精品解析：陕西省西安市西电中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

西电中学2025~2026学年第一学期第一次月考试题 高二数学 一､单选题（共8小题，每小题5分） 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据，利用求. 【详解】因为，所以，得. 故选：B. 2. 若直线和直线垂直，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线垂直满足的关系得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，解得. 故选：A 3. 已知三棱锥，，且，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由题意建立空间直角坐标系，利已知条件结合向量法求解即可. 【详解】由题意， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由题设可知， 所以， ，， 设点在上的投影为, 则 在直角三角形中， 点到直线的距离为: 故选：B. 4. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行判断即得. 【详解】当时，直线，则， 当时，，解得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 5. 如图，在平行六面体中，M在AC上，且，N在上，且．设，，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用向量回路方法运算求解即可. 【详解】解：因为M在AC上，且，N在上，且， 所以，， 在平行六面体中，，，， 所以，， 所以 ， 故选：A． 【点睛】本题考查空间向量的线性运算，利用向量回路方法是常用的方法. 6. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行把线到面的距离转化为点到面的距离，根据点到面的距离公式可得结果. 【详解】 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， ∴，，， ∴，即， ∵平面，平面，∴平面. ∴直线到平面的距离为点到平面的距离. 设平面的法向量为，则， 令，则，∴， ∴点到平面的距离为. 故选：D. 7. 如图所示空间四边形ABCD，连接AC、BD，设M、G分别是BC、CD的中点，则等于（ ） A. B. 3 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】、分别是、的中点，利用向量共线定理、三角形的中位线定理可得．再利用向量的三角形法则可得．即可得出． 【详解】解：、分别是、的中点， ． 而． ． 故选：C． 8. 已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【详解】记为点，直线的斜率，直线的斜率， 因为直线l过点，且与线段相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是． 故选：B． 二､多选题（共3小题，每小题6分，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则不可能使的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意得只需即可，然后逐个分析判断. 【详解】若，则需，即， 对于A，，所以A正确， 对于B，，所以B正确， 对于C，，所以C正确， 对于D，，所以D错误. 故选：ABC 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若向量，，，则共面 B. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 C. 若向量，，则在上的投影向量为 D. 已知平面，不重合，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用空间向量的共面定理判断选项A；根据向量与平行的关系判断选项B；利用投影向量的定义求解选项C；利用法向量判断两平面的平行关系确定选项D. 【详解】对A观察可知，，所以共面，A正确； 对B，，所以或，B错误； 对C，因为，， 所以， 所以在上的投影向量为，C错误； 对D，因为，即共线，所以，D正确； 故选:AD. 11. 如图，在四棱锥中，底面，底面为边长为2的菱形，，为对角线的交点，为的中点．则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的外接球的半径为 C. 当异面直线和所成的角为时， D. 点F到平面与到平面的距离相等 【答案】ACD 【解析】 【分析】在菱形中，过点作直线，以为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用空间向量求出线线角判断AC；求出点到平面距离判断D；分析棱锥外接球球心并求出球半径判断B. 【详解】在菱形中，过点作直线，由底面，得直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，而， 则， 由，得，则， 对于A，，， 则，于是，A正确； 对于B，由，得三棱锥的外接球截平面所得截面圆圆心为， 则球心在过垂直于平面的直线上，直线，显然球心在线段的中垂面上， 因此，三棱锥的外接球，B错误； 对于C，，由异面直线和所成的角为， 得，整理得， 而，解得，C正确； 对于D，， 设平面与平面的法向量分别为， ，令，得， ，令，得， 而，则点F到平面的距离， 点F到平面的距离，显然，D正确. 故选：ACD 三､填空题（共3小题，每小题5分） 12. 已知直线l1的倾斜角为45°，直线l1∥l2，且l2过点A(-2，-1)和B(3，a)，则a的值为_____. 【答案】4 【解析】 【分析】根据直线上的两点求得直线的斜率，再由两直线平行其斜率间的关系建立方程可得答案. 【详解】由题意，得，即a=4. 答案:4. 【点睛】本题考查由两直线的位置关系求参数的问题，属于基础题. 13. 已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若，＝(，，－3)，且BP平面ABC，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，可得，利用向量的数量积的运算公式列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由题意，可得， 利用向量的数量积的运算公式，可得 解得，，，∴. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，其中解答中根据题设条件和线面位置关系，利用向量的数量积的运算公式，列出方程组求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14. 已知，是夹角为60°的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出，再代入投影向量公式中求解即可． 【详解】由， 所以向量在向量上的投影向量为． 故答案为：． 四､解答题（共5小题，共77分.） 15. 棱长为2的正方体中，分别是的中点. （1）求证：； （2）求与夹角的余弦值； （3）求的长. 【答案】（1） 正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由分别是的中点，得， ，则， 因此，所以. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积为0推理即得. （2）利用空间向量的夹角公式计算即得. （3）求出向量的模即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，而，则， 所以与所成角的余弦值是. 【小问3详解】 ，则，所以的长为. 16. 如图，在正方体中， E为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】 （Ⅰ）[方法一]：几何法 如下图所示： 在正方体中，且，且， 且，所以，四边形为平行四边形，则， 平面，平面，平面； [方法二]:空间向量坐标法 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则、、、，，， 设平面的法向量为，由，得， 令，则，，则. 又∵向量,, 又平面，平面； （Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；也可利用空间向量计算证明； （Ⅱ）可以将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算；也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解 . 【详解】（Ⅰ）略 （Ⅱ）[方法一]：几何法 延长到，使得，连接，交于， 又∵，∴四边形为平行四边形，∴， 又∵,∴,所以平面即平面, 连接，作,垂足为,连接, ∵平面,平面,∴， 又∵,∴直线平面, 又∵直线平面,∴平面平面, ∴在平面中的射影在直线上,∴直线为直线在平面中的射影，∠为直线与平面所成的角， 根据直线直线，可知∠为直线与平面所成的角. 设正方体的棱长为2，则,,∴, ∴, ∴, 即直线与平面所成角的正弦值为. [方法二]：向量法 接续（I)的向量方法，求得平面平面的法向量， 又∵,∴， ∴直线与平面所成角的正弦值为. [方法三]：几何法+体积法 如图，设的中点为F，延长，易证三线交于一点P． 因为， 所以直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角． 设正方体的棱长为2，在中，易得， 可得． 由，得， 整理得． 所以． 所以直线与平面所成角的正弦值为． [方法四]：纯体积法 设正方体的棱长为2，点到平面的距离为h， 在中，， ， 所以，易得． 由，得，解得， 设直线与平面所成的角为，所以． 【整体点评】（Ⅰ）的方法一使用线面平行的判定定理证明，方法二使用空间向量坐标运算进行证明； （II）第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前的方法，有利用培养学生的集合论证和空间想象能力，第二种方法使用空间向量方法，两小题前后连贯，利用计算论证和求解，定为最优解法；方法三在几何法的基础上综合使用体积方法，计算较为简洁；方法四不作任何辅助线，仅利用正余弦定理和体积公式进行计算，省却了辅助线和几何的论证，不失为一种优美的方法. 17. 如图1，在等腰直角三角形中，分别是上的点，为的中点.将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） 连接，则， 在中，由余弦定理可得， 同理得， 因为，则，可得， 因为，则 可知， 又因为平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理和勾股定理可得，结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求点到面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，则， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得，， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则，可得， 所以点B到平面的距离为. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，M是线段AB上的动点． （1）证明：平面； （2）若点M是AB中点，求二面角的余弦值； （3）判断点M到平面的距离是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）证明：因为在正方体中，，平面，平面，平面 （2）； （3）点到平面的距离为定值. 【解析】 【分析】（1）利用正方体的性质得，再由线面平行的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式求出二面角的余弦值，即可得解.（3）由（1）得点到平面的距离等于上任意一点到平面的距离，结合（2）和点到面的距离公式得点到平面的距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在正方体中，，，两两互相垂直，则建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，所以，，，，设向量，分别为平面和平面的法向量，由 取，则，，. 同理 取，则，，. ， 又二面角的平面角为锐角， 二面角的余弦值为 【小问3详解】 由（1）知平面，在上.点到平面的距离等于上任意一点到平面的距离，取点为的中点，结合（2）和点到平面的距离点到平面的距离定值为 【点睛】本题考查线面平行的判定定理、利用空间向量求二面角以及利用空间向量求点到面距离，考查综合分析论证与求解能力，属中档题. 19. 如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，点，分别在棱，上移动，且. （1）当时，证明：直线平面； （2）是否存在，使平面平面？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下空间直角坐标系， 则、、、，， 所以，，则，故，即， 又平面，平面，因此平面； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，即可得到，从而得证； （2）求出面与面的法向量，由已知条件得出这两个平面的法向量垂直，结合求出实数的值，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知、、、、， 设平面的一个法向量为，，， 由，可得，取，则， 设平面的一个法向量为，，， 由，可得，取，则， 当平面平面时，则. 所以，整理可得，，解得. 所以当时平面平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西电中学2025~2026学年第一学期第一次月考试题 高二数学 一､单选题（共8小题，每小题5分） 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 若直线和直线垂直，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知三棱锥，，且，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 3 4. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，在平行六面体中，M在AC上，且，N在上，且．设，，，则 A. B. C. D. 6. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示空间四边形ABCD，连接AC、BD，设M、G分别是BC、CD的中点，则等于（ ） A. B. 3 C. 3 D. 2 8. 已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（共3小题，每小题6分，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则不可能使的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若向量，，，则共面 B. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 C. 若向量，，则在上的投影向量为 D. 已知平面，不重合，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则 11. 如图，在四棱锥中，底面，底面为边长为2的菱形，，为对角线的交点，为的中点．则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的外接球的半径为 C. 当异面直线和所成的角为时， D. 点F到平面与到平面的距离相等 三､填空题（共3小题，每小题5分） 12. 已知直线l1的倾斜角为45°，直线l1∥l2，且l2过点A(-2，-1)和B(3，a)，则a的值为_____. 13. 已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若，＝(，，－3)，且BP平面ABC，则实数________． 14. 已知，是夹角为60°的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为________． 四､解答题（共5小题，共77分.） 15. 棱长为2的正方体中，分别是的中点. （1）求证：； （2）求与夹角的余弦值； （3）求的长. 16. 如图，在正方体中， E为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 如图1，在等腰直角三角形中，分别是上的点，为的中点.将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，M是线段AB上的动点． （1）证明：平面； （2）若点M是AB中点，求二面角的余弦值； （3）判断点M到平面的距离是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 19. 如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，点，分别在棱，上移动，且. （1）当时，证明：直线平面； （2）是否存在，使平面平面？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $