精品解析：河南省信阳市商城县丰集高级中学、观庙高级中学2025-2026学年高三上学期10月联考数学试题

2025-2026学年商城县丰集高中观庙高中两校月考联考 高三数学试题 考生注意: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式化简集合，结合交集、并集运算逐项分析判断. 【详解】因为，可得， 等价于，解得或，即， 又因为，解得，可得， 所以，，故ABC错误，D正确 故选：D. 2. 设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意得 ，所以在复平面内表示复数的点为在第二象限． 故选B． 考点：复数的运算；复数的代数表示以及几何意义. 3. 若点在抛物线上，为抛物线的焦点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点抛物线上得出，再根据抛物线定义计算即可. 【详解】因为点在抛物线上，所以，即得， 则. 故选：B. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先出求，再根据即可得出的值，最后求的模. 【详解】由题意可知，因为，， 所以， 又因为，所以， 即，解得. 所以. 故选：B. 5. 已知两个圆台甲、乙的上底面半径均为r，下底面半径均为2r，圆台的母线长分别为3r和5r，则圆台甲、乙的体积之比为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设甲圆台的高为，乙圆台的高为，利用勾股定理求出，，再由圆台的体积公式计算可得. 【详解】设甲圆台的高为，乙圆台的高为，则， ， 所以圆台甲的体积， 圆台乙的体积， 所以圆台甲、乙的体积之比为. 故选：B 6. 函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先求出对数函数的定点,再结合点在线上得出1,最后应用基本不等式常值代换计算求解. 【详解】因为当时，所以函数 的图像恒过定点，即，因为点在直线上， 所以即 因为 所以 当且仅当 即时取等号. 故选：D. 7. 如图，正方体中，M，N分别是线段上的动点（不含端点），则下列各项中会随着M，N的运动而变化的是（ ） A. 异面直线与直线所成的角的大小 B. 平面与平面所成的角的大小 C. 直线到平面距离的大小 D. 异面直线，之间的距离的大小 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量把异面直线与直线所成的角，平面与平面所成的角，直线到平面距离，异面直线，之间的距离均求出来，看是否随着M，N的运动而变化 【详解】以点D为原点，DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方形边长为1，则，，，，，，，因为M，N分别是线段上的动点（不含端点），故设，，所以， 会随着M，N的运动而变化，故A选项正确； 设平面的法向量为，则 ，解得： 设平面的法向量为，则，解得： 所以，故平面与平面所成的角的大小为，不随着M，N的运动而变化； 设平面的法向量为，则，解得：， 则，即与平面平行，故直线到平面距离不变，不随着M，N的运动而变化. 设异面直线，的公共法向量为，则，解得：，设异面直线，之间的距离为，夹角为，则，所以异面直线，之间的距离的不随着M，N的运动而变化. 故选：A 8. 已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据的性质画出函数图象，然后把函数仅有4个零点，转化为函数与有4个交点，数形结合即可求解． 【详解】当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 又函数是定义在上偶函数，其图象关于轴对称作出函数图象： 因为函数仅有4个零点，所以函数与有4个交点， 根据图象可知：，即实数的取值范围是． 故选：C． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分） 9. 已知正数 满足 ，则下列不等关系正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，根据对数的运算性质可判断AB，利用作商法可判断C，利用基本不等式可判断D. 【详解】令，则，，，. A选项：，故A正确； B选项：，故B错误； C选项：，故；，故；从而，故C正确； D选项：由A知，则，故D正确. 故选：ACD. 10. 在正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为1，则下列结论正确的是（ ） A. 点B到平面的距离是 B. 平面与平面垂直 C. 记底面的中心为，则直线与直线所成角的余弦值为 D. 若为线段的中点，点在正四棱柱表面上运动，若平面，则点的轨迹是六边形 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等体积法判断A，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量判断B，利用向量的夹角公式判断C，设，求出平面的法向量，利用求出的轨迹方程，进而得到与六个面的交线判断D. 【详解】选项A：因为四棱柱是正四棱柱，且底面边长为， 所以， 又因为是等腰三角形，， 所以底边上的高为， 设点B到平面的距离为， 则，即，解得， 所以点B到平面的距离是，A说法正确； 选项B：以为坐标原点，分别为轴建立如题所示坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 设平面和平面的法向量分别为，， 则，， 取，， 因为，所以平面与平面垂直，B说法正确； 选项C：底面中心，则， 又，所以， ，， 所以直线与直线所成角的余弦值，C说法错误； 选项D：若为线段的中点，则， 因为，，， 设平面的法向量，则，取平面的法向量， 设，则， 若平面，则， 整理得的轨迹方程为， 因为点在正四棱柱表面上运动， ，，， 所以6个表面方程及交线如下： ①下底面令，联立轨迹方程得，即， 范围，，交线线段为，从到； ②上底面令，联立轨迹方程得，即， 范围，，交线线段为，从到； ③后面令，联立轨迹方程得，即， 范围，交线线段为，从到； ④前面令，联立轨迹方程得，即， 范围，交线线段为，从到； ⑤左侧面令，联立轨迹方程得，即， 范围，交线线段为，从到； ⑥右侧面令，联立轨迹方程得，即， 范围，交线线段为，从到； 由图象可得依次连接，形成一个闭合的六边形，D说法正确； 故选：ABD 11. 函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再逐项判断四个选项中函数的奇偶性即可. 【详解】因为函数的定义域为R， 又，所以函数为偶函数， 由恒成立，可知函数的定义域为， 又 ， 所以，即函数为奇函数， 对于A，因为， 所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，故A错误； 对于B，因为函数的定义域为，又， 所以函数为奇函数，故B正确； 对于C，由指数函数，的值域可知，恒成立； 所以函数的定义域为，又， 所以函数是奇函数，故C正确； 对于D，令，则函数的定义域为，又， 所以函数为偶函数，即函数为偶函数，故D错误. 故选：BC． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】 由平方关系以及商数关系得出，即可得出. 【详解】由以及 得出 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平方关系以及商数关系，属于基础题. 13. 命题在上为减函数，命题在为增函数，则命题是命题的__________条件 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】分别根据二次函数，对数函数以及反比例函数的单调性化简命题和命题满足的的取值，即可根据集合间的关系求解. 【详解】解：若 要在上单调递减， 则，解得， 在上为增函数， 则，解得， 因为是的真子集，故命题是命题的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要 14. 已知函数有两个零点1和2，若数列满足：，记且，则数列的通项公式＝________． 【答案】 【解析】 【分析】根据韦达定理求出的关系，进而得到与，根据条件得到为等比数列，进而利用等比数列的通项公式求出答案. 【详解】由题意得：的两个根为1和2，由韦达定理得：，，所以，则，所以，因为，所以，所以为等比数列，公比为2，首项为3，所以. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列是等差数列，其前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式求解； （2）分组求和方法求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，又，， 所以，解得，， 所以的通项公式. 【小问2详解】 由（1）知， 所以 . 16. 等边三角形，边长为2，为的中点，动点在边上，关于的对称点为． （1）若为的中点，求． （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形法则表示向量，然后利用向量数量积计算即可； （2）利用已知条件求出的值，根据关于的对称点为，得， 然后计算，由于动点在上，当时，取最小值，当与重合时，取最大值，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 因为为中点， 所以. 因为为中点， 所以， 所以 . 【小问2详解】 因为等边三角形，边长为2，为中点 所以为， 因为关于的对称点为， 所以， 所以 ， 因动点在上， 所以当时，取最小值，即， 当与重合时，取最大值，即， 所以， 所以的取值范围为. 17. 椭圆（）的左右焦点分别为，，其中，为原点．椭圆上任意一点到，距离之和为． （1）求椭圆的标准方程及离心率； （2）过点的直线交椭圆于、两点，面积为，求的方程． 【答案】（1）， （2）或或或. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义得到，，进而求出，得到椭圆方程和离心率； （2）设直线方程为，联立椭圆方程，求出，并求出点到直线的距离，计算三角形面积解方程即可. 【小问1详解】 由题意得，，解得， 故， 故椭圆的标准方程为， 离心率为； 【小问2详解】 由题意，直线斜率不存在时，不能构成， 故设直线方程为， 联立得，， 设， ，解得或， 则， 所以 ， 设到直线的距离为，则， 所以， 解得或， 所以直线的方程为或或.或. 18. 已知二次函数． （1）关于的不等式的解集为． ①求实数，的值； ②若对任意，恒成立，求的取值范围． （2）若对任意的，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】（1）①利用不等式的解集和方程的根的关系可求答案； ②求出的最小值，求解二次不等式可得答案； （2）对参数分类讨论求解函数的最大值和最小值即可. 【小问1详解】 ①不等式，即， 所以不等式的解集为， 所以与为的两个根， 由韦达定理可得：，， 所以，； ②由①得， 所以， 又因为，所以， 又对任意，恒成立， 所以，即，解得， 所以的取值范围为； 【小问2详解】 设函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以对任意的，，都有等价于， 又在上单调递减，在上单调递增， ①当，即时，上单调递增， 则，， 即，解得，又，即； ②当，即，在上单调递减，在上单调递增， ，， 由，即 解得，又，即； ③当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ，， 由．得， 又，即； ④当，即时，在上单调递减， ，， 由，得， 又，即， 综上所述，的取值范围为． 19. 已知函数，为实数）有极值，且在处的切线与直线平行. （1）求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使得函数的极小值为1，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由； （3）设函数 试证明：在上恒成立并证明 【答案】（1）（2）（3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据极值的信息，则选用导数法，先求，再由有极值，可有，又由在处的切线与直线平行，可得从而求解． （2）存在．令得到函数的两个极值点，然后分区间讨论函数的增减性，得到函数的极小值令其等于1，讨论得到的值存在，求出即可； （3）求得，利用导数工具在上是增函数，故，设， 则 ，即，再利用累加法进行证明即可． 【详解】（1）， 由题意，① 有极值，有两个不等实根， ② 由①、②可得，或， 故实数a的取值范围是 （2）存在由（1）可知，，令 ，且 + 0 － 0 + 单调增 极大值 单调减 极小值 单调增 时，取极小值，则 或，若，即，则（舍）． 若，又， ， 存在实数，使得函数的极小值为1. （3）由 故 则在上是增函数，故，所以在上恒为正． 当时，，设，则 即 上式分别取的值为1、2、3、……、（累加得： ，（） ，（） ，（） ，（） 即，，（）， 当时，， 【点睛】考查学生利用导数研究函数性质的能力，其中特值构造证明不等式是难点，是一道难度较大的题目． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年商城县丰集高中观庙高中两校月考联考 高三数学试题 考生注意: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若点在抛物线上，为抛物线的焦点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 已知两个圆台甲、乙的上底面半径均为r，下底面半径均为2r，圆台的母线长分别为3r和5r，则圆台甲、乙的体积之比为（ ） A. B. C. D. 3 6. 函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 8 7. 如图，正方体中，M，N分别是线段上的动点（不含端点），则下列各项中会随着M，N的运动而变化的是（ ） A. 异面直线与直线所成角的大小 B. 平面与平面所成的角的大小 C. 直线到平面距离的大小 D. 异面直线，之间的距离的大小 8. 已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分） 9. 已知正数 满足 ，则下列不等关系正确的有（ ） A. B. C D. 10. 在正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为1，则下列结论正确的是（ ） A. 点B到平面的距离是 B. 平面与平面垂直 C. 记底面的中心为，则直线与直线所成角的余弦值为 D. 若为线段的中点，点在正四棱柱表面上运动，若平面，则点的轨迹是六边形 11. 函数，则下列说法正确的是（ ） A. 偶函数 B. 是奇函数 C. 奇函数 D. 是奇函数 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知，，则________. 13. 命题在上为减函数，命题在为增函数，则命题是命题的__________条件 14. 已知函数有两个零点1和2，若数列满足：，记且，则数列的通项公式＝________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列是等差数列，其前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 等边三角形，边长为2，为的中点，动点在边上，关于的对称点为． （1）若为的中点，求． （2）求的取值范围． 17. 椭圆（）的左右焦点分别为，，其中，为原点．椭圆上任意一点到，距离之和为． （1）求椭圆的标准方程及离心率； （2）过点的直线交椭圆于、两点，面积为，求的方程． 18 已知二次函数． （1）关于的不等式的解集为． ①求实数，的值； ②若对任意，恒成立，求的取值范围． （2）若对任意的，都有，求实数的取值范围． 19. 已知函数，为实数）有极值，且在处的切线与直线平行. （1）求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使得函数的极小值为1，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由； （3）设函数 试证明：在上恒成立并证明 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $