专题01 一元一次方程100道计算题专项训练10大题型（高效培优专项训练）数学苏科版2024七年级上册

专题01 一元一次方程100道计算题专项训练10大题型 题型一：运用等式的基本性质解方程 题型二：解一元一次方程（简单） 题型三：解一元一次方程（复杂） 题型四：一元一次方程相同解问题 题型五：已知一元一次方程的解求参数 题型六：一元一次方程错解、漏解问题 题型七：一元一次方程的整数解问题 题型八：一元一次方程解的无关型问题 题型九：绝对值方程 题型十：一元一次方程的新定义问题 题型一：运用等式的基本性质解方程 1．运用等式的基本性质解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． （1）（2）根据等式的性质解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：方程两边都减，得． （2）解：方程两边都减，得． 2．利用等式的基本性质解下列方程： (1)． (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质并灵活运用是解题关键． （1）方程两边同时加，再除以即可求解； （2）方程两边同时减，除以即可求解； （3）方程两边同时减，再同时减，最后除以即可求解． 【详解】（1）解：方程两边同时加，得， 方程两边同时除以，得． （2）解：方程两边同时减，得， 方程两边同时除以，得． （3）解：方程两边同时减，得， 方程两边同时减，得， 方程两边同时除以，得． 3．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）根据等式的基本性质1解答即可； （2）根据等式的基本性质2解答即可； （3）根据等式的基本性质1和2解答即可； （4）根据等式的基本性质1和2解答即可． 【详解】（1）解：∵，等式两边同时加上得：． （2）解：，等式两边同时除以得：． （3）解：，先两边同时减去得， 再同时乘以得：． （4）解：，先两边同时减去1得， 再同时除以得：． 4．求未知数x的值． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了根据等式的性质解方程等知识，熟知等式的性质是解题关键﹒ （1）先化简，再根据等式性质两边同乘以即可求解； （2）根据等式性质两边同时加上，两边再同时减去1.6，最后两边同时乘4即可求解； （3）两边同时加上，再两边同时乘以即可求解﹒ 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ， ； （3）解： ， ， ， ﹒ 5．解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解方程的方法是解决问题的关键． （1）先计算方程左边，再利用等式的性质方程两边同除以求出未知数即可； （2）利用等式的性质方程两边同减去，再利用等式性质方程两边同除以即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）， ， ， ． 6．解方程． (1)； (2)． 【答案】(1)＝ (2)＝ 【分析】本题考查了解方程，熟练掌握等式的性质2是解题的关键． （1）方程两边同时除以5，求出方程的解； （2）先把方程化简成，然后方程两边同时除以，求出方程的解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．解方程． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了根据等式的性质解方程，解题关键是掌握等式的性质． （1）先合并同类项，然后把系数化为1即可； （2）先根据等式的性质，两边同时除以8，然后两边同时乘5即可； （3）根据等式的性质，两边同时乘即可． 【详解】（1）解： ， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）， 系数化为1，得； （3）， 两边同时乘，得， ． 8．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了利用等式的性质解方程，熟练掌握等式的性质是关键． （1）利用等式的性质变形为即可； （2）利用等式的性质变形为即可． 【详解】（1）解： （2） 9．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解方程，根据等式的基本性质解方程是解题的关键． （1）根据等式的基本性质进行求解即可； （2）根据等式的基本性质进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ． 10．利用等式的基本性质解下列方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了等式的性质，解决问题的关键是能正确根据等式的性质进行变形． （1）利用等式的基本性质，等式左右两边同时减去5，再同时除以 （2）利用等式的基本性质，等式左右两边同时减去x，再同时除以2. （3）利用等式的基本性质。等式左右两边同时加上,再同时除以5. 【详解】（1）解：等式两边都减去5，得， 等式两边都除以，得． （2）解：等式两边都减去，得， 等式两边都除以2，得． （3）解：等式两边同时加上，得， 等式两边都除以5，得． 题型二：解一元一次方程（简单） 11．解一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （）根据解一元一次方程的步骤解答即可； 本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 12．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解方程． 先去分母，再去括号，移项合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：． 13．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ． 14．解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确计算是解题的关键． （1）通过去分母、去括号、移项、合并同类项即可求解； （2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 15．解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的解法． （1）先移项，接着合并同类项，最后化一次项系数为； （2）先移项，接着合并同类项，最后化一次项系数为． 【详解】（1）解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 16．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题的关键，注意去分母时不要漏乘． （1）去括号，移项、合并同类项，系数化为即可求解； （2）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为即可求解． 【详解】（1）解：去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为得； （2）解：去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为得． 17．解方程： (1)， (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：， 移项，得：， 合并同类项，得： 系数化为1，得：； （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤进行解答即可； （2）按照去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤进行解答即可； （3）按照去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤进行解答即可； （4）按照去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤进行解答即可． 【详解】（1）解： 解得； （2）解： ， 解得； （3）解： ， 解得； （4）解： ， 解得． 19．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键； （1）先去括号，然后再求解方程即可； （2）先去分母，然后再求解方程即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：． 20．解方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查解一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的解法． （1）先移项，再合并同类项，最后化一次项系数为1； （2）先两边同时乘以6去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后化一次项系数为1． 【详解】（1）解：， 移项得， 合并得， 系数化为1得； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并得． 题型三：解一元一次方程（复杂） 21．解下列方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解； （3）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解． 【详解】（1）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （3）解：去分母，得。 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 22．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程． 按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的顺序求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ． （2） ， ， ， ， ， ． 23．解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题需按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解． 【详解】解：（1）去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 故答案为：． （2）方程整理，得． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是熟练掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤． 24．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先把含未知数的式子移到方程左边，再合并含有未知数的式子，最后把未知数的系数化为1即可得到答案． 【详解】解： 25．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法和求解步骤是解答的关键． （1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1的运算顺序解方程即可； （2）先化各项系数为整数，再根据去括号、移项、合并同类项、化系数为1的运算顺序解方程即可． 【详解】（1）解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 故原方程的解为； （2）解：原方程化为，即 去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得 故原方程的解为． 26．解下列方程： (1)． (2)． (3)一题多解法． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题关键． （1）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，即可解方程； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，即可解方程； （3）将原方程变形后，依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化，即可解方程． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． （2）去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． （3）方法一： 原方程可变形为， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 两边同除以，得． 方法二： 原方程可变形为，即， 移项、合并同类项，得， 两边同除以，得． 27．解方程： 【答案】． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，涉及分数和小数的转化、去括号、移项、合并同类项以及系数化为等步骤．熟练掌握一元一次方程的求解步骤和相关运算法则是解题的关键． 先将方程中的分数和小数通过分子分母同时扩大一定倍数的方式化为整数，然后去括号、移项、合并同类项，最后将系数化为来求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 28．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （4）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （4）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 29．解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）移项合并同类项，即可求解； （2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解； （3）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解； （4）利用乘法分配律，原方程变形为，即可求解． 【详解】（1）解： 移项合并同类项得：， 解得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：； （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：； （4）解： 变形得：， 即， ∴， ∴， 解得：． 30．解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，步骤为:去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． （1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1即可求出解； （2）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1即可求出解． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解： 原方程可化为． 去分母，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 题型四：一元一次方程相同解问题 31．已知关于x的方程和方程的解相同，求关于y的方程的解． 【答案】 【分析】本题涉及同解方程的概念，需先求出其中一个方程的解，再代入另一个方程求参数，最后将代入关于的方程求解． 【详解】解：解方程，得． 因为两个方程的解相同， 所以将代入方程，得，解得． 将代入方程，得，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同解方程的概念及一元一次方程的解法，解题关键是利用同解方程的性质，先求出共同的解和参数，再代入求解目标方程． 32．若方程和方程的解相同，则a的值为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程以及一元一次方程的解，先求方程的解，再代入方程，求出a的值即可． 【详解】解：， ， 因为与方程的解相同 所以把代入中得： ， ， 所以． 33．如果关于x的方程的解与方程的解相同，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，先求出第一个方程的解，然后代入第二个方程得到关于a的一元一次方程，再根据一元一次方程的解法进行求解即可． 【详解】解：解方程， 整理得：， 得：， 由题意：的解为， 代入得：，    解得：． 34．已知关于x的方程的解与方程的解相同，试求的值． 【答案】0 【分析】本题主要考查了同解方程，代数式求值，根据解求参数等知识，先分别解出x，再根据解相同得出关于m的一元一次方程，解出m再代入代数式求解即可． 【详解】解：解得：， 解得：， ∵方程的解与方程的解相同， ∴， 解得：， ∴ 35．淇淇同学在解方程时不小心将方程中的一个常数污染了，被污染的方程是， (1)淇淇同学猜想“█”是1，请你根据猜想算一算x的值； (2)淇淇翻看了该题的答案，发现此方程的解与方程的解相同，求被污染的常数． 【答案】(1) (2)被污染的常数为 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的解法、一元一次方程的解等知识点，掌握解一元一次方程的方法与步骤成为解题的关键． （1）代入代入方程，然后解一元一次方程即可； （2）先计算方程，设被污染的常数为a，求出方程的解代入，然后解关于x的方程求解即可． 【详解】（1）解：当“█”是1时，原方程可化为， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 设被污染的常数为a， 把代入被污染的方程中得，， ∴， ∴． ∴被污染的常数为． 36．已知关于的方程与方程的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，同解方程即为两方程的解相同，理解题意，正确计算是本题的解题关键．先求出方程的解，由两方程为同解方程，将x的值代入方程，解关于m的方程，即可求出的值． 【详解】解： 解得：； 关于的方程与方程的解相同， ， 解得：； 故的值为． 37．已知关于的方程与的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，一元一次方程的求解，正确计算是解题的关键．先求出方程的解，再代入，求出的值即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 将代入， 得：， 解得． 38．已知方程与关于x的方程的解相同． (1)求k的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2)1 【分析】本题主要考查了非负数的性质，解一元一次方程，一元一次方程解的定义： （1）先解方程得：，再把代入方程中求出k的值即可； （2）根据（1）所求可得，则由非负数的性质得到，，即，，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：解方程得：， ∵方程与关于x的方程的解相同， ∴是关于x的方程的解， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 39．已知是常数，如果方程与关于的方程的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法和解的定义，熟练掌握一元一次方程的解是解题的关键； 先解出，再把方程的解代入，即可求出k的值． 【详解】解：解方程，得 ． 将代入中，得 ， 解得， 的值是． 40．已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)若该方程的解与关于的方程的解相同，求的值． 【答案】(1)3 (2)，过程见解析 【分析】此题考查了一元一次方程的解，以及一元一次方程的定义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． （1）利用一元一次方程的定义即可求出m的值； （2）根据两个方程同解可得n的值． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 解得：； （2）解：当时，关于的方程为：， 解得：； 因为两个方程解相同，所以将代入， 得， 解方程，得． 题型五：已知一元一次方程的解求参数 41．已知方程的解与关于的方程的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程． 先解方程求出，再将代入中，求出的值即可． 【详解】解：解方程得． 因为方程的解与关于的方程的解互为相反数， 所以方程的解是． 把代入方程， 得， 解得． 42．若关于的方程的解与的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，先分别求出两个方程的解，再根据两个方程的解相同得出关于的一元一次方程，最后解方程即可求解，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， ∵两个方程的解相同， ∴， 解得． 43．已知关于的方程，若该方程的解与方程的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，相反数的定义，解题关键是正确求解一元一次方程． 先解方程得出，得出方程的解为，把代入解关于m的方程即可． 【详解】解：， 解得：， ∵方程的解与方程的解互为相反数， ∴方程的解为， 把代入方程，得： ， 解得：． ∴． 44．已知，，关于的方程的解为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，一元一次方程的解以及解一元一次方程，掌握方程的解使原方程等式左右两边相等是解题关键．先根据整式加减运算法则求出，进而得到关于的方程，再将方程的解代入，即可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即 ∵该方程的解为， ∴， 解得：，即m的值是． 45．计算： (1)已知关于x的方程与的解互为倒数，求m的值． (2)在（1）的条件下，若多项式与的和15，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）先求方程的解，再根据解互为倒数确定的解，代入方程，求m的值． （2）根据，结合，再求的值． 本题考查了一元一次方程的解，倒数，解方程，熟练掌握方程的解和解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：解方程得， ∵方程与的解互为倒数， ∴的解为， ∴， 解得， 故m的值为． （2）解：根据（1）得， 又， 故， 解得， 故的值为3． 46．如果关于的方程的解与方程的解相同，求字母的值． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是解一元一次方程、已知一元一次方程的解，求参数，解题关键是熟练掌握一元一次方程的解法． 先按步骤解方程，得到该一元一次方程的解后代入方程，即可求得字母的值． 【详解】解：解方程， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 把代入方程， 得：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 故字母的值为． 47．已知关于的方程，其中． (1)当时，求该方程的解； (2)写出的一个正整数值，使得该方程的解也为正整数，并求此时方程的解． 【答案】(1) (2)当时，方程的解为（或当时，方程的解为） 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）将代入原方程得，求解即可； （2）先求得原方程的解为：，再利用要使为正整数，且该方程的解也为正整数，得出或，求得，再取值求解即可． 【详解】（1）解：当时， 原方程为：， 解得：， 所以该方程的解为； （2）解：方程， 解得：， 要使为正整数，且该方程的解也为正整数， 则或， 则或， 当时，方程的解为，符合题意； 当时，方程的解为，符合题意； 综上所述，当时，方程的解为（或当时，方程的解为）． 48．王伟在解方程去括号时，等号右边括号里的没有变号，因而求得方程的解是，请你正确解出原方程． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．先按小明的解法等号右边括号里的没有变号，再代入即可求出的值，再按正确的解法求解即可． 【详解】解：根据题意把代入， 得， 解得， 故原方程为， 解得． 故答案为： 49．关于x的方程与的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次方程，相反数的定义，根据题意得出关于的一元一次方程的是解题关键．先解关于x的方程，再根据两个方程的解互为相反数，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：解方程得：， 与的解互为相反数， ， 解得． 50．当k取何值时，方程和方程的解相同？ 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，理解同解方程是解答的关键．求出方程的解，把解代入中，进行求解即可． 【详解】解：解，得：； 当方程和方程的解相同时， 则：，解得：． ∴当时，方程和方程的解相同． 题型六：一元一次方程错解、漏解问题 51．小林在解方程去分母时，方程右边的忘记乘8，因而得到方程的错解．你能由此判断出的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【答案】能，，方程正确的解为 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．由题意得，小林得到的方程为，代入，求出的值，再对原方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出方程正确的解． 【详解】解：由题意得，小林得到的方程为， 代入得，， 解得：， 原方程为：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， ∴方程正确的解为． 52．本学期学了一元一次方程的解法，下面是小明同学部分解方程的过程，请认真阅读并解答相应问题． 解方程：． 解：去分母，得， … 小明解方程的第一步是去分母，去分母的过程是否正确？如果正确，请继续解完此方程；如果不正确，请说明错在哪里？并按正确的方式解此方程． 【答案】不正确，错误原因是在去分母时，没有乘10；． 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤；按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答． 【详解】解：不正确，错误原因是在去分母时，没有乘10； 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 53．学习情境·错解问题 小明在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，请你帮助小明求出的值，并正确解出原方程． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，由题意得：方程的为，将代入可求得得出原方程为，即可求解； 【详解】解：由题意得：方程的为， 将代入方程得：， 解得： ∴原方程为， 去分母：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 化系数为： 54．小明在学习解一元一次方程时，遇到了这样一个方程，于是他尝试去解，最后检验时他发现解是错误的，他百思不得其解，请帮助检查他下面的解法： 解：原方程即 【A】 去分母，得    【B】 去括号，得   【C】 移项，得 【D】 合并同类项，得 【E】 系数化为1，得 【F】 (1)他错在哪一步？____________（请填后面的大写字母代号），错误的原因是____________； (2)请你帮助正确写出求解过程． 【答案】(1)D；移项时忘了变号 (2)见解析 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法、步骤以及相关运算法则是解题关键． （1）根据移项法则分析即可； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程． 【详解】（1）解：他错在D步骤，错误的原因是移项时忘了变号； （2）解：原方程即， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 55．（逆向思维）老师在黑板上出了一道解方程的题，小明马上举起了手，要求到黑板上去做，他是这样做的： ，① ，② ，③ ，④ ．⑤ 老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都掌握了，但解题时有一步做错了，请你指出他错在第________步（填编号），错误的原因是________；然后，你自己细心地解下列方程：． 【答案】①，等号右边的1漏乘12，． 【分析】根据解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】他错在第①步，错误的原因是等号右边的1漏乘12； 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 56．小李同学在解关于x的一元一次方程去分母时，方程右边的1漏乘了3，因而求得方程的解为，请你帮助小李同学求出a的值，并求出原方程正确的解． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元一次方程及一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 先根据错误的方法解得的值，将的值代入原方程得，再根据解一元一次方程的一般步骤即可求解， 【详解】解：根据错误的去分母得：， 将代入得：， 解得：， 则原方程为：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：． ∴方程正确的解为． 57．青青在解关于x的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得，请你求出原方程正确的解． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程解得定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．先把代入求出m的值，再把m的值代入求解即可． 【详解】把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴． 58．小明在解关于x的方程，由于在去分母的过程中等号右边的漏乘6，所以得到方程的解为．求a的值及方程的正确解． 【答案】， 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，先按照小明的解法可得去分母后为：，从而可得的值，再把代入原方程，再解方程即可；掌握解方程的步骤与方法是解本题的关键． 【详解】解：按照小明的解法可得去分母后为： ， 将代入方程后， ， ∴， 解得． 将代入方程， ， 去分母得：， 整理得：， 解得：． 59．小明解关于的一元一次方程，在去括号时，将漏乘了3，得到方程的解是，请你求出的值及方程正确的解． 【答案】， 【分析】根据已知条件中的去括号的方法来求的值，然后把代入已知方程，通过解方程可以求得的值． 【详解】解：由题意，得 ．即， ， ， 解得，． 则由关于的一元一次方程，得 ，即，即． 综上所述，的值是1，方程的正解是． 【点睛】此题考查的是一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 60．关于x一元一次方程①， ②， (1)若方程①的解比方程②的解小4，求a的值； (2)小马虎同学在解方程①时，右边的“”漏乘了公分母6，因而求解方程的解为，试求方程①的正确的解； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解出方程①和②的解，并利用方程①的解比方程②的解小4列出等式并求解即可． （2）由题意得，再把代入，解出a的值，再将其值代入原式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， ， 解得：， 则：， 解得：． （2）由题意得：， 将代入得：， 解得：， 则：， 解得：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 题型七：一元一次方程的整数解问题 61．已知关于x的方程有非负整数解，求整数a的所有可能的取值的和． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负整数的定义将a的值算出，最后相加即可得出答案 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得 方程有非负整数解， 取，，． 或，时，方程的解都是非负整数． 则， 故答案为∶． 62．已知关于x的方程，当整数a为何值时，方程的解为正整数？ 【答案】或 【分析】本题考查解一元一次方程的整数解问题，先解方程，把方程的解用未知数表示出来，分析其为整数的情况，可得出答案，熟练解一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 要使方程的解为正整数，只能为， 或． 63．已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解方程，解题的关键是先将a看作已知数，得出，根据x为整数，得出或，再求出a的值即可． 【详解】解： 去括号得：， 整理得：， 解得， 当或时，是整数， ∴． 64．当整数k为何值时，方程有正整数解？并求出正整数解． 【答案】当时，；当时， 【分析】先求出方程的解，再根据正整数的特性进行分析即可得． 【详解】解：， ， 因为方程有正整数解， 所以，即， 所以， 要使方程有正整数解，则为正整数即可， 因此，或， ∴或， 当时，方程的正整数解为； 当时，方程的正整数解为； 答：当时，；当时，． 【点睛】本题考查了求一元一次方程的特殊解，正确求出方程的解为是解题关键． 65．已知关于x的一元一次方程，其中k为常数． (1)若是该方程的解，求k的值； (2)若该方程的解为正整数，求满足条件的所有整数k的值． 【答案】(1) (2)，，， 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键． （1）把代入方程解关于的方程即可； （2）解方程得，根据方程的解为正整数可得可能为1，2，3，6，解题即可求出k的值． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得； （2）解： 解得：， ∵方程的解为正整数， ∴可能为1，2，3，6， 故k的值为，，，． 66．是否存在整数k，使关于x的方程有整数解？并求出解． 【答案】当时，；时，；时，；时， 【分析】把方程的解x用k的代数式表示，利用整除的知识求出k． 【详解】解：移项合并得：， ∴， ∵在整数范围内有解， ∴或， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，． 【点睛】本题考查解一元一次方程的知识，关键是要知道在整数范围内有解所表示的含义． 67．定义一种新运算“”：，比如：． (1)若，求的值， (2)若关于的方程的解为正整数，则满足条件所有整数的和为_____． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握理解新运算的定义是解题关键． （1）先根据新运算的定义可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得； （2）先根据新运算的定义可得一个关于x的一元一次方程，解方程得出方程的解，再根据方程的解为正整数和k为整数即可得． 【详解】（1）解：， 则， 解得； （2）， 则， 整理得：， ∵关于x的方程的解为正整数，且为整数， ∴或或或， 故答案为：12． 68．已知关于 的方程 的解为整数，求整数 的值． 【答案】整数 的值为，，， 【详解】解： 解得：， ∵是整数， ∴ 解得：，，， 【点睛】本题考查了解一元一次方程，整除，求得是整数是解题的关键． 69．阅读与理解：已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 解：，，因为关于x的方程，有正整数解，所以为正整数，因为k为整数，所以或，所以或； 探究与应用：应用上边的解题方法，已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 【答案】7或4或3或2 【分析】移项合并可得，由此可判断出k所能取得的整数值． 【详解】解：， ， ， ， 因为关于x的方程有正整数解， 所以为正整数， 因为k为整数， 所以或或或， 解得或或或． 故整数k的值为7或4或3或2． 【点睛】本题考查解一元一次方程的知识，注意理解方程的解为整数所表示的含义． 70．若关于的方程的解为正整数，求整数的值． 【答案】或或或 【分析】首先解方程表示出x的值，然后根据解为正整数求解即可． 【详解】解： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： ∵关于的方程的解为正整数 ∴为正整数 ∴或或或 ∴或或或． 【点睛】本题主要考查方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 题型八：一元一次方程解的无关型问题 71．已知关于的方程的解与无关，则的值是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将原方程变形为，再根据关于x的方程的解与k无关，则，，分别表示m，n关于x的等式，代入求值即可． 【详解】解：， ， ∵关于x的方程的解与k无关， ，则， ，， ， 故答案为：12． 72．已知，，且的值与y无关，求k的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，先根据整式加减运算法则求出，然后根据的值与y无关，得出，求出k的值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 由的值与y无关，得到， 解得：． 73．已知关于的整式，整式，若是常数，且的值与无关． (1)求的值； (2)若为整数，关于的一元一次方程的解是正整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减、代数式求值、解一元一次方程等知识点，熟练掌握去括号与合并同类项法则是解本题的关键． （1）将M和N代入，然后利用整式的加减运算法则化简，然后让x的系数为0，得到关于a的方程求解即可； （2）解一元一次方程可得，由方程的解是正整数，即也是正整数，再结合为整数可得，最后将、代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：，， 的值与无关， ，解得：． （2）解：∵ ∴， ， 方程的解是正整数， 是正整数，即， 为整数， ， ． 74．如果a，b为定值时，关于x的方程，它的根总是2，则的值为（   ） A．18 B．15 C．12 D．10 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次方程的解，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键． 先将方程的根代入原方程并化简得，由题可知，当a，b为定值时，对任意的k成立，因此可得，易求a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：将，代入原方程并化简得， ∵当a，b为定值时，对任意的k成立， ∴，解得：， ∴． 故选：B． 75．若不论取何值，关于的方程（，是常数）的解总是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题关键；将代入中，化简得到，由不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是可知，k的值对方程没有影响，即可得到，求解即可． 【详解】解：不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是， ， ， ， ，， ， ， 故选：D． 76．若不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是．则的值是（     ） A． B． C． D．15 【答案】A 【分析】先把代入方程，整理成关于k的一元一次方程，根据方程的解与k无关，得到关于k的方程有无数解，根据一元一次方程有无数解的条件，列式解答即可． 本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握方程有无数解的基本条件是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 77．若关于的方程，无论为任何数时，它的解总是，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程的应用，方程的解；方程去分母，再把方程的解代入整理得，由题意即可求得n的值． 【详解】解：方程两边同乘6，得：； 由于关于的方程，无论为任何数时，它的解总是， 则是的解， 所以， 即； 由于为任何数，则， 解得：； 故答案为：． 78．若关于x的方程，无论k为任何数时，它的解总是，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解． 整理原式得出，根据方程的解为1，得出，然后代数求解即可． 【详解】解： 把代入得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 79．已知a、b为常数，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是，则ab的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程的解的定义、方程无数解的条件等知识点，正确得到a和b的值是解题的关键． 把代入方程，由k可以取得任意值可得到关于a和b式子，进而求得a和b的值，最后代入代数式计算即可． 【详解】解：把代入方程得， 化简得：， 由于k可以取任意值，则，解得：， ∴． 故答案为：． 80．已知：关于x的方程∶ （其中a、b、k为常数）． (1)如果该方程无解，则k的值一定为多少？ (2)如果该方程有解，且不论k为何值时，它的解总是1，试求a，b的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查解一元一次方程与一元一次方程的解，正确理解方程无解与有解是解题的关键． （1）将方程整理后由方程无解可求出k的值． （2）根据方程的解的定义，把代入方程，由k可以取得任意值可得到关于a和b式子，求得a和b的值． 【详解】（1）解：整理方程，得 ， ∵该方程无解， ∴， 解得：； （2）解：把代入方程，得， 化简，得， ∵k可以取任意值， ∴， 解得． 题型九：绝对值方程 81．解方程：． 【答案】或6 【分析】本题考查解一元一次方程，化简绝对值，正确掌握方法和步骤是解题的关键． 根据题意分情况讨论，然后分别解方程即可． 【详解】解析：当时，， 解得，不符合题意，舍去 当时，， 解得，符合题意； 当时，， 解得，符合题意． 综上，或6． 82．已知，求x的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了绝对值方程，熟练掌握绝对值意义，注意分类讨论，是解题的关键．分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别去绝对值，解方程即可． 【详解】解：令，，分别解得，． ①当时，， ， ； ②当时，原方程化为，此方程无解； ③当时，， ． 综上所述，或． 83．若，求x的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了绝对值方程，熟练掌握绝对值意义，注意分类讨论，是解题的关键．分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别去绝对值，解方程即可． 【详解】解：分三种情况讨论： ①当时，， 解得：； ②当时，， 解得； ③当时，， 解得不成立． 综上所述可知：或． 84．已知，求的值． 【答案】的值为7或13 【分析】该题考查了绝对值的性质，一元一次方程，代数式求值，分为当m在2的左侧即时，和当m在2的右侧即时，分别化简求出m的值，再代入计算即可． 【详解】解：的几何意义是数轴上表示数m和2两点之间的距离． 当m在2的左侧，即时，，解得：， 此时； 当m在2的右侧，即时，，解得：， 此时； 综上所述，的值为7或13． 85．已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】本题主要考查了绝对值、相反数，任何数的绝对值都是非负数，互为相反数的两数之和为． 根据两数的绝对值互为相反数，可知这两数均为，从而求出、的值； 把，代入，可得，分情况求出值即可． 【详解】（1）解：与互为相反数， ，， 解得：，； （2）解：，，， ， ， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 或． 86．阅读下列信息，方程的解法如下： （I）当时，，解得：． （II）当时，，解得：． 请你解决下列问题： (1)，则______； (2)求方程的解． 【答案】(1)3或 (2)或 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，利用绝对值的性质化简方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）根据绝对值的性质化简方程，解方程可得答案； （2）根据绝对值的性质化简方程，解方程可得答案． 【详解】（1）∵ ∴（I）当时，，解得：； （II）当时，，解得：． 综上所述，或； （2）∵ ∴ ∴ ∴（I）当时，，解得：； （II）当时，，解得：． 综上所述，或． 87．阅读下列解题过程，并解答类似的题目． 解方程：． 解：由，得． 若，得；若，得， 所以原方程的解是或． (1)解方程：． (2)若方程的解也是方程的解，求m的值． 【答案】(1)或 (2)2或 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次的方法和绝对值的意义． （1）根据绝对值的意义得出，然后再解一元一次方程即可； （2）先解绝对值方程，得出或，再把或，分别代入，求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， 若，解得， 若，解得， ∴原方程的解是或． （2）解：由，得． 若，解得； 若，解得， ∴的解是或． 当时，方程化为， 解得：； 当时，化为， 解得：， ∴的值是2或． 88．先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，它的解是．当时，原方程可化，它的解是． ∴原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是______； (2)解方程：． 【答案】(1)或 (2)或． 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，关键是能去掉绝对值符号，用了分类讨论思想． （1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （2）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可． 【详解】（1）解：∵ ∴①当时，原方程可化为，它的解是； ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为或． 故答案为：或． （2）解：∵ ∴①当时，原方程可化为，它的解是； ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为或． 89．阅读与思考． 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：， ，……都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程为例来探求解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，将含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 解方程． 解法一：把看作一个整体，根据绝对值的意义，得或， 解得：或． 解法二：当时；原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，即，解得， 所以原方程的解为或． 应用材料中的方法解决下面的问题： (1)解方程； (2)若关于的方程只有1个解，求方程的解及的值． 【答案】(1)或 (2)， 【分析】本题主要考查了解一元一次方程和绝对值的意义，熟知解一元一次方程的方法和绝对值的意义是解题的关键． （1）根据题意可得或，解方程即可得到答案； （2）仿照题意解方程得到或，再根据方程只有1个解得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解得或； （2）解：∵， ∴或， ∴或， ∵原方程只有1个解， ∴， ∴， ∴． 90．阅读与探究：如： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：，，都是含有绝对值的方程，有绝对值的方程的解呢？基本思路是：把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”．例如： 解方程． 解：当时，方程可化为：，解得，符合题意． 当时，方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为：或． 根据以上材料解决下列问题： (1)若，则的取值范围是_____； (2)方程的解是_____； (3)解方程：； (4)解方程． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4)当时，方程无解；当时，；当时，或 【分析】本题考查阅读理解，理解材料中的解法是解决问题的关键． （1）阅读材料，由材料中的解法，将含绝对值的方程转化为不等式求解即可得到答案； （2）阅读材料，由材料中的解法，将含绝对值的方程转化为不含绝对值的方程求解即可得到答案； （3）阅读材料，由材料中的解法，将含绝对值的方程转化为不含绝对值的方程求解即可得到答案； （4）阅读材料，由材料中的解法，结合参数的情况，分类讨论，将含绝对值的方程转化为不含绝对值的方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， 当，即时，方程可化为， 解得，符合题意； 当，即时，方程可化为：， 解得，符合题意； 原方程的解为：或， 故答案为：或； （3）解：， 当，即时，方程可化为， 解得，符合题意； 当，即时，方程可化为， 解得，符合题意； 原方程的解为：或； （4）解：， 当时，，方程无解； 当时，，则； 当时，有两个解， 即或， 解得或； 综上所述：当时，方程无解；当时，；当时，或． 题型十：一元一次方程的新定义问题 91．对于任意有理数a、b、c、d，定义新运算：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程和有理数的混合运算，能正确根据有理数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能正确根据等式的性质进行变形是解（2）的关键． （1）已知等式利用题中的新定义运算计算即可； （2）已知等式利用题中的新定义化简，求出解即可得到的值． 【详解】（1）解：． （2）解：因为， 所以， 解得． 92．定义“☆”运算，例如：，若，求x的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义的运算和解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的方法，先根据新定义的运算法则，将原式化为关于的一元一次方程，然后解方程即可． 【详解】解：， 可化为， 化简，移项可得，， 合并同类项得，， 解得，． 93．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“和谐方程”．方程与方程是“和谐方程”吗？请说明理由． 【答案】是，见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，理解新定义是解题的关键．根据题意，分别解一元一次方程，根据“和谐方程”的定义验证即可求解； 【详解】解：方程与方程是“和谐方程”， 理由如下：由，解得． 由，解得． 因为， 所以方程与方程是“和谐方程”． 94．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程．与方程是否为“美好方程”，请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值． 【答案】(1)是“美好方程”，理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，理解“美好方程”的定义及计算，掌握解一元一次方程的方法是关键． （1）根据解一元一次方程的方法解方程，再根据“美好方程”的定义判定即可； （2）分别解方程，再根据“美好方程”的定义得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：是“美好方程”，理由如下， ， 解得，， ， 解得，， ∵， ∴与方程是“美好方程”； （2）解：， 解得，， ， 解得，， ∵关于的方程与方程是“美好方程”， ∴， 解得，． 95．新定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“1方程”．例如：方程和为“1方程”． (1)若关于的方程与方程是“1方程”，求的值； (2)若“1方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“1方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义： （1）先解方程得，根据“1方程”的定义得到关于的方程的解为，则，解得； （2）由题意得，另一个解为，则根据“1方程”的定义得到或，解方程即可得到答案； （3）先解方程得：，根据“1方程”的定义得到关于的方程的解为，进而得到关于的方程的解为，即可求解． 【详解】（1）解：解方程得， ∵关于的方程与方程是“1方程”， ∴关于的方程的解为， ∴， ∴； （2）解：由题意得，另一个解为， ∵“1方程”的两个解的差为8， ∴或， 解得或； （3）解：解方程得：， ∵关于的一元一次方程和是“1方程”， ∴关于的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， 即的解为， ∴关于的方程的解为 解得： 96．定义：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程是“和解方程”．例如：的解为，且，则方程是“和解方程”． (1)判断是否是“和解方程”，并说明理由． (2)若关于的一元一次方程是“和解方程”，运用等式的性质求的值． 【答案】(1)是．理由见解析 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解和解方程的意义是解此题的关键． （1）求出方程的解，再根据和解方程的意义得出即可； （2）根据和解方程得出关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：是．理由如下： 因为，所以两边同时乘，得． 因为，所以是“和解方程”． （2）由题意，得是方程的解， 所以， 去括号，得， 移项，得 合并同类项，得． 97．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程：与方程是“美好方程”，求的值． (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个方程的解为，求的值． (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3)2025 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于n的方程，再求解； （3）由关于x的一元一次方程和是“美好方程”，可求出的解为，再将变形为，则，从而求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵关于x的方程与方程是“美好方程” ∴ ∴． （2）解：∵“美好方程”的两个解和为1 ∴另一个方程的解是 ∵两个解的差是8 ∴或 ∴或； （3）解：∵ ∴ ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程” ∴关于x的一元一次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程可化为 ∴ ∴． 98．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)方程与方程是“和谐方程”吗？请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“和谐方程”，求m的值； 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元一次方程的求解，熟记相关求解步骤是解题关键． （1）分别求出两方程的解，再根据“和谐方程”的定义解答即可； （2）分别求出两方程的解，再根据“和谐方程”的定义得到关于m的方程，解出即可． 【详解】（1）解：方程与方程是“和谐方程”，理由如下： 由，解得； 由，解得； ∵， ∴方程与方程是“和谐方程”． （2）解：由，解得； 由，解得； ∵方程与方程是“和谐方程”， ∴， 解得． 99．定义：如果两个一元一次方程的解互为倒数，则称这两个方程互为“优雅方程”．例如：和互为“优雅方程”． (1)方程与方程是“优雅方程”吗？请说明理由； (2)若方程与关于的方程互为“优雅方程”，求的值． 【答案】(1)是；理由见解析 (2)a的值为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解． （1）解已知条件中的两个一元一次方程，然后根据“优雅方程”的定义进行判断即可； （2）先解已知条件中的两个方程，根据新定义，列出关于a的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：方程与方程是“优雅方程”，理由如下： 解方程得：， 解方程得， 因为和互为倒数． 所以与方程是“优雅方程”； （2）解：解方程得， 因为方程与关于x的方程互为“优雅方程”， 所以关于x的方程的解为， 将代入方程中，得． 解得， 故a的值为． 100．【阅读材料】在学习一元一次方程后，数学老师给出一个新定义：若x是关于x的一元一次方程的解，y是关于y的方程的解或所有解的其中一个解，且x，y满足，则称关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”． (1)已知关于y的方程：①；②．请通过计算说明哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？ (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”，求a的值． 【答案】(1)②是的“友好方程” (2)或 【分析】本题主要考查新定义下解一元一次方程和一元一次方程的解的定义，正确理解题意是解题的关键． （1）首先解关于x的方程，求得x的值，再分别解关于y的方程求得y的值，进一步根据“友好方程”的定义判断即可； （2）首先解关于y的方程求得y的值，再分别求得与其“友好方程”的x的值，进一步求得a即可． 【详解】（1）解：解方程得， 解方程，解得， ∵， ∴①不是的“友好方程”． 解方程得或． 当时，，则②是的“友好方程”． （2）解：解方程得或， ∵关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”， ∴当时，由题意，得， 将代入，得，解得， 当时，由题意得， 将代入，得，解得． 则a的值为或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元一次方程100道计算题专项训练10大题型 题型一：运用等式的基本性质解方程 题型二：解一元一次方程（简单） 题型三：解一元一次方程（复杂） 题型四：一元一次方程相同解问题 题型五：已知一元一次方程的解求参数 题型六：一元一次方程错解、漏解问题 题型七：一元一次方程的整数解问题 题型八：一元一次方程解的无关型问题 题型九：绝对值方程 题型十：一元一次方程的新定义问题 题型一：运用等式的基本性质解方程 1．运用等式的基本性质解下列方程： (1)． (2)． 2．利用等式的基本性质解下列方程： (1)． (2)． (3) 3．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 4．求未知数x的值． (1) (2) (3) 5．解方程． (1) (2) 6．解方程． (1)； (2)． 7．解方程． (1) (2) (3) 8．解方程： (1) (2) 9．解方程： (1)； (2)． 10．利用等式的基本性质解下列方程： (1)． (2)． (3)． 题型二：解一元一次方程（简单） 11．解一元一次方程： (1)； (2)． 12．解方程： 13．解方程：． 14．解下列方程： (1)． (2)． 15．解下列方程： (1)． (2)． 16．解方程： (1)； (2)． 17．解方程： (1)， (2)． 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．解方程 (1) (2) 20．解方程： (1) (2) 题型三：解一元一次方程（复杂） 21．解下列方程： (1)． (2)． (3)． 22．解方程： (1)； (2)． 23．解下列方程： (1)． (2)． 24．计算： 25．解方程： (1) (2) 26．解下列方程： (1)． (2)． (3)一题多解法． 27．解方程： 28．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 29．解方程 (1) (2) (3) (4) 30．解下列方程． (1)； (2)． 题型四：一元一次方程相同解问题 31．已知关于x的方程和方程的解相同，求关于y的方程的解． 32．若方程和方程的解相同，则a的值为多少？ 33．如果关于x的方程的解与方程的解相同，求a的值． 34．已知关于x的方程的解与方程的解相同，试求的值． 35．淇淇同学在解方程时不小心将方程中的一个常数污染了，被污染的方程是， (1)淇淇同学猜想“█”是1，请你根据猜想算一算x的值； (2)淇淇翻看了该题的答案，发现此方程的解与方程的解相同，求被污染的常数． 36．已知关于的方程与方程的解相同，求的值． 37．已知关于的方程与的解相同，求的值． 38．已知方程与关于x的方程的解相同． (1)求k的值． (2)若，求的值． 39．已知是常数，如果方程与关于的方程的解相同，求的值． 40．已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)若该方程的解与关于的方程的解相同，求的值． 题型五：已知一元一次方程的解求参数 41．已知方程的解与关于的方程的解互为相反数，求的值． 42．若关于的方程的解与的解相同，求的值． 43．已知关于的方程，若该方程的解与方程的解互为相反数，求的值． 44．已知，，关于的方程的解为，求的值． 45．计算： (1)已知关于x的方程与的解互为倒数，求m的值． (2)在（1）的条件下，若多项式与的和15，求的值． 46．如果关于的方程的解与方程的解相同，求字母的值． 47．已知关于的方程，其中． (1)当时，求该方程的解； (2)写出的一个正整数值，使得该方程的解也为正整数，并求此时方程的解． 48．王伟在解方程去括号时，等号右边括号里的没有变号，因而求得方程的解是，请你正确解出原方程． 49．关于x的方程与的解互为相反数，求的值． 50．当k取何值时，方程和方程的解相同？ 题型六：一元一次方程错解、漏解问题 51．小林在解方程去分母时，方程右边的忘记乘8，因而得到方程的错解．你能由此判断出的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 52．本学期学了一元一次方程的解法，下面是小明同学部分解方程的过程，请认真阅读并解答相应问题． 解方程：． 解：去分母，得， … 小明解方程的第一步是去分母，去分母的过程是否正确？如果正确，请继续解完此方程；如果不正确，请说明错在哪里？并按正确的方式解此方程． 53．学习情境·错解问题 小明在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，请你帮助小明求出的值，并正确解出原方程． 54．小明在学习解一元一次方程时，遇到了这样一个方程，于是他尝试去解，最后检验时他发现解是错误的，他百思不得其解，请帮助检查他下面的解法： 解：原方程即 【A】 去分母，得    【B】 去括号，得   【C】 移项，得 【D】 合并同类项，得 【E】 系数化为1，得 【F】 (1)他错在哪一步？____________（请填后面的大写字母代号），错误的原因是____________； (2)请你帮助正确写出求解过程． 55．（逆向思维）老师在黑板上出了一道解方程的题，小明马上举起了手，要求到黑板上去做，他是这样做的： ，① ，② ，③ ，④ ．⑤ 老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都掌握了，但解题时有一步做错了，请你指出他错在第________步（填编号），错误的原因是________；然后，你自己细心地解下列方程：． 56．小李同学在解关于x的一元一次方程去分母时，方程右边的1漏乘了3，因而求得方程的解为，请你帮助小李同学求出a的值，并求出原方程正确的解． 57．青青在解关于x的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得，请你求出原方程正确的解． 58．小明在解关于x的方程，由于在去分母的过程中等号右边的漏乘6，所以得到方程的解为．求a的值及方程的正确解． 59．小明解关于的一元一次方程，在去括号时，将漏乘了3，得到方程的解是，请你求出的值及方程正确的解． 60．关于x一元一次方程①， ②， (1)若方程①的解比方程②的解小4，求a的值； (2)小马虎同学在解方程①时，右边的“”漏乘了公分母6，因而求解方程的解为，试求方程①的正确的解； 题型七：一元一次方程的整数解问题 61．已知关于x的方程有非负整数解，求整数a的所有可能的取值的和． 62．已知关于x的方程，当整数a为何值时，方程的解为正整数？ 63．已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 64．当整数k为何值时，方程有正整数解？并求出正整数解． 65．已知关于x的一元一次方程，其中k为常数． (1)若是该方程的解，求k的值； (2)若该方程的解为正整数，求满足条件的所有整数k的值． 66．是否存在整数k，使关于x的方程有整数解？并求出解． 67．定义一种新运算“”：，比如：． (1)若，求的值， (2)若关于的方程的解为正整数，则满足条件所有整数的和为_____． 68．已知关于 的方程 的解为整数，求整数 的值． 69．阅读与理解：已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 解：，，因为关于x的方程，有正整数解，所以为正整数，因为k为整数，所以或，所以或； 探究与应用：应用上边的解题方法，已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 70．若关于的方程的解为正整数，求整数的值． 题型八：一元一次方程解的无关型问题 71．已知关于的方程的解与无关，则的值是 ． 72．已知，，且的值与y无关，求k的值． 73．已知关于的整式，整式，若是常数，且的值与无关． (1)求的值； (2)若为整数，关于的一元一次方程的解是正整数，求的值． 74．如果a，b为定值时，关于x的方程，它的根总是2，则的值为（   ） A．18 B．15 C．12 D．10 75．若不论取何值，关于的方程（，是常数）的解总是，则的值是（   ） A． B． C． D． 76．若不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是．则的值是（     ） A． B． C． D．15 77．若关于的方程，无论为任何数时，它的解总是，那么 ． 78．若关于x的方程，无论k为任何数时，它的解总是，则 ． 79．已知a、b为常数，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是，则ab的值为 ． 80．已知：关于x的方程∶ （其中a、b、k为常数）． (1)如果该方程无解，则k的值一定为多少？ (2)如果该方程有解，且不论k为何值时，它的解总是1，试求a，b的值． 题型九：绝对值方程 81．解方程：． 82．已知，求x的值． 83．若，求x的值． 84．已知，求的值． 85．已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)已知，求的值． 86．阅读下列信息，方程的解法如下： （I）当时，，解得：． （II）当时，，解得：． 请你解决下列问题： (1)，则______； (2)求方程的解． 87．阅读下列解题过程，并解答类似的题目． 解方程：． 解：由，得． 若，得；若，得， 所以原方程的解是或． (1)解方程：． (2)若方程的解也是方程的解，求m的值． 88．先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，它的解是．当时，原方程可化，它的解是． ∴原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是______； (2)解方程：． 89．阅读与思考． 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：， ，……都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程为例来探求解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，将含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 解方程． 解法一：把看作一个整体，根据绝对值的意义，得或， 解得：或． 解法二：当时；原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，即，解得， 所以原方程的解为或． 应用材料中的方法解决下面的问题： (1)解方程； (2)若关于的方程只有1个解，求方程的解及的值． 90．阅读与探究：如： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：，，都是含有绝对值的方程，有绝对值的方程的解呢？基本思路是：把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”．例如： 解方程． 解：当时，方程可化为：，解得，符合题意． 当时，方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为：或． 根据以上材料解决下列问题： (1)若，则的取值范围是_____； (2)方程的解是_____； (3)解方程：； (4)解方程． 题型十：一元一次方程的新定义问题 91．对于任意有理数a、b、c、d，定义新运算：． (1)求的值； (2)若，求的值． 92．定义“☆”运算，例如：，若，求x的值． 93．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“和谐方程”．方程与方程是“和谐方程”吗？请说明理由． 94．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程．与方程是否为“美好方程”，请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值． 95．新定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“1方程”．例如：方程和为“1方程”． (1)若关于的方程与方程是“1方程”，求的值； (2)若“1方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“1方程”，求关于的一元一次方程的解． 96．定义：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程是“和解方程”．例如：的解为，且，则方程是“和解方程”． (1)判断是否是“和解方程”，并说明理由． (2)若关于的一元一次方程是“和解方程”，运用等式的性质求的值． 97．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程：与方程是“美好方程”，求的值． (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个方程的解为，求的值． (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 98．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)方程与方程是“和谐方程”吗？请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“和谐方程”，求m的值； 99．定义：如果两个一元一次方程的解互为倒数，则称这两个方程互为“优雅方程”．例如：和互为“优雅方程”． (1)方程与方程是“优雅方程”吗？请说明理由； (2)若方程与关于的方程互为“优雅方程”，求的值． 100．【阅读材料】在学习一元一次方程后，数学老师给出一个新定义：若x是关于x的一元一次方程的解，y是关于y的方程的解或所有解的其中一个解，且x，y满足，则称关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”． (1)已知关于y的方程：①；②．请通过计算说明哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？ (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”，求a的值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $