13.2.2 三角形的中线、角平分线、高&回归教材专题(一)三角形中重要线段的应用-【名师学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学分层进阶学习法（人教版2024）

13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 十“十”十 知识储备 C.∠1=7∠BAC 1.连接三角形的顶点与对边 的线段叫作 三角形这条边上的中线，三角形三条 D.AE是△ABC的角平分线 的交，点叫三角形的重心 5.【教材P10习题T8改编】如图，D是△ABC 2.三角形一个角的 与对边相交，这个 的BC边上的一点，DE∥AC,交AB于点E, 角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平 若∠EDA=∠EAD. 分线 求证：AD是△ABC的角平分线， 3.过三角形的顶点向它所对的边所在的直线画垂 线，顶点与 之间的线段叫三角形的高. 十十十 01基础练 必备知识梳理一 知识点一 三角形的中线 1.如图，AD是△ABC的中 知识点三三角形的高 线，则点D是BC的中 6.如图，AD是△ABC的边BC 点， 上的高，则AD与BC的位置 1 ,S△ABD= 若 关系是：AD BC, ∠ADB=∠ =90° △ABC的面积是10，则△ABD的面积是 7.【教材P8探究改编】如图，用三角板作△ABC 2.已知三角形的三条中线相交于一点，有下列 的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置 结论：①这一点在三角形的内部；②这一点有 正确的是 可能在三角形的外部；③这一点是三角形的 重心.其中正确的结论是 .(填序号) 知识点二三角形的角平分线 3.如图，AD是△ABC的角平分线，∠BAC= 8.【教材P9习题T3(3)改编】 一材多题 72°，则AD平分 ,∠1 如图，已知△ABC,试作出△ABC的三条边 1 上的高. 思考： 第3题图 第4题图 (1)从图中还可以看出，钝角三角形有 4.【概念辨析】如图，若∠1=∠2，∠3=∠4，下 条高在三角形的外部， 条高在三角 列结论中错误的是 形的内部； A.CD是△ABC的角平分线 (2)延长△ABC的三条高，发现三条高所在 B.AE是△ACD的角平分线 的直线 (填“交”或“不交”)于一点. 助学助教优质高数4 易错点○因未对三角形分类致错 (4)△ACE和△ABE的周长的差是 cm. 9.(2024·玉林期中)△ABC中，BC=6,BC边 上的高AD=3,BD=2,则△ACD的面积是 () A.6 B.12 C.6或12 D.以上都不对 02综合练 金关健能力提升一 10.(1)如图，AD是△ABC的中线，点E是AD 的中点，连接BE,CE.若△ABC的面积是 8,则阴影部分的面积为 () A.2 B.4 C.6 D.8 03素养练 透学科生养搭育一 13.【分类讨论思想】在等腰△ABC 中，AB=AC,AC边上的中线BD 第10(1)题图 第10(2)题图 把△ABC的周长分成15和6两 (2)【T10(1)改编】如图，AD是△ABC的中 部分，求这个三角形的腰长和底边长. 线，点E是AD的中点，点F是CE的中点， 若阴影部分的面积是2，则△ABC的面积是 11.如图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图（折 叠后点C落到点C处) (1)甲折出的AD是△ABC的 (2)乙折出的AD是△ABC的 (3)丙折出的AD是△ABC的 12.【教材P9习题T4改编】 一材多题 如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的 中线，AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm, 少解题妙招 ∠CAB=90°.EF⊥AC于点F. 与三角形的高有关的问题 (1)求AD的长； 解决与三角形的高有关的问题时，应注意分 (2)求△ABE的面积； 类讨论思想的应用：高可能在三角形内部，也可能 在三角形外部.如T9 (3)EF的长是 5 入年级数学·上册 回归教材专题（一）三角形中重要线段的应用 类型一三角形中线的应用【针对教材P9习题 求证：∠BED=2∠ACD. T4(4)】 解题技巧 三角形的中线平分三角形的边，并且平分三角形 的面积，此外三角形的一条中线分成的两个三角形的 周长之差等于该三角形另外两边的差. (一)利用中线求线段的长 1.如图，在△ABC中，AB>AC,AD为BC边上 的中线. (1)若△ABD的周长比△ACD的周长大4， AB+AC=14,则AC=； 类型三三角形高的应用【针对教材P10习题T7】 解题技巧 (2)△ABC的周长为27，AB=9,BC边上中线 (1)涉及到三角形的高时应分两种情况讨论，高 AD=6,△ACD的周长为19，求AC的长， 在三角形内部或外部，如T4. (2)已知三角形两边上的高，通常利用等面积法 解题 (3)遇到垂线，若垂线不在某个三角形中，需构造 辅助线，把垂线放到三角形中，利用三角形的面积解 题，如T5. 4.(2024·齐齐哈尔期中)△ABC中，AD是高， ∠BAD=40°，∠CAD=30°，则∠BAC= (二)利用中线求面积 2.在△ABC中，已知点D,E,F分别为BC, 5.如图，在△ABC中，AB=AC,DE⊥AB,DF AD,CE的中点. ⊥AC,BG⊥AC,垂足分别为E,F,G. 求证：DE十DF=BG. 图1 图2 (1)如图1，若S△Asc=4cm2,则△BEF的面 积是 cm2; (2)如图2，若S△e=1cm2,则S△ABc cm2. 类型二三角形的角平分线的应用【针对教材 P10习题T8】 3.如图，CD是△ABC的角平分线，点E是BC 上一点，且∠EDC=∠ECD. 助学助教优质高致6八年级数学·上册 参考答案 第一部分同步练习堂堂清 第十三章三角形 13.1三角形的概念 知识储备 1.同一直线首尾顺次2.三边等腰 基础练综合练素养练 1.B2.(1)5△ABE,△EBC,△DEC,△ABC,△DBC3(2)BEBC (3)∠BCE3.D4.D5.B6.D7.38.6(n+1) 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 知识储备 1.大于小于2.稳定性稳定性 基础练综合练素养练 1.(1)C(2)A2.小DE+DF>EF3.解：(1)三角形一边的长为9cm, 另一边的长为3cm,.9-3<x<9+3,即6<x<12.(2)20cm或22cm (3)9≤x<124.D5.B6.D7.(1)①③④(2)②⑤⑥(3)相机的三脚架 (答案不唯一)8.259.(1)C(2)D10.B11.解：图略12.解：(1)|a b十(b-c)2=0,a-b=0且b-c=0.∴a=b=c..△ABC为等边三角形； (2)(a-b)(b-c)=0,.a-b=0或b-c=0或a-b=0且b-c=0,∴.a=b或 b=c或a=b=c.∴.△ABC为等腰三角形；(3)：a,b,c是△ABC的三边长，∴.a -b-c<0,b-c-a<0,c-a-b0..∴.原式=-a十b+c-b+c+a-c+a+b=a +b+c. 微专题一(1)BD CO BD+COBO十CO(2)6<OB+OC<12 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 知识储备 1.中点中线2.平分线3.垂足 基础练综合练素养练 1.BD CD BC S△cDS△uc52.①③3.∠BAC∠2∠BAC36° 4.D5.证明：DE∥AC,.∠EDA=∠DAC.又∠EDA=∠EAD, ∠EAD=∠DAC..AD是△ABC的角平分线.6.⊥ADC7.B8.解：图 略(1)21(2)交9.C10.(1)B(2)811.(1)高(2)角平分线 (3)中线12.解：1)S-2AB.AC=合BC.AD,号×6×8=名×10… AD.解得AD=4.8;(2):AE是△ABC的中线，∴BE=CE=号BC.SAE 合BE·AD=号×分BC·AD-12m.(3)3cm(4)213.解：设腰AB=AC =x,则AD=号=CD.(1)当AB+AD=15时，x+=15,解得x=10.AB =AC=10,AD=CD=5.BC=6-CD=1.此时三边长是10,10,1，：10+1>10， :能构成三角形.(2)当AB+AD=6时，x十子1=6，解得=4，AB=AC=4, AD=CD=2,BC=15-CD=13.此时三边长是4,4,13，，4+4<13，.不能构 成三角形.综上所述，这个三角形的底边长是1，腰长是10. 回归教材专题（一）三角形中重要线段的应用 1.解：(1)5(2)由题意，得AC+BC=27-9=18,即AC+2CD=18.,△ACD 的周长是19，AD=6,.∴.AC+CD=19-6=13.∴.CD=5..∴.AC=13-CD=13 5=8.2.(1)1(2)43.证明：：CD是△ABC的平分线，.∠BCD=∠ACD =号∠ACB.'∠ECD=∠EDC,∠EDC=∠ACD.∴ED∥AC.·∠BED= ∠ACB=2∠ACD.4.70°或10°5.证明：连接AD,:S△c=S△BD+S△ADc, 2AC.BG=2AB·DE+2AC.DF.又AB=AC,ZAC·BG=AC (DE+DF),即DE+DF=BG.