精品解析：山东省德州市宁津县第六实验中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年上学期第一阶段学情检测 八年级数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. ，，． B. ，，． C. ，，． D. ，，． 2. 用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（ ） A.     B.     C. D. 3. 根据下列条件，能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图，已知，点、分别在、上，与相交于点，欲使．甲、乙、丙三位同学分别添加下列条件：甲：；乙：；丙：．其中满足要求的条件是（ ） A. 仅甲 B. 仅乙 C. 甲和乙 D. 甲、乙、丙均可 5. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的底边长为（） A. B. C. 或 D. 或 6. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，，则和的度数为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 6 8. 如图，在中，的平分线交于点于D，如果，且三角形的面积，那么的长为 （ ） A. B. C. D. 无法确定 9. 如图，平分，，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知四边形中，对角线平分，并且，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 我国建造的港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的____． 12. 将一直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若，则的度数是_______． 13. 已知，在中，，是边上的高，若，则_______． 14. 如图，是的中线，E是的中点，连接．如果的面积是16，那么图中阴影部分的面积为____________． 15. 如图，中，平分，E为边上的点，连接，下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论有___________．（填写序号即可）     16. 如图所示，中，，，，直线l经过点C．点M以每秒2cm的速度从B点出发，沿B→C→A路径向终点A运动；同时点N以每秒1cm的速度从A点出发，沿A→C→B路径向终点B运动；两点到达相应的终点就分别停止运动．分别过M、N作于点D，于点E．设运动时间为t秒，要使以点M，D，C为顶点的三角形与以点N，E，C为顶点的三角形全等，则t的值为______． 三、解答题：本题共8小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，、分别是的高线和角平分线，相交于点，且． （1）请证明：； （2）若，求的度数． 18. 如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，，，与 之间有什么关系？说明你的理由． 19. 如图，在中，D是上一点，E是外一点，，，．求证：． 20. 课本再现 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． （1）如图1，已知是的角平分线，求证：点G到三边的距离相等； （2）如图2，分别是的一个内角及一个外角的平分线，，连接．若，求的度数． 21. 如图，，分别平分，交于点D，探究与的数量关系. （1）若，，则与的数量关系为 ； （2）对于一般情形，（1）中的结论还成立吗？请说明理由. 22. 如图，这是脊柱侧弯测量显示的示意图，角（）是一个测量侧弯曲角度的方法，用于评估脊柱侧弯的严重程度，当角为脊柱侧弯．已知，，，． （1）与全等吗？请说明理由． （2）若小明是轻度脊柱侧弯（），直接写出与相等的角： ． 23. 如图，在中，． （1）利用尺规作图，在边上求作一点P，使得点P到边的距离等于的长；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，过P作，垂足为点D，若，求的长． 24. 已知中，，，中，，，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当D在上，E在的延长线上，直线相交于点F，求证：； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期第一阶段学情检测 八年级数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. ，，． B. ，，． C. ，，． D. ，，． 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行判断即可，解题的关键是正确理解三角形的三边关系． 【详解】、，不能组成三角形，不符合题意； 、，不能组成三角形，不符合题意； 、，不能组成三角形，不符合题意； 、，能组成三角形，符合题意； 故选：D． 2. 用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（ ） A.     B.     C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的分类．根据三角形的分类，进行判定作答即可． 【详解】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A、C正确，故不符合要求； 三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，B正确，D错误， 故选：D． 3. 根据下列条件，能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定、构成三角形的条件，根据全等三角形的判定条件和三角形三边关系，逐一分析各选项是否满足唯一性即可． 【详解】解：A、已知，，，则直角三角形的斜边和一条直角边确定，满足，可知该三角形是唯一确定的，故此选项符合题意； B、已知，，，此条件为两边及其中一边的对角，可能存在两种不同三角形，无法唯一确定，故此选项不符合题意； C.、，，，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，故此选项不符合题意； D、，，，未给出边长，无法唯一确定三角形，故此选项不符合题意． 故选：A． 4. 如图，已知，点、分别在、上，与相交于点，欲使．甲、乙、丙三位同学分别添加下列条件：甲：；乙：；丙：．其中满足要求的条件是（ ） A. 仅甲 B. 仅乙 C. 甲和乙 D. 甲、乙、丙均可 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形外角性质求出，根据全等三角形的判定推出即可；根据推出两三角形全等即可；求出，根据全等三角形判定推出即可． 【详解】解：，，， ， 在和中 ，甲正确； 在和中 ，乙正确； 连接， ，， ，， ， 即， 在和中 ，丙正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和等腰三角形性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，． 5. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的底边长为（） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm，根据题意列二元一次方程组，注意没有指明具体是哪部分的长为12，故应该列两个方程组求解． 【详解】解：设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm， 由题意得或， 解得或． ，不能构成三角形， 故等腰三角形的底边长为2cm， 故选：A． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解二元一次方程组和三角形三边关系的综合运用，此题的关键是分两种情况分析，求得解之后注意用三角形三边关系进行检验． 6. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，，则和的度数为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，外角的性质，高线、角平分线的定义，熟记定义并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 本题根据三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义，外角的性质进行解答即可． 【详解】解：∵在中，是高， ∴， ∵在中，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵在中，，是角平分线， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，角平分线的性质；利用基本作图得平分，过点作于，根据角平分线的性质得到则，再利用面积法得到，最后解方程即可． 【详解】解：由作法得平分， 过点作于，如图，则， ， ， 即， ， ， 故选：B． 8. 如图，在中，的平分线交于点于D，如果，且三角形的面积，那么的长为 （ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，作交于点E，作交于点F，连接，证明，再利用即可求出的长度． 【详解】解：作交于点E，作交于点F，连接， ∵平分，平分， ∴， ∵， 即， ∴． 故选：B． 9. 如图，平分，，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．过作，交的延长线于，证，进而得出A正确，再证，进而得到C、D正确，没有条件能证明B，进而即可解决问题． 【详解】解：如图，过作，交的延长线于， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， ， ，故A正确，不符合题意； ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故C正确，不符合题意； ，故D正确，不符合题意； 不一定等于， 不一定等于，故B错误，符合题意． 故选：B． 10. 如图，已知四边形中，对角线平分，并且，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．延长，，过点作、，垂足为，过点作于点，首先根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得，再证明，由“角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上”可知，进而可得，易得 平分，然后分别计算，的值，利用三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】解：如下图，延长，，过点作、，垂足为， 过点作于点， ∵平分，、， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 我国建造的港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的____． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性，利用三角形的稳定性，进行作答即可． 【详解】解：斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的稳定性； 故答案为：稳定性． 12. 将一直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若，则的度数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，解题的关键是利用三角形外角与内角的关系进行角度推导． 通过已知角的度数，利用三角形外角性质，逐步推导得出的度数． 【详解】如图， ∵， ∵， ， 故答案为：． 13. 已知，在中，，是边上的高，若，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理的应用，注意：三角形的内角和等于 ，正确进行分类讨论是解题关键． 分为两种情况，画出图形，先求得再根据角度关系求出的度数，即可得出答案． 【详解】解：分为两种情况：①如图， 为边上的高， ， ， ∴， ∵， ； ②如图， 同理可得：， ∵， ． 故答案为：或． 14. 如图，是的中线，E是的中点，连接．如果的面积是16，那么图中阴影部分的面积为____________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分的知识进行解答即可． 【详解】解：∵ 是的中线，的面积是16， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∴阴影部分的面积为． 15. 如图，中，平分，E为边上的点，连接，下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论有___________．（填写序号即可）     【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质及邻补角的定义，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点作于点，根据角平分线的性质可得，从而证明，可得，再利用三角形外角的性质即可判断①；证明，可得，再利用等量代换即可判断②③；根据，可得，，再由，可得，即可判断④． 【详解】解：过点作于点，     ，平分， ，， 又， ， ， ， ，故①正确； ，，， ， ， ，故②正确； ， ， ， ， ，故③错误； ， ， ， 又， ， ， ， 故④错误， 故答案为：①②． 16. 如图所示，中，，，，直线l经过点C．点M以每秒2cm的速度从B点出发，沿B→C→A路径向终点A运动；同时点N以每秒1cm的速度从A点出发，沿A→C→B路径向终点B运动；两点到达相应的终点就分别停止运动．分别过M、N作于点D，于点E．设运动时间为t秒，要使以点M，D，C为顶点的三角形与以点N，E，C为顶点的三角形全等，则t的值为______． 【答案】或7或10 【解析】 【分析】分，，以及四种情况进行讨论，利用全等三角形的判定，进行求解即可． 【详解】解：∵，， 从运动到需要：，从运动到需要：， ∴运动的总时间为：， 从运动到需要：，从运动到需要：， ∴运动的总时间为：， ∴当时：，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时： ， 即：， ∴（不合题意，舍去）； 当：时，，， 当重合时，，即：，， ∴，解得：； 当：时，，， ∵，， ∴当时： ， 即：，解得：； 当：时，，， ∵，， ∴当时： ， 即：，解得：； 综上：当的值为或7或10． 故答案为：或7或10． 【点睛】本题考查全等三角形中的动点问题．熟练掌握全等三角形的判定，根据动点的位置，进行分类讨论，是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，、分别是的高线和角平分线，相交于点，且． （1）请证明：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：是的角平分线， ， 又是的高线， ， 又， ， ， 即； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、直角三角形的性质． 根据角平分线的定义可知，根据垂直的定义可知，所以可得：，等量代换可得：，根据三角形内角和定理可证； 根据，可知，又因为，所以可得：，等量代换可得：，从而可求的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 由可知， ， ， 即， ． 18. 如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，，，与 之间有什么关系？说明你的理由． 【答案】 ，，理由如下： ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由得出，由，得出，即可证明，则，，则． 【详解】略 19. 如图，在中，D是上一点，E是外一点，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， 则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据题意可得，根据全等三角形的判定可证明，根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】略 20. 课本再现 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． （1）如图1，已知是的角平分线，求证：点G到三边的距离相等； （2）如图2，分别是的一个内角及一个外角的平分线，，连接．若，求的度数． 【答案】（1） 如图， 过点G作，垂足分别为H，M，N， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 即点G到三边的距离相等； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质定理： （1）过点G作，垂足分别为H，M，N，根据角平分线的性质可得，即可求证； （2）过点P作，垂足分别为点E，F，根据角平分线的性质可得，再由角平分线的判定定理可得平分，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点P作，垂足分别为点E，F， ∵分别是的一个内角及一个外角的平分线，， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，，分别平分，交于点D，探究与的数量关系. （1）若，，则与的数量关系为 ； （2）对于一般情形，（1）中的结论还成立吗？请说明理由. 【答案】（1） （2） 解：成立，理由如下: ∵，分别平分，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，正确运用三角形内角和定理是解答本题的关键． （1）结合已知条件，利用三角形内角和定理及角平分线定义求得，，再利用角的和差求得，从而得出结论 （2）利用三角形内角和定理及角平分线定义求得，然后结合已知条件，利用角的和差即可证得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，分别平分， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 22. 如图，这是脊柱侧弯测量显示的示意图，角（）是一个测量侧弯曲角度的方法，用于评估脊柱侧弯的严重程度，当角为脊柱侧弯．已知，，，． （1）与全等吗？请说明理由． （2）若小明是轻度脊柱侧弯（），直接写出与相等的角： ． 【答案】（1） 与全等，理由如下： ∵，， ∴ ∵，， ∴即 ∴； （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定与同角的余角相等等知识，正确识别图形是解答本题的关键． （1）根据可证明与全等； （2）根据直角三角形的性质可知：与互余，与互余，根据同角的余角相等可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴与都是直角三角形， ∴， ∴又， ∴． 故答案为：，． 23. 如图，在中，． （1）利用尺规作图，在边上求作一点P，使得点P到边的距离等于的长；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，过P作，垂足为点D，若，求的长． 【答案】（1） 解：由题意，作图如下，点即为所求； （2）6 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质，是解题的关键： （1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到点P在的角平分线上，利用尺规作角平分线的方法，作图即可； （2）证明，得到，根据线段的和差关系求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作于点D ∵是平分线，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 24. 已知中，，，中，，，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当D在上，E在的延长线上，直线相交于点F，求证：； 【答案】（1） 证明：，， ， 在和中，，，， ∴， ； （2） 证明：在和中，，，， ∴， ， 为、的外角， ， ， ． 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角性质、三角形面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算方法是解题的关键． （1）由证得，即可得出结论； （2）由证得，得出，由三角形外角的性质得出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $