5.1.1&5.1.2数据的收集&数据的数字特征（题型专练）数学人教B版2019必修第二册

5.1.1&5.1.2 数据的收集&数据的数字特征 题型一 总体、样本 1．（2025高一上·全国·专题练习）某高中为了了解高一年级1200名学生的视力情况，抽查了其中200名学生的视力，并进行统计分析．下列叙述正确的是（    ） A．上述调查属于普查 B．每名学生是总体的一个个体 C．200名学生的视力是总体的一个样本 D．1200名学生是总体 2．（24-25高一下·河北沧州·期末）某校高中有42个班，每个班有50名学生，现从该校高中每班随机选派3名学生参加交通安全知识竞赛并统计参赛人员的成绩，则其样本量是（   ） A．42 B．50 C．126 D．150 题型二 简单随机抽样 1．（2025高一·全国·专题练习）某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，分别为001，002，…，599，600，再从中抽取60个样本.随机数表的第5行到第7行如下. 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68  96  08  04   32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77  89  23  45   32  21  18  34  29  78  64  54  07  32  52  42  06  44  38  12  23  43  56  77  35  78  90  56  42 若从第6行第6列开始向右每次读取3个数字，则得到的第8个样本的编号为（    ） A．324 B．345 C．577 D．578 2．（24-25高一下·福建福州·期末）用抽签法从学号为1到50的50名学生（其中含学生李华）中不放回抽取5名学生进行问卷调查，每次抽取一个号码，共抽取5次，设李华第一次被抽到的概率为，第五次被抽到的概率为，则（    ） A．a = ， B．a = ， C．a = ， D．a = ， 题型三 分层抽样 1．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）某学校高一、高二、高三年级的人数之比为，若利用分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，高三年级抽取的人数为人，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河北·期末）某校高一年级有720名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为48的样本，其中身高在175cm以下的学生人数为32，则该校高一年级身高在175cm以下的学生人数为（    ） A．320 B．360 C．420 D．480 3．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）某校高中生共有3600人，其中高一年级1300人，高二年级人，高三年级1100人，现采取分层抽样法抽取容量为36的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（　　） A．11，14，11 B．12，12，12 C．14，12，10 D．13，12，11 题型四 众数问题 1．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）样本数据2，8，13，13，20的众数为（    ） A．2 B．8 C．13 D．20 2．（24-25高二下·云南·期中）已知一组数据为3，4，4，5，2，4，2，则这组数据的众数为 ，它出现的频率为 . 3．（24-25高一上·四川成都·开学考试）一组数据2，3，x，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是 ． 题型五 中位数问题 1．（2025高二下·浙江·学业考试）已知一组样本数据为“2，2，3，5，6，7，8”，该样本数据的中位数是（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 2．（24-25高一下·甘肃张掖·期末）从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是23，24，23，26，25，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．26，25 B．26，24 C．23，24 D．23，23 3．（25-26高二上·黑龙江·阶段练习）已知，若，，，的中位数为2，则（　　） A． B． C．2 D．1 4．（25-26高一上·上海黄浦·阶段练习）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4100米混合泳接力金牌，以下是近几届奥运会男子4100米混合泳接力项目冠军的成绩（单位：秒），数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 这组数据的中位数为 ． 题型六 百分位问题 1．（25-26高三上·陕西·开学考试）已知样本数据5，6，6，6，8，9，10，11，则该组数据的第60百分位数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）若数据3，5，6，8，9，，18，21的上四分位数为15，则的值为（    ） A．12 B．15 C．21 D．22 3．（24-25高一下·山东烟台·期末）若数据，，，，，，，的分位数为，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西·模拟预测）已知一组数据按从小到大的顺序排列为，若该组数据的第60百分位数与这组数据的中位数相等，则实数的值为 . 题型七 平均数问题 1．（24-25高一下·河北邯郸·期末）已知高一三班的某次数学测试中，某学习小组的成绩如下：70，75，94，85，85，90，86，90，85，100，则该小组成绩的平均数、众数、中位数的大小关系是（   ） A．众数=中位数<平均数 B．众数<中位数<平均数 C．众数<平均数<中位数 D．众数=平均数<中位数 2．