课时测评13 数据的数字特征-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

(时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是(　　 ) A．85，85，85 B．87，85，86 C．87，85，85 D．87，85，90 答案：C 解析：平均分为(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75)＝87.由众数的定义可知众数为85，中位数为85.故选C. 2．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3.若该样本的平均数为1，则样本方差为(　　 ) A. B． C． D．2 答案：D 解析：由题可知样本的平均数为1，所以＝1，解得a＝－1，所以样本的方差为×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.故选D. 3．某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设该组数据的平均数为a，第50百分位数为b，则有(　　) A．a＝13.7，b＝15.5 B．a＝14，b＝15 C．a＝12，b＝15.5 D．a＝14.7，b＝15 答案：D 解析：把该组数据按从小到大的顺序排列为10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，其平均数a＝×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，第50百分位数为b＝＝15.故选D. 4．(多选)下列命题中是真命题的有(　　) A．有A，B，C三种个体按3∶1∶2的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30 B．一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同 C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲 D．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5 答案：BD 解析：对于A，样本容量为9÷＝18，故A错误；对于B，数据1、2、3、3、4、5的平均数为＝3，众数、中位数都是3，故B正确；对于C，甲组数据的方差为5，乙组数据的平均数为＝7，方差为[＋＋＋＋]＝＝4.4，所以乙的方差小于甲的方差，所以乙稳定，故C错误；对于D，将数据按从小到大顺序排列，则1，2，2，2，3，3，3，4，5，6一共10个数，10×85%＝8.5，8.5不是整数，则第9项5是第85百分位数，故D正确．故选BD. 5．(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c，c为非零常数，则(　　) A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同 答案：CD 解析：A项，设＝i，则＝i＝(xi＋c)＝i＋c，所以＝＋c，因为c≠0，所以≠，所以A选项错误．B项，因为yi＝xi＋c，所以y1，y2，…，yn的中位数是x1，x2，…，xn的中位数加c，所以B选项错误．C项，设s＝，s＝，则s＝＝，所以s＝s，所以两组数据的方差相同，从而这两组数据的标准差相同，所以C选项正确．D项，不妨设x1≤x2≤…≤xn，则第一组数据的极差为xn－x1，且y1≤y2≤…≤yn，则第二组数据的极差为yn－y1＝－＝xn－x1，所以两组数据的极差相同，所以D选项正确．故选CD. 6．已知数据x1，x2，…，xn的平均数＝5，方差s2＝4，则数据3x1＋7，3x2＋7，…，3xn＋7的平均数为________，标准差为________． 答案：22　6 解析：数据x1，x2，…，xn的平均数＝5，所以数据3x1＋7，3x2＋7，…，3xn＋7的平均数为3×5＋7＝22，因为数据x1，x2，…，xn的方差s2＝4，则数据3x1＋7，3x2＋7，…，3xn＋7的方差为32×4＝36，则标准差为6. 7．某射击队员在一次训练中射击10次，其环数分别为8，9，7，8，6，9，10，9，7，9，则该组数据的50%分位数为________，75%分位数为________． 答案：8.5　9 解析：把该组数据从小到大排列，得6，7，7，8，8，9，9，9，9，10，又10×50%＝5，10×75%＝7.5，所以50%分位数为＝8.5；75%分位数为第8 项数据9. 8．设样本数据x1，x2…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝2xi＋1，(i＝1，2，…10)，则y1，y2…，y10的均值为________，方差为________． 答案：3　16 解析：样本数据xi的均值为，方差为s2，则新样本yi＝2xi＋1的均值为＝2＋1＝2×1＋1＝3，方差为22s2＝4×4＝16. 9．(10分)某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，他们在培训期间参加的8次测试成绩记录如下： 　甲　95　82　88　81　93　79　84　78 乙　83　92　80　95　90　80　85　75 分别计算两人成绩的平均数和方差，并判断哪个工人的成绩稳定． 解：甲＝×(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85， 乙＝×(83＋92＋80＋95＋90＋80＋85＋75)＝85. s＝×[(95－85)2＋(82－85)2＋(88－85)2＋(81－85)2＋(93－85)2＋(79－85)2＋(84－85)2＋(78－85)2]＝35.5， s＝×[(83－85)2＋(92－85)2＋(80－85)2＋(95－85)2＋(90－85)2＋(80－85)2＋(85－85)2＋(75－85)2]＝41. 因为甲＝乙，s＜s，所以甲的成绩较稳定． 10．(5分)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是(　　) A．中位数　　　　　　 B．平均数 C．方差 D．极差 答案：A 解析：记9个原始评分分别为a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的顺序排列)，易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数．而其他三个数字特征都和具体的数据相关，不能确定是否不变． 11．(5分)一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，x，5，10，其中x≠5，已知该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的标准差为________． 答案：3 解析：由题意，可得该组数据的众数为2，所以＝×2＝3，解得x＝4，故该组数据的平均数为＝4.所以该组数据的方差为×[(1－4)2＋(2－4)2＋(2－4)2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(10－4)2]＝9，即标准差为3. 12．(15分)下面是某城市某日在不同观测点对细颗粒物(PM2.5)的观测值： 275　268　237　208　225　396　168　199　157 166 176 173 188 221 176 159 168 150 173 198 177 129 144 163 141 142 157 142 112 136 140 166 102 110 98 (1)数据中有无众数？(3分) (2)计算数据的中位数与均值，它们相等吗？(4分) (3)若数据中的最大值比现有的最大值多25，数据的极差、中位数、众数、平均数发生改变了吗？(8分) 解：(1)因为142，157，166，168，173，176均出现两次， 所以142，157，166，168，173，176都是众数． (2)将数据从小到大排序，得到中位数是166， 平均值为(275＋268＋237＋208＋225＋396＋168＋199＋157＋166＋176＋173＋188＋221＋176＋159＋168＋150＋173＋198＋177＋129＋144＋163＋141＋142＋157＋142＋112＋136＋140＋166＋102＋110＋98)＝，两者不相等. (3)因为极差是数据中的最大值减去最小值，所以极差变了， 因为中位数与数据的最大值无关，所以中位数不变． 众数不变，平均数改变． 13．(5分)2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；③部分选对得部分分(若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分).已知在某次新结构数学试题的考试中，小明同学三个多选题中第一小题确定得满分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，则小明同学多选题所有可能总得分(相同总分只记录一次)的中位数为________． 答案：11 解析：由题意得小明同学第一小题得6分；第二小题选了2个选项，可能得分情况有3种，分别是得0分、4分和6分；第三小题选了1个选项，可能得分情况有3种，分别是得0分、2分和3分；由于相同总分只记录一次，因此小明的总分情况有：6分、8分、9分、10分、12分、13分、14分、15分共8种情况，所以中位数为＝11. 14．(20分)以下是某地在甲、乙两个重要道路交叉口设置的电子监控在连续一周时间里抓拍到的每一天的车辆违章次数情况： 甲：6，8，9，10，9，9，12； 乙：7，9，8，11，10，9，11. (1)试分别求甲、乙两路口车辆违章次数的平均数、中位数、众数；(8分) (2)分别求甲的25%分位数和乙的75%分位数．(12分) 解：(1)甲路口车辆违章次数的平均数为＝9， 将各数按从小到大排序为6，8，9，9，9，10，12，因此中位数为9，众数是9. 乙路口车辆违章次数的平均数为≈9.3， 将各数按从小到大排序为7，8，9，9，10，11，11，因此中位数是9，众数是9和11. (2)将甲组数从小到大排列为6，8，9，9，9，10，12，共7个数， 因为7×25%＝1.75，所以甲组数的25%分位数为8. 将乙组数从小到大排列为7，8，9，9，10，11，11， 因为7×75%＝5.25，所以乙的75%分位数为11. 学科网（北京）股份有限公司 $