精品解析：四川省泸州市龙马潭区多校联考2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025年秋期泸州市龙马潭区多校联考 九年级第一学月考试试题数学试题 （考试时间：120分钟 满分120分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共36分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 要由抛物线得到抛物线，则抛物线（ ） A. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 C. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位 4. 已知x1、x2是方程x2+5x+2=0的两根，则x1x2+x1+x2=（ ） A. -5 B. -3 C. -7 D. 7 5. 已知三角形两边长分别为3和9，第三边的长为一元二次方程的一根， 则这个三角形的周长为（ ） A. 20 B. 18 C. 15 D. 18或20 6. 关于的一元二次方程的根的情况（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 7. 若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 、、三点都在抛物线上，则，，的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 9. 一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息756条，则可列方程( ) A. B. C. D. 10. 函数与的图象在同一坐标系下可能是（ ） A. B. C. D. 11. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和是（    ） A. B. C. D. 12. 如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程无实数根．其中结论正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 13. 二次函数图象的开口方向是______（填写“向上”或“向下”）． 14. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为______________． 15. 受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，2016年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为_______． 16. 定义新运算“”：对于任意实数a，b，都有，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如．若（k为实数）是关于x的方程，且是这个方程的一个根，则k的值是________． 三、解答题（共72分） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 计算：． 20. 如图，已知，，，求证：． 21. 已知抛物线的顶点坐标为（2，1），且经过点（-1，-8）． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）求抛物线与坐标轴的交点坐标； （3）若自变量x的取值范围是，求对应的函数值y的取值范围． 22. 祁阳市唐家山油茶文化园景区在2021年十一黄金周期间，接待游客2万人次，2023年十一黄金周期间，接待游客达万人次． （1）请求出2021年至2023年十一黄金周期间游客人次的年平均增长率； （2）按此年平均增长率，请你预测该景区2024年十一黄金周期间接待游客的人次． 23. 已知关于的方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． （2）若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 24. 我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．某市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种空气净化器，其进价为200元/台，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低5元，月销售量就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务． （1）求出月销售量y（单位：台）与售价x（单位：元/台）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； （2）当售价x定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润W（单位：元）最大？最大利润是多少？ 25. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． （1）求此函数的关系式； （2）在下方的抛物线上有一点N，过点N作直线轴，交与点M，当点N坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ （3）在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点形成平行四边形，求出K，L点的坐标． （4）在y轴上是否存在一点E，使为直角三角形，若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期泸州市龙马潭区多校联考 九年级第一学月考试试题数学试题 （考试时间：120分钟 满分120分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共36分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键；因此此题可根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程”进行排除选项即可． 【详解】解：A、由于二次项系数的取值不确定，当时，该方程不是一元二次方程，故不符合题意； B、是一元二次方程，故符合题意； C、不是一元二次方程，故不符合题意； D、不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：B． 2. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程解法和根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根，即，由一元二次方程根的判别式或方程特征直接判断即可． 【详解】解：A．因为，方程有两个相等的实数根，故不合题意； B．，方程两根为，，故符合题意； C．，负数不能开平方，方程没有实数根，故不符合题意； D． ，因为，故不符合题意； 故选：B 3. 要由抛物线得到抛物线，则抛物线（ ） A. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 C. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 根据抛物线的平移规律：“上加下减，左加右减”，分析原函数到目标函数的平移方向和单位数。 【详解】解：∵原抛物线为，目标抛物线为， ∴抛物线，向左平移1个单位得， 再将抛物线向下平移3个单位得， 故选A． 4. 已知x1、x2是方程x2+5x+2=0的两根，则x1x2+x1+x2=（ ） A. -5 B. -3 C. -7 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】通过韦达定理即可求出，，即可求出结果． 【详解】根据原方程和一元二次方程根与系数的关系可得： ，， 即． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟知韦达定理公式是解答本题的关键． 5. 已知三角形两边长分别为3和9，第三边的长为一元二次方程的一根， 则这个三角形的周长为（ ） A. 20 B. 18 C. 15 D. 18或20 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，关键是三角形三边关系的熟练掌握．运用因式分解法求出方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长即可． 【详解】解：∵， ∴， 则或， 解得，， 由题意知，第三边的长度需满足：第三边长度，即6＜第三边长度， ∴第三边的长度为8， 则这个三角形的周长为， 综上所述，只有A选项正确，符合题意， 故选：A． 6. 关于的一元二次方程的根的情况（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．根据根的判别式即可判断． 【详解】解：∵一元二次方程中，， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 7. 若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意，得， 解得：，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，特别注意二次项系数不等于0这个条件． 8. 、、三点都在抛物线上，则，，的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的对称轴的求法，根据对称轴和开口方向分析函数的增减性，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小；反之，越大．分别求出三个点到对称轴的距离，以及开口方向，即可解答． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该函数的对称轴为y轴， ∴点到对称轴的距离为4， 点到对称轴的距离为1， 点到对称轴的距离为2， ∵， ∴该函数开口向下， ∵， ∴， 故选：C． 9. 一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息756条，则可列方程( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用发信息的总数微信群里好友的人数微信群里好友的人数，即可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 10. 函数与的图象在同一坐标系下可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象的综合判断，根据一次函数经过的象限判断出一次函数解析式中的符号，根据开口方向和对称轴的位置判断出二次函数解析式中的符号，看二者是否一致即可得到答案． 【详解】解：A、一次函数图象经过第二、三、四象限，则，二次函数开口向上，则，二者不一致，不符合题意； B、一次函数图象经过第一、三、四象限，则，二次函数开口向上，则，对称轴在轴右侧，则，故，二者一致，符合题意； C、一次函数图象经过第一、二、三象限，则，二次函数开口向下，则，二者不一致，不符合题意； D、一次函数图象经过第二、三、四象限，则，二次函数开口向下，则，对称轴在轴右侧，则，故，二者不一致，不符合题意； 故选：B． 11. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及分式方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．由一元二次方程有两个不相等的实数根得到根的判别式大于，求出的范围，表示出分式方程的解，由解为正整数确定出的值，再求出所有满足条件的整数的值之和即可． 【详解】解：由条件可知：，解得， 分式方程， 去分母得， 解得， 分式方程的解为正整数， 为负整数， ， ， 或或， 整数或或， 当时，，则有，产生增根，故舍去， 当或时，，满足条件 则所有满足条件的整数的值之和为． 故选：A． 12. 如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程无实数根．其中结论正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象正确判断式子的符号是解题的关键．由题意得，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，得到，再结合抛物线与轴交于点，得出另一个轴的交点为，得到抛物线的解析式为，则有，，可判断①；再根据抛物线与轴的交点在，之间（包含端点），可判断②；当时，有最大值，最大值为，可判断③；方程，整理得，再判断一元二次方程根的情况，可判断④，即可得出结论． 【详解】解：由题意得，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与轴交于点， ∴抛物线与轴交于另一点， ∴抛物线的解析式为， ∴，， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴的交点在，之间（包含端点）， ∴，即， 解得：，故②正确； ∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴对于任意实数，总成立， ∴对于任意实数，总成立，故③正确； 方程，即， 整理得：， ∵，， ∴， ∴方程无实数根， ∴关于的方程无实数根，故④正确； ∴综上所述，结论正确的个数为4个． 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 13. 二次函数图象的开口方向是______（填写“向上”或“向下”）． 【答案】向上 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图像，掌握二次函数的图像的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键． 根据二次函数解析式二次项系数的正负性，即可判断函数图像的开口方向． 【详解】解：二次函数中， ∴二次函数图象的开口向上， 故答案为：向上． 14. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握一元二次方程的根即能够使方程左右两边相等的未知数的值是解题关键． 将代入原方程即可求解． 【详解】解：将代入方程，得：， 解得：． 故答案为：． 15. 受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，2016年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为_______． 【答案】100（1+x）2=169 【解析】 【详解】试题分析：根据年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，可以列出相应的方程．由题意可得，100（1+x）2=169 考点：实际问题抽象出一元二次方程 16. 定义新运算“”：对于任意实数a，b，都有，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如．若（k为实数）是关于x的方程，且是这个方程的一个根，则k的值是________． 【答案】1或4 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解，解一元二次方程，正确理解新定义是解题的关键． 根据新定义得到，再由一元二次方程的解得到，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ∵是这个方程的一个根， ∴， 整理得， 解得， 答案：1或4． 三、解答题（共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 按照有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ∴ ∴或， ，． 19. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，分式的分子与分母分解因式后约分化简． 【详解】解；原式=． 20. 如图，已知，，，求证：． 【答案】 证明：， ， 即， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，先得到，根据证明，即可证明． 【详解】略 21. 已知抛物线的顶点坐标为（2，1），且经过点（-1，-8）． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）求抛物线与坐标轴的交点坐标； （3）若自变量x的取值范围是，求对应的函数值y的取值范围． 【答案】（1）；（2）（1，0）、（3，0）、（0，－3）；（3）－3＜y≤1． 【解析】 【分析】（1）函数的表达式为：y=a（x-2）2+1，将点（-1，-8）代入上式，即可求解； （2）令y=-x2+4x-3=0，即可求解； （3）将函数自变量x的取值范围是代入解析式，即可解答. 【详解】（1）函数的表达式为：y=a（x-2）2+1， 将点（-1，-8）代入上式得：-8=a（-1-2）2+1， 解得：a=-1， 故抛物线的表达式为：y=-（x-2）2+1=-x2+4x-3； （2）令y=-x2+4x-3=0，解得：x=1或3，令x=0，则y=-3 故抛物线与坐标轴的交点坐标为：（1，0）、（3，0）、（0，-3）； （3）当时，y=-x2+4x-3解得－3＜y， 当时，y=-x2+4x-3解得y≤1． 故自变量x的取值范围是时，－3＜y≤1． 【点睛】此题考查待定系数法求二次函数解析式，解题关键在于利用待定系数法求解析式. 22. 祁阳市唐家山油茶文化园景区在2021年十一黄金周期间，接待游客2万人次，2023年十一黄金周期间，接待游客达万人次． （1）请求出2021年至2023年十一黄金周期间游客人次的年平均增长率； （2）按此年平均增长率，请你预测该景区2024年十一黄金周期间接待游客的人次． 【答案】（1） （2）万人次 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是： （1）设2021年至2023年十一黄金周期间游客人次的年平均增长率为，利用该景区2023年十一黄金周期间接待游客人次数该景区2021年十一黄金周期间接待游客人次数年至2023年十一黄金周期间游客人次的年平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用预测该景区2024年十一黄金周期间接待游客的人次数该景区2023年十一黄金周期间接待游客的人次数年至2023年十一黄金周期间游客人次的年平均增长率），即可求出结论． 【小问1详解】 解：设2021年至2023年十一黄金周期间游客人次的年平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：2021年至2023年十一黄金周期间游客人次的年平均增长率为； 【小问2详解】 根据题意得：（万人次）． 答：按此年平均增长率，预测该景区2024年十一黄金周期间接待游客约万人次． 23. 已知关于的方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． （2）若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式和跟与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式的关系． （1）若方程有两个不相等的实数根，则，从而求出a的取值范围； （2）根据根与系数的关系求出，再借助完全平方公式解决即可． 【小问1详解】 ， ∵方程有两个不相等的实数根， ； 【小问2详解】 由题意得： ， , 解得：或 ， ． 24. 我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．某市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种空气净化器，其进价为200元/台，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低5元，月销售量就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务． （1）求出月销售量y（单位：台）与售价x（单位：元/台）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； （2）当售价x定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润W（单位：元）最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）售价定为310元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大．最大利润是121000元 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据题意得出实际销售量关于售价x的关系式，由利润的相等关系得出总利润的相等关系及二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题中条件销售价每降低5元，月销售量就可多售出50台，即可列出函数关系式；根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售列不等式组可得x的取值范围； （2）根据“总利润＝每台利润×每月的销售量”列出函数解析式，配方成顶点式可得函数的最值． 【小问1详解】 解：根据题中条件销售价每降低5元，月销售量就可多售出50台，则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：； 供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台， 则， 解得：． ∴售价x的范围为：， ∴y与x之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：， ． ∵在内， ∴当时，最大值为121000， 即售价定为310元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大．最大利润是121000元 25. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． （1）求此函数的关系式； （2）在下方的抛物线上有一点N，过点N作直线轴，交与点M，当点N坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ （3）在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点形成平行四边形，求出K，L点的坐标． （4）在y轴上是否存在一点E，使为直角三角形，若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）当N的坐标为，MN有最大值 （3）或或 （4）存在，点E的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）由求得,再分别代入抛物线解析式，得到以b，c为未知数的二元一次方程组，求出b，c的值即可； （2）求出直线的解析式，再设出M、N的坐标，把表示成二次函数，配方即可； （3）根据平行四边形的性质，以为边，以为对角线，分类讨论即可； （4）设出E的坐标，分别表示出的平分，再分每一条都可能为斜边，分类讨论即可． 【小问1详解】 ∵抛物线经过点A，点C，且, ∴, ∴将其分别代入抛物线解析式，得， 解得． 故此抛物线的函数表达式为：； 【小问2详解】 设直线的解析式为， 将代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设N的坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，为， 把代入抛物线得，N的坐标为， 当N的坐标为，MN有最大值； 【小问3详解】 ①当以为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分， ∴必过， ∴L必在抛物线上的顶点D处， ∵， ∴ ②当以为边时，， ∵K在对称轴上， ∴L的横坐标为3或， 代入抛物线得或，此时K都为， 综上，或或； 【小问4详解】 存在， 由，得抛物线顶点坐标为 ∵， ∴， 设，则，， ①为斜边，由得：， 解得：， ②为斜边，由得：， 解得：， ③为斜边，由得：， 解得：或， ∴点E的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，会运用待定系数法列方程组，两点间距离公式求的长，由平行四边形的性质判定边相等，运用勾股定理列方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $