5.1.2 数据的数字特征（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教B版2019）

5.1.2　数据的数字特征 基础过关练 题组一　最值、平均数、中位数、百分位数、众数 1.一个车间里有10名工人装配同种电子产品,现记录他们某天装配电子产品的件数如下:10,12,9,7,10,12,9,11,9,8,若这组数据的平均数为a,中位数为b,众数为c,则a,b,c的大小关系为(　　) A.c>b>a　　　　B.b>c>a　　　　C.a>b>c　　　　D.c>a>b 2.某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛,通过简单随机抽样,获得了10个班的比赛得分如下:91,89,90,92,94,87,93,96,91,85,则这组数据的80%分位数为(　　) A.92　　　　B.93　　　　C.92.5　　　　D.93.5 3.在从小到大排列的数据20,21,25,31,31,■,34,42,43,45,47,48中,有一个数据被污染而模糊不清,但曾计算得该组数据的最小值与中位数之和为53,则被污染的数据为(　　) A.31　　　　B.33　　　　C.32　　　　D.34 4.若数据x1,x2,…,x12的平均数为10,则新数据x1+1,x2+1,…,x12+1,24的平均数为(　　) A.11　　　　B.12　　　　C.13　　　　D.14 5. 已知某公司的33名职工的月工资(单位:元)如下表所示: 职务 董事长 副董事长 董事 总经理 人数 1 1 2 1 月工资/元 55 000 50 000 35 000 20 000 职务 经理 管理员 职员 人数 5 3 20 月工资/元 10 000 8 000 4 500 (1)求该公司职工的月工资的平均数、中位数、众数;(精确到整数) (2)假设副董事长的月工资从50 000元提升到100 000元,董事长的月工资从55 000元提升到200 000元,求新的平均数、中位数、众数;(精确到整数) (3)哪个统计量更能反映该公司职工的工资水平?结合此问题谈一谈你的看法. 题组二　极差、方差与标准差 6.在某项体育比赛中,七位裁判为某一选手打出的分数如下:90,89,90,95,93,94,93,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为(　　) A.92,2　　　　B.92,2.8 C.93,2　　　　D.93,2.8 7.小张、小陈为了了解自己的数学学习情况,他们对去年一年的数学测试情况进行了统计分析,其中小张全年测试的平均成绩是135分,全年测试成绩的标准差为6.3;小陈全年测试的平均成绩是130分,全年测试成绩的标准差为3.5.下列说法正确的是(　　) A.小张数学测试的最高成绩一定比小陈高 B.小张数学成绩的极差较小陈的大 C.小陈比小张的测试发挥水平更稳定 D.平均来说,小陈比小张数学成绩更好 8.一次投篮练习后,体育老师统计了第一小组10名同学的命中次数作为样本,计算出该样本的平均数为6,方差为3,后来这个小组又增加了一名同学,投篮命中次数为6,那么这个小组11名同学投篮命中次数组成的新样本的方差是(　　) A.3　　　　B. 9.一组数据按从小到大的顺序排列为1,2,2,x,5,10,其中x≠5,若该组数据的中位数是众数的倍,则该组数据的极差和标准差分别为(　　) A.9,9　　　　B.8,4　　　　 C.9,3　　　　D.5,2 10.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.极差和标准差都能描述一组数据的离散程度 B.将一组数中每个数减去同一个非零常数后,这一组数的平均数改变,方差不改变 C.一个样本的方差s2=[(x1-3)2+(x2-3)2+…+(x20-3)2],则这组数据的总和等于60 D.数据a1,a2,…,an的方差为s2,则数据2a1,2a2,…,2an的方差为2s2 11.(多选题)某人投掷骰子5次,记录向上的点数,由于记录遗失,只知道这5个点数的平均数为3,方差不超过1,则这5个点数中(　　) A.众数可能为3　　　　B.中位数可能为2 C.极差可能为2　　　　D.最大点数可能为5 12.某班的数学平均分为125分,方差为.经分析发现有三名同学的成绩录入有误,A同学实际成绩为137分,被错录为118分;B同学实际成绩为115分,被错录为103分;C同学实际成绩为98分,被错录为129分.更正后重新统计,得到方差为,则的大小关系为　　　　.  13.某人5次下班途中所花的时间(单位:分钟)分别为m,n,5,6,4.已知这组数据的平均数为5,方差为2,则|m-n|=　　　　.  题组三　数据的数字特征的应用 14.在两块面积相等的试验田中,分别种植甲、乙两种水稻,观测它们连续6年的产量(单位:kg)如表所示: 甲、乙两种水稻连续6年的产量 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 第6年 甲 2 890 2 960 2 950 2 850 2 860 2 890 乙 2 900 2 920 2 900 2 850 2 910 2 920 根据以上数据,下列说法正确的是(　　) A.甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数小 B.甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小 C.甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等 D.甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定 15.一次数学知识竞赛中,两组学生的成绩(单位:分)如下表: 成绩/分 50 60 70 80 90 100 人数 甲组 2 5 10 13 14 6 乙组 4 4 16 2 12 12 已经算得两个组的平均分都是80分,请根据你所学过的统计知识,进一步判断这两组在这次竞赛中的成绩谁优谁次,并说明理由. 能力提升练 题组一　数据的数字特征 1.(多选题)某市举行高中英语演讲比赛,已知12位评委对某位选手评分数据具体如下:7,7.5,7.8,7.8,8.2,8.3,8.5,8.7,9.1,9.2,9.9,10,则(　　) A.中位数为8.3 B.极差为3 C.75%分位数为9.15 D.去掉最高分和最低分,不会影响到这位选手的平均得分 2.一组数据按从小到大的顺序排列为1,4,4,4,x,7,8,若该组数据的60%分位数是众数的倍,则该组数据的方差是(　　) A.5　　　　B. 3.(多选题)某篮球爱好者在一次篮球训练中需进行五轮投篮,每轮投篮5次.已知其前四轮投中的次数分别为2,3,4,4,则第五轮结束后下列可能发生的是(　　) A.五轮投中次数的平均数是3,极差是3 B.五轮投中次数的中位数是3,第五轮投中的次数是1 C.五轮投中次数的平均数是3,方差是0.8 D.五轮投中次数的中位数是3,极差是3 4.现有一组数据不知道其具体个数,只知道该组数据平方后的数据的平均值是a,该组数据扩大到原来的m倍后的数据的平均值是b,则原数据的方差、平方后的数据的方差、扩大到原来的m倍后的数据的方差三个量中,能用a,b,m表示的量的个数是(　　) A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3 5.已知两组数据:27,28,37,m,40,50;24,n,34,43,48,52.若这两组数据的30%分位数、50%分位数分别对应相等,则等于　　　　.  6.由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为　　　　　　.  7.一个容量为9的样本,它的平均数为,方差为,把这个样本中一个为4的数据去掉,变成一个容量为8的新样本,则新样本的平均数为　　　　,方差为　　　　.  题组二　数据的数字特征的应用 8.某零件加工厂认定工人通过试用期的方法如下:随机选取试用期中的5天,再从每天生产的零件中分别随机抽取25件,要求每天的合格品均不少于22件.若甲、乙、丙三人在各自5天试用期内抽检样本中的合格品件数统计如下,甲:中位数为24,极差不超过2;乙:平均数为23,方差不超过1;丙:众数为23,方差不超过1,则他们三人中一定能通过试用期的有(　　) A.甲、乙　　　　B.甲、丙 C.乙、丙　　　　D.甲、乙、丙 9.在某病毒流行期间,为了让居民能及时了解病毒是否被控制,专家组通过会商一致认为:病毒被控制的标志是“连续7天每天新增感染人数不超过5”.记连续7天每天记录的新增感染人数的数据为一个预报簇,根据最新的连续四个预报簇依次计算得到如下结果:①平均数≤3;②平均数≤3,且标准差s≤2;③平均数≤3,且极差m≤2;④众数等于1,且极差m≤4.其中能够说明病毒被控制住的预报簇为　　　　.(填序号)  答案与分层梯度式解析 5.1.2　数据的数字特征 基础过关练 1.C 2.D 3.C 4.B 6.B 7.C 8.B 9.C 10.ABC 11.AC 14.B 1.C　将数据从小到大排序,依次为7,8,9,9,9,10,10,11,12,12, 所以它们的平均数a=×(7+8+9+9+9+10+10+11+12+12)=9.7,中位数b==9.5,众数c=9,所以a>b>c. 2.D　将数据从小到大排列为85,87,89,90,91,91,92,93,94,96,而10×80%=8, 所以这组数据的80%分位数为=93.5. 3.C　设被污染的数据为x,因为该组数据的最小值为20,所以中位数为53-20=33,所以=33,解得x=32,则被污染的数据为32.故选C. 4.B　因为数据x1,x2,…,x12的平均数为10,所以x1+x2+…+x12=12×10=120,所以新数据x1+1,x2+1,…,x12+1,24的平均数为(x1+1+x2+1+…+x12+1+24)=×(120+12+24)=12. 5.解析　(1)平均数是×(4 500×20+8 000×3+10 000×5+20 000+35 000×2+50 000+55 000)≈10 879(元), 中位数是4 500元,众数是4 500元. (2)新的平均数是×(4 500×20+8 000×3+10 000×5+20 000+35 000×2+100 000+200 000)≈16 788(元), 中位数是4 500元,众数是4 500元. (3)中位数或众数均能反映该公司职工的工资水平.该公司中少数人的月工资与大多数人的月工资差别较大,导致平均数与中位数、众数偏差较大,所以平均数不能反映该公司职工的工资水平. 6.B　去掉一个最高分95与一个最低分89后,所剩的5个数据分别为90,90,93,94,93,其平均数为×(90+90+93+94+93)=92,方差为×[2×(90-92)2+2×(93-92)2+(94-92)2]=2.8,故选B. 7.C　平均成绩和标准差不能反映最高成绩,故A错误; 极差是一组数的最大值减去最小值所得的差,而小张和小陈具体的测试成绩未知,所以无法判断极差的大小,故B错误; 标准差反映数据的波动程度,而3.5<6.3,说明小陈的成绩更稳定,小张的成绩波动比较大,故C正确; 小张的平均成绩高于小陈的平均成绩,所以平均来说小张比小陈数学成绩更好,故D错误. 8.B　设开始10名同学的命中次数分别为x1,x2,…,x9,x10, 则有=6,得x1+x2+…+x9+x10=60, 则新样本的平均数为=6,记为, 则新样本的方差s2=+…++…+. 9.C　由题意得该组数据的极差为10-1=9,中位数为,众数为2,∴1+,∴x=4. ∴该组数据的平均数为=×(1+2+2+4+5+10)=4, 方差s2=×[(1-4)2+(2-4)2+(2-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(10-4)2]=9, ∴该组数据的标准差为3.故选C. 10.ABC　根据极差和标准差的定义可知二者均可描述一组数据的离散程度,故A正确; 根据平均数及方差的计算公式可得,将一组数中每个数减去同一个非零常数后,这一组数的平均数改变,方差不改变,故B正确; 由一个样本的方差s2=[(x1-3)2+(x2-3)2+…+(x20-3)2],可知该样本的平均数为3,故这组数据的总和等于60,故C正确; 数据a1,a2,…,an的方差为s2,则数据2a1,2a2,…,2an的方差为4s2,故D错误.故选ABC. 11.AC　对于A,当这5个点数都为3时,满足题意,且众数为3,故A正确; 对于B,若中位数为2,则方差最小时该组数据为2,2,2,4,5,方差为1.6,大于1,不符合题意,故B错误; 对于C,当5个点数分别为2,3,3,3,4时,满足题意,且极差为2,故C正确; 对于D,若最大点数为5,则方差最小时该组数据为2,2,3,3,5,方差为1.2,大于1,不符合题意,故D错误. 12.答案　 解析　设班级人数为n(n>0,n∈N*),因为118+103+129=137+115+98,所以更正前后平均分不变, 又(118-125)2+(103-125)2+(129-125)2=549,(137-125)2+(115-125)2+(98-125)2=973, 所以. 13.答案　4 解析　由题意得,m+n+5+6+4=25,即m+n=10.根据方差公式得(m-5)2+(n-5)2=8.设m=5+t,n=5-t,则2t2=8,解得t=±2,∴|m-n|=2|t|=4. 14.B　对于A,甲种水稻产量的平均数为=2 900(kg), 乙种水稻产量的平均数为=2 900(kg), 所以甲种水稻产量的平均数和乙种水稻产量的平均数相等,故A不正确; 对于B,甲种水稻产量的数据从小到大排列为2 850,2 860,2 890,2 890,2 950,2 960,中位数为2 890, 乙种水稻产量的数据从小到大排列为2 850,2 900,2 900,2 910,2 920,2 920,中位数为=2 905, 所以甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小,故B正确; 对于C,甲种水稻产量的极差为2 960-2 850=110,乙种水稻产量的极差为2 920-2 850=70, 所以甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差不相等,故C不正确; 对于D,甲种水稻的产量的方差为×[(2 850-2 900)2+(2 860-2 900)2+(2 890-2 900)2+(2 890-2 900)2+(2 950-2 900)2+(2 960-2 900)2]=, 乙种水稻的产量的方差为×[(2 850-2 900)2+(2 900-2 900)2+(2 900-2 900)2+(2 910-2 900)2+(2 920-2 900)2+(2 920-2 900)2]=, 所以乙种水稻产量的方差小于甲种水稻产量的方差,所以乙种水稻的产量比甲种水稻的产量稳定,故D不正确.故选B. 15.解析　答案不唯一. (1)从成绩的众数看,甲组成绩的众数为90分,乙组成绩的众数为70分,所以甲组成绩好些. (2)从成绩的方差看,×(2×900+5×400+10×100+13×0+14×100+6×400)=172, ×(4×900+4×400+16×100+2×0+12×100+12×400)=256. 因为,所以甲组成绩比乙组成绩稳定. (3)从不低于平均分的人数看,甲组成绩在80分以上(含80分)的有33人,乙组成绩在80分以上(含80分)的有26人,所以甲组成绩总体较好. (4)从题中成绩统计表看,甲组成绩大于或等于90分的人数为20,乙组成绩大于或等于90分的人数为24,所以乙组成绩在高分段的人数多,同时,乙组得满分的比甲组得满分的多6人,所以乙组成绩较好. 能力提升练 1.BCD　中位数为=8.4,A错误; 极差为10-7=3,B正确; 因为12×75%=9,所以75%分位数为=9.15,C正确; 这位选手的平均分为 =8.5, 去掉最高分和最低分后的平均分为 =8.5, 故去掉最高分和最低分,不会影响到这位选手的平均得分,D正确.故选BCD. 2.B　该组数据共7个数,7×0.6=4.2,故60%分位数为从小到大第5个数x,又众数为4,故x=4×=7,故该组数据的平均数为×(1+4+4+4+7+7+8)=5, 故该组数据的方差是. 3.BCD　2+3+4+4=13.若平均数为3,则第五轮投中的次数为3×5-13=2,所以极差为4-2=2,方差为×[(2-3)2×2+(3-3)2+(4-3)2×2]=0.8,故A错误,C正确;若中位数为3,则第五轮投中的次数可能为0,1,2,3,其极差分别为4,3,2,2,故B,D正确. 4.C　设该组数据为x1,x2,…,xn,则平均值, 所以a=, 所以. 原数据的方差,可以用a,b,m表示. 扩大到原来的m倍后的数据的方差 =m2· =m2=m2a-b2,可以用a,b,m表示. 平方后的数据的方差 -a2,不能用a,b,m表示. 5.答案　 解析　因为30%×6=1.8,50%×6=3,所以第一组数据的30%分位数为28,50%分位数为,第二组数据的30%分位数为n,50%分位数为. 所以. 6.答案　1,1,3,3 解析　不妨设x1≤x2≤x3≤x4,则x1,x2,x3,x4均为正整数,且 ∴x1=x2=x3=x4=2或x1=1,x2=x3=2,x4=3或x1=x2=1,x3=x4=3. ∵标准差为1, ∴=1, ∴x1=x2=1,x3=x4=3. 由此可得这组数据为1,1,3,3. 7.答案　5;2 解析　设9个样本数据分别为x1,x2,…,x9,则,所以新样本的平均数为×-4=5.因为= =17,所以新样本的方差为(xi-5)2-(4-5)2=×(17-1)=2. 8.A　由甲的统计数据可知,甲至少有3天的合格品件数不小于24,且最小的合格品件数不小于22,所以甲一定能通过. 设乙的抽检样本中每天的合格品件数为ai(i=1,2,3,4,5), ai∈N,则≤1,即≤5,若乙有不止一天的合格品件数小于22,则>5,不合题意;若乙只有一天的合格品件数小于22,不妨取a1=21,则=4,由平均数为23,可知有一天的合格品件数为25或至少有两天的合格品件数为24,无论哪种情况,都可以得到>5,不合题意,所以乙每一天的合格品件数都不小于22,故乙一定能通过. 对于丙,若丙5天的合格品件数分别为21,22,23,23,23,则众数为23,方差为0.64,符合丙的统计数据,但丙不能通过试用期.故选A. 9.答案　③④ 解析　若连续7天每天记录的数据为0,0,0,0,2,6,6,则满足平均数=2≤3,但不能说明病毒被控制住,故①不符合; 若连续7天每天记录的数据为0,3,3,3,3,3,6,则满足平均数≤3且标准差s=≤2,但不能说明病毒被控制住,故②不符合; 假设7天中某一天新增感染人数x超过5,即x≥6,则极差m>6-,由≤3得6-≥3,即m>3,故假设不成立,故③符合; 假设7天中某一天新增感染人数x超过5,即x≥6,则极差m≥6-1=5,故假设不成立,故④符合. 15 学科网（北京）股份有限公司 $$