3.2一定是直角三角形吗 课后达标练习 2025-2026学年鲁教版（五四制）（2024）七年级数学上册

3.2一定是直角三角形吗 知识点一　勾股定理的逆定理 1．△ABC的三边长分别为a，b，c，若满足a2＝b2＋c2，则△ABC的形状为(　　) A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 2．如果将直角三角形的三条边长同时扩大为原来的5倍，那么得到的三角形是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 3．已知△ABC的三边长分别为5，12，13，则△ABC的面积为　　． 4．如图所示的网格是正方形网格，如果△ABC和△CDE的顶点都是网格线的交点，那么∠BCA＋∠DCE＝　　．(填度数) 5．(2024·东营检测)如图所示的一块铁皮(阴影部分)，测得AB＝6，BC＝8，CD＝24，AD＝26，∠B＝90°.求这块铁皮(阴影部分)的面积． 知识点二　勾股数 6．(2024·威海检测)下列各组数是勾股数的是(　 　) A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5 C．7，12，13 D．18，24，30 7．满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．写出你比较熟悉的两组勾股数：①　 　； ②　 　． 8．(1)请你观察下列勾股数：(3，4，5)；(5，12，13)；(7，24，25)；…；分析其中的规律，直接写出第4组勾股数：　 　. (2)若a＝n2＋4，b＝4n，c＝n2－4，其中n＞2且n是正整数．试说明：以a，b，c为边长的△ABC是直角三角形． 9．(2024·泰安检测)下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是(　 　) A．∠A＝∠B＋∠C B．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 C．a2＝(b＋c)(b－c) D．a∶b∶c＝5∶12∶13 10．如图，在一个6×6的正方形网格中，有三个格点三角形(顶点在网格的交点上)，其中直角三角形有(　 　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．若三角形三边长满足a∶b∶c＝3∶4∶5，且三角形周长为24 cm，则这个三角形最长边上的高为　　． 12．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，AD＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积是　 　． 13．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，BD＝1，CD＝2，AD＝4.试说明：∠ACB＝90°. 【创新运用】 14．已知整式A＝n2＋1，B＝2n，C＝n2－1，整式C＞0. (1)当n＝1 999时，写出整式A＋B的值　　；(用科学记数法表示结果) (2)求整式A2－B2的值； (3)嘉淇发现：当n取正整数且n>1时，整式A，B，C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由． 3.2一定是直角三角形吗 知识点一　勾股定理的逆定理 1．△ABC的三边长分别为a，b，c，若满足a2＝b2＋c2，则△ABC的形状为(　C　) A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 2．如果将直角三角形的三条边长同时扩大为原来的5倍，那么得到的三角形是(　C　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 解析：设原直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a2＋b2＝c2， 因为三条边长同时扩大5倍， 所以扩大后的三条边长为5a，5b，5c. 所以(5a)2＋(5b)2＝25a2＋25b2＝25(a2＋b2)＝25c2. 因为(5c)2＝25c2， 所以(5a)2＋(5b)2＝(5c)2. 所以如果将直角三角形的三条边长同时扩大5倍，那么得到的三角形是直角三角形． 故选：C. 3．已知△ABC的三边长分别为5，12，13，则△ABC的面积为　30　． 解析：因为△ABC的三边长分别为5，12，13， 所以52＋122＝132. 所以△ABC是直角三角形，两直角边长分别是5，12. 所以△ABC的面积为×5×12＝30. 故答案为：30. 4．如图所示的网格是正方形网格，如果△ABC和△CDE的顶点都是网格线的交点，那么∠BCA＋∠DCE＝　45°　．(填度数) 解析：如图，连接AD. 易知由勾股定理，得AD2＝12＋32＝10，CD2＝12＋32＝10，AC2＝22＋42＝20， 所以AD＝CD，AD2＋CD2＝AC2. 所以△ACD是等腰直角三角形，且∠ADC＝90°. 所以∠CAD＝∠ACD＝45°. 观察图形可知，△BFC和△CGE都是等腰直角三角形， 所以∠BCF＝45°，∠ECG＝45°. 所以∠BCA＋∠DCE＝180°－45°－45°－45°＝45°. 故答案为：45°. 5．(2024·东营检测)如图所示的一块铁皮(阴影部分)，测得AB＝6，BC＝8，CD＝24，AD＝26，∠B＝90°.求这块铁皮(阴影部分)的面积． 解：如图，连接AC. 在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8， 所以由勾股定理得AC＝10. 因为CD＝24，AD＝26，AC＝10， 所以AC2＋CD2＝AD2， 所以△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°. 所以S阴影＝S△ACD－S△ABC＝×10×24－×6×8＝120－24＝96. 故这块铁皮(阴影部分)的面积是96. 知识点二　勾股数 6．(2024·威海检测)下列各组数是勾股数的是(　D　) A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5 C．7，12，13 D．18，24，30 7．满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．写出你比较熟悉的两组勾股数：①　3，4，5　； ②　6，8，10(答案不唯一)　． 8．(1)请你观察下列勾股数：(3，4，5)；(5，12，13)；(7，24，25)；…；分析其中的规律，直接写出第4组勾股数：　(9，40，41)　. (2)若a＝n2＋4，b＝4n，c＝n2－4，其中n＞2且n是正整数．试说明：以a，b，c为边长的△ABC是直角三角形． 解：(1)通过观察得： 第1组勾股数为2×1＋1，2×12＋2×1，2×12＋2×1＋1； 第2组勾股数为2×2＋1，2×22＋2×2，2×22＋2×2＋1； 第3组勾股数为2×3＋1，2×32＋2×3，2×32＋2×3＋1； 所以第4组勾股数为2×4＋1＝9，2×42＋2×4＝40，2×42＋2×4＋1＝41. 故答案为：(9，40，41)． (2)因为a＝n2＋4，b＝4n，c＝n2－4， 所以b2＋c2＝(4n)2＋(n2－4)2＝16n2＋n4－8n2＋16＝n4＋8n2＋16＝(n2＋4)2＝a2， 即b2＋c2＝a2. 所以以a，b，c为边长的△ABC是直角三角形． 9．(2024·泰安检测)下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是(　B　) A．∠A＝∠B＋∠C B．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 C．a2＝(b＋c)(b－c) D．a∶b∶c＝5∶12∶13 解析：A．因为∠A＝∠B＋∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠A＝90°.所以△ABC是直角三角形，故此选项不合题意； B．设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，根据题意，得3x＋4x＋5x＝180，解得x＝15，则5x°＝75°，所以△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意． C．因为a2＝(b＋c)(b－c)，即a2＝b2－c2，所以b2＝a2＋c2.所以△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意； D．因为52＋122＝132，所以△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：B. 10．如图，在一个6×6的正方形网格中，有三个格点三角形(顶点在网格的交点上)，其中直角三角形有(　C　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：由题图可知：左上第一个三角形：(12＋22)＋(12＋22)＝12＋32，故此三角形是直角三角形； 右上第二个三角形：(12＋22)＋(12＋32)≠22＋32，故此三角形不是直角三角形； 第三个三角形：(22＋22)＋(32＋32)＝12＋52，故此三角形是直角三角形． 综上，直角三角形的个数是2. 故选：C. 11．若三角形三边长满足a∶b∶c＝3∶4∶5，且三角形周长为24 cm，则这个三角形最长边上的高为　 cm　． 解析：因为a∶b∶c＝3∶4∶5， 所以设三边长分别为a＝3x cm，b＝4x cm，c＝5x cm. 因为周长为24 cm， 所以3x＋4x＋5x＝24，解得x＝2. 所以三边长分别为a＝6 cm，b＝8 cm，c＝10 cm. 因为62＋82＝102， 所以三角形是直角三角形． 设最长边上的高是h cm，根据题意，得×6×8＝×10×h， 解得h＝. 故答案为： cm. 12．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，AD＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积是　36　． 解析：如图，连接AC. 在△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3， 所以由勾股定理，得AC＝5. 在△ADC中，AD＝12，CD＝13，AC＝5. 因为122＋52＝132，即AD2＋AC2＝CD2， 所以△ADC是直角三角形，且∠DAC＝90°. 所以S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝AB·BC＋AC·AD＝×4×3＋×5×12＝6＋30＝36.故答案为：36. 13．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，BD＝1，CD＝2，AD＝4.试说明：∠ACB＝90°. 解：因为CD⊥AB，垂足为点D，BD＝1，CD＝2，AD＝4， 所以BC2＝BD2＋CD2＝12＋22＝5，AC2＝AD2＋CD2＝42＋22＝20. 因为AB＝AD＋BD＝4＋1＝5， 所以AB2＝25＝20＋5＝AC2＋BC2. 所以△ABC是直角三角形． 所以∠ACB＝90°. 【创新运用】 14．已知整式A＝n2＋1，B＝2n，C＝n2－1，整式C＞0. (1)当n＝1 999时，写出整式A＋B的值　4×106　；(用科学记数法表示结果) (2)求整式A2－B2的值； (3)嘉淇发现：当n取正整数且n>1时，整式A，B，C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由． 解：(1)A＋B＝n2＋1＋2n＝(n＋1)2，当n＝1 999时， 原式＝(1 999＋1)2＝2 0002＝4×106. 故答案为：4×106. (2)A2－B2＝(n2＋1)2－(2n)2 ＝(n2)2＋2n2＋1－4n2 ＝(n2)2－2n2＋1 ＝(n2－1)2. (3)嘉淇的发现正确．理由如下： 因为B2＋C2＝(2n)2＋(n2－1)2 ＝4n2＋(n2)2－2n2＋1 ＝(n2＋1)2， 所以B2＋C2＝A2. 所以当n取正整数且n>1时，整式A，B，C满足一组勾股数． 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $