13.1 三角形的概念&13.2.1 三角形的边-【名师学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学分层进阶学习法（人教版2024）

第十三章 三角形 13.1三角形的概念 知识储备 类，则 1.由不在 上的三条线段 小明： 小红： 锐角 三边 等边 相接组成的图形叫作三角形. 钝角 三角形 三角形 三角形 2.三角形按边分可分为 都不相等的三角 等腰 直角 形和 三角形， 角形 角 三角形 十一 A.小明、小红两种分法均正确 01基础练 必备知识梳理 B.小明、小红两种分法均错误 知识点一 三角形的有关概念 C.小明的分法错误，小红的分法正确 1.【概念辨析】下面是一位同学用三根木棒拼成 D.小明的分法正确，小红的分法错误 的图形，其中是三角形的是 易错点○因对概念理解不清致错 5.如图，在△ABC中，点D,E在BC边上，AB =AC,AD=BD=DE=CE=AE,则下列说 2.(教材P4习题T2改编) 材多题 法不正确的是 根据下图填空： A.△ADE为等边三角形 (1)图中共有 个三角形，用 B.图中共有3个等腰三角形 符号表示为： C.△ABD是钝角三角形 ,其中以 D.△ADE是锐角三角形 BC为边的三角形有 个； 02综合练 量关键能力提升· (2)在△ABE中，∠A的对边是 在 6.如图，图中的三角形有一部分被 △ABC中，∠A的对边是 木板遮挡，则这个三角形是() (3)在△EBC中，BE所对的角是 A.直角三角形 B.锐角三角形 知识点二三角形的分类 C.钝角三角形 D.以上都有可能 3.【概念辨析】王老师在黑板上画出了如图所示 7.【新中考·新定义型阅读理 的3个三角形.她让同学们根据它们的边长 解题】若有一条公共边的两 进行分类，其中搭配错误的是 个三角形称为一对“共边三 角形”，则图中以BC为公共 边的“共边三角形”有 对 ① ② 03素养练 透学科素养培育一 A.① 三边都不相等的三角形 8.根据下图所示的(1)，(2)，(3)三个图中的规律， B.②③- 等腰三角形 可知第n个图中的三角形的个数是 C.③—等边三角形 D.②③ 等边三角形 4.【教材P3“探究”图改编】小明、小红两位同学 上讲台板书，分别按三角形角和边的关系分 八年级数学·上册 13.2与三角形有关的线段 13.2.1 三角形的边 +…+++…+++ 知识储备 知识点二 三角形的稳定性 1.三角形的三边关系：三角形两边的和 4.下列图形具有稳定性的是 第三边；三角形两边的差 第三边 2.三角形具有 ,四边形不具有 B 01基础练 @必备知识梳理一 5.下列图形中，不具有稳定性的是 知识点一 三角形的三边关系 1.(教材P7练习T1改编) 一题多变 (1)【判断能否构成三角形】下列长度的三条 B 线段，能组成三角形的是 ( ) 6.【新情境·人字梯】如图，人字梯中间一般会 A.1,3,4 B.2,2,7 设计“拉杆”，这样做的道理是 C.4,5,7 D.3,3,6 A.两点之间线段最短 (2)【已知两边长，求第三边的长度】线段a,b, B.垂线段最短 c首尾顺次相接组成三角形，若a=1,b=3, C.两直线平行，内错角相等 拉杆 则c的长度可以是 () D.三角形具有稳定性 A.3 B.4 C.5 D.6 7.【教材P7图改编】 一材多题 2.如图，将四边形ABCD 、ED 观察下列实例，并回答问题： 沿虚线剪掉一个角，得 到五边形ABCFE,则该 五边形的周长比原四边形的周长 (选 填“大”或“小”)，理由是 3 3.(教材P9习题T1改编) 一题多变 已知一个三角形一边的长为9cm,另一边的 长为3cm,第三边的长为xcm. (1)求x的取值范围； (1)上述实例中，用到三角形稳定性的是 (2)当第三边的长为偶数时，则该三角形的周 (填序号)； 长是 (2)上述实例中，用到四边形不稳定性的是 (3)若第三边是最长的边，则x的取值范围为 (填序号)； (3)【新中考·条件开放】举出一个生活中利 用三角形稳定性的例子： 助学助教优质高数2 易错点○因忽视三角形的三边关系致错 小颖的这一计划能实现吗？如果能，请画出 8.(2024·遵义期中)等腰三角形的一边长是5， 两种不同的方法（只需画图，不必写作法）； 另一边长是10，则该等腰三角形的周长是 如果不能，请说明理由. 02综合练 身关键能力提升一 9.(1)【教材P7练习T2变式】有3cm,6cm, 8cm,9cm的四条线段，任选其中三条线段 组成一个三角形，则最多能组成三角形的个 03素养练 ( 学科素养培育·一 数为 12.已知a,b,c是△ABC的三边长. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (1)若a,b,c满足|a-b+(b-c)2=0,试判 (2)【T9(1)变式】如图，用四个 断△ABC的形状： 螺丝将四根不可弯曲的木条 (2)若a,b,c满足(a-b)(b一c)=0,试判断 围成一个木框（形状不限），不 △ABC的形状； 计螺丝大小，其中相邻两螺丝 (3)化简：a-b-c+1b-c-a+|c-a-b. 的距离依次为3,4,5,7，且相邻两木条的夹角 均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木 框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为( A.6 B.7 C.8 D.9 10.(2024·信阳期中)等腰三角形的周长为20， 则腰长x的取值范围是 A.0<x<10 B.5<x<10 C.x<10 D.10<x<20 11.【新中考·结论开放】小颖为了进一步探索 三角形的稳定性在生活中的应用，计划在六 边形木架中用三根木条连接，使之不能活动， 微专题●利用三角形三边关系证明线段的不等关系 解题技巧 在△ABD中，AB+AD> 证明线段的不等关系，通常利用三角形的三边关 系，将有关线段转化到同一个三角形中，再根据三边关 在△ODC中，OD+CD≥ 系定理与不等式的性质解答， 【例】如图，点O是△ABC内一点，连接OB和 根据不等式的性质，得 OC. AB+AD+OD+CD> (1)你能说明OB+OC<AB+AC吗？ ∴.AB+AC> (2)若AB=7,AC=5,BC=6,请直接写出 即OB+OC<AB+AC; OB+OC的取值范围. (2) 解：(1)延长BO交AC于点D, 3 入年级数学·上册八年级数学·上册 参考答案 第一部分同步练习堂堂清 第十三章三角形 13.1三角形的概念 知识储备 1.同一直线首尾顺次2.三边等腰 基础练综合练素养练 1.B2.(1)5△ABE,△EBC,△DEC,△ABC,△DBC3(2)BEBC (3)∠BCE3.D4.D5.B6.D7.38.6(n+1) 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 知识储备 1.大于小于2.稳定性稳定性 基础练综合练素养练 1.(1)C(2)A2.小DE+DF>EF3.解：(1)三角形一边的长为9cm, 另一边的长为3cm,.9-3<x<9+3,即6<x<12.(2)20cm或22cm (3)9≤x<124.D5.B6.D7.(1)①③④(2)②⑤⑥(3)相机的三脚架 (答案不唯一)8.259.(1)C(2)D10.B11.解：图略12.解：(1)|a b十(b-c)2=0,a-b=0且b-c=0.∴a=b=c..△ABC为等边三角形； (2)(a-b)(b-c)=0,.a-b=0或b-c=0或a-b=0且b-c=0,∴.a=b或 b=c或a=b=c.∴.△ABC为等腰三角形；(3)：a,b,c是△ABC的三边长，∴.a -b-c<0,b-c-a<0,c-a-b0..∴.原式=-a十b+c-b+c+a-c+a+b=a +b+c. 微专题一(1)BD CO BD+COBO十CO(2)6<OB+OC<12 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 知识储备 1.中点中线2.平分线3.垂足 基础练综合练素养练 1.BD CD BC S△cDS△uc52.①③3.∠BAC∠2∠BAC36° 4.D5.证明：DE∥AC,.∠EDA=∠DAC.又∠EDA=∠EAD, ∠EAD=∠DAC..AD是△ABC的角平分线.6.⊥ADC7.B8.解：图 略(1)21(2)交9.C10.(1)B(2)811.(1)高(2)角平分线 (3)中线12.解：1)S-2AB.AC=合BC.AD,号×6×8=名×10… AD.解得AD=4.8;(2):AE是△ABC的中线，∴BE=CE=号BC.SAE 合BE·AD=号×分BC·AD-12m.(3)3cm(4)213.解：设腰AB=AC =x,则AD=号=CD.(1)当AB+AD=15时，x+=15,解得x=10.AB =AC=10,AD=CD=5.BC=6-CD=1.此时三边长是10,10,1，：10+1>10， :能构成三角形.(2)当AB+AD=6时，x十子1=6，解得=4，AB=AC=4, AD=CD=2,BC=15-CD=13.此时三边长是4,4,13，，4+4<13，.不能构 成三角形.综上所述，这个三角形的底边长是1，腰长是10. 回归教材专题（一）三角形中重要线段的应用 1.解：(1)5(2)由题意，得AC+BC=27-9=18,即AC+2CD=18.,△ACD 的周长是19，AD=6,.∴.AC+CD=19-6=13.∴.CD=5..∴.AC=13-CD=13 5=8.2.(1)1(2)43.证明：：CD是△ABC的平分线，.∠BCD=∠ACD =号∠ACB.'∠ECD=∠EDC,∠EDC=∠ACD.∴ED∥AC.·∠BED= ∠ACB=2∠ACD.4.70°或10°5.证明：连接AD,:S△c=S△BD+S△ADc, 2AC.BG=2AB·DE+2AC.DF.又AB=AC,ZAC·BG=AC (DE+DF),即DE+DF=BG.