专练(六)概率的计算&专练(七)相似三角形的性质与判定-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版 宁夏专版）

2.2千9.8心AB=17m答：旗杆的高度AB为17m.14.解：(1)如图，点E即为所 2.2 求：(1，-1) (2)如图，△A2B2C2即为所求. 阶段微测试（九） 1.C2.B3.B4D5B6B7.A8B9,俯10.24.8m12.(停0) 13.解：如图所示. 14.解：(1)圆形：(2)阴影会逐渐变小：(3)如图， 主视图 左视因 ○ 俯视图 设白炽灯为点A,球心为点O,球与光线的切点为点D,光线与地面的交 点为点C,延长AO交地面于点E,连接OD.由题意可知AO=1m,AE=3m,OD= 0.2m.OD⊥AD,AE⊥EC,∠ADO=∠AEC=90°.又：∠DAO=∠EAC, ÷△0DA∽△CEA咒铝CE品在R△A0D中，由勾股定理，得AD A0-0D=1-0.2=-0.96∴CE-A8=0.375,SE=CE=0.375mm) 阶段微测试（十） 1.A2.B3.D4.C5.B6.C7A8B9.-号 10.一3（答案不唯一） 11.0.22<I<0.2512.213.解：(1)由电流I与电阻R是反比例函数关系.设I= ，把(3,16)代入，得16-号，U=48,∴该品牌电动车电池的电压为48V:(2)由( U 知1-贷当1=.2A时，R=号=6号当1-8A时，R-餐-6电阻值的范围是 6Q一6号0.14.解：1：点Am,4)在反比例函数y=兰的图象上4=六解得 m=1,∴.点A的坐标为(1,4).又：点A(1,4)在一次函数y=x十b的图象上，∴.4=1十 b,解得b=3,∴.b的值为3；(2)由(1)可知，直线AB的表达式为y=x十3.当y=0时，x 十3=0，解得x=一3，.点B的坐标为（一3,0），.OB=3.当x=0时，y=0十3=3， ·点C的坐标为(0,3)，.0C=3.:SBr=2Samc号·0B·lp=2X2·0C… x,即号X3m=2×号×3X1,解得w=士2，当y=2时，是=2，解得x=2,∴点P 的坐标为(2,2)：当y=-2时，1=-2，解得x=-2,点P的坐标为(-2，-2).综 上所述，点P的坐标为(2,2)或(-2，一2). 第43页（共54页） 重点题型专练答案 专练（一）特殊平行四边形的性质与判定 1.D2.B3.75°4.√35.46.证明：：四边形ABCD是正方形，.BC=CD,∠BCE BC=DC, =90°.∴.∠DCF=180°-∠BCE=90°.在△BCE和△DCF中，∠BCE=∠DCF, CE=CF, ∴.△BCE≌△DCF(SAS),∴.∠EBC=∠CDF.7.解：(1)平行四边形(2)四边形 ABCD四条边上的巾点分别为E,F,G,H,EH∥AC,EH=AC,PG∥AC,FG= 2AC.∴EH∥FG,EH=FG.∴四边形EFGH是平行四边形：(3)AC=BD(4)AC= BD且AC⊥BD8.证明：(1)，四边形ABCD是平行四边形，∴.AD=BC,AB=CD, AB∥CD,则BE∥CD.又'AB=BE,∴.BE=DC,∴.四边形BECD为平行四边形， AB=BE, ∴.BD=EC.在△ABD和△BEC中，BD=EC,∴.△ABD≌△BEC(SSS);(2)由(1) AD=BC, 知，四边形BECD为平行四边形，则OD=OE,OC=OB..四边形ABCD为平行四边 形，∴∠A=∠BCD,即∠A=∠OCD.又：∠BOD=2∠A,∠BOD=∠OCD+∠ODC, ∴.∠OCD=∠ODC,∴.OC=OD,∴.OC+OB=OD+OE,即BC=ED,.四边形BECD 是矩形.9.解：(1)四边形CODP是菱形.理由如下：DP∥OC,DP=OC,.四边形 CODP是平行四边形.：四边形ABCD是矩形，AC=BD,OA=OC=AC,OB= OD=合BD,:OC=OD.:四边形CODP是菱形：2)四边形CODP是矩形，理由如 下：同(1)可得四边形CODP是平行四边形.：四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD. ∴∠DOC=90°.∴.四边形CODP是矩形；(3)四边形CODP是正方形.理由如下：同(1) 可得四边形CODP是平行四边形.：四边形ABCD是正方形，∴.AC⊥BD,AC=BD, 0A=OC=AC,OB=OD=号BD.·∠D0C=90,0D=0C∴四边形C0DP是正 方形 专练（二）特殊平行四边形的最值与探究 1.D2.A3.124.55.136.57.解：(1)四边形ABCD是菱形，AD 2 =CD,∠ADP=∠CDP.PD=PD,.△ADP≌△CDP(SAS),.PA=PC..PA= PE,.PC=PE;(2)CE=AP.理由如下：：△ADP≌△CDP,·∠PAD=∠PCD. .PA=PE,.∠PAD=∠PED,.∠PED=∠PCD.'∠DFE=∠PFC,.∠EDF= ∠EPC.四边形ABCD是菱形，∴∠ADC=∠ABC=120°，∴∠EPC=∠EDF=60°. :PC=PE,∴△PEC是等边三角形，.CE=PE,∴.CE=AP. 专练（三）一元二次方程的解法 1.解：(1)移项，得(2x十3)2=16.两边开平方，得2x十3=士4，即2x十3=4，或2x十3= -4.=号西=-子：(2这里a=3,6=1c=-1.6-4ac=1P-4X3X(-D =13>0x=二1装厘=二1±压，即x=二1压，=二1+厘，(3)原方 2×3 6 6 程可变形为3x(x-1)十2(x-1)=0,(3x十2)(x-1)=0.3x+2=0,或x-1=0..x =-号=1.2.解：=x·x,-10=5X(-20,且-2z+5x=3x,(x+50 -2)=0,.x十5=0，或x-2=0,x1=-5,x2=2.3.解：设y=2x-3,则原方程可 化为y-y-2=0,∴.(y-2)(y+1)=0,y-2=0,或y十1=0，解得y1=2,y=-1. 当y=2时，2x-3=2,解得x=号当y=-1时，2x-3=-1,解得x=1.∴原方程的 5 解为1=之x=1. 第44页（共54页） 专练（四）根的判别式和根与系数的关系 1.C2.C3.A4.35.m≤5且m≠1【变式】k≤26.15或167.解：(1)把x= 1代入方程可得1一(m十1)十2m一2=0，解得m=2.当m=2时，原方程为x2一3x十2 =0,.(x-1)(x-2)=0,解得x1=1,x2=2,即方程的另一根为2：(2)：a=1,b= -(m十1)，c=2m-2,.△=[-(m+1)]2-4×1×(2m-2)=m2-6十9=(m-3) ≥0，.不论为何值时，方程总有两个实数根.8.解：(1).方程有实数根，.△=9 4k一2)≥0，解得k<号，(2)关于x的一元二次方程x+3x十k一2=0有实数根， m十n=-3,x=k-2.:十4=+=十)-21四=k, xT2 xIx2 :.9一2k2)=k,解得k=士√3.经检验，k=士√3都为方程的解.：k=±< k-2 号的值为士压 专练（五）一元二次方程的应用 1.解：设竖彩条的宽度为xcm,则横彩条的宽度为号xcm.根据题意，得20×号x十2× 12x-2×号x·x=号×20×12.整理，得2-18x+32=0.解得=2.=16（不合 5 3 题意，舍去).2x=3.答：横彩条的宽度为3cm,竖彩条的宽度为2cm,2.解：设该 城区绿化面积的年平均增长率为x.根据题意，得10(1十x)2=14.4.解得x1=0.2= 20%,x2=-2.2(不合题意，舍去).答：该城区绿化面积的年平均增长率为20%. 3.解：(1)设日均销售量y关于销售单价x的函数表达式为y=kx十b(k≠0).将(7， 50),12,250)分别代入，得7+6=50， 解得-50y=-50x十850.：经若 12k+b=250, ”1b=850. 部规定销售单价不得高于12元，也不得低于7元，.7≤x≤12，.日均销售量y关于 销售单价x的函数表达式为y=一50x十850(7≤x≤12)；(2)根据题意，得(x一 5)(-50x十850)=1600.整理，得x2-22x十117=0.解得x1=9,x2=13(不合题意，舍 去).答：销售单价应定为9元. 专练（六） 概率的计算 1.A2.D3.令4解：画树状图如下： 开始 总共有9种 第一次1 2 第二次分3分3公3 所有可能出现的结果234345456 可能的结果，每种结果出现的可能性相同.其中，两次摸出的书签上的数字之和为偶数 的结果有5种：(1,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，两次摸出的书签上的数字之和为 偶数的概率为分，5.解：(1)此次调查的学生人数为18÷36%=50：(2)C活动实验的人数 为50-4一8-18=20.补全条形统计图如图所示；↑人数 (3)将801 25 20====2 20 18 8 ABCD实验项目 班的1名学生记为甲，802班的1名学生记为乙，803班的2名学生分别记为丙、丁.列 表如下： 甲 丙 人 (甲，乙)（甲，丙） (甲，丁) (乙，甲) (乙，丙) (乙，丁) 丙 (丙，甲)（丙，乙） (内，丁) 丁，甲)丁，乙)丁，丙 总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同.其中从中抽到2名学生来自不 同班级的结果有10种，“从中轴到2名学生来自不同班级的概率为吕-。 第45页（共54页） 专练（七）相似三角形的性质与判定 1.B2.D324号58或9 6.解：(1)如图： 点A的 坐标为(-3,0)：(2)4：17.解：(1)：AE=AB,∠ABE=∠AEB.:BE平分 ∠CBD,..∠DBE=∠CBE.'∠ABD=∠ABE-∠DBE,∠C=∠AEB-∠CBE, .∠ABD=∠C.又：∠A=∠A,.△ABD∽△ACB;(2)△ABD∽△ACB,AB=6, AC=S股=铝-光=号=是AD=是AB=号，DB=是BCCD=AC AD=子“∠CBD=90,CD=VDB+BC=BC∴号BC=子BC-4 专练（八）投影与视图 1.A2.B3.B4.子（片0）5，解：根据三种视图可知该工件是由底面直径分 别是4cm和8cm,高分别是2cm和8cm的两个圆柱组成的，∴.该工件的体积为πX (号)×2+×（受）×8=136xam)。6,解：110如图：(2)这个儿何体的表面 有38个小正方形，去掉与地面接触的6个，则有32个小正方形需要喷上红色的漆， .共需要漆32×2×2=256(g):(3)4 主视图 左视图 俯视图 专练（九）反比例函数的性质与应用 1.D2.B3.A4.-185.解：(1)四边形AOEB是矩形，.BE=OA=0.6×10 =6(m.:AB=1m,∴B1,6.将B1,6)代入y=冬得6=冬，k=6,∴反比例函 数的表达式是y=兰.：点C的织坐标为06X2=1.2当y=1.2时1.2=号 x x=5..CF=5-1=4(m):(2)Q到水面的距离不高于3m,∴y≤3.当y=3时， =3,∴x=2.对于y=(x>0),由反比例函数的图象与性质可知，当≤3时，x≥ x 2..Q到BE的距离至少为2-1=1(m). 期未复习综合测试 1.D2.B3.B4.C5.D6.D7.C8.D9.210.∠A=∠ECD(答案不唯一) 1.6012.2或号 I3.解：(1)：∠BCE=∠ACD,∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+ ∠ACE,∴.∠ACB=∠DCE.又∠A=∠D,∴.△ABC∽△DEC;(2),△ABCO /CB、2 DEC.3三（元）=专，BC=6,CE=9,14.解：)500-10x) 十x)(2)根据题意，得(10十x)(500-10x)=8000.整理，得x2一40x十300=0，解得 x1=10,=30.要“薄利多销”，.x=30不符合题意，舍去.∴.x=10.此时500-10 ×10=400(kg),50十10=60（元/kg).答：销售价格应定为60元/kg,这时进货400kg 才能恰好卖完.15.解：(1)2(2)：四边形ABCD是菱形，AC是对角线，∴.BC=AB =2,∠ACB=∠ACD.:∠B=60°，∴.△ABC是等边三角形，∴.AB=AC,∠B=∠BAC =∠ACB=∠ACD=60°.∠EAF=60°，∴∠BAC=∠EAF,∴.∠BAE=∠CAF, ∴.△ABE≌△ACF(ASA),.BE=CF,.CE+CF=CE+BE=BC=2;(3)同(2)可得， △ABE≌△ACF,.AE=AF.∠EAF=60°，△AEF是等边三角形，∴.AE=EF= AF,∠AEF=60°.：EF⊥BC,∴.∠CEF=90°，∴.∠AEB=90°-∠AEF=30°.又∠B =60°，∴.∠BAE=90°，BE=2AB=4,∴AE=√BE-AB=42-22=2√3. .△AEF的周长为23X3=63. 第46页（共54页） 随堂反馈答案 第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 知识梳理 ①相等②23相等。④互相垂直 当堂练习 1.C2.C3.35°4.①②③④5.证明：：四边形ABCD是菱形，∴.AD=AB,∠D =∠B,DC=BC.CE=CF,.DC一CF=BC一CE,即DF=BE,,.△ABE≌ △ADF(SAS),.AE=AF. 第2课时菱形的判定 知识梳理 ①菱形②互相垂直3相等 当堂练习 1.A2.C3.菱形4.菱形5.证明：(1)：△ABC≌△ABD,∠CBE=∠DBE. :CE∥BD,∴∠CEB=∠DBE,.∠CEB=∠CBE:(2)△ABC≌△ABD,∴.BC= BD.