精品解析：四川省内江市第六中学2025—2026学年高二（27、28班）上学期第一次月考数学试题

内江六中2025-2026学年度上期高2027届第一次月考 【27、28班】数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（共8个小题，每个小题5分，共40分） 1. “关于x，y的方程：表示圆”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 设、是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 近年来，我国电动汽车产业发展迅猛，某品牌汽车市场也异常火爆，销售量逐年上升．现统计某汽车专卖店5月份前5天每天电动汽车的实际销量，结果如下表所示． 日期编号 1 2 3 4 5 销量/部 8 a 12 b 23 与有较强的线性相关关系，且线性回归方程为，则等于（ ） A. 28 B. 30 C. 33 D. 35 4. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 10 D. 30 5. 某学校举行游泳和乒乓球比赛，某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6，若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7.已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的前项和为，，且，则（ ） A. 1012 B. 2024 C. D. 2025 7. 小明用3D打印机制作了一个底面各边边长均不相等的四棱锥模型，现将此模型的每一个面都涂上一种颜色，其中有公共边的两个面异色，现有5种颜色可供使用，则有（     ）种不同的涂色方法 A. 320 B. 360 C. 420 D. 480 8. 已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3个小题，每个小题6分，共18分） 9. 已知数列的前项和，则下列正确的是（ ） A. B. C. 取最小值时， D. 为递增数列 10. 某高中为了让同学们了解有关半导体芯片的内容，并同时增加同学们对芯片行业的兴趣，特地举办了一次半导体芯片知识竞赛，统计结果显示，学生成绩，其中不低于60分为及格，不低于80分为优秀，且优秀率为20%.若从全校参与竞赛的学生中随机选取5人，记选取的5人中知识竞赛及格的学生人数为，则（ ） A. 该知识竞赛的及格率为60% B. C. D. 11. 已知椭圆的右焦点为，左，右顶点分别为，两点，直线与椭圆相交于，两点，则（ ） A. 椭圆的焦距为2 B. 为定值 C. 当以，，，四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为 D. 直线和的斜率的乘积为 三、填空题（共3个小题，每个小题5分，共15分） 12. 棱长为2的正方体的外接球表面积与内切球表面积的比值为______． 13. 已知数列的首项，的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为________． 14. 已知过抛物线的焦点的动直线交抛物线于两点，为线段的中点，为抛物线上任意一点，若的最小值为6，则________． 四、解答题（共5个小题，共77分） 15. 在新高考中，采用“3+1+2”模式.某校为了了解学生的选科情况，从高二年级的2000名学生（其中男生1100人，女生900人）中，采用分层抽样的方法从中抽取名学生进行调查. 选物理 选历史 合计 男生 90 女生 30 合计 （1）已知抽取的名学生中含男生110人，求的值； （2）在（1）的情况下对抽取到的名同学“选物理”和“选历史”进行问卷调查，得到下列2×2列联表.请将列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否认为选科与性别有关?并解释得到的结论. 参考公式：. 0.100 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 16. 如图，在三棱柱中，为线段的中点，侧棱上的点，满足. （1）证明：平面； （2）若，平面，，，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 一个不透明的口袋中装有3个红球、2个黄球和2个绿球，这些球除颜色外其他完全相同，现从这个口袋中一次性地摸出3个球. （1）求摸出的红球个数比黄球个数多的概率； （2）记摸出的球的颜色种类为，求的分布列与期望. 18. 中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y（单位：）关于时间x（单位：min）的回归方程模型，通过实验收集在室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示散点图以及如表所示数据. 73.5 3.85 表中：， （1）根据散点图判断: ①与②哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的经验回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立该茶水温度y关于时间x的经验回归方程 （3）已知该茶水温度降至口感最佳，根据（2）中的经验回归方程，求在相同条件下，刚泡好的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感. 附：（1）对于一组数据，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， （2）参考数据：，，，，. 19. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上不同的两点，且关于轴对称，直线和交于点. ①求动点的轨迹； ②过点的动直线与点的轨迹交于两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江六中2025-2026学年度上期高2027届第一次月考 【27、28班】数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（共8个小题，每个小题5分，共40分） 1. “关于x，y的方程：表示圆”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程表示圆求出参数的取值范围，再由充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若表示圆，则，解得或， 故“关于x，y的方程：表示圆”是“”的必要不充分条件． 故选：A 2. 设、是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】由线面和面面的位置关系依次判断各选项即可. 【详解】对于A，若，，则与平行、相交或异面，故A错误； 对于B，若，，则与平行或相交，故B错误； 对于C，若，，则，故C正确； 对于D，若，，则或在内或与相交，故D错误. 故选：C. 3. 近年来，我国电动汽车产业发展迅猛，某品牌汽车市场也异常火爆，销售量逐年上升．现统计某汽车专卖店5月份前5天每天电动汽车的实际销量，结果如下表所示． 日期编号 1 2 3 4 5 销量/部 8 a 12 b 23 与有较强的线性相关关系，且线性回归方程为，则等于（ ） A. 28 B. 30 C. 33 D. 35 【答案】C 【解析】 【分析】求出、，根据回归直线方程必过样本中心点，代入计算可得. 【详解】依题意，， 又回归直线方程过点，所以， 解得. 故选：C. 4. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 10 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】按第一个括号内的数分类，再利用二项式定理的通项公式求解. 【详解】的展开式通项为， 当第一个括号取1，第二个括号取含项时，展开式中的系数为； 当第一个括号取，第二个括号取含项时，展开式中的系数为， 故展开式中的系数为. 故选：A 5. 某学校举行游泳和乒乓球比赛，某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6，若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7.已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式计算即可. 【详解】设他获得冠军为事件，他参加游泳比赛为事件， 则， 故选：C. 6. 已知数列的前项和为，，且，则（ ） A. 1012 B. 2024 C. D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】根据的关系可得，即可通过列举发现周期性，进而可求解. 【详解】由可得，故， 由可得 故是周期为3的周期数列，且， 故， 故选：C 7. 小明用3D打印机制作了一个底面各边边长均不相等的四棱锥模型，现将此模型的每一个面都涂上一种颜色，其中有公共边的两个面异色，现有5种颜色可供使用，则有（     ）种不同的涂色方法 A. 320 B. 360 C. 420 D. 480 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知最少用三种颜色，以所用的颜色数分类讨论求解即可. 【详解】 如图： 当用种颜色时，即平面，平面，平面，涂种不同的颜色， 平面与平面同色，平面与平面同色，所以有种方法； 当用种颜色时，即平面，平面，平面，涂种不同的颜色， 从平面与平面中选一个涂第四种颜色，另一面与所对的面同色即可，所以有种方法； 当用种颜色时，即个面涂不同的颜色，有种方法， 所以总共有种方法， 故选：C 8. 已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设为圆上一点，得到的中点，求得，结合直线与圆有公共点，得到，求得，进而求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】因为双曲线的右焦点为，则，即， 且双曲线的渐近线方程为， 设为圆上一点，且圆心为，半径， 则的中点在其渐近线上，可得， 即，所以点在直线上， 因为圆心到直线的距离为， 因为圆上存在点满足条件，所以直线与圆有公共点， 所以，即，可得，可得，所以， 又因为双曲线的离心率，所以， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B. 二、多选题（共3个小题，每个小题6分，共18分） 9. 已知数列的前项和，则下列正确的是（ ） A. B. C. 取最小值时， D. 为递增数列 【答案】AD 【解析】 【分析】由求出数列的通项公式，可判断AB选项；利用二次函数的基本性质可判断C选项；利用数列的单调性可判断D选项. 【详解】因为，令得， 当时，①，②， 由①②可得：， 因当时，，故，A对B错； 因时，单调递增，且，故为递增数列，D对； 因为，故当或时，取最小值，C错. 故选：AD. 10. 某高中为了让同学们了解有关半导体芯片的内容，并同时增加同学们对芯片行业的兴趣，特地举办了一次半导体芯片知识竞赛，统计结果显示，学生成绩，其中不低于60分为及格，不低于80分为优秀，且优秀率为20%.若从全校参与竞赛的学生中随机选取5人，记选取的5人中知识竞赛及格的学生人数为，则（ ） A. 该知识竞赛的及格率为60% B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正态分布的性质求得这次知识竞赛的及格率.分析得到随机变量服从二项分布，即可求得. 【详解】选项A：因为学生成绩，根据正态分布的对称性得：， 所以，即该知识竞赛的及格率为80%，故选项A错误； 选项B、C、D：因为，由题意可得， 所以，，. 故选项B、D正确，选项C错误. 故选：BD. 11. 已知椭圆的右焦点为，左，右顶点分别为，两点，直线与椭圆相交于，两点，则（ ） A. 椭圆的焦距为2 B. 为定值 C. 当以，，，四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为 D. 直线和的斜率的乘积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用给定的椭圆基本量求出焦距长度判断A，利用椭圆的对称性合理转化长度判断B，利用平行四边形性质求出的坐标，再求解平行四边形面积判断C，设出关键点的坐标，利用点在椭圆上消去参数，判断斜率乘积为定值求解D即可. 【详解】对于A，由，得到， 可得椭圆C的焦距为2，故A正确； 对于B，如图，设椭圆的左焦点为，连接 由椭圆的对称性有，故B正确； 对于C，由题意得，且， 又因为四边形为平行四边形，有， 可得点的坐标为，代入椭圆中，得到， 解得，即的坐标为， 则平行四边形的面积为，故C错误； 对于D，由，设点的坐标分别为， 代入椭圆中有．又由， ，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题（共3个小题，每个小题5分，共15分） 12. 棱长为2的正方体的外接球表面积与内切球表面积的比值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据已知确定正方体外接球、内切球的半径，由球体表面积公式求出比值. 【详解】根据题意，正方体的外接球的半径为，内切球的半径为． 所以外接球表面积与内切球表面积的比值为， 所以棱长为2的正方体的外接球表面积与内切球表面积的比值为3． 故答案为：3 13. 已知数列的首项，的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用构造法，可得数列是以1为首项，以为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式可求得，最后可由此求得. 【详解】因为，即， 所以，又，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列， 所以，， 当时，， 所以， 当时，也成立，所以， 故答案为： 14. 已知过抛物线的焦点的动直线交抛物线于两点，为线段的中点，为抛物线上任意一点，若的最小值为6，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的定义及焦点弦的性质结合基本不等式计算即可. 【详解】 如图所示，分别过四点向准线作垂线，垂足分别为， 设的横坐标分别为， 由抛物线定义及梯形中位线可知则，， ， ， 易知，则， 即的最小值为， 设直线，，， 联立抛物线得，整理得， 所以，则， 由基本不等式可知，当且仅当等号成立， 故，解得. 故答案为： 四、解答题（共5个小题，共77分） 15. 在新高考中，采用“3+1+2”模式.某校为了了解学生的选科情况，从高二年级的2000名学生（其中男生1100人，女生900人）中，采用分层抽样的方法从中抽取名学生进行调查. 选物理 选历史 合计 男生 90 女生 30 合计 （1）已知抽取的名学生中含男生110人，求的值； （2）在（1）的情况下对抽取到的名同学“选物理”和“选历史”进行问卷调查，得到下列2×2列联表.请将列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否认为选科与性别有关?并解释得到的结论. 参考公式：. 0.100 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1） （2） 选物理 选历史 合计 男生 90 20 110 女生 60 30 90 合计 150 50 200 没有99%的把握认为选科与性别有关. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程求； （2）根据题意填写列联表，计算的值，对照临界值得出结论. 【小问1详解】 由题意得，解得（人）. 【小问2详解】 列联表： 选物理 选历史 合计 男生 90 20 110 女生 60 30 90 合计 150 50 200 因为 ∴没有99%的把握认为选科与性别有关. 16. 如图，在三棱柱中，为线段的中点，侧棱上的点，满足. （1）证明：平面； （2）若，平面，，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 连接点与的中点，连接， 又为的中点，则为的中位线，则且， 又，三棱柱中，，即， 则且，则四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 故平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，结合中位线与平行四边形性质可得，再利用线面平行判定定理即可得证； （2）可建立适当空间直角坐标系后，求出平面法向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，、平面， 则，，又， 则、、两两垂直，故以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、、， 则、、， 设平面的法向量为， 则有， 取，则，，即， 设直线与平面所成角为， 则. 17. 一个不透明的口袋中装有3个红球、2个黄球和2个绿球，这些球除颜色外其他完全相同，现从这个口袋中一次性地摸出3个球. （1）求摸出的红球个数比黄球个数多的概率； （2）记摸出的球的颜色种类为，求的分布列与期望. 【答案】（1） （2） 1 2 3 【解析】 【分析】（1）根据互斥事件的概率加法公式和古典概率公式计算即可； （2）确定的所有可能取值为1，2，3，分别求出对应事件的概率，列出分布列，求出数学期望即可. 【小问1详解】 由摸出的红球个数比黄球个数多，可知摸出的球可能为3个红球，可能为2个红球和1个黄球（或1个绿球），可能为1个红球和2个绿球， 其中摸出3个红球的概率为， 摸出2个红球和1个黄球（或1个绿球）的概率为， 摸出1个红球和2个绿球的概率为， 故摸出的红球个数比黄球个数多的概率为. 【小问2详解】 由题可知，的所有可能取值为1，2，3， ，，， 则的分布列为 1 2 3 故. 18. 中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y（单位：）关于时间x（单位：min）的回归方程模型，通过实验收集在室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示散点图以及如表所示数据. 73.5 3.85 表中：， （1）根据散点图判断: ①与②哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的经验回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立该茶水温度y关于时间x的经验回归方程 （3）已知该茶水温度降至口感最佳，根据（2）中的经验回归方程，求在相同条件下，刚泡好的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感. 附：（1）对于一组数据，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， （2）参考数据：，，，，. 【答案】（1）②更适宜 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据散点图选择②； （2）取对数，再利用最小二乘法公式求出回归直线方程即可； （3）利用（1）中回归方程，列出关于的方程求解即得. 【小问1详解】 由散点图知，点的分布呈现出曲线的趋势，因此更适宜的回归方程为②，即. 【小问2详解】 由，得，对等式两边取自然对数，得， 令，则， ， ， 结合表中数据，得， 结合参考数据可得，由，得结合参考数据可得， 所以茶水温度y关于时间x的回归方程为. 【小问3详解】 依题意，室温下，茶水温度降至口感最佳， 即，整理得， 于是，解得， 所以在相同条件下，刚泡好的茶水大约需要放置7.5min才能达到最佳饮用口感. 19. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上不同的两点，且关于轴对称，直线和交于点. ①求动点的轨迹； ②过点的动直线与点的轨迹交于两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①（）；②存在，. 【解析】 【分析】（1）根据离心率和短轴长结合关系求值，写出方程即可； （2）①利用相关点代入法求轨迹方程即可；②设直线方程为，联立直线与双曲线方程，根据韦达定理计算，由可得，根据斜率公式及韦达定理即可求解. 【小问1详解】 由题意，，所以， 而，所以， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①设，，由题意得， 直线的方程为：， 直线的方程为：， 所以， 因为在椭圆上，所以， 可得，所以， 所以，即， 因为不与重合，所以， 所以的轨迹为（）. ②设过点的直线方程为，， ，可得， 所以，， 设， 因为， 所以， 则， 即， ， 即，即， 所以， 因为不恒为0，所以，所以， 所以在轴上存在定点，使得，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $