重难点专训04 立体几何中的新定义问题（高效培优专项训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

重难点专训04立体几何中的新定义问题 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型一：定义新运算 2 题型二：斜坐标系 5 题型三：空间平面方程 10 题型四：曼哈顿距离 15 题型五：球面三角形 19 题型六：曲率问题 25 重难专题分层过关练 31 巩固过关 31 创新提升 43 1、解答新定义型创新题的基本思路是： （1）正确理解新定义； （2）根据新定义建立关系式； （3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题； （4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果． 2、解决立体几何新定义问题 将新定义与已学立体几何知识关联，转化为熟悉的问题（如新定义“-垂直平面”，可转化为线面垂直、二面角等已知概念的判定与计算），同时梳理题目给出的条件，区分“新定义限定条件”和“常规已知条件”； 最后，按“新定义→建模型（或用向量）→推理论证/计算”的思路解题：若涉及空间位置关系，可建空间直角坐标系用向量法；若涉及图形性质，可构造符合新定义的具体模型（如正方体、长方体）辅助分析，过程中始终紧扣新定义的规则，避免偏离定义核心。 题型一：定义新运算 典例1-1．（多选）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算，规定： ①为同时与垂直的向量； ②，三个向量构成右手系（如图1）； ③． 如图2，在长方体中中，，，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】解:选项:同时与垂直，且构成右手系， 故，即成立；所以选项A正确. B选项:，，所以；所以选项B错误. C选项:连接,．，所以是一个与方向相同的向量,且. ，与共线，且方向相同，，与共线，且方向相同， 因为,所以，与共线，且方向相同， 因此；所以C选项正确. D选项:，由A选项知:， 所以．所以D选项正确. 故选:ACD 典例1-2．已知，，，定义一种运算：，在平行六面体中，，，. (1)证明：平行六面体是直四棱柱； (2)计算，并求该平行六面体的体积，说明的值与平行六面体体积的关系. 【答案】(1)证明见解析 (2)，平行六面体的体积为，的值表示以，，为邻边的平行六面体的体积 【分析】 【详解】（1）证明：由题意，， ∴，，即，， ∵，是平面内两相交直线，∴平面， ∴平行六面体是直四棱柱； （2）解：， 由题意，，， ，所以， ，， ∴. ∴， 故的值表示以，，为邻边的平行六面体的体积. 变式1-1．对于任意向量定义运算：．若向量，向量为单位向量，则的取值范围是． 【答案】 【详解】由题意得，，， 设，则， 因为，所以，所以. 故答案为：. 变式1-2．新定义：已知，.空间向量的叉积.若在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，且过点，直线的方向向量为，且过点，则与方向向量的叉积为，与的混合积为.混合积性质：若，则与共面；若，则与异面.已知直线的一个方向向量为，且过点，直线的一个方向向量为，且过点. (1)用混合积性质证明：与是异面直线； (2)若点，求的长的最小值； (3)若为坐标原点，直线，求的坐标. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由题意得， 因为， 所以， 故与是异面直线. （2）设与都垂直的向量， 由，可取， 则的长的最小值为. （3）由题意可设， ， 则， 由（2）得共线，则，解得， 故. 【点睛】思路点睛：第二问，异面直线的距离可转化为点到面的距离，求出法向量计算即可；第三问，利用空间向量的线性运算结合向量共线计算即可. 题型二：斜坐标系 典例2-1．（多选）设三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：成立．我们把叫做基底，把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标．已知三棱锥．以为坐标原点，以为轴正方向，以为y轴正方向，以为轴正方向，以同方向上的单位向量为基底，建立斜坐标系，则下列结论正确的是（    ） A． B．的重心坐标为 C．若，则 D．异面直线AP与BC所成角的余弦值为 【答案】AB 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，，所以, 所以，即，故B正确； 因为，，所以， 所以错误，故C错误； 因为，，所以， 故面直线AP与BC所成角的余弦值为，故D错误. 故选：AB 典例2-2．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（x轴，y轴，z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作.在棱台中，，，，.如图，以为基底建立“空间斜坐标系”. (1)若，求向量的斜坐标，并求的值； (2)通过（1）中数量积的求值过程，算出面法向量的斜坐标； (3)若满足（1）中条件，计算棱锥的体积. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】 【详解】（1）易知 ; 又， ， 因此 （2）易知， 设面法向量为 有，即，令，可得 所以； （3） ， ； 设点到面的距离为，则， ， 所以 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“空间斜坐标系”，再结合已有向量知识即可实现问题求解. 变式2-1．（多选）设是空间内正方向两两夹角为的三条数轴，向量分别与轴､轴.轴方向同向的单位向量，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在斜坐标系（为坐标原点），记作，则下列说法正确的有（    ） A．已知，则 B．已知，则向量 C．已知，则 D．已知，则三棱锥的外接球体积 【答案】AB 【详解】由题意：，. 对A：因为 ，所以.故A正确； 对B：因为，，所以，所以.故B正确； 对C：，， 因为，故C错误； 对D：由题意，三棱锥是边长为1的正四面体.如图： 过作平面，垂足为，则在的中线上，且， 因为，，所以，. 设正四面体外接球球心为，则点在上，且亦为正四面体内切球球心，设，. 则， 所以正四面体外接球的体积为：.故D错误. 故选：AB 变式2-2．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作. (1)若，，求的斜坐标； (2)在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”. ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求. 【答案】(1)； (2)①，②2. 