（25-26高三上·重庆·阶段练习）高三某班有 15 名男生和 35 名女生， 在某次月考的数学成绩中， 男生的平均分比女生的平均分多 5 分， 则男生的平均分比全班的平均分（      ） A．多 1.5 分 B．多 2.5 分 C．多 3.5 分 D．多 4.5 分 3．（25-26高三上·山东·开学考试）若一组样本数据的平均数为8，则数据，的平均数为 . 题型八 极差、方差、标准差问题 1．（24-25高一下·福建福州·期末）样本数据3，5，8，2，4，2的方差是 ； 2．（23-24高一下·吉林·期末）若一组数据的平均数为4，方差为3，那么数据的平均数和方差分别是 ． 3．（24-25高一下·陕西宝鸡·期末）某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的方差的值是 . 4．（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知数据1，2，4，的方差为，则 . 5．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知15个数，，  ，的平均数为6，方差为9，现从中剔除，，，，这5个数，且剔除的这5个数的平均数为7，方差为5，则剩余的10个数，，  ，的方差为 ． 题型九 数字特征的综合判断问题 1．（多选）（24-25高一下·贵州毕节·期末）一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，收集到一组数据（单位：），其样本容量为，经计算得，该样本的平均数为，方差为.检查时发现在收集这些数据时，遗漏了一个数据，并将一个数据错记为，将另一个数据错记为.对遗漏和错误的数据进行更正后，重新计算得新样本的平均数为，方差为，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）甲、乙两名同学近五次数学测试成绩数据分别为： 甲 乙 则（    ） A．甲组数据的极差大于乙组数据的极差 B．甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数 C．甲组数据的众数等于乙组数据的中位数 D．甲乙两组数据混合后的方差大于乙组数据的方差 题型十 数字特征的实际应用 1．（24-25高一下·山东青岛·期末）气象意义上进入春季的标志为“一年中第一次出现连续5天的日平均气温均不低于10摄氏度”.现有甲、乙、丙、丁四地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）： 甲地：5个数据的中位数为12，极差为3；    乙地：5个数据的平均数为11，众数为12； 丙地：5个数据的平均数为12，中位数为12；    丁地：5个数据的平均数为11，方差小于1. 则根据上面数据，肯定符合气象意义上进入春季的地区是（   ） A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 2．（多选）（24-25高一下·广东·期末）在某年的中国足球超级联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；乙队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4．下列说法中正确的是（   ） A．平均说来甲队比乙队防守技术好 B．甲队比乙队技术水平更稳定 C．甲队有时表现很差，有时表现又非常好 D．乙队很少不失球 3．（24-25高一下·河北·期末）为坚持健康第一的教育理念，帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锻炼意志，某校高一年级体育组开展“一分钟跳绳比赛”活动，甲班两位同学的近期训练中的跳绳数（单位：次／分钟）如下： A同学：124、140、130、132、136、104、130 B同学：130、136、126、130、120、124、130 (1)分别求两组数据的众数、中位数、极差； (2)根据两组数据的平均数和方差的计算结果（结果保留两位小数），比较两位同学的跳绳水平. 4．（24-25高一下·河南新乡·期末）玉菇甜瓜产于河南、山东等地，富含维生素和膳食纤维，汁水饱满，果肉细腻，清甜爽润．甲分别随机抽测了A产地和B产地各6个玉菇甜瓜的重量（单位：g），将得到的数据按从小到大的顺序分别记录如下： 第一组数据（A产地）： 第二组数据（B产地）： 已知第一组数据的极差和第二组数据的极差相等，第一组数据的第60百分位数和第二组数据的中位数相等． (1)求m，n； (2)请你估计哪个产地的玉菇甜瓜重量更稳定，并说明理由． 题型一 数字特征的综合问题 1．（24-25高一下·上海·期末）已知有一组样本数据为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，若删掉其中的两个数据和，得到新的一组样本数据，则下列说法中一定错误的是（    ）. A．若，则极差不变 B．若，则第75百分位数不变 C．若，则平均数不变 D．若，则中位数不变 2．（多选）（24-25高一下·陕西西安·期末）已知互不相等的数据，，，，，的平均数为，方差为，则下列选项中正确的是（    ） A．数据，，…，的平均数为 B．数据，，…，的标准差为 C．给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 D．给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 3．（多选）（24-25高一下·河南洛阳·期末）甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次，并记下自己投掷时出现的点数，从而得到四组数据，这四组数据的相关情况如下： 甲：中位数为3，众数为2； 乙：中位数为3，极差为4； 丙：平均数为3，中位数为2； 丁：平均数为2，方差为3.2. 则在投掷过程中可能出现点数6的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）已知一组数据：12，31，24，33，22，35，45，25，16，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（    ） A．中位数不变 B．平均数不变 C．标准差不变 D．四分位数不变 5．（24-25高一下·内蒙古·期末）甲机床一天内生产的零件的重量（单位：）从小到大为． (1)求这组数据的分位数； (2)求这组数据的平均数和标准差； (3)求零件重量位于和之间的个数及所占的百分比． 