14.1 全等三角形及其性质&14.2 三角形全等的判定（高效学习手册）-【名师学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学分层进阶学习法（人教版2024）

第十四章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 【要点领悟】 2.对应边相等，对应角相等 【易错警示】 7或8(3,0)或（一3,0） 【堂清练习】 1.D2.A3.解：(1)对应顶点：点A与点D,点B与点E,点C与点F;对应边： AB与DE,BC与EF,AC与DF;(2)AB∥DE,BC∥EF,理由如下：，△ABC≌ △DEF,∴.∠A=∠D,∠ACB=∠DFE,∴.AB∥DE,BC∥EF.4.解：(1)3 (2)'△ABC≌△DEB,.∠A=∠D=35°，∠EBD=∠C=60°..∠ABC=180° ∠A-∠C=85°..∠DBC=∠ABC-∠EBD=25°. 14.2三角形全等的判定 第1课时利用“SAS”判定两个三角形全等 【要点领悟】 1.边→角边 【典例导学】 ∠A=∠EDF 【堂清练习】 1.D2.A3.SAS4.85°5.证明：.CD∥AB,∴.∠ABC=∠ECD.在△ABC AB=EC, 和△ECD中，{∠ABC=∠ECD,.△ABC≌△ECD(SAS) BC=CD, 第2课时利用“ASA”或“AAS”判定两个三角形全等 【典例导学】 解法一：FC∥AB,.∠ADE=∠F.在△AED和△CEF中， ∠ADE=∠F, DE-FE, .△AED≌△CEF(ASA)..AD=CF=5..BD=AB ∠AED=∠CEF, AD=7-5=2.解法二：.FC∥AB,.∠DAE=∠FCE,∠ADE=∠F..DE =FE,∴.△ADE≌△CFE(AAS)..AD=CF=5.∴BD=AB-AD=7-5=2. 【堂清练习】 1.D2.B3.BE=DF(答案不唯一)∠A=∠C∠AEB=∠F(答案不唯 一)4.解：AD是△ABC的中线，理由如下：：BE⊥AD,CF⊥AD,∴.∠BED= ∠BDE=∠CDF, ∠CFD=90°.在△BED和△CFD中，∠BED=∠CFD=90°，∴.△BED≌ BE=CF, △CFD(AAS),.BD=CD..AD是△ABC的中线. 第3课时利用“SSS”判定两个三角形全等 【要点领悟】 1.稳定性 【典例导学】 解：选择①，证明：，AB=AC,AD=AE,BD=CE,∴.△ABD≌△ACE(SSS).. ∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE..∴.∠ADE=∠ABD+∠BAD=∠CAE+ (AB=AC, ∠ACE.选择②，证明：在△ABD和△ACE中， AD=AE,..△ABD≌△ACE BD=CE, (SSS)..∠ABD=∠ACE.又：∠AFB=∠EFC,.180°-（∠ABD+∠AFB) =180°-（∠ACE+∠EFC),即∠BAC=∠BEC 【堂清练习】 1.C2.127°3.BD=CD或点D是BC中点4.(1)证明：在△AEC和△ADC 「AC=AC, 中，3AE=AD,∴.△AEC≌△ADC(SSS);(2)解：△AEC≌△ADC,∴.∠AEC EC=DC, =∠D=70°，∠B=∠AEC-∠BCE=70°-20°=50°. 第4课时利用三角形全等的判定方法进行尺规作图 【要点领悟】 1.尺规作图2.①作一个角等于已知角②在给定边角条件下，求作三角形 【典例导学】 解：图略.ASA 【堂清练习】 1.C2.①②③3.解：图略.4.解：图略.5.解：图略. 第5课时利用“H”判定两个直角三角形全等 【典例导学】 证明：：DE⊥AC,BF⊥AC,.△ABF,△CDE都是直角三角形.：AE=CF, +EP三CF+EP,即AP=CE,在R△ABF和R△CDE中，AB-CD, △ABF≌Rt△CDE(HL)..∠C=∠A,.AB∥CD 【堂清练习】 1.C2.C3.全等HL4.证明：(1).AD为△ABC的高，.△BDF和 △ADC都为直角三角形.在R△BDF和R1△ADC中，BF=CA,:R△BDF DF=DC, ≌Rt△ADC:(2):Rt△BDF≌Rt△ADC,∠DBF=∠DAC.:∠DAC+∠C =90°，.∠DBF+∠C=90°...∠BEC=90°..∴.BE⊥AC 14.3角的平分线 第1课时角的平分线的作法和性质 【典例导学】 14 【堂清练习】 1.22.122.5°3.解：图略.4.证明：AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C= 90°，∴.DE=DC,∠DEB=∠C=90°.在Rt△BDE和Rt△FDC中， IDB=DF:.Rt△BDE≌R△FDC(HL.FC=BE, DE-CD, 第2课时角的平分线的判定 【典例导学】 证明：：D是BC的中点，∴.BD=CD.·DE⊥AB,DF⊥AC,.∠BED=∠CFD ∠B=∠C, =90°.在△BDE和△CDF中， ∠BED=∠CFD,..△BDE≌△CDF(AAS).,. BD=CD, DE=DF.又.DE⊥AB,DF⊥AC,∴.AD平分∠BAC 【堂清练习】 1.C2.33.①②③4.35.解：图略， 第十五章 轴对称 15.1图形的轴对称 15.1.1轴对称及其性质 【典例导学】 3 【堂清练习】 1.D2.C3.D4.108245.(1)34(2)80°(3)解：直线MN垂直平 分线段BF」 15.1.2线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线的性质和判定 【典例导学】 证明：.点P在边AB的垂直平分线上，∴.PA=PB..点P在边BC的垂直平 分线上，.PB=PC.∴.PA=PC..点P在边AC的垂直平分线上 【堂清练习】 1.D2.D3.C4.对应边分别相等的两个三角形全等真5.解：DE垂 直平分BC,.BE=CE.△AEC的周长为13，.AC+AE+CE=AC+AE+ BE=AC+AB,..13=8+AC..AC=5. 第2课时作轴对称的图形的对称轴 【要点领悟】 任何一对对应点所连线段 【易错警示】 解：图略. 【堂清练习】 1.D2.B3.垂直平分线4.解：如图所示.5.解：如图，点P即为所求第十四章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 名师讲坛 堂清练习 1.下列各组的两个图形属于全等图形的是 01要点领悟 1.全等图形：(1)全等图形的形状 相同，大小相等，与图形的位置 无关；(2)全等图形的面积一定 2.如图，△ABC≌△DEF,BE=4, 相等，但面积相等的两个图形 AE=1,则DE的长是 () 不一定是全等图形；(3)平移 翻折、旋转前后的图形全等. A.5 B.4 2.全等三角形的性质：全等三角形 C.3 D.2 B 的 3.如图，△ABC≌△DEF,点A,F,C,D在同一条 3.全等三角形的周长相等，面积 相等.注意：(1)全等三角形对 直线上. 应边上的中线相等，对应角的 (1)写出对应顶点、对应边； 平分线相等，对应边上的高相 (2)写出图中平行的线段，并说明理由 等；(2)全等三角形具有传 递性. 02方法技巧 完全相同为全等； 形状相同大小等； 位置变化不相关； 勿将等积混全等. 03易错警示 易错点全等三角形的对应边不 确定致错 【例】已知△ABC与△DEF全 4.如图，已知△ABC≌△DEB,点E在边AB上， 等，AB=DE=6,AC=8,BC=7, DE与AC相交于点F. 则EF的长为 (1)当DE=8,BC=5时，线段AE的长为 【变式】在平面直角坐标系中，点 (2)若∠D=35°，∠C=60°.求∠DBC的度数. A(-2,0),B(0,3),C(0,2),点D 在坐标轴上（不与点B重合），且 △AOB和△OCD全等，则点D的 坐标为 【点拨】当两个三角形全等时，注 意分类讨论对应边与对应角· 14.2三角形全等的判定 第1课时 利用“SAS”判定两个三角形全等 名师讲坛 堂请练习 1.如图，DC=BC,添加一个条件后，能利用“SAS” 01要点领悟 判定△ABC≌△ADC的是 1.在书写两个三角形全等的条件 A.∠D=∠B B.DA=AB “边角边”时，一般按照“ C.AC=AC D.AC平分∠BCD ”的顺序来写，即把相 2.要使图中的两个三角形全等，则角α的度数是 ( 等的夹角写在中间，以突出两 A.72 B.50° C.55° D.58 边及其夹角分别相等，且对应 顶点要写在对应位置上 50 几何语言：如图，在△ABC和 58°72〉 △DEF中， B 第1题图 第2题图 第3题图 (AB=DE, 3.如图，有一池塘，要测池塘两端A,B间的距离，可 ∠B=∠E, 先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点 BC=EF, A和B的点C,连接AC并延长至D,使CD= △ABC≌△DEF(SAS) CA,连接BC并延长至E,使CE=CB,连接ED. 若量出DE=58米，则A,B间的距离即可求.依 据是 4.如图，若OA=OB,OD=OC,∠O 2.边边角不能证明三角形全等， =65°，∠D=20°，则∠DBC 切记不可出现“边边角”的 情况。 5.如图，在△ABC中(AB<BC),过点C作CD 02典例导学 AB,且CD=CB,在CB上截取CE=AB,连 【例】如图，已知 接DE A,D,B,E在同 求证：△ABC≌△ECD. 一条直线上，且 AD=BE,AC=DF,补充一个条 件，使△ABC≌△DEF,则该条 件是 -8 第2课时 利用“ASA”或“AAS”判定两个三角形全等 名师讲坛 堂清练习 1.如图，F,C为AD上两点，已知 01要点领悟 ∠A=∠D,∠1=∠2，利用 “ASA”与“AAS”的区别：“ASA” “ASA”证明△ABC≌△DEF,还 中边是两角的夹边，“AAS”中边 需添加的条件是 ) 是其中一角的对边。 A.∠E=∠B B.ED-BC 02典例导学 C.AB-EF D.AC-DF 【例】一题多解法（教材P46T17 题改编)如图，在△ABC中，D是 2.在△ABC与△A'B'C'中，已知∠A=44°，∠B= AB上一点，DF交AC于点E, 67°，∠C=69°，∠A'=44°，且AC=A'C,那么这 DE=FE,FC∥AB,AB=7,CF 两个三角形 =5,求BD的长. A.一定不全等 B.一定全等 C.不一定全等 D.以上都不对 3.如图，D,E是线段BF上的两 点，且AB=CD,AB∥CD,若利用 解法一： “SAS”证明△ABE≌△CDF,应 补充条件： ;若利用“ASA”证明△ABE≌△CDF,应补充 条件： ;若利用“AAS”证明△ABE≌ △CDF,应补充条件： 4.如图，BE⊥AD,CF⊥AD,且BE=CF.AD是△ABC 的中线还是角平分线？并说明你的判断. 解法二： 9 第3课时 利用“SSS”判定两个三角形全等 名师讲坛 堂清练习 1.如图，在△ABC中，AB=AC,BE=CE,则由 01要点领悟 “SSS”可以直接判定 () 1.由“边边边”这一判定三角形全等 A.△ABD≌△ACD B.△BDE≌△CDE 的方法可知，当三边确定时，这个 三角形的形状大小也随之确定 C.△ABE≌△ACE D.以上都不对 这也是三角形具有 的 原因 2.用直尺和圆规作一个角等于已知 角的理论依据是“SSS” D 02典例导学 第1题图 第2题图 第3题图 【例】如图，已知AB=AC,AD= 2.如图，已知AB=AD,CD=BC,∠B=30°， AE,BD=CE,B,D,E三点共线， AC与BE相交于点F,请从下列结 ∠BAC=23°，则∠ACD= 论：①∠ADE=∠CAE+∠ACE; 3.如图，AB=AC,D是BC上一点，要使△ABD≌ ②∠BAC=∠BEC,选择一个进行 △ACD,应补充条件 证明. 4.如图，点C,E分别为△ABD的边BD,AB上的 点，且AE=AD,CE=CD,∠D= 70°，∠BCE=20. (1)求证：△AEC≌△ADC: (2)求∠B的度数. -10 第4课时利用三角形全等的判定方法进行尺规作图 名师讲坛 堂请练习 1.根据下列条件作出的三角形不唯一的是() 01要点领悟 A.AB=6,∠A=60°，∠C=40° 1.用没有刻度的直尺和圆规作图 B.AB=5,BC=4.CA=6 简称 ;尺规作图 C.AB=5,AC=4,∠C=40° 是在掌握基本定理和性质的基 D.∠A=50°，AB=8,AC=6 础上开展的。 2.根据以下条件：能用尺规作出唯一的三角形有 2.利用三角形全等的判定方法进 (填序号). 行尺规作图有：① ①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两角 ;② 及其夹边；④已知两边及其中一边的对角， 3.尺规作图：已知△ABC,求作△DEF,使△DEF 02典例导学 ≌△ABC. 如图，已知∠α及线段b,求作一 个三角形，使得它的两内角分别 为a和2a,且这两内角的夹边长 为五.（要求：尺规作图，保留作图 4.尺规作图：已知∠α、∠B,求作∠AOB,使∠AOB 痕迹，不写作法) =∠a+∠B. b 5.已知∠a和∠B,线段a,求作△ABC,使∠B=a, ∠C=B,BC=a. 本题依据：全等三角形判定定理： 11 第5课时 利用“HL”判定两个直角三角形全等 名师讲坛 堂清练习 1.下列语句中不正确的是 01要点领悟 A.斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等 1.“HL”定理只对直角三角形适 B.有两边对应相等的两个直角三角形全等 用，对一般三角形不适用.在使 C.有两个锐角相等的两个直角三角形全等 用“HL”的过程中，要明确指出 D.有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三 是在哪两个直角三角形中. 2.“HL”定理不代表边边角能证 角形全等 明三角形全等，切记不可出现 2.如图，AD=BC,∠C=∠D=90°，下列结论中不 一般三角形“边边角”判定的 成立的是 D 、E 情况. A.∠2=∠1 02典例导学 B.∠DAE=∠CBE 【例】如图，AB=CD,DE⊥AC, C.△DAE与△CBE不一定全等 BF⊥AC,E,F是垂足，AE=CF. D.DE-CE 求证：CD∥AB. 3.如图，△ABC中，AB=AC,AD是 高，则△ADB与△ADC (填“全等”或“不全等”)，根据是 (用简写法). 4.如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE 交AD于F,且BF=AC,DF=CD 求证：(1)△BDF≌△ADC;(2)BE⊥AC. 12