由(I),得∠CEB=∠CBE,∴.CE=CB,∴.CE=BD.又：CE∥BD,∴.四边形 BCED是平行四边形.又，BC=BD,∴.四边形BCED是菱形. 第3课时菱形的性质与判定的综合应用 知识梳理 一半 当堂练习 1452903智 4.解：(I):AE∥BF,∴∠ADB=∠CBD.BD平分∠ABF, ∴∠ABD=∠CBD,∠ABD=∠ADB,AB=AD.同理，得AB=BC,AD=BC. 又：AE∥BF,∴.四边形ABCD是平行四边形.又：AB=AD,∴.四边形ABCD是菱 形；(2)：四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,∠AOD=90°.：∠ADB=30°， ∠DAC=180°-∠AOD-∠ADB=180°-90°-30°=60°.又：AD=CD,∴.△ADC 为等边三角形，∴AC=AD=6. 2矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 知识梳理 ①直角②直角③相等④一半 当堂练习 1.A2.D3.A4.85.解：.四边形ABCD是矩形，∴.AC=BD,AC=2AO,BD= 2BO,.AO=OB.'AB=AO,.AB=AO=BO,.△ABO是等边三角形，∴.∠ABD=60° 第2课时矩形的判定 知识梳理 ①直角②相等3直角 当堂练习 1.C2.C3.矩形4.证明：四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD,AB=CD. AB=DC, ,BE=CF,BE十EF=CF十EF,即BF=CE.在△ABF和△DCE中，BF=CE, AF=DE, .△ABF2△DCE(SSS),.∠B=∠C.又'AB∥CD,.∠B+∠C=180°，.∠B= ∠C=90°.又：四边形ABCD是平行四边形，.四边形ABCD是矩形， 第3课时矩形的性质与判定的综合应用 当堂练习 1.D2.C3.164.解：(1)PQ⊥CP,∴.∠CPQ=90°，∴∠APQ+∠BPC=180°- 第47页（共54页） ∠CPQ=180°-90°=90°.：∠BPC=∠AQP,∴.∠APQ+∠AQP=90°.∠APQ+ ∠AQP+∠A=180°，∴.∠A=90°.又四边形ABCD是平行四边形，∴.四边形ABCD 是矩形；(2)四边形ABCD是矩形，.∠D=∠CPQ=90°.在Rt△CDQ和Rt△CPQ ,CQ=CQ:R△CDQ≌R△CPQ(HL),DQ=PQ设AQ=x,则DQ=AD 中，CD=CP, AQ=6-x,∴.PQ=6-x.在Rt△APQ中，由勾股定理，得AQ十AP=PQ,即x2+2 =(6-,解得x=号AQ的长是号 3正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 知识梳理 ①相等直角②轴中心③直角相等④相等 当堂练习 1.C2.A3.22.5°4.证明：：四边形ABCD是正方形，∴BC=CD,∠BCD=90°. CE⊥BG,DF⊥CE,∴.∠BEC=∠CFD=90°，∴.∠BCE+∠CBE=90°=∠BCE+ ∠CBE=∠DCF, ∠DCF,.∠CBE=∠DCF.在△CBE和△DCF中，∠BEC=∠CFD,∴.△CBE≌ BC=CD. ADCF(AAS),.'.CF=BE,CE=DF..CE=CF+EF,.'.DF=BE+EF. 第2课时正方形的判定 知识梳理 ①矩形②矩形③直角④相等 当堂练习 1.D2.D3.证明：：DE⊥AC,DF⊥AB,∴.∠AED=∠AFD=90°，又：∠A=90°， .四边形AEDF是矩形.D是BC的中点，.BD=CD.在Rt△BDF和Rt△CDE 中， IBD=CD:R△BDF≌R△CDE(HDE=DF,四边形AEDF是正方形. BF=CE. 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 知识梳理 ①一整式②一般a.x2 bx c a b 当堂练习 1.A2.C3.B4.2x2+3x-5=05.解：设其中一条直角边的长为xcm,则另一条 直角边的长为(14-x)cm,根据题意，得2x(14一)=24，化为一般形式为2-14x十 48=0. 第2课时一元二次方程的解及其估算 知识梳理 ②00 当堂练习 1.B2.B3.B4.-4,35.1.0<x<1.1 2用配方法求解一元二次方程 第1课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 知识梳理 ①士√m②(a士b)2③配方 当堂练习 1.D2.D3.B4.D5.解：(1)两边同除以2，得(x-1)2=169.两边开平方，得x一 1=士13，即x-1=13,或x-1=-13.x1=14,x2=-12;(2)移项，得x2-6x=6.配 第48页（共54页）专练（六） 1.经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能 向左转或向右转.如果这三种可能性相同， 那么当两辆汽车经过这个十字路口时，只 有一辆汽车向左转的概率是 ( A.青 B.3C.号 D.g 2.在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相 同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀 硫酸、氯化钠、稀盐酸、碳酸钠四种溶液. 已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸 溶液)可以用来除铁锈，从中随机抽取两 瓶，则这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概 率是 () A B c D.言 3.我们把“十位上的数字比个位、百位上的 数字都要大的三位数”叫做“A数”，如 “371”就是一个“A数”.若十位上的数字 为4，则从1,2,3,5中任取两个不同的数， 能与4组成“A数”的概率为 4.桌上放着分别标有数字1,2,3的三个书 签，这些书签除所标数字外其余都相同， 打乱顺序后从中任意摸出一个书签，记录 下数字后放回桌上并打乱顺序，再从中任 意摸出一个书签，记录下数字.求两次摸 出的书签上的数字之和为偶数的概率. 概率的计算 5.为推进扎实开展学校科学教育，光明学校 组织学生开展了“科技创新月”活动，其 中，计划进行以下四项活动实验：A.马德 堡半球；B.塑料袋火箭；C.色彩爆炸； D.火山爆发.活动小组对该校部分学生进 行“最期待的实验”的问卷调查，得到下列 不完整的统计图 ↑人数 18 36% C A B C D实验项目 请结合统计图，回答下列问题： (1)求此次调查的学生人数； (2)请补全条形统计图； (3)已知“最期待的实验”中A项的4名学生 中801班有1名，802班有1名，803班有 2名，现从中抽取2名学生进行演示，请 用列表或画树状图的方法，求从中抽到2 名学生来自不同班级的概率。 专练（七） 相似三 1.已知号=后=(6+d≠0)，则月 等于 A号 B. c号 D哥 2.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB AC上，添加一个条件一定能使△ADEn △ACB,则这个条件可以是 A.∠ADE=∠ABC B.DE∥BC c怨鋁 D.AE·AC=AD·AB B (第2题图) (第3题图) 3.如图，把△DEF沿DE平移到△ABC的 位置，它们重合部分的面积是△DEF面 积的分，若AB=6,则△DEF移动的距离 AD为 4.如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上 的点，且DE∥BC,BE交DC于点F.EF: FB=1:3,则E的值为 S△BFC (第4题图) (第5题图) 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= 10cm,BC=8cm.点P从点C出发，以 2cm/s的速沿着CA向点A匀速运动，同 时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿 BC向点C匀速运动，当一个点到终点时， 另一个点随之停止.经过 后，△PCQ与△ABC相似. 角形的性质与判定 6.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为 A(-2,-2),B(-3,-4),C(-1,-4), 正方形网格中，每个小正方形的边长是1 个单位长度， (1)以点C为位似中心，在网格中画出 △ABC,使△AB,C与△ABC的相似 比为2：1，并直接写出点A的坐标； (2)△ABC与△ABC的面积比为 413 12345x 7.如图，在△ABC中，D,E是边AC上的两 点，连接BD,BE,且满足AE=AB,BE平 分∠CBD. (1)求证：△ABD∽△ACB; (2)若AB=6,AC=8,且∠CBD=90°，求 BC的长， 28·