精品解析：四川成都石室天府中学2025--2026学年上学期八年级数学10月月考试卷

石室天府中学2025~2026学年度上期第一学月素养检测数学试卷 （满分：150分，考试时间：120分钟，考试结束后，只将答题卡交回） A卷（共100分） 一、选择题 1. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 18 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年成都市石室天府中学体育节暨“协力竞逐，绿茵筑梦”初二足球联赛近期火热开赛．如图是某场比赛运动员某一时刻的站位示意图，将其放入正方形网格中（每个小正方形的边长都是1）．小李、小亮、小东的站位如下图所示，若小亮的位置表示为，小李的位置表示为，则小东的位置可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 估计的值在（ ） A. 3到4之间 B. 4到5之间 C. 5到6之间 D. 6到7之间 5. 以下列各组数为边长，能够组成直角三角形的是（ ） A. B. 7，25，24 C. 12，18，22 D. 2，3，4 6. 下列说法正确的是（ ） A. 两个无理数的和还是无理数 B. 实数与数轴上的点一一对应 C. D. 立方根等于本身的数是0 7. 如下图所示，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形、、、的面积分别是12，16，9，12，则最大正方形E的面积是（ ） A. 28 B. 25 C. 49 D. 40 8. 如图，长方体的长、宽、高分别为3，2，2，点是长方体的顶点，点是棱的中点，一只蚂蚁由处沿长方体表面爬到处，最短路程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 9. 在平面直角坐标系中，点在第___________象限． 10. 比较大小：________．（填“>”、“<”或“=”） 11. 已知点的坐标为，且点在轴上，则的值为___________． 12. 已知，则___________． 13. 如图，正方形的面积为7，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为 __________ 三、解答题 14. 计算 （1）； （2）． 15. 设的三边长分别为，满足的平方根为的算术平方根为的立方根为． （1）求的值； （2）若三角形三边长分别为，则有三角形面积公式（海伦公式），请利用该公式计算的面积． 16. 已知，四边形的顶点坐标分别为，． （1）请在图中画出四边形； （2）为轴上的一动点，则的最小值是___________． （3）连接，求的面积； 17. 如图，我校国旗班的同学要测量旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为1米，小李同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为5米． （1）求旗杆的高度； （2）小李在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的1米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小李需要从退向要走几米（即的长）？（结果保留根号） 18. 勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法． 【探索求证】请你利用图1，验证勾股定理： 【问题解决】如图2，在中，是边上的中点，连接，过点作交于点，若，求线段的长； 【延伸拓展】在等腰直角中，，平分，，以为直角边作等腰直角，连接，求的面积． B卷 一、填空题 19. 若，则的平方根为___________． 20. 如果，其中、为有理数，那么等于___________． 21. 已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且点到轴的距离为4．则点的坐标是___________ 22. 如图，正方形的边长为2，是的中点，将四边形沿翻折得到四边形．连接，则为___________． 23. 公元三世纪，我国数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图①）中的两个正方形和八个直角三角形按图②方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个结论：①；②；③若，则；④若点是线段的中点，则，其中正确的序号是___________． 二、解答题 24. 已知． （1）化简： （2）求代数式的值： （3）若的小数部分为，求的值． 25. 细心观察如图，认真分析各式，然后解答下列问题： （是的面积）： （是的面积）； （是的面积）； ．．．．．． （1）___________，___________； （2）请用含有（为正整数）的式子填空：___________，___________； （3）求的值． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，设，且． （1）请写出a和b的数量关系； （2）如图2，点D为的中点，点P为y轴负半轴上一点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点M，若，求点M的坐标； （3）如图3，点C与点A关于y轴对称，点E为的中点，连接，过点B作，且，连接交于点P，过点F作轴交的延长线于点M， ①求证：P为的中点； ②求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石室天府中学2025~2026学年度上期第一学月素养检测数学试卷 （满分：150分，考试时间：120分钟，考试结束后，只将答题卡交回） A卷（共100分） 一、选择题 1. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及等有这样规律的数． 根据无理数的概念逐项判断即可解答． 【详解】解：A．是循环小数，是有理数，不符合题意； B．是无理数，符合题意； C．是分数，是有理数，不符合题意；  D．18是有理数，不符合题意． 故选B． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、，被开方数含分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意； C、是最简二次根式，本选项符合题意； D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，本选项不符合题意． 故选：C． 3. 2025年成都市石室天府中学体育节暨“协力竞逐，绿茵筑梦”初二足球联赛近期火热开赛．如图是某场比赛运动员某一时刻的站位示意图，将其放入正方形网格中（每个小正方形的边长都是1）．小李、小亮、小东的站位如下图所示，若小亮的位置表示为，小李的位置表示为，则小东的位置可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，正确建立平面直角坐标系是解此题的关键． 根据小亮和小李的坐标建立平面直角坐标系，由此即可得解． 【详解】根据题意，直角坐标系如图： 小东的位置可以表示为． 故选：C． 4. 估计的值在（ ） A. 3到4之间 B. 4到5之间 C. 5到6之间 D. 6到7之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，掌握运算算术平方根估算无理数是解题的关键． 先估算的取值范围，再估算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即C选项符合题意． 故选：C． 5. 以下列各组数为边长，能够组成直角三角形的是（ ） A. B. 7，25，24 C. 12，18，22 D. 2，3，4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题关键．根据勾股定理逆定理逐项分析判断即可． 【详解】解：A．由，，则不能组成直角三角形，A选项不符合题意； B．由，则7，25，24能组成直角三角形，B选项符合题意； C．由，，则12，18，22不能组成直角三角形，C选项不符合题意； D．由，，则2，3，4不能组成直角三角形，D选项不符合题意． 故选：B． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 两个无理数的和还是无理数 B. 实数与数轴上的点一一对应 C. D. 立方根等于本身的数是0 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查实数，掌握基本的意义与性质是解题的关键． 利用无理数的意义、平方根、立方根、算术平方根以及实数与数轴的关系意义逐项分析判定即可． 【详解】解：A．互为相反数的两个数的和为0，0是有理数不是无理数，故该选说法错误，不符合题意； B． 实数与数轴上的点是一一对应的，故本说法正确； C． ，故该选项说法错误，不符合题意； D． 立方根等于本身的数是0、1、，故该选说法错误，不符合题意． 故选：B． 7. 如下图所示，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形、、、的面积分别是12，16，9，12，则最大正方形E的面积是（ ） A. 28 B. 25 C. 49 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据数形结合得出正方形之间面积关系是解题关键． 根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，利用四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积进而求出即可． 【详解】 ∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形， ∴正方形A的面积12，正方形B的面积16，正方形C的面积9，正方形D的面积12， ∴正方形F的面积为：，正方形G的面积为：， 则最大正方形E的面积是：． 故选：C． 8. 如图，长方体的长、宽、高分别为3，2，2，点是长方体的顶点，点是棱的中点，一只蚂蚁由处沿长方体表面爬到处，最短路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，此题的关键是明确两点之间线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段．根据展开图的不同类型，利用勾股定理计算比较即可． 【详解】解：如图所示， 根据题意，长方体的长 ，宽 ，高 ， 根据展开图，得到解法如下： 第一种展开图， 根据题意，得 ； 第二种展开图中， 根据题意，得 ； 第三种展开图中， 根据题意，得 ； 故爬行的最短路程为， 故选：C． 二、填空题 9. 在平面直角坐标系中，点在第___________象限． 【答案】二 【解析】 【分析】本题主要考查的是平面直角坐标系内点的坐标特点，四个象限的坐标符号分别为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 根据平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征判断即可． 【详解】解：点的横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限的坐标符号特征， 因此点在第二象限． 故答案为：二． 10. 比较大小：________．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用作差法比较实数的大小；，可判断，即可求解；能根据“若，则．”进行比较大小是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， ， ； 故答案：． 11. 已知点的坐标为，且点在轴上，则的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据点在x轴上，可得，进而求解即可． 【详解】点在x轴上， ， 解得． 故答案为：3． 12. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义得条件，掌握有意义，则是解题的关键． 根据题意，且，可解得，继而得到，接着求即可． 【详解】解：， ， 解得， ， ． 故答案为：． 13. 如图，正方形的面积为7，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为 __________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，根据正方形的面积求出正方形的边长为是解题的关键． 根据正方形的面积求出正方形的边长为，得到，即可得到点E表示的数为． 【详解】解：正方形的面积为7， 正方形的边长为， ， 点表示的数为． 故答案为：． 三、解答题 14. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解决本题的关键． （1）根据二次根式的乘除运算法则进行求解； （2）根据二次根式的加减运算法则进行求解． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 15. 设的三边长分别为，满足的平方根为的算术平方根为的立方根为． （1）求的值； （2）若三角形三边长分别为，则有三角形面积公式（海伦公式），请利用该公式计算的面积． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义以及海伦公式的应用。 （1）根据平方根、算术平方根、立方根的定义分别求出的值。 （2）先根据的值求出P的值，再代入海伦公式计算的面积。 【小问1详解】 的平方根为， ，解得， 的算术平方根为， ∴， 又， ， 的立方根为， ，解得， 所以，，； 【小问2详解】 ， ． 16. 已知，四边形的顶点坐标分别为，． （1）请在图中画出四边形； （2）为轴上的一动点，则的最小值是___________． （3）连接，求的面积； 【答案】（1） 如图： （2） （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查坐标的运算，掌握格点计算边长及面积是解题的关键． （1）描点连线即可； （2）根据将军饮马问题求解即可； （3）利用割补法求面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设关于对称点为，， ， ， 又当在上时，取得最小值， ， 取得最小值为， 即的最小值是． 故答案为：． 【小问3详解】 如图，在矩形内， ． ∴的面积为3． 17. 如图，我校国旗班的同学要测量旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为1米，小李同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为5米． （1）求旗杆的高度； （2）小李在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的1米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小李需要从退向要走几米（即的长）？（结果保留根号） 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为米，则为米，在中，运用勾股定理建立方程求解； （2）如图，过作于点，则四边形是矩形，根据矩形的性质求出相关边长，在中，根据勾股定理求得得（米），再由即可求解． 【小问1详解】 解：设旗杆的高度为米，则为米， 在中，， ， 米， ， 解得：， 答：旗杆的高度为12米； 【小问2详解】 解：如图，过作于点， ， ， 四边形是矩形， 米，， （米）， 由（1）可知，（米）， 在中，， 根据勾股定理，得（米）， 米， 米， 答：小强后退的距离约为米． 18. 勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法． 【探索求证】请你利用图1，验证勾股定理： 【问题解决】如图2，在中，是边上的中点，连接，过点作交于点，若，求线段的长； 【延伸拓展】在等腰直角中，，平分，，以为直角边作等腰直角，连接，求的面积． 【答案】 探索求证： 证明：此图可以看成有三个直角三角形的面积和，面积分别为， 因此图形面积为， 还可以看成一个直角梯形，其面积为， ∴, 即， ， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 问题解决：； 延伸拓展： 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握勾股定理的应用及全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用等面积证明即可； （2）过作交的延长线于，连接，先证，得到，再利用勾股定理得到，最后利用勾股定理求即可； （3）过点作于，过点作，交延长线于，根据角平分线定理可知，进而得到，，根据角的和差关系得出，利用证明，可得，，即可证明是等腰直角三角形，，再利用勾股定理计算的长，，利用三角形面积公式求面积即可． 【详解】略 【问题解决】解：过作交的延长线于，连接， ，， ，即， ， ， 是边上的中点， ， ， ， ， ，， ， ， ∴， ； 【延伸拓展】解：如图，过点作于，过点作，交延长线于， ∵平分，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴ B卷 一、填空题 19. 若，则的平方根为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根，绝对值的非负性，求一个数的平方根；掌握若，则且是解题的关键． 根据题意得出且，求出、的值，代入求出代数式的值，最跟根据平方根的定义即可解答． 【详解】， 且， 解得，， ， 的平方根为． 故答案为：． 20. 如果，其中、为有理数，那么等于___________． 【答案】3 【解析】 【分析】先计算，求出，，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，正确计算是解题的关键． 21. 已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且点到轴的距离为4．则点的坐标是___________ 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律，熟练掌握平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等是解题的关键． 根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等可得点N的纵坐标为，再根据点N到y轴的距离求出点N的横坐标即可． 【详解】解：∵点与点在同一条平行于x轴的直线上， ∴点N的纵坐标为，即， ∵点N到y轴的距离为4， ∴点N的横坐标为4或，即， ∴点N的坐标为或． 故答案为：或． 22. 如图，正方形的边长为2，是的中点，将四边形沿翻折得到四边形．连接，则为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、解直角三角形和平行线的判定和性质，解题的关键是做辅助线和找到对应的边角关系． 延长，交于G，过D作于H，则，，由折叠得，有，设，则，利用勾股定理求得和，根据等面积求得，即可得，，再利用求解即可． 【详解】解：延长，交于G，过D作于H，如图： ， ∵正方形的边长为2，M是的中点， ∴，， ∴， ∵将四边形沿翻折得到四边形， ∴，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 23. 公元三世纪，我国数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图①）中的两个正方形和八个直角三角形按图②方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个结论：①；②；③若，则；④若点是线段的中点，则，其中正确的序号是___________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的面积等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c，则小正方形的边长为，正方形的边长为b，正方形的边长为a，正方形的边长为，由正方形面积公式，勾股定理逐项进行判断即可． 【详解】解：设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c，则小正方形的边长为，正方形的边长为b，正方形的边长为a，正方形的边长为， ∴，，． ∴． ∴，故①正确； ∵， ∴． ∴． ∴．故②错误； ∵，， ∴．即． ∴． ∴，故③正确； ∵点A是线段的中点， ∴，即， ∴． ∴． ∴，故④不正确； 综上，正确的是①③． 故答案是①③． 二、解答题 24. 已知． （1）化简： （2）求代数式的值： （3）若的小数部分为，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，代数式求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． （1）分母有理化即可； （2），整体代入求解； （3），代入式子化简即可． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 25. 细心观察如图，认真分析各式，然后解答下列问题： （是的面积）： （是的面积）； （是的面积）； ．．．．．． （1）___________，___________； （2）请用含有（为正整数）的式子填空：___________，___________； （3）求的值． 【答案】（1）6， （2）n， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、二次根式的化简、二次根式的混合运算等知识点，发现代数式的规律是解题的关键． （1）阅读新定义，根据已知内容归纳总结即可； （2）阅读新定义，根据已知内容归纳总结即可； （3）先根据阅读材料代入，然后分母有理数，最后再整理即可解答． 【小问1详解】 解：（是的面积）： （是的面积）； （是的面积）； … （是的面积）． 故答案为：6，． 【小问2详解】 解：（是的面积）： （是的面积）； （是的面积）； … （是的面积）． 故答案为：n，． 【小问3详解】 解： \ ， 故答案为：． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，设，且． （1）请写出a和b的数量关系； （2）如图2，点D为的中点，点P为y轴负半轴上一点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点M，若，求点M的坐标； （3）如图3，点C与点A关于y轴对称，点E为的中点，连接，过点B作，且，连接交于点P，过点F作轴交的延长线于点M， ①求证：P为的中点； ②求的值． 【答案】（1） （2） （3）①如图3所示： 则， ， ， 在和中， ， ， ， 点C与点A关于y轴对称，， 是等边三角形， ， ， ， ， 又是的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为的中点， ② 【解析】 【分析】（1）由题意得出，则，则可得出结论； （2）连接，证明，由全等三角形的性质得出，证明为等边三角形，由等边三角形的性质得出，则可得出答案； （3）过点F作轴交的延长线于点M，则，证明，由全等三角形的性质得出，证明，得出，计算线段的比值即可得出答案． 【小问1详解】 解：，，， 在中， ， ， ，即； 【小问2详解】 解：连接，如图2所示： 是等边三角形， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即， ， 为等边三角形， ， ； 【小问3详解】 解：①略 ②， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $