精品解析：陕西省柞水中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

陕西省柞水中学2025—2026学年度第一学期阶段性测评（二） 高二年级 数学试题 一、单选题（每小题5分，共计8小题） 1. 下列向量中与共线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据（）可得，进行判断. 【详解】因为，所以C选项满足题意； 其他选项不存在，使写成该选项的形式，所以其他选项均不满足题意. 故选：C 2. 在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】利用两点之间的距离公式计算即得. 【详解】点和点之间的距离为. 故选：D. 3. 圆与直线的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定的 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心到直线距离，进而判断位置关系. 【详解】圆圆心到直线的距离， 所以圆与直线的位置关系是相交. 故选：A 4. 已知空间单位向量的夹角为，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算律，即可求解. 【详解】因为向量是单位向量，且两向量的夹角为，则， 所以， 故选：D. 5. 如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】利用棱锥的体积公式求解即可. 【详解】因为长方体，底面，，， 所以四棱锥的体积， 故选：B 6. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，利用空间向量基本定理即可求解. 【详解】由有， 所以， 故选：A. 7. 过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题先通过直线方程联立求出交点坐标，再根据平行待定系数设直线方程，最后代入点坐标求解. 【详解】由，得，∴交点坐标为．设与直线平行的直线方程为，把点的坐标代入，得，解得，∴所求直线方程为，故选：A． 8. 已知点在直线上，点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线的距离即可求解. 【详解】由于点不在直线上，所以当与直线垂直时，取最小值，， 故选：C 二、多选题（每小题6分，共计3小题，选全对得满分，选不全得3分，选错0分） 9. 某中学选派甲、乙、丙、丁、戊5位同学参加数学竞赛，他们的成绩统计如下： 学生 甲 乙 丙 丁 戊 成绩 84 72 80 68 76 则下列结论正确的是（ ） A. 这5位同学成绩的中位数是80 B. 这5位同学成绩的平均数是76 C. 这5位同学成绩的极差为16 D. 这5位同学成绩的第75百分位数是80 【答案】BCD 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，再根据中位数，平均数，极差和百分位数的定义进行求解，得到答案. 【详解】A选项，这5位同学成绩从小到大排列为68，72，76，80，84， 显然中位数为76，A错误； B选项，这5位同学成绩的平均数为，B正确； C选项，这5位同学成绩极差为，C正确； D选项，，故选取第4个数为第75百分位数，即80，D正确. 故选：BCD 10. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，，，则下列结论正确的是（ ） A. 是锐角三角形 B. C. 的面积为 D. 若为中点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：可得，利用余弦定理可知为钝角，即可判断；对于B：利用余弦定理运算求解即可；对于C：利用面积公式运算求解；对于D：可得，根据数量积的运算律结合余弦定理运算求解. 【详解】对于选项A：因为，则， 且，可知为钝角， 所以是钝角三角形，故A错误； 对于选项B：因为， 且，所以，故B正确； 对于选项C：的面积为，故C正确； 对于选项D：若为中点，则， 可得 ， 所以，故D正确； 故选：BCD. 11. 如图，在正四棱柱中，底面正方形的边长为为线段上的一个动点，则下列选项正确的是（ ） A. 若直线为平面和平面的交线，则平面中不存在直线与平行 B. 平面 C. 三棱锥的体积为定值 D. 直线与平面所成角最大时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面平行的性质定理可判断A，利用空间向量计算数量积可判断B，根据三棱锥的体积公式计算判断C，根据线面角定义得出最值即可判断D. 【详解】对于A，因为平面，且平面，平面平面，所以； 又与平面相交，则平面中不存在直线与平行，即平面中不存在直线与平行，故A正确； 对于B， 建立如图所示的空间直角坐标系，因为，， 所以，，，， 则，， 因为，所以不成立，即不成立， 所以平面不成立，故B错误； 对于C，因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，又为线段上的一个动点， 所以点到平面的距离为定值， 又，所以三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于D，由选项C可知，点到平面的距离为定值， 记直线与平面所成角为， 则，又正弦函数在上单调递增，则最大时，最大， 所以当最小时，有最大值，此时， 此时，在中，，又，所以， 在中，，从而，故D正确； 故选：ACD 三、填空题（每小题5分，共计3小题） 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的加法运算计算即可. 【详解】, 故答案为：. 13. 若点在圆外，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据及由点在圆外列式即可求解. 【详解】方程表示圆，则有，解得， 点在圆外，有，解得， 所以实数k的取值范围为. 故答案为：. 14. 无论取何实数，直线都经过定点_____ 【答案】 【解析】 【分析】将已知直线化为，结合，可得方程组，即可求得答案. 【详解】由题意知直线，即直线， 由于，故， 即无论取何实数，直线都经过定点， 故答案为： 四、解答题（5小题，共计77分） 15. 已知向量，. （1）求； （2）求； （3）求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】由空间向量的数量积，模长公式及夹角公式的坐标运算直接求解. 【小问1详解】 ; 【小问2详解】 , 则； 【小问3详解】 ，则 16. 已知直线的倾斜角为，且经过点． （1）求直线的方程； （2）求点关于直线的对称点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由倾斜角和斜率的关系求斜率，根据点斜式求直线的方程； （2）设点的坐标为，由条件列方程求即可. 【小问1详解】 设直线的斜率为， 因为直线的倾斜角为， 所以， 所以直线方程为，即 【小问2详解】 设点的坐标为， 则，解得， 所以点的坐标为． 17. 如图，正四棱柱中，，，点M，N分别是棱，的中点． （1）求证：直线平面； （2）求点B到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量法证明线面平行，求出直线方向向量和平面的一个法向量，证明向量垂直即可. （2）根据向量方法求空间中点到平面距离，根据公式求出距离即可. 【小问1详解】 如图所示，以D为坐标原点，，，为x，y，z轴正方形建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则，即， 设，解得，，则平面的一个法向量为， 则，得， 又直线不在平面内，则直线平面． 【小问2详解】 点B到平面的距离． 18. 已知的三个顶点分别是． （1）求的外接圆（为圆心）的标准方程： （2）若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】（1） （2），轨迹是以为圆心，半径为的圆. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解圆的方程即可. （2）根据题干设的坐标是，点的坐标是，再由， 列出方程代入即可求得轨迹方程. 【小问1详解】 设圆的方程为（其中） 因为三点都在圆上，可得 解得，满足， 所以所求圆的方程为，即 小问2详解】 设的坐标是，点的坐标是， 因为的坐标是，且， 所以，解得， 又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即， 代入得，整理得， 点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 19. 如图1，已知在正方形中，，，，分别是边，，的中点，现将矩形沿翻折至矩形的位置，使平面平面，如图2所示． （1）证明：平面平面； （2）设是线段上一点，且二面角的余弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用面面垂直的性质定理证得平面，得，然后结合得到平面，最后利用面面垂直的判定定理证得平面平面； （2）可以建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法进行求解，也可以利用二面角的定义找到二面角的平面角，然后在三角形中进行求解． 【小问1详解】 因为四边形是正方形，，分别是边，的中点， 所以是直角，且平行且等于，即四边形是矩形， 进一步有， 因为平面平面，平面平面， 且平面，， 所以平面， 因为平面，所以． 易知，则，所以． 因为，平面，平面， 所以平面． 又平面，所以平面平面． 【小问2详解】 解法一：由（1）可知，，，三条直线两两垂直，故可以为坐标原点， 分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 如图所示．则，，，， 从而，． 由题设，则， 又，则． 设平面的法向量为，则，得， 取，则，，得． 由（1）知，是平面的一个法向量， 所以，解得，故． 解法二：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接． 因为平面平面，平面平面， 且，平面， 所以平面，即平面， 又平面， 则， 又，，，平面， 所以平面， 又平面， 则， 所以为二面角的平面角． 由（1）知平面，平面， 所以平面平面， 所以二面角为直二面角， 所以二面角的正弦值等于二面角的余弦值， 所以，所以. 由题可设，则，， 所以在中，， 解得，故. 【点睛】关键点点睛：利用向量法解决立体几何中的空间角问题，关键在于依托图形建立合适的空间直角坐标系，将相关向量用坐标表示，通过向量的坐标运算求空间角，其中建系的关键在于找到两两垂直的三条直线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省柞水中学2025—2026学年度第一学期阶段性测评（二） 高二年级 数学试题 一、单选题（每小题5分，共计8小题） 1. 下列向量中与共线的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5 3. 圆与直线的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定的 4. 已知空间单位向量的夹角为，则（ ） A. B. C. 1 D. 5. 如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 10 6. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在直线上，点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 二、多选题（每小题6分，共计3小题，选全对得满分，选不全得3分，选错0分） 9. 某中学选派甲、乙、丙、丁、戊5位同学参加数学竞赛，他们的成绩统计如下： 学生 甲 乙 丙 丁 戊 成绩 84 72 80 68 76 则下列结论正确的是（ ） A. 这5位同学成绩的中位数是80 B. 这5位同学成绩平均数是76 C. 这5位同学成绩极差为16 D. 这5位同学成绩的第75百分位数是80 10. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，，，则下列结论正确的是（ ） A. 是锐角三角形 B. C. 的面积为 D. 若为中点，则 11. 如图，在正四棱柱中，底面正方形的边长为为线段上的一个动点，则下列选项正确的是（ ） A. 若直线为平面和平面的交线，则平面中不存在直线与平行 B. 平面 C. 三棱锥的体积为定值 D 直线与平面所成角最大时， 三、填空题（每小题5分，共计3小题） 12. 计算：______． 13. 若点在圆外，则实数k的取值范围为______． 14. 无论取何实数，直线都经过定点_____ 四、解答题（5小题，共计77分） 15. 已知向量，. （1）求； （2）求； （3）求. 16. 已知直线的倾斜角为，且经过点． （1）求直线的方程； （2）求点关于直线对称点的坐标． 17. 如图，正四棱柱中，，，点M，N分别是棱，的中点． （1）求证：直线平面； （2）求点B到平面的距离． 18. 已知三个顶点分别是． （1）求的外接圆（为圆心）的标准方程： （2）若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 19. 如图1，已知在正方形中，，，，分别是边，，的中点，现将矩形沿翻折至矩形的位置，使平面平面，如图2所示． （1）证明：平面平面； （2）设是线段上一点，且二面角的余弦值为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $