专题09 幂的运算的四类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024八年级上册

专题09 幂的运算的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、幂的混合运算 类型二、逆用幂的相关公式求值 类型三、利用幂的乘方比较大小 类型四、与幂的运算有关的新定义型问题 压轴专练 类型一、幂的混合运算 1.运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内。同底数幂相乘，底数不变指数相加；相除则指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘。 2.符号处理：负数的偶次幂为正，奇次幂为负。混合运算中先确定符号，再算绝对值，避免符号错误。 例1．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，根据积的乘方以及同底数幂的乘除法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式1-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则是解题的关键． （1）先根据同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则进行计算，然后再合并同类项即可． （2）先根据同底数幂的乘法和除法，积的乘方运算法则进行计算，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了幂的运算，涉及幂的乘方运算，同底数幂的乘除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算幂的乘方，再分别计算同底数幂的除法和乘法，最后合并即可； （2）先计算幂的乘方，再进行同底数幂的乘除法运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式1-3】化简或化简求值 (1)． (2)，其中，． 【答案】(1) (2)，2 【分析】（1）先算括号中幂的乘方，再算括号中的除法，最后算乘方和乘法即可； （2）先根据乘法公式算乘法，合并同类项，算除法，最后代入求出即可； 【详解】（1）解：原． （2）原， 当，时， 原式 【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 类型二、逆用幂的相关公式求值 1.开方运算：是乘方的逆运算。若an = b（n为正整数），则a是b的n次方根。正数偶次方根有两个（互为相反数），奇次方根唯一；负数奇次方根为负，偶次方根无意义；0的方根是0。 2.对数运算：是指数运算的逆。若ab = N（a>0,a≠1,N>0），则b = loga N。遵循基本性质：loga1=0，logaa=1，及运算公式。 3.应用要点：逆运算需注意底数、指数限制（如对数底数和真数范围），结合乘方、指数法则逆向推导，解决方程求解等问题。 例2．解决下列有关幂的问题： (1)若，求值； (2)若n为正整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查幂的乘方以及积的乘方， （1）根据幂的乘方法则进行计算即可； （2）根据幂的乘方、积的乘方进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ． 【变式2-1】（1）已知，，求的值． （2）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方运算、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查幂的运算法则． （1）逆用同底数幂相乘以及幂的乘方即可解答； （2）运用同底数幂的乘除法则以及幂的乘方即可解答． 【详解】解：（1）∵，， ∴原式； （2）∵，，， 原式． 【变式2-2】①若，求的值． ②已知，，求的值． 【答案】①14；②1． 【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方，熟练掌握幂的混合运算是解题的关键． ①根据积的乘方与幂的乘方，进行计算即可求解；②根据积的乘方与幂的乘方，进行计算即可求解； 【详解】解：① =， 当时，原式=； ② = = =， 当，时，原式=， ∵为偶数， ∴原式=1． 【变式2-3】（1）已知，．求的值； （2）已知，．用a，b表示的值； （3）已知为正整数，且．求的值． 【答案】（1）5184；（2）；（3）2450 【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了积的乘方法则与幂的乘方法则的逆用． （1）逆用积的乘方法则，即（其中n为正整数），则问题解决； （2）逆用积的乘方法则和幂的乘方，即、（其中m、n均为正整数），则问题解决； （3）逆用积的乘方和幂的乘方法则，即、 ，其中m、n均为正整数，则问题解决． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴； （3）∵， ∴ ． 类型三、利用幂的乘方比较大小 1. 转化底数法：当底数不同但可化为同底数时，用幂的乘方将幂转化为同底数幂，再比较指数大小（底数>1时，指数大则幂大；0<底数<1时相反）。 2. 转化指数法：底数难统一时，将指数化为相同，通过幂的乘方变形成同指数幂，比较底数大小（指数为正，底数大则幂大）。 3. 中间值过渡：若底数、指数均难统一，借助中间值（如1、10等），分别比较两数与中间值的大小，间接判断关系，需注意符号对大小的影响。 例3．在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 【答案】(1)C (2) (3) (4) 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算： （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可； （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，，据此可得答案； （3）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，据此可得答案； （4）根据得到，进而得到，则． 【详解】（1）解：由题意得，上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则， 故答案为：C； （2）解：∵，，，且， ∴； （3）解：∵，，且， ∴． （4）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3-1】比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据，，由，，得出，根据，即可得出结论． 【详解】解：， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 【变式3-2】阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：底数相同（底数大于1）的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． (1)比较的大小； (2)比较的大小； (3)已知，比较的大小（均为大于1的数）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数大小比较、幂的乘方的逆用、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了幂的乘方、幂的乘方的逆用、有理数大小比较等知识点，掌握幂的乘方的运算法则成为解题的关键． （1）根据材料一的方法求解即可； （2）根据材料二的方法求解即可； （3）先根据材料一的方法可得，然后判断即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴． （3）解：∵， ∴． ∵， ∴． 类型四、与幂的运算有关的新定义型问题 1.理解新定义：紧扣题目给出的新运算规则（如自定义幂的运算符号、新公式），明确底数、指数的变化逻辑，对比常规幂运算找异同，避免混淆。 2.转化应用：将新定义转化为熟悉的幂运算形式，运用同底数幂、幂的乘方等法则推导，结合新规则中的限制条件（如底数范围、指数特殊规定）逐步计算。 3.验证与拓展：通过简单例子验证对新定义的理解，再解决复杂问题；注意新定义下公式的逆向运用，灵活处理含字母的化简或求值。 例4．对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 【答案】(1)3 (2)81 【知识点】同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方运算 【分析】（1）根据新定义的运算方法计算即可； （2）根据条件结合新定义的运算方法判断出，，可得结论． 【详解】（1）解： ， 故答案为：3； （2），， ，， 整理得：，，解得：， ． 【点睛】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题． 【变式4-1】定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)，求的值； (3)若运算的结果为，则t的值是多少？ 【答案】(1)96 (2)96 (3)2 【知识点】有理数的乘方运算、幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】（1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据同底数幂的乘法以及幂的乘方进行计算即可求解； （3）根据新定义得出，即可求解． 【详解】（1）解：依题意， （2）∵， ∴ ． （3）因为， 即， 即， 所以． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式4-2】我们给出以下两个定义： ①三角形  ；②3×3的方格图   请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空：  =__________ (2)填空：  =____________ (3)若  ，求   【答案】(1)16 (2)48 (3)18 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂相乘 【分析】（1）根据①中所给公式直接进行求解即可； （2）根据②中所给公式直接进行求解即可； （3）根据题中所给公式直接代值求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：   ； 故答案为16； （2）解：由题意得：   ； 故答案为48； （3）解：由题意得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法及幂的乘方，熟练掌握幂的运算及题中所给新定义运算是解题的关键． 【变式4-3】在形如的式子中， 我们已经研究过两种情况：①已知和，求，这是乘方运算：②已知和，求，这是开方运算 ． 现在我们研究第三种情况： 已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算 ． 定义： 如果，，，则叫做以为底的对数，记作：，例如： 求，因为，所以；又比如 ， ， (1)根据定义计算： ① ；② ；③如果，那么 ； (2)设，，则，，，、均为正数） ，， ， ，即这是对数运算的重要性质之一， 进一步， 我们还可以得出： ； （其 中、、、、均为正数，， (3)请你猜想： （，，、均为正数） 【答案】(1)①4 ；②0 ；③2 (2) (3) 【知识点】同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】此题考查了同底数幂的乘法及除法逆运算， 弄清题中的新定义是解本题的关键 ． （1） 各项根据题中的新定义计算即可得到结果； （2） 利用对数的运算法则变形即可得到结果； （3） 利用已知的新定义化简即可得到结果 ． 【详解】（1）解： ① ； ② ； ③， ； 故答案为：4，0，2； （2）解：； 故答案为：； （3）解：设，，则，，（且，、均为正数） ， ， ，则， ， 故答案为：． 一、单选题 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则进行求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法和除法、积的乘方、幂的乘方逐项判断即可． 本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法和除法、积的乘方、幂的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意； B、，故该选项错误，不符合题意； C、，故该选项错误，不符合题意； D、，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 3．已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂得乘方、有理数的大小比较．将各数转化为同底数3的幂，比较指数大小即可． 【详解】解：；，， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 4．已知a，b，c为自然数，且满足，则的取值不可能是（    ） A． B．2 C．1 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂乘法的应用，掌握相关运算法则是解题的关键． 将等式化简为，得到且，列举所有可能的自然数组合，计算的值，判断选项中不可能的结果． 【详解】解：原式可化为：， ， ， ，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 时，为负数，不符合自然数条件， 可能的结果为，，，而不在其中，故的取值不可能是1． 故选：C． 5．我们定义：，若，则的值为（   ） A．4 B．16 C．64 D．256 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算、有理数的混合运算，解决本题的关键是求出． 由定义可得，，． 【详解】 解：因为， 所以， 所以， 因为， 所以 故选：C． 二、填空题 6．化简：（1） ．（2） ． 【答案】 【分析】（1）根据同底数幂的除法运算法则，底数不变，指数相减来计算。 （2）依据幂的乘方与积的乘方运算法则，幂的乘方是底数不变，指数相乘；积的乘方是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 。 本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方运算，熟练掌握这些运算法则是解题的关键。 【详解】解：（1） 故答案为： 。 （2） 故答案为： 。 7．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 将原式化为，再逆用积的乘方计算即可； 【详解】解：原式 ． 8．定义新运算：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了定义新运算，积的乘方，合并同类项，理解定义新运算的计算方法，整式的混合运算法则是关键，根据定义新运算法则计算，结合整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： ． 9．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，代数式求值，解一元一次方程．根据同底数幂乘法法则可得，即可求解． 【详解】解：因为，， 所以， 解得， 所以． 故答案为： 10．【新情境】如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球8个、20个、8个．先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出，，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案． 【详解】解：由题意可知，调整后三只袋中的球数： 甲袋：个，乙袋：（个），丙袋：（个）， 一共有（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同， 调整后每只袋中球数为：（个）， ，， ，， ， ∴ 故答案为：． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，包括幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法以及积的乘方，熟练掌握相关法则为解题关键． （1）先根据幂的乘方法则计算，再根据同底数幂的乘法法则计算，最后进行减法运算； （2）先根据同底数幂的乘法法则计算，再根据积的乘方法则计算，然后进行加法运算，最后根据同底数幂的除法法则计算除法． 【详解】（1）解： ； （2） ． 12．若（且，m、n是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方对式子进行变形． （1）根据幂的乘方运算法则把与化为底数为2的幂，再根据同底数幂的乘除法法则解答即可； （2）根据同底数幂的乘法法则把变形为即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得：； （2）， ， ， ． 13．计算： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)81 (2)36 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘除法逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）利用幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法法则，转化成，再整体代入，即可求出． （2）利用同底数幂的乘除法逆运算化简，然后整体代入即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ； （2）解：∵， ∴ ． 14．定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解答下列问题： (1)求的值． (2)，，，求的值． (3)若运算的结果为，则的值是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）结合幂的乘方及同底数幂的乘法的法则进行运算即可； （3）根据新定义的运算，结合同底数幂的乘法与有理数的乘方的法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）当，，时， ； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值是． 【点睛】本题考查新定义，幂的乘方，同底数幂的乘法，有理数的乘方，求代数式的值，解题的关键是正确理解新定义，掌握相应的运算法则． 15．如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)（理解）根据上述规定，填空：________，________； (2)（说理）记，，，试说明：； (3)（应用）若（且），求的值． 【答案】(1)3，4 (2)见解析 (3)80 【分析】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握有理数的乘方、同底数幂的乘法法则是解决本题的关键． （1）根据规定的两数之间的运算法则解答； （2）根据规定的运算可得，，，结合同底数幂的乘法法则计算即可； （3）设，，，根据规定的运算和同底数幂乘法的逆用进行求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3，4； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （3）解∶设，，，且， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． (3)若，请求出n的值． 【答案】(1)， (2)①，  ② (3) 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算： （1）根据题意计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解即可； （3）根据幂的乘方和积的乘方逆运算法则解答即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：①； ； 故答案为：，； ② ； （3）解：， ∴， 解得． 17．若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y（结果需要化简）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了逆用幂的乘方法则，逆用同底数幂的乘法则，解题关键是掌握逆用幂的乘方法则和逆用同底数幂的乘法则． （1）利用逆用幂的乘方法则计算； （2）逆用同底数幂的乘法计算； （3）逆用幂的乘方法则计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，解得：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即． 18．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用，对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（，为正整数）.请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)①已知，则_____． ②计算：_____． (2)已知，，，请比较，，的大小，并用“”连接起来． (3)若规定：，，，求的值． 【答案】(1)①12， ② (2) (3) 【分析】本题考查了幂的运算的逆用. （1）①直接逆用同底数幂的乘法法则计算即可； ②逆用同底数幂的乘法得到，根据乘法结合律计算即可； （2）逆用幂的乘方，将，，化为幂为111的数，再比较即可； （3）先求出的值，再逆用同底数幂的乘法计算即可. 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ② ， 故答案为：； （2），，，， ∴； （3）由题意可知：， ∴ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 幂的运算的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、幂的混合运算 类型二、逆用幂的相关公式求值 类型三、利用幂的乘方比较大小 类型四、与幂的运算有关的新定义型问题 压轴专练 类型一、幂的混合运算 1.运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内。同底数幂相乘，底数不变指数相加；相除则指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘。 2.符号处理：负数的偶次幂为正，奇次幂为负。混合运算中先确定符号，再算绝对值，避免符号错误。 例1．计算：． 【变式1-1】计算： (1)； (2)． 【变式1-2】计算： (1)； (2)． 【变式1-3】化简或化简求值 (1)． (2)，其中，． 类型二、逆用幂的相关公式求值 1.开方运算：是乘方的逆运算。若an = b（n为正整数），则a是b的n次方根。正数偶次方根有两个（互为相反数），奇次方根唯一；负数奇次方根为负，偶次方根无意义；0的方根是0。 2.对数运算：是指数运算的逆。若ab = N（a>0,a≠1,N>0），则b = loga N。遵循基本性质：loga1=0，logaa=1，及运算公式。 3.应用要点：逆运算需注意底数、指数限制（如对数底数和真数范围），结合乘方、指数法则逆向推导，解决方程求解等问题。 例2．解决下列有关幂的问题： (1)若，求值； (2)若n为正整数，且，求的值． 【变式2-1】（1）已知，，求的值． （2）已知，，，求的值． 【变式2-2】①若，求的值． ②已知，，求的值． 【变式2-3】（1）已知，．求的值； （2）已知，．用a，b表示的值； （3）已知为正整数，且．求的值． 类型三、利用幂的乘方比较大小 1. 转化底数法：当底数不同但可化为同底数时，用幂的乘方将幂转化为同底数幂，再比较指数大小（底数>1时，指数大则幂大；0<底数<1时相反）。 2. 转化指数法：底数难统一时，将指数化为相同，通过幂的乘方变形成同指数幂，比较底数大小（指数为正，底数大则幂大）。 3. 中间值过渡：若底数、指数均难统一，借助中间值（如1、10等），分别比较两数与中间值的大小，间接判断关系，需注意符号对大小的影响。 例3．在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 【变式3-1】比较大小： （填“”、“”或“”）． 【变式3-2】阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：底数相同（底数大于1）的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． (1)比较的大小； (2)比较的大小； (3)已知，比较的大小（均为大于1的数）． 类型四、与幂的运算有关的新定义型问题 1.理解新定义：紧扣题目给出的新运算规则（如自定义幂的运算符号、新公式），明确底数、指数的变化逻辑，对比常规幂运算找异同，避免混淆。 2.转化应用：将新定义转化为熟悉的幂运算形式，运用同底数幂、幂的乘方等法则推导，结合新规则中的限制条件（如底数范围、指数特殊规定）逐步计算。 3.验证与拓展：通过简单例子验证对新定义的理解，再解决复杂问题；注意新定义下公式的逆向运用，灵活处理含字母的化简或求值。 例4．对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 【变式4-1】定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)，求的值； (3)若运算的结果为，则t的值是多少？ 【变式4-2】我们给出以下两个定义： ①三角形  ；②3×3的方格图   请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空：  =__________ (2)填空：  =____________ (3)若  ，求   【变式4-3】在形如的式子中， 我们已经研究过两种情况：①已知和，求，这是乘方运算：②已知和，求，这是开方运算 ． 现在我们研究第三种情况： 已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算 ． 定义： 如果，，，则叫做以为底的对数，记作：，例如： 求，因为，所以；又比如 ， ， (1)根据定义计算： ① ；② ；③如果，那么 ； (2)设，，则，，，、均为正数） ，， ， ，即这是对数运算的重要性质之一， 进一步， 我们还可以得出： ； （其 中、、、、均为正数，， (3)请你猜想： （，，、均为正数） 一、单选题 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．已知a，b，c为自然数，且满足，则的取值不可能是（    ） A． B．2 C．1 D．7 5．我们定义：，若，则的值为（   ） A．4 B．16 C．64 D．256 二、填空题 6．化简：（1） ．（2） ． 7．计算： ． 8．定义新运算：，则 ． 9．若，则的值为 ． 10．【新情境】如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球8个、20个、8个．先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于 ． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)； 12．若（且，m、n是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 13．计算： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 14．定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解答下列问题： (1)求的值． (2)，，，求的值． (3)若运算的结果为，则的值是多少？ 15．如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)（理解）根据上述规定，填空：________，________； (2)（说理）记，，，试说明：； (3)（应用）若（且），求的值． 16．阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． (3)若，请求出n的值． 17．若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y（结果需要化简）． 18．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用，对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（，为正整数）.请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)①已知，则_____． ②计算：_____． (2)已知，，，请比较，，的大小，并用“”连接起来． (3)若规定：，，，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$