【分析】 【详解】（1）∵，， ∴， ∴的斜坐标为. （2）设，，分别为与，，同方向的单位向量， 则，，，. ①由题意得，点为的中点. . ②由题意得，， 由得，， 由得，， ∴， ∴， 解得， 则 题型三：空间平面方程 典例3-1．教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量，点，点. （1）若直线经过点，且以为方向向量，是直线上的任意一点，求证： （2）若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，求证： 利用教材给出的材料，解决下面的问题： 已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为平面的方程为，所以平面的一个法向量， 同理，可得平面的一个法向量，平面的一个法向量， 设平面与平面的交线的方向向量为， 则，解得，，取，则， 设直线与平面所成角为，则， 故选：A 典例3-2．我们知道，在平面中，给定一点和一个方向向量可以唯一确定一条直线．如点在直线上，为直线的一个方向向量，则直线上任意一点满足，化简可得，即为直线的方程．类似地，在空间中，给定一点和一个平面的法向量可以唯一确定一个平面． (1)若在空间直角坐标系中，点，，，请利用平面的法向量求出平面的方程． (2)试写出平面（不同时为0）的一个法向量（无须证明），并求出点到平面的距离． 【答案】(1) (2)， 【分析】 【详解】（1）在平面中，，． 设平面的法向量为， ∴即 令，则，，∴． 设平面中任意一点，则． 当点与点不重合时，有；当点与点重合时，则有，∴． ∴，化简得． ∴平面的方程为． （2）平面的法向量可取． 证明如下： 设，为平面的任意两个点， 则，， 两式相减得：，即，即， ∴平面的法向量可取． ∵不同时为0，∴不妨令， 平面上可取点，∴， 设点到平面的距离为， 则． 变式3-1．（多选）空间中，平面Ω上的动点满足方程，（），则称为平面Ω的方程，同时也称平面Ω的方程为，并称为平面Ω的一个法向量．已知方程分别为，的平面，的交线为l，则下列结论正确的是（    ） A．经过点，，的平面Ω的方程为 B．若平面Ω的方程为：，则坐标原点O到平面Ω的距离为 C．交线为l的方向向量为 D．l与方程为的平面所成角的正弦值为 【答案】AB 【详解】对于A，经检验，均满足方程，且不共线， 则可以确定唯一平面，则平面的方程为，A正确； 对于B，显然，点满足方程，则是平面内一点， 平面的一个法向量为，则， 点到平面的距离，B正确. 对于C，易知方程的一组公共解为，且的另一组公共解为， 则直线经过和的一个方向向量为， 所以交线为l的方向向量为，故C错误； 对于D，平面的一个法向量为.设与平面所成角的大小为， 则，D错误. 故选：AB. 变式3-2．在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为将其整理为一般式方程为，其中． (1)已知直线的点方向式方程为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的余弦值； (2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； (3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由直线的点方向式方程为， 可知直线的一个方向向量坐标为. 由平面的一般式方程为， 可知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以有， 所以，即直线与平面所成角的余弦值为． （2）不妨设，在平面内取一点， 则向量， 取平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为： ． 对于，当时，表示经过，，的空间直角坐标系在第一卦限的部分. 由对称性可知表示，，这六个顶点形成的正八面体， 设内切球的半径为，则即为原点到平面的距离， 则． 所以内切球的表面积为． （3）因平面经过三点，，， 可得，， 设侧面所在平面的法向量为 则，令，解得，，可得， 由平面的一般式方程， 可知平面的一个法向量为， 设平面与平面的交线的方向向量为， 则，令，则，，可得， 由平面， 可知平面的一个法向量为， 由，，则，， 解得，即， 故平面与平面夹角的余弦值为： ． 题型四：曼哈顿距离 典例4-1．对于两个空间向量与，我们可以定义它们之间的欧式距离为，欧式距离可以简单理解为两点之间的直线距离；根据需要，还可以定义它们之间的曼哈顿距离为，曼哈顿距离最初指的是区块建设的城市（如曼哈顿）中，两个路口间的最短行车距离，因此也被称为城市街区距离．如图，在棱长为的正方体中，；若点在上底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是． 【答案】 【详解】以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、，则，， 所以． 因为在上底面内（含边界）运动，且， 则，即在上底面内，点在以为圆心，为半径的圆周上， 可设，则，，， 所以，， 因为，则，所以． 故答案为：；. 典例4-2．曼哈顿距离是由十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，两点之间的曼哈顿距离；在空间直角坐标系中，若，两点之间的曼哈顿距离. (1)已知点，求的值； (2)已知点，点是直线上任意一点，求的最小值； (3)已知在空间直角坐标系中，，动点满足，求动点围成的几何体的表面积. 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】 【详解】（1）由题意可得，所以. （2）因为动点为直线上一点，则， 所以， 即 当时，； 当时，； 当时，. 综上，当时，的最小值为2. （3）动点围成的几何体为八面体，每个面均为边长为的等边三角形， 其表面积为. 证明如下：不妨将平移到处，设， 若，则. 当时，即， 设， 则， 所以四点共面， 所以当时，在边长为的等边三角形内部（含边界）. 同理可知等边三角形内部任意一点，均满足， 所以满足方程的点， 构成的图形是边长为的等边三角形内部（含边界） 由对称性可知，围成的图形为八面体，每个面均为边长为的等边三角形. 故该几何体表面积. 变式4-1．对于两个空间向量与，我们定义它们之间的曼哈顿距离为.如图，在棱长为1的正方体中，若点P在底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是.    【答案】 【详解】由题可建立如图所示空间直角坐标系，    则，设，则， 所以，即，令， 所以 ，而， 所以，则， 所以的取值范围是. 故答案为： 变式4-2．“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”，即，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若，，则 (1)①点，，求的值． ②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程． (2)已知点，直线，求B点到直线的“曼哈顿距离”最小值； (3)设三维空间4个点为，，且，，．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即，求最大值，并列举最值成立时的一组坐标． 【答案】(1)①7； ②； (2)2； (3)2，，，，. 【分析】 【详解】（1）①； ②设“曼哈顿单位圆”上点的坐标为，则，即. （2）设直线上任意一点坐标为，则， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时， 综上所述，的最小值为2. （3） 如图，为正方体，边长为1，则对应正方体的八个顶点， 当四个点在同一个面上时， （i）例如：，此时； （ii）例如：，此时； 当四个点不在同一个平面时， （iii）例如：，此时； （iiii）例如：，此时； （iiiii）例如：，此时； （iiiiii）例如：，此时； （iiiiiii）例如：，此时； 综上所述，的最大值为2，例如：，，，. 题型五：球面三角形 典例5-1．球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图，球的半径，，，，为球的球面上的四点.若球面三角形的三条边长均为，则此球面三角形一个内角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为球面三角形的三条边长均为，， 所以球面三角形每条边所对的圆心角均为，所以四面体为正四面体. 取的中点，连接，，如图， 则，，且， 则为二面角的平面角. 由余弦定理可得 所以此球面三角形一个内角的余弦值为. 故选：C 典例5-2．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为.，，为球面上三点，设表示以为圆心且过，的圆，表示以为圆心且过，的圆，表示以为圆心且过，的圆，由圆，，的劣弧，，围成的曲面（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为（为球半径），已知. (1)若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积； (2)若平面三角形为直角三角形，，延长与球交于点.若直线，与平面所成的角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）若平面两两垂直，有， 所以球面三角形面积为． （2）由是球的直径，得，且，平面， 则平面，又平面，则，而，平面， 于是平面，由直线与平面所成的角分别为，得， 由，得， 以C为坐标原点，直线分别为x，y轴，过点C作的平行线为z轴，建立空间直角坐标系， 设，则， ， 则， 设平面法向量，则，取，得， 设平面法向量，则，取，得， 因此 ， 令，则， 于是， 当且仅当时取等号，取最大值，为最小值. 变式5-1．球面上的三个点，每两个点之间用大圆劣弧相连接，三弧所围成的球面部分称为球面三角形．半径为的球面上有三点，且，则球面三角形的面积为． 【答案】 【详解】如图1所示，设过的大圆与过的大圆交于直径，过点分别作，垂足为，连接，则， 在中，由余弦定理得，，则， 所以，则， 在中，由余弦定理得，，即， 由二面角定义得，二面角为， 在图2中，设过的大圆与过的大圆交于直径，过的大圆与过的大圆交于直径，同理可得，二面角为，二面角为；    设球的表面积为，则，设球面三角形的面积为， 则所在的大圆和所在的大圆，将球面分成了四个部分，其中面积较大的两个部分的面积之和等于球的表面积的倍， 即，类似可定义，且同理有，， 而根据球面被这三个大圆的划分情况，又有， 所以， 所以， 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：球面的面积，其中即为本题中所求二面角（也称球面角），为球的半径，解题关键即为求出二面角的大小． 变式5-2．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R，A、B、C为球面上三点，设，表示以O为圆心，且过B、C的圆，劣弧BC的弧长记为a，同理，圆，的劣弧AC、AB的弧长分别记为b、c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为．已知；    (1)若，，求球面三角形ABC的面积（直接写结果无需证明）； (2)在球O的内接三棱锥D-ABC中，平面，，直线DC与平面ABC所成的角为． （ⅰ）若，N分别为直线AD，BC上的动点，求线段MN长度的最小值； （ⅱ）如图（2），若分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（与点B不重合），当平面OBC与平面GPQ夹角的余弦值最大时，求线段BG的长． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】 【详解】（1）由题意，，，，所以，则有， 所以球面三角形ABC面积为． （2）因为平面，平面，所以. 设，则，所以. 由勾股定理的逆定理可得，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为直线与平面所成的角为，所以. 易知在和中，斜边的中点到点的距离相等， 即为球的直径，所以. 以点为坐标原点，直线分别为轴，过点且与平行的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.    （i）由题可知， 则. 设与都垂直的向量为， 则，令，则， 所以线段长度的最小值为. （ii）设，由题可知， 则. 设平面的一个法向量为， 则，取，可得. 设平面的一个法向量为， 则，取，可得. 设平面与平面的夹角为. 因为 ， 令，则， 可得， 当且仅当，即时等号成立，此时取得最大值， 故. 题型六：曲率问题 典例6-1．（多选）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为．给出下列四个结论，其中，所有正确结论的有（    ） A．正方体在每个顶点的曲率均为 B．任意四棱锥的总曲率均为； C．若一个多面体满足顶点数V＝6，棱数E＝8，面数F＝12，则该类多面体的总曲率是； D．若某类多面体的顶点数V，棱数E，面数F满足，则该类多面体的总曲率是常数 【答案】ABD 【详解】对于A，根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为，故A正确； 对于B，由定义可得多面体的总曲率顶点数各面内角和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，所以任意四棱锥的总曲率为，故B正确； 对于C，由多面体顶点数、面数、棱数的关系有，而选项C中所给的多面体的顶点数、面数、棱数不满足此关系式，故不能构能多面体，故C不正确； 对于D，设每个面记为边形， 则所有的面角和为， 根据定义可得该类多面体的总曲率为常数，故D正确. 故选：ABD. 典例6-2．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为.根据曲率的定义，正方体在每个顶点的曲率为，四棱锥的总曲率为. 【答案】/ 【详解】根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为； 由定义可得多面体的总曲率顶点数各面内角和， 因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形， 所以任意四棱锥的总曲率为. 故答案为：；. 变式6-1．（多选）阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多而体的所有以为公共点的面.”解答问题：已知在直四棱柱中，底面为菱形，，则（    ） A．直四棱柱是正方体，则直四棱柱在顶点A处的离散曲率为 B．若，则三棱锥在顶点处的离散曲率为 C．若四面体在点处的离散曲率为，则平面 D．若直四棱柱在顶点A处的离散曲率为，则与平面所成角的正切值为 【答案】BCD 【详解】A.直四棱柱是正方体，则直四棱柱在顶点A处的 离散曲率为，故A错误； B.若，则三棱锥在顶点处的离散曲率为 ，故B正确； C.若四面体在点处的离散曲率为， 即， 则，故为正三角形，， 所以，所以四边形为正方形， 所以直四棱柱是正方体，因为平面， 平面，所以，因为，平面， 平面，，所以平面， 又因为平面，所以， 同理可得，又平面，平面， ，则有平面，故C正确； D.若直四棱柱在顶点A处的离散曲率为： ，则，如图，设， ，则，，由C可知， 因为四边形为菱形，所以，又平面， 平面，，所以平面， 所以即与平面所成角， ，， 故，故D正确. 故选：BCD. 变式6-2．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，通常用曲率刻画空间的弯曲性.规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，，，为棱的中点，点在棱上，且在四面体中，点的曲率的正切值为. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)若在四面体中，点的曲率为，求五面体的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3). 【分析】 【详解】（1） 连结交于，连结. 在中，因为，分别为，的中点，所以. 又因为平面，平面，所以平面; （2）因为，又因为为棱的中点，所以. 在直三棱柱中，有平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以. 因为在四面体中，点的曲率的正切值为， 所以，， 即，因为， ，所以. 在和中， ，所以， 所以，所以. 因为，又，平面， 所以平面. （3）因为在四面体中，点的曲率为， 所以， 所以， 所以， 将，，，，代入上式， 解得. 由，，， 得，，， 所以. 巩固过关 1．在空间直角坐标系中，经过点，且以为法向量的平面的方程为.若平面的方程化简为，直线的方向向量为，则直线与平面的所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由过，可化为， 所以平面的法向量为，而直线的方向向量为， 所以直线与平面的所成角的正弦值. 故选：D 2．刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为.若正四棱锥的侧面与底面的夹角的正切值为，则四棱锥在顶点处的曲率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，连接，设，连接，则平面， 取的中点，连接，由正四棱锥的结构特征知， 所以为侧面与底面所成的角， 设，则， 在中，，所以， 又，所以， 所以正四棱锥的每个侧面均为正三角形， 所以顶点处的各面角分别为、、，该顶点处的曲率为. 故选：D 3．刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为．若正四棱锥的侧面与底面的夹角的正切值为，则四棱锥在顶点S处的曲率为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，连接，，设，连接，则平面， 取的中点，连接，， 则由正四棱锥的结构特征可知， 所以为侧面与底面所成的角， 设，则， 在中，， 所以，又，所以， 所以正四棱锥的每个侧面均为正三角形， 所以顶点的每个面角均为， 故正四棱锥在顶点处的曲率为. 故选：D. 4．类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线构成的图形称为三面角，记，，二面角的大小为，则.已知平行六面体的底面为菱形，，.若，则二面角的余弦值为. 【答案】/ 【详解】连接，由已知在中， 又因为是的中点，所以， 又且都在平面内，所以平面， 所以在底面内的投影在直线上. 在中，根据勾股定理得，易知，又， 在中，由余弦定理可得， 所以，则，设二面角为， 由三面角定理得， 即， 即，所以. 故答案为：. 5．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为4，给出下列四个结论：正确的是 ①勒洛四面体最大的截面是正三角形 ②若是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值为4 ③勒洛四面体的体积是 ④勒洛四面体内切球的半径是 【答案】②④ 【详解】由勒洛四面体的定义可知勒洛四面体最大的截面即经过四面体表面的截面， 如图1所示，故①错误． 根据勒洛四面体的性质，可知它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触， 所以勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值即为内接正四面体的边长， 所以勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值为4，故②正确． 如图2，由对称性可知勒洛四面体内切球的球心是正四面体外接球的球心， 连接，并延长交勒洛四面体的曲面于点，则就是勒洛四面体内切球的半径． 如图3，在正四面体中，为的中心，是正四面体外接球的球心， 连接，由正四面体的性质可知点在上． 因为，所以，则． 因为，即， 解得， 则正四面体外接球的体积是． 因为勒洛四面体的体积小于正四面体外接球的体积，故③错误． 因为，所以，故④正确． 故答案为：②④． 6．已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集.如果为的1阶等距平面且1阶等距集为，则符合条件的有个，的所有可能取值构成的集合是. 【答案】7 【详解】①情形一：分别取的中点， 由中位线性质可知， 此时平面为的一个1阶等距平面， 为正四面体高的一半，等于. 由于正四面体有4个面，这样的1阶等距平面平行于其中一个面，有4种情况； ②情形二：分别取的中点 将此正四面体放置到棱长为1的正方体中， 则为正方体棱长的一半，等于. 由于正四面体的六条棱中有3组对棱互为异面直线， 这样的1阶等距平面平行于其中一组异面直线，有3种情况. 综上，当的值为时，有4个；当的值为时，有3个. 所以符合条件的有7个，的所有可能取值构成的集合是； 故答案为：7； 7．已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为:是一个向量，它与向量都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上一点， (1)求的长； (2)若为线段的中点，求二面角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因为底面为矩形，所以，， 又底面，底面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为，所以为直线与所成角，即， 设，则，， 在中，， 又，即，解得或（舍去）， 所以. （2）在平面内，过点作交的延长线于点，连接， 底面，底面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为为的中点，所以，， 所以， 设二面角的平面角为，则， 所以，所以， 所以二面角的正弦值为. （3）依题意，，，又， 所以，，又，所以， 又，平面，所以平面， 在平面内过点作，垂足为， 由平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 在平面内过点作交于点，在上取点，使得， 连接， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又，即， 所以. 8．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与P相邻的顶点，且平面…平面和平面为多面体M的所有以P为顶点的面．现给出如图所示的三棱锥． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若PA⊥平面ABC，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度 【答案】(1)2 (2) 【分析】 【详解】（1）根据离散曲率的定义得， ， 又因为 所以． （2）∵平面平面， ∴， 又∵，平面， ∴平面 ∵平面，∴， ∵，即 ∴，∴， 过点作交于，连结， 因为平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 依题意可得，， ， ， 设，则， 在中， ， 又，所以， 则， 所以， 解得：或（舍） 故. 9．正四棱柱中，底面是边长为4的正方形，与交于点，与交于点，且. (1)用向量方法求线段的长； (2)对于个向量、、…、，如果存在不全为零的个实数、、…、，使得，则称这个向量、、…、线性相关，否则称其线性无关.试判断三个向量、、是否线性相关，并说明理由. 【答案】(1) (2)、、线性无关 【分析】 【详解】（1）由题设可得， ， 故， 整理得到，故. （2）令， 则， 整理得到， 故，解得， 故、、线性无关. 10．如图1，过球上不在同一大圆上的，，三个点中的任意两点作大圆.可以得到劣弧，与，则这三条劣弧围成的曲面（阴影部分）称为球面，这三条劣弧称为球面的边.，，三点称为球面的顶点.设二面角为，二面角为，二面角为，则球面的面积，其中为球的半径，，，均用弧度制表示.以球心为坐标原点，建立如图2所示的空间直角坐标系.已知，，三点均在球的球面上，其中，. (1)求，的值； (2)求点到平面的距离； (3)求球面的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）根据，可得， 解得，因为，所以， （2）由（1）得，， 设平面的一个法向量为， 则，令，， 所以平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为； （3）依题意， 设平面，平面，平面的法向量为， 则，令，则，则， 则，令，则，则， 则，令，则，则， 所以， ， ， 结合四点的位置，可知均为钝角， 所以， 故球面的面积.. 创新提升 1．（多选）球面三角是研究球面三角形的边、角关系的一门科学.从十六世纪起由于天文学、航海学、测量学等方面的发展，球面三角逐渐形成了独立学科．球面上的三个点，每两点之间用球的大圆劣弧相连接，三段弧所围成的球面部分称为球面三角形.如图，球的半径为1，A，B，C为球面上三点.平面中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.球面中，，的弧长分别记为线段OA，OB，OC与球面围成的封闭几何体叫作球面三棱锥，记为球面.设，则下列结论正确的是（   ）      A． B．若，则 C．若，则 D．若，则球面的体积 【答案】ABD 【详解】对于， 由，得，即，故A正确； 对于由，得，故B正确； 对于C，，∴， 即， 又， ∴，， 取，满足， 此时，故C错误； 对于D，， 则平面的面积为， 此时三棱锥为边长为1的正四面体，取的中点，连接， 过点作⊥平面，交于点， 其中，，故，    故到平面ABC的距离， 所以三棱锥的体积， 则球面的体积，故D正确. 故选：ABD. 2．设正四面体的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为正四面体的阶等距平面，为正四面体的阶等距集.如果为正四面体的1阶等距平面且1阶等距集为，则符合条件的平面有个；若正四面体的棱长为，则的所有可能取值构成的集合为. 【答案】 【详解】如图，正四面体，在第一问中，不妨也取， 则正的外接圆半径为，则正四面体的高， ①情形一：分别取AB，AC，AD的中点M，E，F， 此时平面为正四面体的一个1阶等距平面， 且由中位线性质可知，， 由于正四面体有4个面，这样的1阶等距平面平行于其中一个面，有4种情况； ②情形二：将此正四面体放置到棱长为的正方体中， 分别取AB，AC，CD，DB的中点为P，Q，R，S，连接， 则，，则四点共面， 又平面，平面，则平面， 同理可证，平面， 又平面平面，且平面，则平面， 因平面，则平面平面， 故平面为正四面体的1阶等距平面，且为正方体棱长的一半，等于， 由于正四面体的六条棱中有3组对棱互为异面直线， 这样的1阶等距平面平行于其中一组异面直线，有3种情况， 综上，当的值为1时，有4个；当的值为时，有3个， 故符合条件的有7个，的所有可能取值构成的集合是； 故答案为：；. 3．如图1，在平面四边形中，，，，是等腰直角三角形，，将沿折叠到的位置，形成如图2所示的三棱锥，且. (1)证明：； (2)已知三棱锥，外接球球心为. ①若为线段上动点（不包含点），为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值. ②类似于平面中三角形的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则，当、、时，请在图3的基础上，试证三面角余弦定理，并用该结论求图2中二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2)①的最小值为；②证明见详解；二面角的余弦值为 【详解】（1）因为，，，由勾股定理得，. 因是等腰直角三角形，且，所以，. 在中，，所以，即. 因，，与相交于点，且平面，所以平面. 而平面，所以. （2）过点作平面. 以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系. 因为，所以. 因为，，与相交于点，且平面，所以平面. 则，，，线段的中点 因三棱锥底面为直角三角形，所以三棱锥的外接球球心在底面斜边上的中点的上方. 又因为球心距离点和的距离相等，所以球心. ①因为线段的中点，所以；为线段中点，所以 点在线段上运动，设，. ，，设平面的法向量为. 则，不妨令，则平面的一个法向量为. ，，设平面的法向量为. 则，不妨令，则平面的一个法向量为. 平面与平面的夹角为，则 因，所以要求的最小值，即求的最大值. . 设，则，则. 则，当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. ②证明：点为射线上一点，过作交于，作交于，连接，则是二面角的平面角. 在中，由余弦定理得，； 在中，由余弦定理得，. 两式相减得， 由勾股定理得，，， 所以有 两边同时除以得，，即. 在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得. 设二面角的大小为， 则， 代入解得，所以二面角的余弦值为 4．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.已知三棱锥如图所示. (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为.求点到平面的距离； (3)在（2）的前提下，又知点在棱上，过点作交于点，连接，若，求的长度. 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由离散曲率的定义得，， ，， 所以. （2）由平面，平面，得， 又，，平面，则平面， 又平面，所以，即， 又，即， 解得， 过点作于点， 由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 因此点到平面的距离为线段的长， 在中，， 所以点到平面的距离为. （3）由平面，则平面，故为直线与平面所成的角， 依题意，，，， 则，， 设，则，， 在中，， 由，得，， 因此，而，解得， 所以． 5．类比二维平面内的余弦定理，三维空间中有三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则.如图2，四棱锥中，底面为菱形，，，，且. (1)在图2中，用三面角余弦定理求的值； (2)在图2中，线段上是否存在一点，使得，若存在，求值；若不存在，说明理由； (3)在图2中，直线与平面内任意一条直线的夹角为，证明：. 【答案】(1) (2)存在，，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）设，连接， 因为底面为菱形，所以，，为的中点， 又，为公共边，所以≌， 所以，⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以平面⊥平面， 故二面角的大小为， 又，则，， 又，所以为等边三角形，， 由三面角余弦定理得 ； （2）存在，，理由如下： 由三面角余弦定理得， 即，， 显然为锐角，故， 在中，由正弦定理得， 即，故， 由余弦定理得， 即，解得（负值舍去）， 此时，使得； （3）由题意得，设平面内任一条直线为， 当过点时，记与的夹角为，， 由（1）及三面角公式可得， 因为，所以， 又，所以， 当不过点时，过点作，记与的夹角为，， 则， 又，所以， 综上， 4/14 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训04立体几何中的新定义问题 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型一：定义新运算 2 题型二：斜坐标系 3 题型三：空间平面方程 5 题型四：曼哈顿距离 7 题型五：球面三角形 9 题型六：曲率问题 10 重难专题分层过关练 12 巩固过关 12 创新提升 16 1、解答新定义型创新题的基本思路是： （1）正确理解新定义； （2）根据新定义建立关系式； （3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题； （4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果． 2、解决立体几何新定义问题 将新定义与已学立体几何知识关联，转化为熟悉的问题（如新定义“-垂直平面”，可转化为线面垂直、二面角等已知概念的判定与计算），同时梳理题目给出的条件，区分“新定义限定条件”和“常规已知条件”； 最后，按“新定义→建模型（或用向量）→推理论证/计算”的思路解题：若涉及空间位置关系，可建空间直角坐标系用向量法；若涉及图形性质，可构造符合新定义的具体模型（如正方体、长方体）辅助分析，过程中始终紧扣新定义的规则，避免偏离定义核心。 题型一：定义新运算 典例1-1．（多选）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算，规定： ①为同时与垂直的向量； ②，三个向量构成右手系（如图1）； ③． 如图2，在长方体中中，，，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 典例1-2．已知，，，定义一种运算：，在平行六面体中，，，. (1)证明：平行六面体是直四棱柱； (2)计算，并求该平行六面体的体积，说明的值与平行六面体体积的关系. 变式1-1．对于任意向量定义运算：．若向量，向量为单位向量，则的取值范围是． 变式1-2．新定义：已知，.空间向量的叉积.若在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，且过点，直线的方向向量为，且过点，则与方向向量的叉积为，与的混合积为.混合积性质：若，则与共面；若，则与异面.已知直线的一个方向向量为，且过点，直线的一个方向向量为，且过点. (1)用混合积性质证明：与是异面直线； (2)若点，求的长的最小值； (3)若为坐标原点，直线，求的坐标. 题型二：斜坐标系 典例2-1．（多选）设三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：成立．我们把叫做基底，把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标．已知三棱锥．以为坐标原点，以为轴正方向，以为y轴正方向，以为轴正方向，以同方向上的单位向量为基底，建立斜坐标系，则下列结论正确的是（    ） A． B．的重心坐标为 C．若，则 D．异面直线AP与BC所成角的余弦值为 典例2-2．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（x轴，y轴，z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作.在棱台中，，，，.如图，以为基底建立“空间斜坐标系”. (1)若，求向量的斜坐标，并求的值； (2)通过（1）中数量积的求值过程，算出面法向量的斜坐标； (3)若满足（1）中条件，计算棱锥的体积. 变式2-1．（多选）设是空间内正方向两两夹角为的三条数轴，向量分别与轴､轴.轴方向同向的单位向量，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在斜坐标系（为坐标原点），记作，则下列说法正确的有（    ） A．已知，则 B．已知，则向量 C．已知，则 D．已知，则三棱锥的外接球体积 变式2-2．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作. (1)若，，求的斜坐标； (2)在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”. ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求. 题型三：空间平面方程 典例3-1．教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量，点，点. （1）若直线经过点，且以为方向向量，是直线上的任意一点，求证： （2）若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，求证： 利用教材给出的材料，解决下面的问题： 已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 典例3-2．我们知道，在平面中，给定一点和一个方向向量可以唯一确定一条直线．如点在直线上，为直线的一个方向向量，则直线上任意一点满足，化简可得，即为直线的方程．类似地，在空间中，给定一点和一个平面的法向量可以唯一确定一个平面． (1)若在空间直角坐标系中，点，，，请利用平面的法向量求出平面的方程． (2)试写出平面（不同时为0）的一个法向量（无须证明），并求出点到平面的距离． 变式3-1．（多选）空间中，平面Ω上的动点满足方程，（），则称为平面Ω的方程，同时也称平面Ω的方程为，并称为平面Ω的一个法向量．已知方程分别为，的平面，的交线为l，则下列结论正确的是（    ） A．经过点，，的平面Ω的方程为 B．若平面Ω的方程为：，则坐标原点O到平面Ω的距离为 C．交线为l的方向向量为 D．l与方程为的平面所成角的正弦值为 变式3-2．在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为将其整理为一般式方程为，其中． (1)已知直线的点方向式方程为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的余弦值； (2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； (3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 题型四：曼哈顿距离 典例4-1．对于两个空间向量与，我们可以定义它们之间的欧式距离为，欧式距离可以简单理解为两点之间的直线距离；根据需要，还可以定义它们之间的曼哈顿距离为，曼哈顿距离最初指的是区块建设的城市（如曼哈顿）中，两个路口间的最短行车距离，因此也被称为城市街区距离．如图，在棱长为的正方体中，；若点在上底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是． 典例4-2．曼哈顿距离是由十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，两点之间的曼哈顿距离；在空间直角坐标系中，若，两点之间的曼哈顿距离. (1)已知点，求的值； (2)已知点，点是直线上任意一点，求的最小值； (3)已知在空间直角坐标系中，，动点满足，求动点围成的几何体的表面积. 变式4-1．对于两个空间向量与，我们定义它们之间的曼哈顿距离为.如图，在棱长为1的正方体中，若点P在底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是.    变式4-2．“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”，即，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若，，则 (1)①点，，求的值． ②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程． (2)已知点，直线，求B点到直线的“曼哈顿距离”最小值； (3)设三维空间4个点为，，且，，．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即，求最大值，并列举最值成立时的一组坐标． 题型五：球面三角形 典例5-1．球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图，球的半径，，，，为球的球面上的四点.若球面三角形的三条边长均为，则此球面三角形一个内角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 典例5-2．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为.，，为球面上三点，设表示以为圆心且过，的圆，表示以为圆心且过，的圆，表示以为圆心且过，的圆，由圆，，的劣弧，，围成的曲面（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为（为球半径），已知. (1)若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积； (2)若平面三角形为直角三角形，，延长与球交于点.若直线，与平面所成的角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值. 变式5-1．球面上的三个点，每两个点之间用大圆劣弧相连接，三弧所围成的球面部分称为球面三角形．半径为的球面上有三点，且，则球面三角形的面积为． 变式5-2．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R，A、B、C为球面上三点，设，表示以O为圆心，且过B、C的圆，劣弧BC的弧长记为a，同理，圆，的劣弧AC、AB的弧长分别记为b、c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为．已知；    (1)若，，求球面三角形ABC的面积（直接写结果无需证明）； (2)在球O的内接三棱锥D-ABC中，平面，，直线DC与平面ABC所成的角为． （ⅰ）若，N分别为直线AD，BC上的动点，求线段MN长度的最小值； （ⅱ）如图（2），若分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（与点B不重合），当平面OBC与平面GPQ夹角的余弦值最大时，求线段BG的长． 题型六：曲率问题 典例6-1．（多选）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为．给出下列四个结论，其中，所有正确结论的有（    ） A．正方体在每个顶点的曲率均为 B．任意四棱锥的总曲率均为； C．若一个多面体满足顶点数V＝6，棱数E＝8，面数F＝12，则该类多面体的总曲率是； D．若某类多面体的顶点数V，棱数E，面数F满足，则该类多面体的总曲率是常数 典例6-2．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为.根据曲率的定义，正方体在每个顶点的曲率为，四棱锥的总曲率为_______. 变式6-1．（多选）阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多而体的所有以为公共点的面.”解答问题：已知在直四棱柱中，底面为菱形，，则（    ） A．直四棱柱是正方体，则直四棱柱在顶点A处的离散曲率为 B．若，则三棱锥在顶点处的离散曲率为 C．若四面体在点处的离散曲率为，则平面 D．若直四棱柱在顶点A处的离散曲率为，则与平面所成角的正切值为 变式6-2．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，通常用曲率刻画空间的弯曲性.规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，，，为棱的中点，点在棱上，且在四面体中，点的曲率的正切值为. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)若在四面体中，点的曲率为，求五面体的体积. 巩固过关 1．在空间直角坐标系中，经过点，且以为法向量的平面的方程为.若平面的方程化简为，直线的方向向量为，则直线与平面的所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 2．刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为.若正四棱锥的侧面与底面的夹角的正切值为，则四棱锥在顶点处的曲率为（   ） A． B． C． D． 3．刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为．若正四棱锥的侧面与底面的夹角的正切值为，则四棱锥在顶点S处的曲率为（      ） A． B． C． D． 4．类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线构成的图形称为三面角，记，，二面角的大小为，则.已知平行六面体的底面为菱形，，.若，则二面角的余弦值为. 5．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为4，给出下列四个结论：正确的是 ①勒洛四面体最大的截面是正三角形 ②若是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值为4 ③勒洛四面体的体积是 ④勒洛四面体内切球的半径是 6．已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集.如果为的1阶等距平面且1阶等距集为，则符合条件的有个，的所有可能取值构成的集合是______. 7．已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为:是一个向量，它与向量都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上一点， (1)求的长； (2)若为线段的中点，求二面角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 8．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与P相邻的顶点，且平面…平面和平面为多面体M的所有以P为顶点的面．现给出如图所示的三棱锥． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若PA⊥平面ABC，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度 9．正四棱柱中，底面是边长为4的正方形，与交于点，与交于点，且. (1)用向量方法求线段的长； (2)对于个向量、、…、，如果存在不全为零的个实数、、…、，使得，则称这个向量、、…、线性相关，否则称其线性无关.试判断三个向量、、是否线性相关，并说明理由. 10．如图1，过球上不在同一大圆上的，，三个点中的任意两点作大圆.可以得到劣弧，与，则这三条劣弧围成的曲面（阴影部分）称为球面，这三条劣弧称为球面的边.，，三点称为球面的顶点.设二面角为，二面角为，二面角为，则球面的面积，其中为球的半径，，，均用弧度制表示.以球心为坐标原点，建立如图2所示的空间直角坐标系.已知，，三点均在球的球面上，其中，. (1)求，的值； (2)求点到平面的距离； (3)求球面的面积. 创新提升 1．（多选）球面三角是研究球面三角形的边、角关系的一门科学.从十六世纪起由于天文学、航海学、测量学等方面的发展，球面三角逐渐形成了独立学科．球面上的三个点，每两点之间用球的大圆劣弧相连接，三段弧所围成的球面部分称为球面三角形.如图，球的半径为1，A，B，C为球面上三点.平面中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.球面中，，的弧长分别记为线段OA，OB，OC与球面围成的封闭几何体叫作球面三棱锥，记为球面.设，则下列结论正确的是（   ）      A． B．若，则 C．若，则 D．若，则球面的体积 2．设正四面体的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为正四面体的阶等距平面，为正四面体的阶等距集.如果为正四面体的1阶等距平面且1阶等距集为，则符合条件的平面有个；若正四面体的棱长为，则的所有可能取值构成的集合为______. 3．如图1，在平面四边形中，，，，是等腰直角三角形，，将沿折叠到的位置，形成如图2所示的三棱锥，且. (1)证明：； (2)已知三棱锥，外接球球心为. ①若为线段上动点（不包含点），为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值. ②类似于平面中三角形的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则，当、、时，请在图3的基础上，试证三面角余弦定理，并用该结论求图2中二面角的余弦值. 4．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.已知三棱锥如图所示. (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为.求点到平面的距离； (3)在（2）的前提下，又知点在棱上，过点作交于点，连接，若，求的长度. 5．类比二维平面内的余弦定理，三维空间中有三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则.如图2，四棱锥中，底面为菱形，，，，且. (1)在图2中，用三面角余弦定理求的值； (2)在图2中，线段上是否存在一点，使得，若存在，求值；若不存在，说明理由； (3)在图2中，直线与平面内任意一条直线的夹角为，证明：. 4/14 学科网（北京）股份有限公司 $