第16章 整式的乘法 大单元整合与素养提升-【名师学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学分层进阶学习法（人教版2024）

第十六章大单元整合与素养提升 01典例导航 2.计算：(-1)+（号）”= 【例1】(1)计算：(-a2)3+(-a3)2-(2a3)2+a2 3.计算： ·a4-2a°÷a3. (1)若am=8,am+m=4,则a”= (2)(2025·玉林模拟)若，n满足x-y-2 =0,则2x÷2的值是 (3)42024×(-0.25)2025= (2)若2m=a,2=b,m,n是正整数，则22m+m的 4.计算：x4·x8+x6·(-x3)2十(2x)3. 值是 【例2】下面是小文同学进行整式化简的过程，请 认真阅读并完成相应任务， 解：(3x+2)(3x-2)-(3x-1)2 考点二整式的乘除 =(3x)2-22-[(3x)2-6.x十1]…第一步 5.若xy·()=-x3y2,则括号内应填的式子 =9x2-4-(9x2-6.x十1)…第二步 是 () =9x2-4-9x2-6x一1…第三步 A.xy B.-xy C.-x2y D.-y =-6x一5.…第四步 6.数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回 任务一： 到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题： (1)以上解题过程中，用到的乘法公式有 -7xy(2y-x-3)=-14xy2+7x2y□，☐的 (写出一个即可)； 地方被墨水弄污了，则口内应填写 () (2)从第 步开始出现错误，错误的原因是 A.+21xy B.-21xy C.-3 D.-10xy 任务二：请写出该整式化简正确的解答过程. 7.我市某小区为了方便居民购物，计划在小区 外的一块长方形空地上建一个大型超市.已 知长方形空地的面积为(6y2+y)m,宽为y m,则这块空地的长为 () A.6xy m B.(6y+1)m C.(6y+y)m D.(6xy3+y2)m 02考点过关 8.(中考·嘉兴)已知a2+3ab=5,则(a+b)(a 考点一 幂的运算 十2b)-2b2的值是 1.(2025·六盘水模拟)下列计算正确的是() 9.计算：5x(2x+1)-(2x+3)(5x-1). A.ai÷a3=a2 B.(a2b)5=ab C.4a3·3a2=12a D.(2x)2·3.x=12x3 89八年级数学·上册 考点三乘法公式 16.【新中考·新定义型阅读理解题】如果一个 10.下列计算正确的是 ( 正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那 A.(1-a)2=1-a2 么称这个正整数为“神秘数”，如：4=22 B.(2+a)(2-a)=4-a2 02,12=42-22,20=62-4,因此4,12,20 C.(a+2)2=a2-2a十4 都是“神秘数” D.(a+3)2=a2+9 (1)36 (填“是”或“不是”)“神秘数”； 11.已知x-y=3,xy=2,则(x+y)2=() (2)证明：“神秘数”一定是4的倍数. A.12 B.13 C.14 D.17 12.若a十b=3,a2+b2=6,则以a,b的长为直 角边的直角三角形的面积是 13.计算：998×1002= 14.先化简，再求值：(a+3)2-(a+1)(a-1) 22a+4).其中a=-2 17.有两类正方形A,B,其边长分别为a,b(a> b),现将B放在A的内部得图甲，将A,B并 列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和 图乙中阴影部分的面积分别为4和16. B A B A B 03素养提升 丙 (1)图甲中阴影部分的面积为 15.已知式子(a.x-3)(2x十4)-x2一b化简后 图乙中阴影部分的面积为；（用 不含x2项和常数项. 含a,b的式子表示) (1)求a,b的值； (2)求正方形A,B的面积之和； (2)求(b-a)(-a-b)+(-a-b)2-a(2a (3)三个A类正方形和两个B类正方形如 +b)的值. 图丙摆放，构造新的正方形，求阴影部分 的面积. 助学助教优质高数90y2)2=-(x-2xy2+y)=-x+2x2y2-y.13.解：(1)A=x2+4x+4-x -x+2-3=3x+3.(2)(x+1)2-x2=-3,即x2+2x+1-x2=-3,.2x+1 =-3.x=-2.当x=-2时，A=3×(-2)+3=-3.14.解：(1)(a十b+c)2 =a+b+c2+2ab+2bc+2ac(2)由(1)可得a+b+c2=(a+b+c)2-(2ab+ 2bc+2ac)=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)=112-2X38=45. 方法技巧专题（二）变形乘法公式巧求式子的值 1.A2.373.±94.(1)20(2)解：原式=(a+)2-4·a.1=3-4=5 5.36.解：①a2+b2=(a+b)2-2ab=62-2×2=32;②(a-b)2=(a+b)2 4ab=6-4×2=28;③a2-ab+b=a2+b-ab=(a+b)2-3ab=62-3×2= 30.7.解：.a2+b=25,(a-b)2=a2+b2-2ab=1,.∴.2ab=a2+b2-(a-b)2= 25-1=24,∴.(a+b)2=a2+b2+2ab=25+24=49.8.(1)(a+b)2-(a-b)2= 4ab（2)①士4②解：(2m+n)2-（2m-)2=8mn,即8mm=13-5=8,,∴.mm=1. 第2课时添括号法则 知识储备 不变改变 基础练综合练素养练 1.(1)①b-c②c-b③z-y④y-之⑤y-xy-之(2)a-3b52.C 3.(1)解：原式=x2+y2+2xy-2x-2y+1(2)解：原式=(a-c)2-(2b)2= a2+c2-2ac-4b24.A5.-16.解：将-b+c添括号时出错，正确的解答过 程如下：(a-b+c)2=[a-(b-c)]=a2-2a(b-c)+(b-c)2=a2-2ab+2ac+ b2-2bc+c2=a+b+c2-2ab+2ac-2bc.7.解：Q>P.证明：Q=(m2-m+1) (m2+m+1)=[(m2+1)-m][(m2+1)+m]=(m2+1)2-m2=m+m+1,P =(m+1)2(m-1)2=(m2-1)2=m-2m2+1,,m+m2+1-(m-2m2+1)= 3m(m≠0)，.3m2>0...Q-P>0..Q>P. 数学活动（四）整式乘法数学活动 1.(1)7(2)解：①n+1n+7n十8②这个日历，具有上面的规律.证明：根 据题意，得(n+1)(n+7)-n(n+8)=n2十8n+7-n2-8n=7.答：这个日历具有 上面的规律.2.(1)5515751313143122221116(2)3600 359130242639当两个数的和一定时，这两个数越接近，它们的乘积越大 解：设长方形的长为xm,则宽为(8一x)m,面积S=x(8一x)=一x2十8x,S在d =4时取得最大值，最大面积是16m.此时长和宽都为4m,两条邻边相等. 般结论：当长方形的周长一定时，长方形的两邻边相等时，长方形的面积最大. 综合与实践（四）探索拼图与乘法的几何意义 活动1：(a+b)2=a2+2ab+b活动2：解：(a+2b)(a+b)=a2+ab+2ab+2b =a+3ab+2b,∴.需要A型卡片1张，B型卡片2张，C型卡片3张.活动3： ab ab b (a+3b)(a十2b)活动4：解：拼图如下：a ab 活动5：解：设MN a K.S=alx-(a+b)=ax-a2-ab,S,=3b(x-a)=3bx-3ab,..Q=S 一S2=(a-一3b)x一a十2ab,由题意得，若Q为定值，则Q将不随x的变化而变 化，可知当a-3b=0时，即a=3b时，Q=-a2+2ab为定值.活动6：解：由题 意，得x-y=DG=BE=2,x2+y=34,则(x-y)2=4=x2十y2-2xy.化简得 2xy=30.∴.(x+y)2=x2+y+2xy=34+30=64.∴x+y=8(负值舍去).图中 阴影部分面积为：号×2y叶2x一y)=y叶2X2=y十x=8 第十六章大单元整合与素养提升 典例导航 【例1】(1)解：原式=-a+a5-4a+a5-2a5=-5a(2)ab 【例2】任务一：(1)平方差公式（答案不唯一）(2)三去括号时-6x未变号 任务二：解：原式=(3x)2-22-[(3x)2-6x+1]=9x2-4-(9x2-6x+1)=9x -4-9x2+6x-1=6x-5. 考点过关 1.D2.23.(1)2 (2)4(3)-0.254.解：原式=x2+x2+8x2=10x2. 5.C6.A7.B8.59.解：原式=10x2+5x-10x2+2x-15x+3=-8x 十3.10.B1.D12.是13.99999614.解：原式=a2+6a+9-+1- 4a-8=2a+2,当a=-2时，原式=2a+2=1. 素养提升 15.解：(1)(ax-3)(2x+4)-x2-b=2ax2+4ax-6x-12-x2-b=(2a-1)x +(4a-6)x+（-12-b).·式子(ax-3)(2x十4)-x2-b化简后不含x2项和 常数项，∴2a-1=0,-12-6=0.解得a=2,6=-12.(2)原式=a2-6+d+ 2a6+8-2a-b=ab,当a=2,6=-12时，原式=号×(-12)=-6. 16.(1)是(2)证明：设较小的偶数为2k,则较大的偶数为2k十2..(2k十2)2 (2k)2=8k十4=4(2k十1).，k为非负整数，.2k十1为正整数..“神秘数”一定 是4的倍数.17.解：(1)(a-b)22ab(2)根据题意，得(a-b)2=4,2ab=16. ∴.a2+b=(a-b)2十2ab=4+16=20.∴.正方形A,B的面积之和为20；(3)由 (2)知，(a-b)2=4,2ab=16,:a>b,.ab=8,a-b=2.∴.(a十b)2=(a-b)2+ 4ab=4十32=36.：a十b>0,∴a十b=6.∴.图丙中阴影部分的面积为(2a十b)2一 3a2-2b=a2-b+4ab=(a+b)(a-b)+4ab=6×2+4×8=44. 第十七章因式分解 17.1用提公因式法分解因式 知识储备 1.几个整式分解因式2.公共3.公因式乘积 基础练综合练素养练 1.C2.B3.B4.B5.C6.(1)x(2x+y)(2)3a(a-3)(3)(m-n)(3a +2b)7.(1)a3b1a-3b+1(2)①解：原式=x(m十n)；②解：原式= 3x2(1-2x)；③解：原式=(x+y)(2x-3y).8.B9.(1)解：原式=(y-1) (x-4)(2)解：原式=(a-2)2十6(a-2)=(a-2)(a-2+6)=(a-2)(a+4). 10.解：原式=(x-2)(2a-3),当a=1,x=4时，原式=(4-2)×(2×1-3)= 2.11.A12.413.2514.(1)獬：原式=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+ c);(2)解：原式=3a(a-2b)-6b(a-2b)=3(a-2b)2.15.(1)解：原式=2 023×(1+2023-2024)=2023×0=0;(2)解：原式=38×(32-6)=38×3 =316.解：△ABC是等腰三角形.理由：a十2ab=c十2bc,.(a-c)十2b(a 0=0.“(a-c)1+20)=0,故a=c或1+26=0.显然6≠-号，故a=c,此 三角形为等腰三角形.17.解：(1)提公因式法2(2)原式=(1十x)[1+x+ x(1+x)+x(1+x)2]=(1+x)(1+x)[1+x+x(1+x)]=(1+x)(1+x)(1+ x)(1+x)=(1+x);(3)(1+x)+1 17.2用公式法分解因式 第1课时运用平方差公式分解因式 知识储备 (a十b)(a-b)和差 基础练综合练素养练 1.A2.D3.(1)6b6b(2)①解：原式=(2ab+3)(2ab-3)；②解：原式 (9a+7b)(9a-7b)；③解：原式=(a+b2)(a-b)；④解：原式=(m-1+5) (m-1-5)=(m十4)(m-6)；⑤解：原式=(a+b十a+c)(a+b-a-c)=(2d +b+c)(b-c)4.C5.D6.x2-1(答案不唯一)7.(1)a2-M(2)解：：B 中能使用的面积为b2-M,.A比B多出的使用面积为a2-M-(b-M)=a2一 b..a十b=10,a-b=5,.a2-b2=(a十b)(a-b)=10×5=50.答：A比B多出 的使用面积为50. 第2课时运用完全平方公式分解因式 知识储备 (a+b)2(a一b)2和（或差）的平方 基础练综合练素养练 1.C2.(1)16(2)±63.D4.(1)2x2xyy2x+y(2)①解：原式= (号+10、@解：原式=(x-》-2×2(x-)+2=(x-y一2)；③解：原 式=(2a-b-c)2④解：原式=-(x2-2xy十y)=-(x-y)2.5.D6.4 7.(1)a2+b(2)48.解：原式=(x+1-2)2=(x-1)2.当x-1=√3时，原式 =(x-1)2=(3)2=3. 第3课时较复杂的因式分解 知识储备 基础练综合练素养练 1.(1)4a29b24a29b4a29b4a29b2a3b4a29b22a3b 2a3b(2)①解：原式=(a2+b2)(a2-b)=(a2+b)(a+b)(a一b)②解：原 式=(9x2+y2)(9x2-y2)=(9x2+y)(3x+y)(3x-y)2.(1)x2-4y2(x+