第18章 情境串联专题 分式方程的应用&数学活动(六)探究比例的性质-【名师学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学分层进阶学习法（人教版2024）

情境串联专题 分式方程的应用 襄阳历史悠久，是楚文化、汉文化、三国文 ②若市政原来每天支付给施工队的工资 化的主要发源地.襄阳古城曾被誉为“华夏第一 为a元，提高工作效率后每天支付给施 城池”.襄阳古城以她的独特魅力，吸引了无数 工队的工资增加了20%，完成整个工 游客的目光 程市政共支付给施工队的工资不超过 1.襄阳市政打算对汉江某段长达2400米的江 58400元，求a的最大值 堤进行美化 （1)负责该美化项目的某工程队花费45000 元用于购买建筑材料，一段时间后，又花 费21000元第二次购买材料，第二次的 购买量是第一次的一半，且第二次的单价 2.2025年蛇年春晚吉祥物形象“已升升”的整 (单位：元/t)比第一次少100元.求这两 体造型巧妙借鉴中华传统文化中甲骨文的 次分别购买材料多少吨？ “巳”字，且以青绿色为主调，象征春意盎然， 勃勃生机.因其憨态可掬的眉眼与满满的中 式美好寓意，“已升升”受到广大群众的喜爱 襄阳市某中学为激励学生奋发向上，决定购 买一批“已升升”来奖励学生，经调查后发现， 市场上有A,B两种材质的吉祥物，已知使用 B材质生产的吉祥物比A材质的吉祥物每个 贵50元，用3000元购买A材质的吉祥物的 数量是用1500元购买B材质吉祥物数量的 (2)已知购买材料的地点距工地180km,工 4倍. 程队第二次购买材料后，用卡车运回工 (1)购买一件A材质的吉祥物需要 元，购 地，匀速行驶1h后，司机接到工程队的 买一件B材质的吉祥物需要 元 命令需提前到达，于是司机把速度增加到 (2)现在该学校准备用不超过3000元购买 原来的1.5倍，最终提前40min到达工 A,B两种材质的吉祥物共50个.恰逢商 地，求加速前卡车的平均速度， 家对两种吉祥物的价格进行了调整：使用 A材质的吉祥物的价格按原价的九折出 售，使用B材质的吉祥物的价格比原价提 高了20%，那么该学校此次最多可购买多 少个B材质的吉祥物？ (3)该工程队在美化800米后，改进施工方 式，每天的工作效率比原来提高25%，26 天完成全部美化任务 ①施工队原来每天美化江堤 米 123八年级数学·上册 数学活动（六） 探究比例的性质 【描述定义】如果两个数a与b的比等于另外两 ①分比性质：a,一b=c一d b d 个数c与d的比，则称这四个数a,b,c,d成比 例.记作a:6=c:d,或分-台其中a与d称 ②和分比性质：a+b=十d a-b c-d 为比例的外项，b与c称为比例的内项. ⑤等比性质：若会一=公】 b 【理论支撑】等式的性质，分式的运算. 则4，十a十…十a=41=02== 【进程跟踪】在小学，我们已学过比例的基本性 b1+b2+…bmb1b2 b 质，此性质是在具体的数的基础上得出的、 【实践应用】 【性质探究】1)已知：云-云求证：ad=c E知号-号则.2- a 【证明1：分=分 ∴.等式两边同乘bd,得 (2)由号一可得出以下比例性质： ①反比性质：在比例式中，把比的前项和后 项交换后的比例式仍然成立.即：分-分， ②更比性质：在比例式中，更换两个内项和 外项，比例式仍然成立.即：若公=合则号 ③合比性质：已：号-云求证： c+d d. 【证明]设号-专=k,则a=一一 :a十b c+d」 b d a十b b (3)请用(2)③的证明方法证明下面三个结论， 若号=行则有： 助学助教优质高数124(2)设药店销售该口罩每包的售价是y元，依题意，得[2000+2000×(1+50%)] y-4000一7500≤3500，解得y≤3.答：药店销售该口罩每包的最高售价是3元. 10.解：(1)设大巴的平均速度为x千米/小时，则小车的平均速度为1.5x千米 小时，限指慰意，得9十合十，解得x一0.经特验，0是原方程的 解，且符合题意.所以1.5x=60.答：大巴的平均速度为40千米/小时，小车的平 均速度为60千米/小时；(2)设苏老师赶上大巴的地点到基地的路程有y千米， 根据题意，得宁+2.2-。之，解得y=30答苏老师追上大巴的地点到基地 40 的路程有30千米. 情境串联专题分式方程的应用 1.(1)解：设第二次购买材料x1,则第一次购买材料2π1.根据题意，得45,000 2x 100=2100.解得x=15.经检验r=15是所列方程的解，且符合题意.2x= 30t.答：第一次购买材料30t,第二次购买材料15t.(2)解：设加速前卡车的 平均速度为mkm:根据题意，得0-(0+1)=号解得m=60,经检 m 验，m=60是所列方程的解，且符合题意.答；加速前卡车的平均速度是60km h. （8)080@解：(2)根据题意.得：+90元00×1+20%)a≤58 2400-800 400,解得a≤2000.∴.a的最大值为2000.答：a的最大值为2000. 2.解：(1)50100(2)设该学校此次购买y个B材质的吉祥物，则购买(50一y) 个A材质的吉祥物，由题意得：50×0.9(50一y)+100×(1+20%)y≤3000.解 得y≤10.答：该学校此次最多可购买10个B材质的吉祥物 数学活动（六）探究比例的性质 (1)ad=bc(2)①4 @宁③6放张。力-+1士4+1生 b d d 【解13①设号=7=6：则a==k,-然-6-1，行- b b d -1.。@设号-后-：则a-0e-6小名袋名 a-b bk-b 岩-验+号告小名-号®设号-爱=-公=则山 b bk,ag=,,a=bk.÷4十42=6中，kH十6 b1+b2+…b k, 一名-会-…会【实碳应用号 第十八章大单元整合与素养提升 典例导航 【例1】(1)②③④⑥(2)≠3(3)=1(4)(a+3)(a-3) a2-3a+6 (a+3)(a-3) x十y .(x-2y)2=1 例2】解：原式=士(x2y(x-y) .:|x-4|+(y-9)2 1 =0,x-4=0,y-9=0.x=4,y=9.原式=4十9=13 【例311)号 (2)解：设长途汽车的平均速度为xkm/h,则小轿车的平均速度为1.5xkm/h. 由题意，得兰0十了·解得。一80，经检险一80是原方程的解，且符合题 意.∴.1.5x=120.答：小轿车的平均速度为120km/h. 考点过关 1,B2.D3.D4.55.D6.D7.158.(1)解：原式=a+(a-D 3a-2 a十11 3a-2a-1 2解：原式=中》·》号 x+1 9.解：原式= (a+2 a a-22 22a2aa+2a+2②42a+2a-8=0,a+2a=8,当 G+2a=8时，原式=子2。-号=分01.64×101112器 13.m<专且m≠号14.1015.2 25