）①方法一：由A、B的坐标可得对称轴方程是关于b、m的关系式，由m的取值范围即得；方法二：把A、B坐标分别代入抛物线解析式可得b、m关系式，由m的取值范围，即得b的取值范围；②方法一：可将点的坐标代入抛物线的解析式，进而建立关于，m的不等式，解不等式即得；方法二：根据y的变化趋势，得出到对称轴的距离的大小关系，建立关于，b的不等式，解不等式即得 【小问1详解】 解：∵抛物线L的对称轴为直线x= 解得 ∵抛物线 经过点， 【小问2详解】 ①方法一：∵抛物线L经过，， ∴抛物线L的对称轴为直线 ∴． ∵， ∴， ∴b的取值范围为． 方法二：将代入 得， ∴， 又∵抛物线L过点， 由，可知， ∴， ∵， ∴， ∴． ②方法一∶将代入 得， ∴． 由①可知，， ∴， ， ， ， 又∵ , , ∴m的最大值为 方法二：∵抛物线L的对称轴为直线 则点到直线的距离点到直线的距离 ∵抛物线L的开口向下， ∴距离抛物线对称轴越远的点，函数值越小， ∴当时， 即 整理，得 ， ， 又， ， 由①可知，， ， ， ∴m的最大值为 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，对称性增减性，二次函数与方程与不等式，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $