精品解析：福建漳州市2027届高三毕业班教学质量检测数学试题

2027届高三毕业班教学质量检测 数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数运算以及复数的模，直接求解即可. 【详解】由得，， 所以. 2. 已知向量.若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据可求出结果. 【详解】因为，所以，，. 因为，所以， 所以，所以，解得. 故选：C 3. 设是平面，，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，与所成的角相等，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系的判定定理及性质，逐一分析各选项的正误，排除错误选项即可得到正确答案. 【详解】对选项A：由线面垂直的性质可知，若，则垂直于平面内的所有直线， 又，则平面内存在直线满足，因此，进而可得，故A正确； 对选项B：若，，则与的位置关系可以是平行、相交或异面，不一定互相平行，故B错误； 对选项C：若，，则与的位置关系可以是平行、相交（含垂直）或，不一定垂直于，故C错误； 对选项D：若、与所成的角相等，则与的位置关系可以是平行、相交或异面，不一定互相平行，故D错误. 4. 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合集合运算以及分式不等式的运算，直接判断充分性和必要性即可. 【详解】由得，， 所以， 又，所以， 则若，可得， 若，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 5. 已知随机变量服从正态分布，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态分布曲线关于均值对称的性质，先求出对称区间的概率，再结合已知概率计算所求值. 【详解】因为随机变量服从正态分布，其密度曲线关于直线对称， 由对称性可得， 已知，， 因此，故， 因此. 6. 若函数对任意都有，是偶函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查周期与奇偶性，先利用求出函数的周期，再利用是偶函数即可求解. 【详解】由于，故， 所以，函数的周期为， ， 因为是偶函数，所以，故 即，所以. 7. 双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于直线的直线与交于点，与的右支交于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得过且垂直于直线的直线方程，联立两直线方程求出，再结合条件求出，利用点在双曲线上，得到间的关系，即可求解. 【详解】设，其中，， 则过且垂直于直线的直线为， 由，解得，所以， 又，且三点共线，点在双曲线右支上，则， 所以，得到，， 所以，又点在双曲线上， 所以，整理得到，得到， 又，所以. 8. 设函数在区间上的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用可得函数关于点中心对称，从而可求解. 【详解】因为， ， 所以函数关于点中心对称， 则在区间上的最大值为，最小值为，可得. 二、多项选择题：本大题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分. 9. 甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示（实线为甲的折线图），则（ ） A. 甲、乙两人打靶的平均环数相等 B. 甲的环数的中位数比乙的大 C. 甲的环数的众数比乙的小 D. 乙打靶的成绩比甲的更稳定 【答案】AD 【解析】 【分析】根据图中数据计算平均数、中位数、众数、方差，然后逐一判断即可. 【详解】由图可知，甲的环数由小到大排列：， 乙的环数由小到大排列：， 对A，甲的平均环数， 乙的平均环数，正确； 对B，甲的环数的中位数为，乙的环数的中位数为，错误； 对C，甲的环数的众数为，乙的环数的众数为，错误； 对D，甲的方差， 乙的方差， 因为，所以乙打靶的成绩比甲的更稳定，正确. 10. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的最大值是 C. 的一条对称轴为 D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】BCD 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换化简，再结合正弦函数的单调性、最值、对称轴和图象平移规律逐项判断即可。 【详解】， 对于A：，单调递增区间应满足， 解得，所以单调递增区间为， 因为不完全在增区间内，故A错误； 对于B：，当取到最大值时，函数取最大值为，故B正确； 对于C：，此时取到了的最大值，所以函数的一条对称轴为，故C正确； 对于D：的图象向左平移个单位长度，得，故D正确. 11. 已知的三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，当点的横坐标为时，直线的斜率等于，则（ ） A. B. 是定值 C. 任意一个顶点的横坐标的绝对值都小于 D. 可能是直角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】设，由重心坐标公式得，，结合直线斜率求出，可判断A，利用抛物线的定义求得，判断B，求出三点横坐标后判断C，再求出三点纵坐标，计算边长的平方，判断D. 【详解】A，设，焦点为，， 因为焦点是的重心，所以，， 所以，，又，，， 所以，所以，A正确； B，由抛物线的定义分别等于三点到准线的距离，而准线方程为， 所以， 所以为定值，B正确； C，由得，即， 又，则， 所以，即， 将其看作关于的一元二次方程， 因为存在，则，解得， 同理，， 当时，，， 此时重合，不能构成三角形，故， 同理，， 综上，任意一个顶点的横坐标的绝对值都小于.故C正确. D，不妨设，即， ，， 则， 因为，， 所以， 由C可知，即， 则，无实数解， 所以不可能是直角三角形.故D错误. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的侧面积为，底面半径为cm，则该圆锥的体积是____________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用圆锥侧面积公式结合已知条件求出母线长，再借助勾股定理算出圆锥的高，最后代入圆锥体积公式即可求得结果. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高为，体积为， 由题知，侧面积为， 因为，可得母线长， 则高， 所以体积. 13. 已知数列与均为等差数列，且，则________． 【答案】1013 【解析】 【分析】设，将其代入，根据等差数列不含项的性质求出，再由求出，进而得到通项公式并计算． 【详解】因为数列与均为等差数列， 设，则， 可知，即，则， 则，解得，即， 所以． 14. 在某海岛上一观察哨A处，中午12时测得一轮船在海岛北偏东的B处，12时15分时测得该轮船在海岛北偏西的C处，12时20分该轮船到达位于海岛正西方且距海岛4海里的D港口，如果轮船始终匀速直线前进，则船速是____________海里/分. 【答案】 【解析】 【分析】在和中应用正弦定理结合求得，然后求得，再由速度公式计算出速度. 【详解】如图，是正北方向，由已知，，， ，即， ，， 在中由正弦定理得，， ， 在中由正弦定理得，，， 所以，所以， 所以， ，所以，， 所以，， 所以（海里/分） 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设是各项都为正数的等比数列，是等差数列，且，，，. （1）求，的通项公式； （2）若i，j均为正整数，且，求所有乘积的和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 为等比数列，设的公比为q.是等差数列，设的公差为d. 因为,,,. 所以有，，解得，. 所以的通项公式为. 的通项公式为. 【小问2详解】 所有满足的乘积的和为： . 16. 已知动圆过点，且与圆相内切，记动圆圆心的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）设斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为，若，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设动圆圆心为，半径为，根据条件可得，再利用椭圆的定义即可求解； （2）设直线，，联立直线与椭圆方程，根据条件，利用根与系数间的关系求出，即可求解. 【小问1详解】 设动圆圆心为，半径为，因为动圆过点，则， 圆的圆心为，半径为，又动圆与圆相内切， 则，所以， 则动圆圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，且，得到， 所以，则的方程为. 【小问2详解】 设直线，，易知， 由，消得到，即， 则，且①，②， 又，且，所以③， 由①③得到，由②③得到，所以， 整理得到，解得，满足， 所以直线的方程为或. 17. 已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和2个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现从甲、乙两袋中等可能选取一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，记X为这两个球中红球的个数. （1）求X的分布列和数学期望； （2）已知第一次摸到的球是红球，求第二次摸到的球也是红球的概率. 【答案】（1）的分布列为： X 0 1 2 P （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出随机变量X的所有取值，利用古典概型概率计算公式依次求出取每个值的概率即可，再利用数学期望的计算公式求解. （2）本题属于条件概率，分别求出第一次摸到的球是红球的概率，第一次摸到的球是红球并且第二次摸到的球也是红球的概率，利用条件概率计算公式即可求解. 【小问1详解】 X的所有取值为0,1,2. . . . 所以X的分布列如下： X 0 1 2 P 数学期望. 【小问2详解】 设事件“第一次摸到的球是红球”,事件“第二次摸到的球是红球”. . 所以. 所以已知第一次摸到的球是红球，第二次摸到的球也是红球的概率为. 18. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在定义域内为增函数，求的取值范围； （3）若在区间，各恰有一个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入求出得到切点，再求导计算得到切线斜率，进而得到切线方程； （2）对导数式子变形、提取公因式，构造函数；由对勾函数性质得到单调性，分与两种情况讨论，判断符号，确定在定义域内恒为增函数时的取值范围； （3）利用第（2）问结论分类讨论，当时单调不减，至多一个零点，不满足条件；当时，存在两个正零点，，得到的三段单调区间，结合得到极值符号，选取特殊点与计算函数值，借助零点存在定理证明，内各有一个零点，求出的取值范围． 【小问1详解】 当时，， 因为，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程是． 【小问2详解】 因为 ， 设，则在上单调递减，在上单调递增． 若，即时，则，有，，则是增函数； 若，即时，因为， 则有两个零点，记为，，不妨假设， 则，有，，则在上单调递减，不合题意； 所以的取值范围是． 【小问3详解】 当时，由（2）可知，是增函数，则在上至多一个零点； 当时，由（2）可知，在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增．又因为，且， 所以， ． 又因为，，，， 所以在，上各恰有一个零点， 所以在区间，各恰有一个零点，所以的取值范围是． 19. 已知三棱锥的底面是等边三角形，且，. （1）证明：； （2）设点在平面内的正投影为点，若，且二面角的正切值等于. （ⅰ）求三棱锥外接球的表面积； （ⅱ）设是空间中的一个平面，证明：三棱锥的各棱在平面上正投影的长度的平方和是常数. 【答案】（1）取的中点，分别连接、， 因为是等边三角形，所以， 又因为且面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为为的中点，所以． 取的中点，连接、，由已知条件同理可证， 所以． （2）（i）； （ii）以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示． 则正四面体的六个棱的方向向量都表示为：， ， 设任意平面的单位法向量为，其中． 对于每条棱，其在平面上正投影的长度的平方为． 因此六条棱在平面上正投影的长度的平方和为， 又 ， 所以 . 代入得， 故三棱锥的各棱在平面上的正投影的长度的平方和是常数． 【解析】 【分析】（1）取的中点，利用线面垂直的判定定理和性质定理得，从而得到，同理得到，即证明； （2）（i）建立合适的空间直角坐标系，求出相关平面法向量，从而得到相关方程，说明三棱锥是正四面体．最后利用补形法即可得到答案； （ii）建立合适的空间直角坐标系，写出各个棱的方向向量，最后求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）设与交于点， 因为平面平面， 所以，同理， 又平面平面， 所以平面， 设正三棱锥底面边长为，高为， 因为，所以，即． 以为原点，的方向分别为轴，轴的正方向， 如图建立空间直角坐标系， 则． 所以， 设是平面的一个法向量，则， 取，则，即， 因为点在平面内的正投影为点， 所以平面，所以直线的一个方向向量为， 又，设是平面的一个法向量， 则， 取，则，即， 又底面的一个法向量， 因为二面角的正切值等于， 所以，即， 又因为，解得， 所以三棱锥是正四面体． 如图，将正四面体补成一个正方体，使得正四面体的每条棱都是正方体的面对角线，则正方体的棱长为1． 所以正四面体的外接球与该正方体的外接球相同， 而正方体的外接球的表面积是． ； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三毕业班教学质量检测 数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量.若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 设是平面，，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，与所成的角相等，则 4. 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知随机变量服从正态分布，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数对任意都有，是偶函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 7. 双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于直线的直线与交于点，与的右支交于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数在区间上的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分. 9. 甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示（实线为甲的折线图），则（ ） A. 甲、乙两人打靶的平均环数相等 B. 甲的环数的中位数比乙的大 C. 甲的环数的众数比乙的小 D. 乙打靶的成绩比甲的更稳定 10. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的最大值是 C. 的一条对称轴为 D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 11. 已知的三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，当点的横坐标为时，直线的斜率等于，则（ ） A. B. 是定值 C. 任意一个顶点的横坐标的绝对值都小于 D. 可能是直角三角形 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的侧面积为，底面半径为cm，则该圆锥的体积是____________. 13. 已知数列与均为等差数列，且，则________． 14. 在某海岛上一观察哨A处，中午12时测得一轮船在海岛北偏东的B处，12时15分时测得该轮船在海岛北偏西的C处，12时20分该轮船到达位于海岛正西方且距海岛4海里的D港口，如果轮船始终匀速直线前进，则船速是____________海里/分. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设是各项都为正数的等比数列，是等差数列，且，，，. （1）求，的通项公式； （2）若i，j均为正整数，且，求所有乘积的和. 16. 已知动圆过点，且与圆相内切，记动圆圆心的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）设斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为，若，求直线的方程. 17. 已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和2个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现从甲、乙两袋中等可能选取一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，记X为这两个球中红球的个数. （1）求X的分布列和数学期望； （2）已知第一次摸到的球是红球，求第二次摸到的球也是红球的概率. 18. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在定义域内为增函数，求的取值范围； （3）若在区间，各恰有一个零点，求的取值范围. 19. 已知三棱锥的底面是等边三角形，且，. （1）证明：； （2）设点在平面内的正投影为点，若，且二面角的正切值等于. （ⅰ）求三棱锥外接球的表面积； （ⅱ）设是空间中的一个平面，证明：三棱锥的各棱在平面上正投影的长度的平方和是常数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $