第十六章整式的乘法专题训练：规律探究型问题训练2025—2026学年人教版数学八年级上册

第十六章 整式的乘法 专题训练：规律探究型问题训练 一、单选题 1．根据，，，的规律，则可以得出的结果可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 3．我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如图，后人也将其称为“杨辉三角”．按照上述规律，则展开式中所有项的系数和是（　　） A． B． C． D． 4．我国宋代数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中记载了一个用数字排成的三角形，后人称之为“杨辉三角”（如图），此图揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，例如： 利用上述规律计算：（    ） A． B． C． D． 5．观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则的值可能分别是（    ）    A． B．， C． D．， 6．观察下列式子：，，，…下列代数式中能表示其中蕴含规律的是（   ） A． B． C． D． 7．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图中的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为 “杨辉三角”，根据图中的规律，若，则（    ）         2        3     3        4    6     4     A．64 B． C．56 D． 8．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）． 　　　1 1　　　 　　1 2 1　　 　 　1 3 3  1　　 1 4 6  4 1　　 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（ ） A． B．2025 C． D．2024 9．代数推理是一种数学推理方法，它主要基于代数运算和代数结构的性质来进行逻辑推导和证明． ； ； ； ； 观察以上各式，用含有字母的式子归纳表示为：；当时，左右两边取等号．为了证明上述规律，下列选项做法正确的是（　　） A．证明：， B．证明：， C．证明： ， D．证明：， 10．观察规律： ， 若（为正整数），则的值为（    ） A．2012 B．2013 C．2024 D．2025 二、填空题 11．以下是杨辉三角，它揭示了关于展开式的规律，请您根据规律写出 ． 1 1   1……………………………… 1   2   1………………………… 1   3   3   1…………………… 1   4   6   4   1…………………………… 12．观察下列各式： ；； ； 根据规律计算：的值是 ． 13．数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序），根据图中规律可得展开的多项式中各项系数之和为 ． 14．观察下列各式： ； ； ； …… 根据以上规律计算： 的值是 ． 15．“杨辉三角”揭示了的展开式的项数及各项系数的有关规律，如图表： 展开式 通过观察寻求规律，写出的展开式共有 项，各项系数的和是 ． 三、解答题 16．阅读下面材料，并完成相应的任务． “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式： (1)发现如下速算规律：十位数字是（是1至9的整数），个位数字是5的两位数平方的结果是：___________（用含的代数式表示）． (2)我们可以用所学知识证明这个结论，这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理．请你证明（1）中的结论． 17．（1）探究发现： 小明计算下面几个题目：①，②，③，④后发现，形如的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明写出发现的规律：__________； （2）面积说明： 上面的规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算，发现这个规律是正确的．小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积证明乘法公式，于是画出如下图形说明他发现的规律，请你帮助小明补全图中括号内的代数式； （3）逆用规律： 学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式：． 18．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为________； (2)展开式共有________项，第3项系数为________； (3)根据上面的规律，写出的展开式：________________________________________； (4)利用上面的规律计算：． 19．观察下列等式： (1)利用以上规律直接写出结果：___________； (2)我们进一步探究发现：；；；；；则可以得到：___________； (3)如果用和分别表示两个数位相同的整数，其中和均为这两个数位相同整数的个位数字，且，其中． ①由(1)(2)中算式的规律可用等式表示规律为：___________； ②请证明①中等式的正确性． 20．阅读下列材料，然后解答问题．学会从不同的角度思考问题．学完平方差公式后，小军展示了以下例题： 例：求的值的末位数字． 解：原式 ． 由（n为正整数）的末位数字的规律，可得的末位数字是6．爱动脑筋的小明想出了一种新的解法：因为，且均为奇数，几个奇数与5相乘，末位数字是5，所以原式的末位数字就是6． 在数学学习中，要像小明那样，学会观察，独立思考，尝试从不同角度分析问题，这样才能学好数学． 请解答下列问题： (1)计算（n为正整数）的值的末位数字是__________ (2)计算的值的末位数字是_______； (3)计算：的值的末位数字是 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十六章 整式的乘法 专题训练：规律探究型问题训练2025—2026学年人教版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C D A A B A A C 1．B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式规律性问题，解题关键是掌握多项式乘以多项式计算方法． 先根据规律得出，再代入，求得的结果． 【详解】解：根据，，，，， 当时， ， 故选：B． 2．B 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值的运用，熟练掌握多项式的乘法运算和数字的变化规律是解题关键．根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案． 【详解】解：∵①， ②， ③， …， ， ． ，，，，，，的乘方运算，其末位数字分别为，，，，每个为一组，依次循环． ， 的末位数字为， 的末位数字为， 即的计算结果的末位数字为． 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律是解题的关键．根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出（n为非负整数）展开式的项系数和为，求出系数之和即可． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为 ， 由此可知展开式的各项系数之和为， 则展开式中所有项的系数和是． 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了多项式乘方的系数规律问题，根据图形得出，进而代入计算即可求解，解题的关键是根据题意正确分析出各项系数的有关规律． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 5．A 【分析】本题考查多项式乘多项式，理解题例的运算过程并发现规律是解决本题的关键．从题例两个多项式相乘的运算过程中发现规律，利用规律求出、． 【详解】解：根据题意，知：，， ，的值可能分别是，， 故选：A． 6．A 【分析】本题考查规律型：数字的变化，解题的关键是观察题目中的各式子的结果发现其中的规律，运用类比的数学思想得到类似的规律． 观察各算式中的乘数及乘积规律，发现两个乘数的十位数字相同，个位分别为4和6，乘积末两位恒为24，前几位为十位数字与其下一个数的乘积． 【详解】解：两个十位数字相同，个位数字分别为4和6的两位数相乘，设十位数字为，则两乘数分别为和． 计算乘积：， 验证选项A的等式成立，且符合所有例子中的规律． 其他选项展开后均无法匹配该规律， 故选：A． 7．B 【分析】本题考查多项式乘法中的规律性问题，分别令和，求出代数式的值，两式相加，进行求解即可． 【详解】解：∵ 令，则①， 令，则②， 由得， ∴， 故选B． 8．A 【分析】此题主要考查整式的规律探索，解题的关键是根据已知式子找出规律．首先确定前几个展开式中第二项的系数，总结出规律，再根据规律即可解决问题． 【详解】解：展开式中的第二项系数为， 展开式中的第二项系数为， 展开式中的第二项系数为， 展开式中的第二项系数为， ， 展开式中的第二项系数为， 由图中规律可知：含的项是的展开式中的第二项， 的展开式中的第二项系数为， 故选：A． 9．A 【分析】本题考查了代数推理和完全平方公式，解题的关键是运用完全平方公式进行变形和推导． 通过完全平方公式将不等式转化为易于分析的形式，判断各选项证明方法的正确性，从而确定符合题目要求的选项． 【详解】根据题意可知：；当时，左右两边取等号． A．通过完全平方公式将转化为 ，而总是大于或等于0．因此，这个推理是正确的，故该选项符合题意； B．并不等于而是等于 ，这不等于0，因此，这个推理是错误的，故该选项不符合题意； C．虽然是正确的，但 仅在时成立，这与题目要求的 时取等号不符，故该选项不符合题意； D．并不等于，且 仅在时时成立，这与题目要求的时取等号不符，故该选项不符合题意； 故选：A． 10．C 【分析】本题考查了利用平方差公式的规律类运算，理解规律和掌握平方差公式是解题关键. 根据题目中式子的特点，利用平方差公式分解因式，然后约分即可求得答案. 【详解】解：∵ 解得： 故选：C． 11． 【分析】本题考查了多项式乘法的规律问题，解此题的关键是能读懂图形，从中得出的各项系数； 观察题中的规律可得的各项系数依次为1，5，10，10，5，1；按5至0降幂排列，按0至5升幂排列，据此求解． 【详解】观察题中的规律可得的各项系数依次为1，5，10，10，5，1． 按5至0降幂排列，按0至5升幂排列，故有： 故答案为：． 12． 【分析】本题考查多项式乘以多项式中的规律探究问题，将变形为，利用规律进行求解即可． 【详解】解：由题意：， 根据题干规律，令， ； 故答案为：． 13．32 【分析】本题考查了杨挥三角，数字类变化规律，直接利用已知式子中系数变化规律进而得出答案． 【详解】解：的展开式的所有项系数的和为1； 的展开式的所有项系数的和为； 的展开式的所有项系数的和为； 的展开式的所有项系数的和为； 所以，的展开式的所有项系数的和为， 故答案为：32． 14． 【分析】本题考查了整式的规律，解题的关键是理解题意，得出规律． 根据代数式的规律可得，结合题意得出，进行化简即可得出答案． 【详解】解：观察代数式可得， 把代入得， ∴． ∴ 故答案为：． 15． 7 64 【分析】本题考查数字类规律，多项式乘多项式，根据已有等式，得到的展开式中，共项，且所有系数的和为，进行求解即可． 【详解】解：由题可知：的展开式中，共一项，且所有系数的和为； 展开式中，共二项，且所有系数的和为； 展开式中，共三项，且所有系数的和为； 展开式中，共四项，且所有系数的和为； 展开式中，共五项，且所有系数的和为 ∴的展开式中，共项，且所有系数的和为； 则展开式共有7项，所有项的系数和为 故答案为：7，64 16．(1) (2)见解析 【分析】本题考查数字类的规律探究，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）根据题干给出的等式，推出规律即可； （2）利用完全平方公式进行证明即可． 【详解】（1）解：由题意可得：； 故答案为：； （2）证明：∵； ， ∴． 17．（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了多项式乘法． （1）利用多项式乘以多项式的法则相乘即可得到结论； （2）通过总结（1）的计算结果：，再结合图形的面积，即可得到答案； （3）观察运算结果发现，一次项系数是两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，， ，， 总结规律为：， 故答案为：； （2）根据（1）中总结的规律：， 结合图形的面积可知：为长方形的面积， 则为长方形的宽，为长方形的长， 如图所示； （3）根据小明发现的规律，可得． 18．(1)6 (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的规律，数字的变化规律，解题关键是找出规律． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）先找出规律，用表示出展开式中共项数，当时，用表示出倒数第三项的系数，代入数据计算即可； （3）根据图示顺推即可得到展开式； （4）根据展开式，令，时代入展开式即可得到所求代数式的值； 【详解】（1）解：图中括号内的数为， 故答案为：6； （2）展开式有项， ，展开式有项，第三项系数为； ，展开式有项，第3项系数为3，第三项系数为； ，展开式有项，第3项系数为6，第三项系数为； 展开式有项，第3项系数为，第三项系数为； ……； 以此类推，展开式中共有项，第三项的系数， ∴展开式共有项，第3项系数为， 故答案为：，； （3）根据图示，， 故答案为：； （4）∵， 当，时，， ∴． 19．(1) (2) (3)①；②见解析 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及尾数特征，能根据所给等式发现各部分的变化规律是解题的关键． （1）根据所给等式，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律进行计算即可． （3）①根据上面发现的规律，用含有，，的等式表示出规律即可；②对①中发现的规律进行证明即可． 【详解】（1）解：因为，，，，，， 所以． 故答案为：． （2）由题知，． 故答案为：． （3）①由题知，（1）（2）中算式的规律可用等式表示规律为：． ②证明如下： ， 因为， 所以原式， 故． 20．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平方差公式，数字类规律探究，应用新解法是解题关键． （1）原式变形后，利用小明方法计算即可； （2）由，则，则的末位数字是0，进而完成解答； （3）同（2）的方法，即可求解． 【详解】（1）解：∵，且，均为奇数， ∴几个奇数与5相乘，末位数字是5， ∴原式的末位数字是6． 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∴的末位数字是0， ∴的末位数字是． 故答案为：． （3）解：∵， ∴， ∴的末位数字是0， ∴的末位数字是 故答案为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$