参考数据：． 6．（24-25高一下·湖北黄冈·期末）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：.记总的样本平均数，样本方差为. (1)证明：； (2)证明：； (3)现已知某高中共有学生1400人，其中男生800人，体重平均数66kg，方差为180，女生600人，体重平均数为52kg，方差为90，求出该校所有学生体重的平均数和方差. 7．（2025高一上·全国·专题练习）某市场监管系统市场主体数据分析大赛中，由10名专业评审、10名媒体评审和10名大众评审各组成一个评委小组，给参赛选手打分．打分均采用100分制，下面是三组评委对选手小明的打分： 小组A 85 91 87 93 88 84 97 94 95 86 小组B 84 87 92 96 89 95 92 91 94 90 小组C 95 89 95 96 97 93 92 90 89 94 (1)选择一个可以度量每一组评委打分相似性的量，并对每组评委的打分计算度量值； (2)你能依据（1）的度量值判断小组A，B与C中哪一个更像是由专业人士组成的吗？ (3)已知选手小华专业评审得分的平均数和方差分别为，，媒体评审得分的平均数和方差分别为，，大众评审得分的平均数和方差分别为，，将这30名评审的平均分作为最终得分，求该选手最终得分的方差． 1．（24-25高一下·湖北黄石·期末）在对某校高三学生体质健康状况的调查中，按照性别比例进行分层随机抽样.已知抽取了男生80人，女生120人，其方差分别为15，10，由此估计样本的方差的最小值为（   ） A．10 B．12 C．13 D．15 2．（24-25高一下·河北秦皇岛·期末）一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，x，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的第60百分位数是 . 3．（25-26高三上·上海·阶段练习）样本数据20，24，6，15，18，10，42，57，2，7的极差为，中位数为，则 . 4．（2025高一上·全国·专题练习）近年来，加强青少年体育锻炼，重视体质健康已经在社会形成高度共识．为了考察某校各班参加两项以上体育项目锻炼小组的人数，在全校随机抽取五个班级，把每个班级参加两项以上体育项目锻炼小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本的标准差为2，若样本数据各不相同，则样本数据的80%分位数是 ． 5．（24-25高一下·山东济南·期末）某同学用同一把尺子多次测量同一张标准A4纸的宽度，得到以下10个数据，，（单位：毫米）： 211 209 210 208 210 210 209 208 210 215 (1)计算该组数据的平均值和方差； (2)考虑到测量误差问题，可能存在无效数据，可以采用如下准则进行无效数据筛选： ①记（其中s为样本标准差，，）； ②若（其中n为样本容量），则该数据x，判断为无效数据，否则认为该数据有效． 对照表 n 3 4 5 6 7 8 9 10 1.16 1.48 1.72 1.89 2.02 2.13 2.22 2.29 （ⅰ）求，并判断是否为无效数据（结果保留两位小数）； （ⅱ）求，，，中无效数据的个数，并说明理由． （参考数据：） 6．（24-25高一下·湖北武汉·期末）统计学中，协方差用来描述两组数据和之间的总体的误差．定义：协方差．已知甲、乙两位同学五次考试（满分5分）数学和物理成绩如下表： 甲 ① ② ③ ④ ⑤ 数学成绩 1 2 3 4 5 物理成绩 1 3 3 3 5 2 5 6 7 10 乙 ① ② ③ ④ ⑤ 数学成绩 3 3 4 5 5 物理成绩 1 3 3 4 4 4 6 7 9 9 (1)依据表格数据分别求出甲、乙的数学成绩x与物理成绩y的协方差； (2)分别求出甲、乙两同学数学成绩的方差，以及物理成绩的方差，并计算他们数学物理总成绩的方差．根据计算结果，猜想一般情况下和之间的等量关系式（不需要证明）； (3)在一般情况下，证明：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1.1&5.1.2 数据的收集&数据的数字特征 题型一 总体、样本 1．（2025高一上·全国·专题练习）某高中为了了解高一年级1200名学生的视力情况，抽查了其中200名学生的视力，并进行统计分析．下列叙述正确的是（    ） A．上述调查属于普查 B．每名学生是总体的一个个体 C．200名学生的视力是总体的一个样本 D．1200名学生是总体 【答案】C 【分析】由抽样调查的定义逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为抽取一部分对象的调查方式是抽查，对全体对象进行研究的调查方式是普查，所以此调查为抽样调查，所以A错误； 对于B，每名学生的视力是总体的一个个体，所以B错误； 对于C，200名学生的视力是总体的一个样本，所以C正确； 对于D，1200名学生的视力是总体，所以D错误. 故选：C 2．（24-25高一下·河北沧州·期末）某校高中有42个班，每个班有50名学生，现从该校高中每班随机选派3名学生参加交通安全知识竞赛并统计参赛人员的成绩，则其样本量是（   ） A．42 B．50 C．126 D．150 【答案】C 【分析】由样本量的定义可得答案. 【详解】由题意可知样本量是. 故选：C 题型二 简单随机抽样 1．（2025高一·全国·专题练习）某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，分别为001，002，…，599，600，再从中抽取60个样本.随机数表的第5行到第7行如下. 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68  96  08  04   32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77  89  23  45   32  21  18  34  29  78  64  54  07  32  52  42  06  44  38  12  23  43  56  77  35  78  90  56  42 若从第6行第6列开始向右每次读取3个数字，则得到的第8个样本的编号为（    ） A．324 B．345 C．577 D．578 【答案】B 【分析】用随机数表法抽取，按既定的方法向右读，直到取到符合条件的第8个样本为止，即可得其编号． 【详解】从第6行第6列开始抽取三位数，分别为： 808，不满足；436，满足；789，不满足； 535，满足；577，满足；348，满足； 994，不满足；837，不满足；522，满足； 535，前面已有，故不满足；578，满足； 324，满足；577，前面已有，故不满足； 892，不满足；345，满足，且为第8个样本的编号. 故选：B. 2．（24-25高一下·福建福州·期末）用抽签法从学号为1到50的50名学生（其中含学生李华）中不放回抽取5名学生进行问卷调查，每次抽取一个号码，共抽取5次，设李华第一次被抽到的概率为，第五次被抽到的概率为，则（    ） A．a = ， B．a = ， C．a = ， D．a = ， 【答案】B 【分析】由题意结合简单随机抽样的特征即可确定实数，的值. 【详解】由简单随机抽样的定义知，每个个体在每次抽取中都有相同的可能性被抽到， 因为每次抽取一个号码，所以李华第一次被抽到的可能性为， 第五次被抽到的可能性为. 即李华同学在每次抽样中被抽到的可能性都是，所以，. 故选：B. 题型三 分层抽样 1．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）某学校高一、高二、高三年级的人数之比为，若利用分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，高三年级抽取的人数为人，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分层抽样可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由分层随机抽样的方法可知，所以． 故选：D． 2．（24-25高一下·河北·期末）某校高一年级有720名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为48的样本，其中身高在175cm以下的学生人数为32，则该校高一年级身高在175cm以下的学生人数为（    ） A．320 B．360 C．420 D．480 【答案】D 【分析】根据分层抽样定义计算即可. 【详解】由比例分配的分层抽样方法可得高一年级身高在175cm以下的学生人数为. 故选：D. 3．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）某校高中生共有3600人，其中高一年级1300人，高二年级人，高三年级1100人，现采取分层抽样法抽取容量为36的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（　　） A．11，14，11 B．12，12，12 C．14，12，10 D．13，12，11 【答案】D 【分析】根据分层抽样的定义求得抽样比，分别计算每个年级被抽到的人数，可得答案. 【详解】用分层抽样在各层中的每个个体被抽到的可能性为， 则在高一年级抽取的人数是（人）， 高二年级抽取的人数是（人）， 高三年级抽取的人数是（人）， 所以高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为13，12，11, 故选：D. 题型四 众数问题 1．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）样本数据2，8，13，13，20的众数为（    ） A．2 B．8 C．13 D．20 【答案】C 【分析】根据众数的定义求解. 【详解】这组数据中出现次数最多的是13，所以众数是13. 故选：C. 2．（24-25高二下·云南·期中）已知一组数据为3，4，4，5，2，4，2，则这组数据的众数为 ，它出现的频率为 . 【答案】 4 【分析】根据已知数据结合众数的定义及频率定义计算求解. 【详解】数据为3，4，4，5，2，4，2，则这组数据的众数为4，它出现的频率为. 故答案为：4；. 3．（24-25高一上·四川成都·开学考试）一组数据2，3，x，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是 ． 【答案】3 【分析】根据平均数得到方程，求出，从而求出众数. 【详解】∵一组数据2，3，x，5，7的平均数是4， ∴，解得， 由于3出现了2次，其他数据均出现1次， ∴这组数据的众数是3 故答案为：3 题型五 中位数问题 1．（2025高二下·浙江·学业考试）已知一组样本数据为“2，2，3，5，6，7，8”，该样本数据的中位数是（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 【答案】B 【分析】由中位数定义求解. 【详解】样本数据共7个，由中位数定义可知，从小到大，选择第4个数为作为中位数，即5. 故选：B 2．（24-25高一下·甘肃张掖·期末）从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是23，24，23，26，25，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．26，25 B．26，24 C．23，24 D．23，23 【答案】C 【分析】把给定的数据组由小到大排列，再求出众数及中位数. 【详解】原数据组由小到大排列为：23，23，23，24，25，25，26， 所以这组数据的众数和中位数分别是23，24． 故选：C． 3．（25-26高二上·黑龙江·阶段练习）已知，若，，，的中位数为2，则（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】分，，，四种情况，将数据从小到大排列，结合中位数定义列方程求解即可. 【详解】因为，所以， 分别令，解得， 当时，，所以，解得； 当时，，所以， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，，所以， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，，所以，解得（舍去）. 综上，. 故选：D 4．（25-26高一上·上海黄浦·阶段练习）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4100米混合泳接力金牌，以下是近几届奥运会男子4100米混合泳接力项目冠军的成绩（单位：秒），数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 这组数据的中位数为 ． 【答案】 【分析】根据中位数的概念求解. 【详解】这10个数的中位数是第5,6个数的算数平均数，为. 故答案为： 题型六 百分位问题 1．（25-26高三上·陕西·开学考试）已知样本数据5，6，6，6，8，9，10，11，则该组数据的第60百分位数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据百分位数的概念求解. 【详解】因为：， 所以样本数据5，6，6，6，8，9，10，11的第60百分位数是第5个数为8. 故选：C 2．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）若数据3，5，6，8，9，，18，21的上四分位数为15，则的值为（    ） A．12 B．15 C．21 D．22 【答案】A 【分析】根据条件，利用百分位数的求法，对分类讨论，即可求解. 【详解】因为， 若，则，解得，若，则上四分位数为，不合题意， 若，则上四分位数为不合题意， 故选：A. 3．（24-25高一下·山东烟台·期末）若数据，，，，，，，的分位数为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据百分位数的概念直接得解. 【详解】由， 则数据的分位数为， 解得， 故选：A. 4．（2025·陕西·模拟预测）已知一组数据按从小到大的顺序排列为，若该组数据的第60百分位数与这组数据的中位数相等，则实数的值为 . 【答案】6 【分析】计算出这组数据的第60百分位数和中位数，根据题意可得答案. 【详解】因为，所以这组数据的第60百分位数是， 又这组数据的中位数为，所以，得. 所以实数的值为6. 故答案为：6. 题型七 平均数问题 1．（24-25高一下·河北邯郸·期末）已知高一三班的某次数学测试中，某学习小组的成绩如下：70，75，94，85，85，90，86，90，85，100，则该小组成绩的平均数、众数、中位数的大小关系是（   ） A．众数=中位数<平均数 B．众数<中位数<平均数 C．众数<平均数<中位数 D．众数=平均数<中位数 【答案】B 【分析】根据众数、中位数、平均数的概念，求出相应的这三个数，比较大小，即得答案. 【详解】学习小组的成绩从小到大排列如下：70，75，85，85，85，86，90，90，94，100， 众数为85；中位数为， 平均数为, 故众数<中位数<平均数, 故选：B 2．（25-26高三上·重庆·阶段练习）高三某班有 15 名男生和 35 名女生， 在某次月考的数学成绩中， 男生的平均分比女生的平均分多 5 分， 则男生的平均分比全班的平均分（      ） A．多 1.5 分 B．多 2.5 分 C．多 3.5 分 D．多 4.5 分 【答案】C 【分析】由数据的均值性质，根据样本平均值估计总体平均值，从而得所求. 【详解】设男生平均分为，女生平均分为； 则， 总体平均分为， 则男生的平均分减全班的平均分为（分）， 故男生的平均分比全班的平均分多 3.5 分. 故选：C. 3．（25-26高三上·山东·开学考试）若一组样本数据的平均数为8，则数据，的平均数为 . 【答案】14 【分析】根据数据的平均数的性质以及计算公式，即可求得答案. 【详解】由于样本数据的平均数为8，故， 的平均数为， 则， 故数据，的平均数为， 故答案为：14 题型八 极差、方差、标准差问题 1．（24-25高一下·福建福州·期末）样本数据3，5，8，2，4，2的方差是 ； 【答案】/ 【分析】先计算出平均数后再计算方差即可得. 【详解】， . 故答案为：. 2．（23-24高一下·吉林·期末）若一组数据的平均数为4，方差为3，那么数据的平均数和方差分别是 ． 【答案】10，12 【分析】利用平均数、方差的性质可得答案. 【详解】若一组数据的平均数为4，方差为3， 则数据的平均数和方差分别是. 故答案为：. 3．（24-25高一下·陕西宝鸡·期末）某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的方差的值是 . 【答案】3 【分析】先求出总平均数，然后根据总方差与分层方差的关系求解即可. 【详解】由题知，全体学生周末在家学习时长的平均数为， 所以. 故答案为：3. 4．（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知数据1，2，4，的方差为，则 . 【答案】或3 【分析】根据方差公式计算即可. 【详解】数据1，2，4，的平均数为， 故方差为， 化简可得， 即，解得或. 故答案为：或3 5．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知15个数，，  ，的平均数为6，方差为9，现从中剔除，，，，这5个数，且剔除的这5个数的平均数为7，方差为5，则剩余的10个数，，  ，的方差为 ． 【答案】 【分析】根据平均数和方差的公式求解即可. 【详解】由题意知，，， 所以，所以剩余的10个数的平均数为． 根据方差公式， 得，， 即，， 所以， 所以剩余的10个数的方差为． 故答案为：． 题型九 数字特征的综合判断问题 1．（多选）（24-25高一下·贵州毕节·期末）一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，收集到一组数据（单位：），其样本容量为，经计算得，该样本的平均数为，方差为.检查时发现在收集这些数据时，遗漏了一个数据，并将一个数据错记为，将另一个数据错记为.对遗漏和错误的数据进行更正后，重新计算得新样本的平均数为，方差为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据样本平均数与方差的公式直接计算. 【详解】设个数据分别为， 其中被漏掉的数据为， 且数据被错记为，被错记为， 则由已知可得， ， 即，， 则改正后的平均数， 方差， 故选：AC. 2．（多选）（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）甲、乙两名同学近五次数学测试成绩数据分别为： 甲 乙 则（    ） A．甲组数据的极差大于乙组数据的极差 B．甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数 C．甲组数据的众数等于乙组数据的中位数 D．甲乙两组数据混合后的方差大于乙组数据的方差 【答案】ABC 【分析】根据平均数、众数、方差和极差的定义和公式进行求解即可. 【详解】根据数据可知，甲组数据的极差为，乙组数据的极差为， 故甲组数据的极差大于乙组数据的极差，故A正确； 甲组数据的平均数为：， 乙组数据的平均数为：，故B正确； 甲组数据的众数为72，乙组数据的中位数为72，故C正确； 甲组数据的方差为：， 乙组数据的方差为：， 甲乙两组数据混合后的平均数为， 故甲乙两组数据混合后的方差为，小于乙组数据的方差，故D错误. 故选：ABC. 题型十 数字特征的实际应用 1．（24-25高一下·山东青岛·期末）气象意义上进入春季的标志为“一年中第一次出现连续5天的日平均气温均不低于10摄氏度”.现有甲、乙、丙、丁四地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）： 甲地：5个数据的中位数为12，极差为3；    乙地：5个数据的平均数为11，众数为12； 丙地：5个数据的平均数为12，中位数为12；    丁地：5个数据的平均数为11，方差小于1. 则根据上面数据，肯定符合气象意义上进入春季的地区是（   ） A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 【答案】D 【分析】根据平均数、众数、中位数、极差、方差理解，结合题意逐地分析即可. 【详解】设甲地5天的日平均气温从低到高为：， 因为极差为3，所以， 取 此时存在日平均气温均低于10摄氏度情况， 故甲地不一定符合进入春季的标志； 设乙地5天的日平均气温从低到高为：， 其中互不相等，由5个数据的平均数为11， 所以， 取， 此时存在日平均气温均低于10摄氏度情况， 故乙地不一定符合进入春季的标志； 设丙地5天的日平均气温从低到高为：， 由5个数据的平均数为12， 则， 取， 此时存在日平均气温均低于10摄氏度情况， 故丙地不一定符合进入春季的标志； 设丁地5天的日平均气温为：， 由5个数据的平均数为11， 所以， 所以若方差小于1则： 则 由为正整数， 且 所以 设时，任何一个都不可能为， 所以当时， 不满足， 所以， 故丁地符合气象意义上进入春季， 故选：D. 2．（多选）（24-25高一下·广东·期末）在某年的中国足球超级联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；乙队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4．下列说法中正确的是（   ） A．平均说来甲队比乙队防守技术好 B．甲队比乙队技术水平更稳定 C．甲队有时表现很差，有时表现又非常好 D．乙队很少不失球 【答案】ACD 【分析】平均数反映数据的集中趋势，标准差反映数据的离散程度（波动大小），通过分析两队的平均失球数和失球个数的标准差来判断各选项的正确性. 【详解】对于A,由甲队每场比赛平均失球数是1.5,乙队每场比赛平均失球数是2.1, 说明甲队每场比赛平均失球数比乙队每场比赛平均失球数少， 所以平均说来甲队比乙队防守技术好，故A正确； 对于B、C,甲队全年比赛失球个数的标准差为1.1， 乙队全年失球个数的标准差是0.4， 说明甲队全年比赛失球个数的标准差较大， 所以甲队的表现时好时坏，起伏较大，故B错误，C正确； 对于D，乙队的平均失球数多，全年失球个数的标准差很小， 说明乙队的表现较稳定，经常失球,故D正确. 故选：ACD 3．（24-25高一下·河北·期末）为坚持健康第一的教育理念，帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锻炼意志，某校高一年级体育组开展“一分钟跳绳比赛”活动，甲班两位同学的近期训练中的跳绳数（单位：次／分钟）如下： A同学：124、140、130、132、136、104、130 B同学：130、136、126、130、120、124、130 (1)分别求两组数据的众数、中位数、极差； (2)根据两组数据的平均数和方差的计算结果（结果保留两位小数），比较两位同学的跳绳水平. 【答案】(1)答案见解析 (2)B同学发挥较稳定 【分析】（1）将题目中的数据由小到大的顺序排列，根据众数、中位数与极差的概念，可得答案； （2）根据平均数与方差的计算公式，结合其意义，可得答案. 【详解】（1）由题目中的数据，按照从小到大排列可得： A同学：104、124、130、130、132、136、140 B同学：120、124、126、130、130、130、136 A同学跳绳数的众数为130，中位数为130，极差为36， B同学跳绳数的众数为130，中位数为130，极差为16. （2）A同学跳绳数的平均数为， 方差 B同学跳绳数的平均数为， 方差 因为，所以两位同学的平均水平相当，但B同学发挥较稳定. 4．（24-25高一下·河南新乡·期末）玉菇甜瓜产于河南、山东等地，富含维生素和膳食纤维，汁水饱满，果肉细腻，清甜爽润．甲分别随机抽测了A产地和B产地各6个玉菇甜瓜的重量（单位：g），将得到的数据按从小到大的顺序分别记录如下： 第一组数据（A产地）： 第二组数据（B产地）： 已知第一组数据的极差和第二组数据的极差相等，第一组数据的第60百分位数和第二组数据的中位数相等． (1)求m，n； (2)请你估计哪个产地的玉菇甜瓜重量更稳定，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)估计A产地的玉菇甜瓜重量更稳定，理由见解析． 【分析】（1）利用极差相等求参数m，由第一组数据的第60百分位数和第二组数据的中位数相等求参数n； （2）求出两个产地所得数据的均值和方差，比较大小，即可得结论. 【详解】（1）由题意得，得 因为，所以第一组数据的第60百分位数为， 又第二组数据的中位数为，所以，得 （2）第一组数据的平均数为 方差为， 第二组数据的平均数为 方差为， 因为，所以估计A产地的玉菇甜瓜重量更稳定． 题型一 数字特征的综合问题 1．（24-25高一下·上海·期末）已知有一组样本数据为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，若删掉其中的两个数据和，得到新的一组样本数据，则下列说法中一定错误的是（    ）. A．若，则极差不变 B．若，则第75百分位数不变 C．若，则平均数不变 D．若，则中位数不变 【答案】B 【分析】利用极差、百分位数、平均数和中位数的概念和性质对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 极差表示的是数据中最大值与最小值之差， 因为删掉的两个数据满足，所以一定不是1和10. 所以此时极差仍为，保持不变，所以A正确； 对于选项B： 删除两个数据前，因为，所以第75百分位数为第8个数：8. 删除两个数据后，因为，所以可能是2和9，3和6. 因为，所以第75百分位数为第6个数和第7个数的平均值. 当是2和9时，第75百分位数为； 当是3和6时，第75百分位数为； 可以发现，第75百分位数变了，所以B错误； 对于选项C： 删除数据前，平均数为. 删除数据后，因为，所以平均数为，保持不变，C正确； 对于选项D： 删除数据前，中位数为. 删除数据后，因为，所以可能是. 此时中位数为5.5，保持不变，所以D正确. 故选：B. 2．（多选）（24-25高一下·陕西西安·期末）已知互不相等的数据，，，，，的平均数为，方差为，则下列选项中正确的是（    ） A．数据，，…，的平均数为 B．数据，，…，的标准差为 C．给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 D．给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 【答案】AC 【分析】根据平均值的性质求得平均数，然后利用方差的概念求解即可判断各项. 【详解】由题知，，， 所以，的平均数为， 的方差为， 所以数据，，…，的标准差为2s，A正确，B错误； 给原数据增加一个数据，且， 这七个数据的方差为， 故C正确，D错误. 故选：AC 3．（多选）（24-25高一下·河南洛阳·期末）甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次，并记下自己投掷时出现的点数，从而得到四组数据，这四组数据的相关情况如下： 甲：中位数为3，众数为2； 乙：中位数为3，极差为4； 丙：平均数为3，中位数为2； 丁：平均数为2，方差为3.2. 则在投掷过程中可能出现点数6的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】ABC 【分析】通过取掷骰子的点数，即可得A，B和C正确，再通过检验平均数为2，出现点数6时，方差为，即可求解. 【详解】若骰子的点数为，此时中位数为3，众数为2，极差为4，所以甲、乙投掷过程中可能出现点数6， 若骰子的点数为，此时平均数为3，中位数为2，所以丙投掷过程中可能出现点数6， 若掷骰子5次，平均数为2，方差为3.2，不妨设这5次骰子的点数分别为， 则，若，则， 此时方差为， 所以丁在投掷过程中不可能出现点数6， 故选：ABC. 4．（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）已知一组数据：12，31，24，33，22，35，45，25，16，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（    ） A．中位数不变 B．平均数不变 C．标准差不变 D．四分位数不变 【答案】AD 【分析】根据中位数、平均数、标准差及分位数的定义，对应原数据和去掉12和45后的数据做分析对比，即可得. 【详解】将原数据按从小到大的顺序排列为12，16，22，24，25，31，33，35，45，其中位数为25， 平均数是， 方差是， 由，得原数据的25%分位数是第3个数22， 由，得原数据的75%分位数是第7个数33． 将原数据去掉12和45，得16，22，24，25，31，33，35，其中位数为25， 平均数是， 方差是， 由，得新数据的25%分位数是第2个数22， 由，得新数据的75%分位数是第6个数33， 故中位数和25%，75%分位数不变， 又四分位数为25%，50%，75%分位数，50%分位数为中位数，故四分位数不变， 平均数与方差改变，即平均数与标准差改变． 故选：AD 5．（24-25高一下·内蒙古·期末）甲机床一天内生产的零件的重量（单位：）从小到大为． (1)求这组数据的分位数； (2)求这组数据的平均数和标准差； (3)求零件重量位于和之间的个数及所占的百分比． 参考数据：． 【答案】(1)10.5 (2)10， (3)6个， 【分析】（1）利用总体百分位数的估计求解分位数即可. （2）利用平均数公式求解平均数，利用标准差公式求解标准差即可. （3）结合题意求出和，再求出其中的零件个数和百分比即可. 【详解】（1）因为， 所以这组数据的分位数为． （2）由题意得， 由标准差公式得． （3）由题意得， 则零件重量位于和之间的有，共6个， 可得所占的百分比是． 6．（24-25高一下·湖北黄冈·期末）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：.记总的样本平均数，样本方差为. (1)证明：； (2)证明：； (3)现已知某高中共有学生1400人，其中男生800人，体重平均数66kg，方差为180，女生600人，体重平均数为52kg，方差为90，求出该校所有学生体重的平均数和方差. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)60kg， 【分析】（1）利用定义求出总体平均数即可； （2）利用定义求出总体方差即可； （3）代入（1）、（2）公式可得答案. 【详解】（1）设第一层有个数，分别为，平均数为，， 第二层有个数，分别为，平均数为，方差为， 则， 所以总体平均数； （2） ， 由可得 ， 同理， ∴ ； （3）由（1）可知，， 即该校所有学生体重的平均数为， 由（2）可知 . 7．（2025高一上·全国·专题练习）某市场监管系统市场主体数据分析大赛中，由10名专业评审、10名媒体评审和10名大众评审各组成一个评委小组，给参赛选手打分．打分均采用100分制，下面是三组评委对选手小明的打分： 小组A 85 91 87 93 88 84 97 94 95 86 小组B 84 87 92 96 89 95 92 91 94 90 小组C 95 89 95 96 97 93 92 90 89 94 (1)选择一个可以度量每一组评委打分相似性的量，并对每组评委的打分计算度量值； (2)你能依据（1）的度量值判断小组A，B与C中哪一个更像是由专业人士组成的吗？ (3)已知选手小华专业评审得分的平均数和方差分别为，，媒体评审得分的平均数和方差分别为，，大众评审得分的平均数和方差分别为，，将这30名评审的平均分作为最终得分，求该选手最终得分的方差． 【答案】(1)答案见解析 (2)C组评委更像是由专业人士组成的 (3)16 【分析】（1）可以用方差来度量每一组评委打分的相似性，方差越小，相似程度越高，根据方差公式计算出各组的方差即可. （2）利用（1）的结论，方差最小的即为结果. （3）根据给定条件，利用分层抽样的平均数公式及方差公式列式计算得解.. 【详解】（1）可以用方差来度量每一组评委打分的相似性，方差越小，相似程度越高. 小组的平均数， 小组的方差 ； 小组B的平均数， 小组B的方差 ； 小组C的平均数， 小组C的方差 . （2）由于专业评委给分更符合专业规则，相似程度应该高，即方差小，因而C组评委更像是专业人士组成的. （3）小华的得分分. 方差 . 1．（24-25高一下·湖北黄石·期末）在对某校高三学生体质健康状况的调查中，按照性别比例进行分层随机抽样.已知抽取了男生80人，女生120人，其方差分别为15，10，由此估计样本的方差的最小值为（   ） A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】B 【分析】根据题意，设男生体质健康状况的平均数为，女生的平均数为，总体的平均数为，方差为，结合方差的公式，分析选项，即可求解. 【详解】设男生体质健康状况的平均数为，女生的平均数为，总体的平均数为，方差为， 则， ， . 故选：B. 2．（24-25高一下·河北秦皇岛·期末）一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，x，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的第60百分位数是 . 【答案】6 【分析】先根据中位数是众数的倍，求出，然后根据百分位数的定义可求得结果. 【详解】因为数据1，4，4，，7，8(其中)的中位数为，众数为4， 所以，得， 因为， 所以这组数据的第60百分位数是6; 故答案为：6 3．（25-26高三上·上海·阶段练习）样本数据20，24，6，15，18，10，42，57，2，7的极差为，中位数为，则 . 【答案】/ 【分析】将数据从小到大排列，求出数据的极差和中位数，即可求得答案. 【详解】由题意知样本数据从小到大排列为2，6，7，10，15，18，20，24，42，57， 故极差为，中位数为， 故， 故答案为： 4．（2025高一上·全国·专题练习）近年来，加强青少年体育锻炼，重视体质健康已经在社会形成高度共识．为了考察某校各班参加两项以上体育项目锻炼小组的人数，在全校随机抽取五个班级，把每个班级参加两项以上体育项目锻炼小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本的标准差为2，若样本数据各不相同，则样本数据的80%分位数是 ． 【答案】9 【分析】设5个数据由小到大分别为a，b，c，d，e，根据平均数和标准差求出这5个数据，然后通过百分位数的定义求解即可. 【详解】由题意，可知样本平均数为7，样本的方差为4，设5个数据由小到大分别为a，b，c，d，e， 则，． 由于5个数的平方和为20，则必为． 由，解得或4；由，解得或8， 故样本数据为4，6，7，8，10． 因为，所以样本数据的80%分位数为． 故答案为：9 5．（24-25高一下·山东济南·期末）某同学用同一把尺子多次测量同一张标准A4纸的宽度，得到以下10个数据，，（单位：毫米）： 211 209 210 208 210 210 209 208 210 215 (1)计算该组数据的平均值和方差； (2)考虑到测量误差问题，可能存在无效数据，可以采用如下准则进行无效数据筛选： ①记（其中s为样本标准差，，）； ②若（其中n为样本容量），则该数据x，判断为无效数据，否则认为该数据有效． 对照表 n 3 4 5 6 7 8 9 10 1.16 1.48 1.72 1.89 2.02 2.13 2.22 2.29 （ⅰ）求，并判断是否为无效数据（结果保留两位小数）； （ⅱ）求，，，中无效数据的个数，并说明理由． （参考数据：） 【答案】(1)平均数为210，方差为3.6 (2)（ⅰ）为无效数据，（ⅱ）1个，理由见解析 【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式即可求解， （2）（ⅰ）（ⅱ）根据的计算公式，与的值比较即可求解 【详解】（1）平均数, 方差 （2）（ⅰ）由可得， 故是无效数据， （ⅱ）由表中数据可知：故此时可得， 此时 此时， 故，，，均为有效数据， 由（ⅰ）知是无效数据，因此无效数据只有1个 6．（24-25高一下·湖北武汉·期末）统计学中，协方差用来描述两组数据和之间的总体的误差．定义：协方差．已知甲、乙两位同学五次考试（满分5分）数学和物理成绩如下表： 甲 ① ② ③ ④ ⑤ 数学成绩 1 2 3 4 5 物理成绩 1 3 3 3 5 2 5 6 7 10 乙 ① ② ③ ④ ⑤ 数学成绩 3 3 4 5 5 物理成绩 1 3 3 4 4 4 6 7 9 9 (1)依据表格数据分别求出甲、乙的数学成绩x与物理成绩y的协方差； (2)分别求出甲、乙两同学数学成绩的方差，以及物理成绩的方差，并计算他们数学物理总成绩的方差．根据计算结果，猜想一般情况下和之间的等量关系式（不需要证明）； (3)在一般情况下，证明：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先根据平均数的计算公式分别求出甲乙两同学的数学平均成绩和物理成绩，再根据协方差公式分别代入计算即可； （2）根据方差的计算公式分别计算即可求出甲、乙两同学数学成绩的方差，以及物理成绩的方差，根据平均数的计算公式即可求出甲、乙的数学与物理总成绩，再根据方差的计算公式即可求出他们数学物理总成绩的方差，即可猜想出一般情况下和之间的等量关系式； （3）把证明转化成证明，然后分等于0和不等于0两种情况讨论，在这种情况中，利用均值不等式放缩，再用累加法即可得证. 【详解】（1） 甲的数学成绩x与物理成绩y的协方差： 乙的数学成绩x与物理成绩y的协方差： （2）解甲的数学成绩x与物理成绩y的方差为： 乙的数学成绩x与物理成绩y的方差为：                      甲的数学与物理总成绩： 乙的数学与物理总成绩：                  由甲、乙同学成绩数据可知： （3）欲证， 只需证 即证 以下证明（※）式： ①当时，（※）式显然成立 ②当时，由均值不等式     …… 则上述n个不等式相加可得： 所以则（※）式成立， 所以成立 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $