第三章概率测试卷-2024-2025学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

湘教版高中数学选择性必修第二册第三章概率测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的： 1.已知离散型随机变量Y的分布列如下： 0 2 d 1 1 1 则数学期望E()=() 4封 C.1 D.2 2.设随机变量5~N(0,1).若P(5>1)=p,则P(-1≤5≤0)=() A.1-p B.P C.2+p D.p 3.若随机变量X~N(1,o2),且P(X<0.9)=03,则PX-1<0.1)=() A.0.3 B.0.4 c.0.5 D.0.6 4.现有甲乙两个箱子，分别装有除颜色外其它都相同的黑色和白色两种球，甲箱装有2个白球3个黑球， 乙箱有3个白球2个黑球，先从甲箱随机取一个球放入乙箱，再从乙箱随机取一个球是白球的概率是() 4月 C. 30 D.为 5.同时抛掷一白一红两枚质地均匀的骰子，用x表示白色骰子的点数，y表示红色骰子的点数，设事件 A=“x+y=6”,事件B=“为偶数”，事件C=“x>3”,则下列结论正确的是() AA与8对立B.P(8C):吕 C.A与C相互独立D.B与C相互独立 6.设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机 取出一球放入乙袋，以A、A,和A分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随 机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则() A.A与B相互独立 sP)后cP到-DA-月 7.掷出两枚质地均匀的骰子，记事件A=“第一枚点数小于3”，事件B=“第二枚点数大于4”，则A与B关 系为() A.互斥 B.互为对立 C.相互独立 D.相等 8.2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕.某中学为了贯彻学习“两会” 精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛.高二学生代表队由A,B,C,D,E,F共6名成员组成，现从 这6名成员中随机抽选3名参加学校决赛，在学生A被抽到的条件下，学生B也被抽到的概率为() A B. D.g 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，有选错的得0分 9。甲、乙两人进行1次投篮，已知他们命中的概率分别为和子且他们是否命中相互独立，则《） A.恰好有1人命中的概率为 B.恰好有1人命中的概率为 3 C,至少有1人命中的概率为号 D.至少有1人命中的概率为G 10.若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)-片a(),D(K)分别为随机变量X的均值与方差， 则下列结论正确的是() A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=4 C.D(3X+2)=4 B.( 11.甲、乙加工同一种工件，经统计，甲加工该工件的内径X(单位：mm)服从正态分布W(100,4),乙 加工该工件的内径Y(单位：mm)服从正态分布N(99,9),(参考数据：若随机变量5服从正态分布N(4,o2), 则P(5-4≤o)≈0.6827，P(5-4≤2o)≈0.9545，P(5-4川≤3o)≈0.9973)，则下列说法正确的是() A.P(X≥100)>P(Y≥100) B.P(X≤102)=P(Y≤102) C.若选内径不超过104m的工件，应选择甲加工的 D.若选内径不超过106mm的工件，应选择乙加工的 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.现有52张扑克牌（去掉大小王），每次取一张，取后不放回，则两次都抽到A的概率为 在第一次抽到A的条件下，第二次也抽到A的概率是 13.己知某条线路上有AB两辆相邻班次的BT(快速公交车)，若A准点到站的概率为}，在B准点到 站的前提下A准点到站的概率为子在A准点到站的前提下？不准点到站的概率为名则分准点到站的 概率为 14,某单位有A,B两个食堂，小李周一随机选择一个食堂用餐.如果周一去A食堂，那么周二去A食堂 的概率为0.4：如果周一去B食堂，那么周二去A食堂的概率为0.6.小李周二去A食堂的概率为」 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中 优质品的件数记为.如果二3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验； 如果=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验，其他情况下，这批产品 都不能通过检验， 假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，，且各件产品是否为优质品相互 独立 (1)求这批产品通过检验的概率； (2)己知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用 记为X(单位：元)，求X的分布列. 16.(15分)将8个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~8.现从中任取3个球，以X表示所取 球的最大号码 (1)求X的分布列： (2)求X>5的概率 17.(15分)盒子中装有4个红球，2个白球 (1)若依次随机取出2个球，求在第一次取到红球的条件下，第二次取到白球的概率； (2)若随机取出3个球，记取出的球中白球个数为X,求X的分布列及均值 18.(17分)某幼儿园组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回地摸球且每次只能摸取1个球，每次摸 球结果机互独立，金中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为号，摸到2分球的概率为兮 (1)若小胡同学摸球3次，记随机变量X为小胡同学的总得分，求X的分布列与期望： (2)学生甲、乙各摸4次球，最终得分若相同，则都不获得奖励：若不同，则得分多者获得奖励.已知甲前2 次摸球得了4分，求乙获得奖励的概率. 19.(17分)21世纪汽车博览会在上海举行.某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观与内饰的颜色 分布如表所示： 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 8 12 米色内饰 现将这25个汽车模型进行编号 (1)若小明从25个汽车模型编号中随机选取一个，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B为小明 取到的模型为米色内饰，求P(B)和P(BA); (2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人一次性从25个汽车模型编号中选取两个，给出 以下抽奖规则：①选到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均同色、外观和内饰都异色以及仅外 观或仅内饰同色：②按结果的可能性大小设置奖项，概率越小奖项越高；③该抽奖活动的奖金金额为一 等奖600元、二等奖300元、三等奖150元.请你分析奖项对应的结果，设X为奖金金额，写出X的分 布列，并求出X的数学期望. 湘教版高中数学选择性必修第二册第三章概率测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知离散型随机变量Y的分布列如下： Y 0 1 2 P 则数学期望（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据期望公式运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：B. 2．设随机变量．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态曲线的对称性计算可得. 【详解】∵随机变量服从标准正态分布， ∴正态曲线关于直线对称． ∵，， ∴． 故选：D． 3．若随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得结果. 【详解】由可得，即， 因为随机变量，且， 故. 故选：B. 4．现有甲乙两个箱子，分别装有除颜色外其它都相同的黑色和白色两种球，甲箱装有2个白球3个黑球，乙箱有3个白球2个黑球，先从甲箱随机取一个球放入乙箱，再从乙箱随机取一个球是白球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出事件，利用全概率公式进行计算. 【详解】设“从乙箱中取出白球”，“从甲箱中取出白球”， 则，，，， 故由全概率公式得． 故选：C． 5．同时抛掷一白一红两枚质地均匀的骰子，用表示白色骰子的点数，表示红色骰子的点数，设事件“”，事件“为偶数”，事件“”，则下列结论正确的是（   ） A．与对立 B． C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】B 【分析】根据对立事件的定义，可判定A错误；根据古典摡型的概率计算公式，可判定B正确；利用古典摡型的概率计算公式，结合，可判定C错误；结合，可判定D错误. 【详解】对于A中，当时，，，事件与同时发生， 所以事件与不对立，所以A错误； 对于B中，因为，当时，要使得为偶数，有6种情况； 当时，要使得为偶数，则，有3种情况； 当时，要使得为偶数，有6种情况， 又由抛掷两枚骰子，共有种情形，所以，所以B正确； 对于C中，事件有：，共有5种情形，概率为， 事件“”，有 ，共有18种情形， 所以概率为，且， 则，所以与不相互独立，所以C错误； 对于D中，事件“为偶数”，事件“为奇数”， 有共9种情形， 所以概率为， 又由，，可得， 所以与不相互独立，所以D错误. 故选：B. 6．设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（   ） A．与B相互独立 B． C． D． 【答案】C 【分析】AC选项，求出各个事件的概率，得到，，A错误，C正确；BD选项，由条件概率公式进行求解. 【详解】AC选项，由题意得，， ，， ，， 故，C正确； 由于，故， 故与B不互相独立，A错误； B选项，由条件概率得，B错误； D选项，，D错误； 故选：C 7．掷出两枚质地均匀的骰子，记事件“第一枚点数小于3”，事件“第二枚点数大于4”，则与关系为（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 【答案】C 【分析】利用古典概型分别求出，由可得解. 【详解】由题意，掷出两枚质地均匀的骰子共有基本事件个， 其中事件有，共12个， 事件有，共12个，事件有，共4个基本事件， 所以, 所以，故相互独立， 答选：C 8．2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕．某中学为了贯彻学习“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表队由A，B，C，D，E，F共6名成员组成，现从这6名成员中随机抽选3名参加学校决赛，在学生A被抽到的条件下，学生B也被抽到的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出事件，利用条件概率求解公式计算. 【详解】记事件A：学生A被抽到，事件B：学生B被抽到， 所以，， 所以． 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9．甲、乙两人进行1次投篮，已知他们命中的概率分别为和，且他们是否命中相互独立，则（    ） A．恰好有1人命中的概率为 B．恰好有1人命中的概率为 C．至少有1人命中的概率为 D．至少有1人命中的概率为 【答案】AC 【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案. 【详解】由题可知，恰有1人命中的概率为，A正确，B不正确． 2人均未命中的概率为，故至少有1人命中的概率为，C正确，D不正确． 故选：AC 10．若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据两点分布求，再根据期望和方差公式以及性质，即可求解. 【详解】由题意可知，，所以， ，， 故选：AB 11．甲、乙加工同一种工件，经统计，甲加工该工件的内径（单位：）服从正态分布，乙加工该工件的内径（单位：）服从正态分布，（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若选内径不超过的工件，应选择甲加工的 D．若选内径不超过的工件，应选择乙加工的 【答案】ABC 【分析】利用正态分布的对称性及三段区间概率的性质判断各项的正误. 【详解】由题设，A对； ，B对； ，C对； ，D错； 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．现有52张扑克牌（去掉大小王），每次取一张，取后不放回，则两次都抽到A的概率为 ;在第一次抽到A的条件下，第二次也抽到A的概率是 ． 【答案】 【分析】设第一次抽到A的事件为M，第二次抽到A的事件为N，根据不放回抽样，计算第1空即可；根据条件概率公式，分别求，，再进行计算即可. 【详解】设第一次抽到A的事件为M，第二次抽到A的事件为N， 不放回的取两次，可能的结果种数为，抽两次都是A包含的可能结果种数为， 则抽两次都是A的概率为． 易知， 所以在第一次抽到A的条件下，第二次也抽到A的概率是． 故答案为：；. 13．已知某条线路上有两辆相邻班次的BRT（快速公交车），若准点到站的概率为，在准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下不准点到站的概率为，则准点到站的概率为 . 【答案】 【分析】根据已知条件以及条件概率列方程，从而求得准点到站的概率. 【详解】设事件A为“A准点到站”，时间B为“B准点到站” 依题意，, 而， 而，则， 又，解得， 故答案为： 14．某单位有，两个食堂，小李周一随机选择一个食堂用餐．如果周一去食堂，那么周二去食堂的概率为0.4；如果周一去食堂，那么周二去食堂的概率为0.6．小李周二去食堂的概率为 ． 【答案】0.5/ 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】设“周一去食堂”，“周一去食堂”，“周二去食堂”， 则， 由全概率公式得， 故答案为：0.5． 4、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验;如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验;其他情况下，这批产品都不能通过检验． 假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元)，求X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件，第一次取出的4件产品全是优质品为事件，第二次取出的4件产品全是优质品为事件，第二次取出的1件产品是优质品为事件，这批产品通过检验为事件，依题意有，且与互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得； （2）可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列． 【详解】（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件，第一次取出的4件产品全是优质品为事件， 第二次取出的4件产品全是优质品为事件，第二次取出的1件产品是优质品为事件， 这批产品通过检验为事件，依题意有，且与互斥， 所以 ； （2）可能的取值为400，500，800，并且，， ，故的分布列如下： 400 500 800 16．（15分）将8个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~8.现从中任取3个球，以X表示所取球的最大号码. (1)求的分布列； (2)求的概率. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由已知判断随机变量的所有取值，并分别判断其概率，可得分布列； （2）由（1）的分布列可得概率. 【详解】（1）由已知可得随机变量的可能取值有：3，4，5，6，7，8， 所以，，，， 所以分布列为 3 4 5 6 7 8 （2）由（1）得. 17．（15分）盒子中装有4个红球，2个白球. (1)若依次随机取出2个球，求在第一次取到红球的条件下，第二次取到白球的概率； (2)若随机取出3个球，记取出的球中白球个数为，求的分布列及均值. 【答案】(1) (2)分布列见解析，1 【分析】（1）分析出第一次取到红球后，盒子里还剩3个红球，2个白球，从而求出概率； （2）求出的可能取值及对应的概率，得到分布列，计算出期望值. 【详解】（1）设“第一次取到红球”，“第二次取到白球"， 第一次取到红球后，盒子里还剩3个红球，2个白球， 则； （2）的可能取值为. 所以，， 故分布列为 0 1 2 . 18．（17分）某幼儿园组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回地摸球且每次只能摸取个球，每次摸球结果相互独立，盒中有分和分的球若干，摸到分球的概率为，摸到分球的概率为. (1)若小胡同学摸球次，记随机变量为小胡同学的总得分，求的分布列与期望； (2)学生甲、乙各摸次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励.已知甲前次摸球得了分，求乙获得奖励的概率. 【答案】(1)分布列见解析，期望为 (2) 【分析】（1）依题得到的取值，求出对应的概率，列出分布列，求得均值； （2）记“甲最终得分为分”，“乙获得奖励”，求得 和，以及和，利用全概率公式计算即可得到. 【详解】（1）的所有可能取值为， 所以 ， 所以的分布列为： 3 4 5 6 所以. （2）记“甲最终得分为分”，“乙获得奖励”， 所以，. 当甲最终得6分时，乙获得奖励需要最终得7分或8分，则； 当甲最终得7分时，乙获得奖励需要最终得8分，则， 所以 即乙获得奖励的概率为. 19．（17分）21世纪汽车博览会在上海举行．某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观与内饰的颜色分布如表所示： 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 8 12 米色内饰 2 3 现将这25个汽车模型进行编号． (1)若小明从25个汽车模型编号中随机选取一个，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B为小明取到的模型为米色内饰，求和； (2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人一次性从25个汽车模型编号中选取两个，给出以下抽奖规则：①选到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色；②按结果的可能性大小设置奖项，概率越小奖项越高；③该抽奖活动的奖金金额为一等奖600元、二等奖300元、三等奖150元．请你分析奖项对应的结果，设为奖金金额，写出的分布列，并求出的数学期望． 【答案】(1)， (2)分布列见解析， 【分析】（1）由古典概率计算公式及条件概率公式即可求解； （2）确定的可能取值，由古典概率计算公式求得对应概率，进而可求解. 【详解】（1）由题意得，，，， 则． （2）记外观与内饰均同色为事件，外观与内饰都异色为事件，仅外观或仅内饰同色为事件， 则， ， ． ∵， ∴一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都异色，二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均同色，三等奖为两个汽车模型仅外观或仅内饰同色． X的分布列： X 150 300 600 P ． 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学选择性必修第二册第三章概率测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的： 1.已知离散型随机变量Y的分布列如下： 0 力 1 4 4 则数学期望E()=() A号 5 B. C.1 D.2 【答案】B 【分析】根据期望公式运算求解， 【详解1由题金可得：0)=0分好2分} 41 24 故选：B 2.设随机变量5~N(0,1).若P(5>1)=p,则P(-1≤5≤0)=() A.1-p B.P C.+卫 2 D.2-p 【答案】D 【分析】根据正态曲线的对称性计算可得 【详解】，随机变量5服从标准正态分布N(0,1), ∴.正态曲线关于直线x=0对称. P(5>1)=p,P(-1≤5≤1)=1-2p, P(-1s5≤0)=5P(-1s5s)=3p. 故选：D 3.若随机变量X~N(1,o2),且P(X<0.9)=03,则Px-1<0.1)=() A.0.3 B.0.4 c.0.5 D.0.6 【答案】B 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得结果. 【详解】由X-1<0.1可得-0.1<X-1<0.1,即0.9<X<1.1, 因为随机变量X~N1,σ2)，且P(X<0.9)=0.3, 故P(x-1<0.1=P(0.9<X<1.1)=1-2P(x<0.9)=1-2×0.3=0.4. 故选：B 4.现有甲乙两个箱子，分别装有除颜色外其它都相同的黑色和白色两种球，甲箱装有2个白球3个黑球， 乙箱有3个白球2个黑球，先从甲箱随机取一个球放入乙箱，再从乙箱随机取一个球是白球的概率是() 4美 2 C. 17 B. 3 30 D. 【答案】C 【分析】设出事件，利用全概率公式进行计算 【详解】设B=“从乙箱中取出白球”，A=“从甲箱中取出白球”， 则子P国-0吾子国-名 做全率公式符到=P小P4P国P啊-号品 故选：C 5.同时抛掷一白一红两枚质地均匀的骰子，用x表示白色骰子的点数，y表示红色骰子的点数，设事件 A=“x+y=6”,事件B=“y为偶数”，事件C=“x>3”,则下列结论正确的是() A,A与8对立B.P(BC)= C.A与C相互独立D.B与C相互独立 【答案】B 【分析】根据对立事件的定义，可判定A错误；根据古典摄型的概率计算公式，可判定B正确；利用古 典概型的概率计算公式，结合P(AC)≠P(A)P(C),可判定C错误：结合P(BC)≠P(B)P(C),可判定D 错误。 【详解】对于A中，当x=2,y=4时，x+y=6,y=8,事件A与B同时发生， 所以事件A与B不对立，所以A错误： 对于B中，因为x>3,当x=4时，要使得y为偶数，有6种情况： 当x=5时，要使得y为偶数，则y=2,4,6,有3种情况； 当x=6时，要使得y为偶数，有6种情况， 又由施施两枚敏千，共有36种情尼，所以P(5C)-6.6吕所以以正骑： 对于C中，事作A有：L列(2)（很12(5）共有5稀情形，服车为P(4)G 事件C=“x>3”,有(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共有18种情形， 所以装率为Pe)-38分且P(4C)后日 则P(AC)≠P(A)P(C),所以A与C不相互独立，所以C错误： 对于D中，事件B=“y为偶数”，事件B=“y为奇数”， 有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9种情形， 所以概率为P(B)=1-9=3, 364 又由P(C)-},Psc)-各，可得P(BC)PPC, 5 所以B与C不相互独立，所以D错误 故选：B. 6.设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机 取出一球放入乙袋，以A、A,和A,分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随 机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则() A.A与B相互独立 BP4)- cP高D.4o)- 【答案】C 分析】AC选项，求出各个事件的概率，得到PB)=P(BA)+PBA)+P(BA)0 P(BA)≠P(B)P(A),A错误，C正确；BD选项，由条件概率公式进行求解 【详解】AC选项，由题意得P(4)3+345合P(4)高是写 346 P)3540-5房 51 133 P(4)3+2+52P(aA)=2i2 故P到=P4)-P4Pa)-多京品音C正： 由于PP4)-品品0故P4)=P@PA 故A与B不互相独立，A错误： B选项，由条件概率得P(BA)= P(BA)-55=3, P(4)1i,B错误： D选项，P(48)=PL4）_22-5 P(B) 3D错误： 10 故选：C 7.掷出两枚质地均匀的骰子，记事件A=“第一枚点数小于3”，事件B=“第二枚点数大于4”，则A与B关 系为() A.互斥 B.互为对立 C.相互独立 D.相等 【答案】C 【分析】利用古典概型分别求出P(A),P(B),P(AB),由P(AB)=P(A)P(B)可得解. 【详解】由题意，掷出两枚质地均匀的骰子共有基本事件36个， 其中事件A有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，（2,4)，(2,5)，(2,6)，共12个， 事件B有(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，5,5)，6,5)4,6)，6)，6)4,6)(5,6)，(6,6)，共12个，事件AB有 (1,5),(1,6,(2,5).(2,,共4个基本事件， 所以团-品P@-品专>石) 所以P(AB)=P(A)P(B),故A,B相互独立， 答选：C 8.2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕.某中学为了贯彻学习“两会” 精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛.高二学生代表队由A,B,C,D,E,F共6名成员组成，现从 这6名成员中随机抽选3名参加学校决赛，在学生A被抽到的条件下，学生B也被抽到的概率为() B. 2 C. 1 5 3 D. 8 【答案】B 【分析】设出事件，利用条件概率求解公式计算 【详解】记事件A:学生A被抽到，事件B:学生B被抽到， 所以P(A)= y 所以P(BA)= P(AB)3 2 P(A)1 2 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，有选错的得0分. 9甲、乙两人进行1次投篮，已知他们命中的概率分别为行和}，且他们是否命中相互独立，则() 3 A.恰好有1人命中的概率为2 B。恰好有1人命中的概率为3 3 2 C.至少有1人命中的概率为 D.至少有1人命中的概率为 【答案】AC 【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案. 12111 【详解】由题可知，恰有1人命中的概率为2×号十2×行2A正确，B不正确。 2人均未命申的概×子}故全少有1人命中的概率为，C正确，D不正 故选：AC 10.若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)-片，8()，D(K)分别为随机变量X的均值与方差， 则下列结论正确的是() A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=4 C.D(3X+2)=4 D.D(x)=4 9 【答案】AB 析】根据两点分布求P(X),再根据期单和方差公式以及性质，即可正 【样解】由短意可如，P(红-小=子所以2)0时子 )-0-号1-号号ax-2=s6-=4 D(3X+2)=9D(X)=2 故选：AB 11.甲、乙加工同一种工件，经统计，甲加工该工件的内径X(单位：mm)服从正态分布(100,4)，乙 加工该工件的内径Y(单位：mm)服从正态分布N(99,9),(参考数据：若随机变量5服从正态分布N(4,o2), 则P(5-4≤o)≈0.6827，P(（5-4≤2o)≈0.9545，P(5-4≤3o)≈0.9973)，则下列说法正确的是() A.P(X≥100)>P(Y≥100) B.P(X≤102)=P(Y≤102) C.若选内径不超过104m的工件，应选择甲加工的 D.若选内径不超过106mm的工件，应选择乙加工的 【答案】ABC 【分析】利用正态分布的对称性及三段区间概率的性质判断各项的正误 【详解】由题设P(X≥10)=P≥9>PY≥10，A对： P(X≤102)=P(X≤100+2)=P(Y≤99+3)=P(Y≤102)，B对： P(X≤104)=P(X≤100+4)=P(Y≤99+>P(Y≤104)，C对： P(X≤106)=P(X≤100+)=P(Y≤99+9)>P(Y≤106)，D错： 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分： 12.现有52张扑克牌（去掉大小王），每次取一张，取后不放回，则两次都抽到A的概率为 在第一次抽到A的条件下，第二次也抽到A的概率是 【答案】 1 221 【分析】设第一次抽到A的事件为M,第二次抽到A的事件为N,根据不放回抽样，计算第1空即可； 根据条件概率公式，分别求P(),P(M),再进行计算即可 【详解】设第一次抽到A的事件为M,第二次抽到A的事件为N, 不放回的取两次，可能的结果种数为52×51，抽两次都是A包含的可能结果种数为4×3， 则抽两次都是A的概率为P=4×3-1 52×51221 41 易知P(M）=5213 1 所以在第一次抽到A的条件下，第二次也抽到A的概率是P(NM)= P(W_221-1 P(M) 4-17 52 故答案为： 11 22117 13.已知某条线路上有A,B两辆相邻班次的BRT(快速公交车)，若A准点到站的概率为 3, 在B准点到 站的前提下A准点到站的概率为子，在A准点到站的前提下？不准点到站的概率为 ,则B准点到站的 6 概率为 【答案】 【分析】根据已知条件以及条件概率列方程，从而求得B准点到站的概率 【详解】设事件A为A准点到站”，时间B为B准点到站 依题意，Pa到号P)-子P国到G 面国小-以调石P 面P(到=PABA)=P氏4+P(国-写则4-后 又P(AB)= 兴调子解特肉- 故答案为：号 14.某单位有A,B两个食堂，小李周一随机选择一个食堂用餐.如果周一去A食堂，那么周二去A食堂 的概率为0.4；如果周一去B食堂，那么周二去A食堂的概率为0.6.小李周二去A食堂的概率为 【容案10s 【分析】利用全概率公式求解即可， 【详解】设A=“周一去A食堂”，B=“周一去B食堂”，A,=“周二去A食堂”， 则P(A)=P(B)=0.5,P(A|A)=0.4,P(A|B)=0.6, 由全概率公式得P(A)=P(A)P(A|A)+P(B)P(A2|B)=0.5×0.4+0.5×0.6=0., 故答案为：0.5. 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中 优质品的件数记为.如果=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验； 如果4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品 都不能通过检验. 假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为；，且各件产品是否为优质品相互 独立 (1)求这批产品通过检验的概率； (2)已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用 记为X(单位元)，求X的分布列 【答案】()4 (2)分布列见解析 【分析】(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A,第一次取出的4件产品全是优质品 为事件A,第二次取出的4件产品全是优质品为事件B,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这 批产品通过检验为事件A,依题意有A=(AB)U(A,B2),且AB,与A,B2互斥，由概率得加法公式和条件 概率，代入数据计算可得： (2)X可能的取值为400,500,800，分别求其概率，可得分布列. 【详解】(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A,第一次取出的4件产品全是优质品 为事件A, 第二次取出的4件产品全是优质品为事件B,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2, 这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(AB)U(A,B2),且AB,与A,B2互斥， P(A)=P(AB)+P(AB:)=P(A)P(BIA)+P(A)P(B2IA) =4x1+1×13 161616264 (2)X可能的取值为400,500,800，并且P(K=800)=年P(X=50)= 1 61 PX-400)=-1-1-111 故X的分布列如下： 16416 X 400 500 800 11 1 16 16 4 16.(15分)将8个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号18.现从中任取3个球，以X表示所取 球的最大号码 (1)求X的分布列： (2)求X>5的概率. 【答案】(1)见解析 器 【分析】(1)由已知判断随机变量X的所有取值，并分别判断其概率，可得分布列： (2)由(1)的分布列可得概率 【详解】(1)由已知可得随机变量X的可能取值有：3,4,5,6,7,8， 所以Px=36P(X=4- 11 =6,P(=5)= -6 8-56 P(X=6)= C 所以分布列为 X 3 6 1 3 6 10 15 21 56 56 56 56 56 56 2)由1)得P(X>5)=PX=6+PK=7HPK=8 10,15,214623 5656565628 17.(15分)盒子中装有4个红球，2个白球 ()若依次随机取出2个球，求在第一次取到红球的条件下，第二次取到白球的概率； (2)若随机取出3个球，记取出的球中白球个数为X,求X的分布列及均值. 【塔案I号 (2)分布列见解析，1 【分析】(1)分析出第一次取到红球后，盒子里还剩3个红球，2个白球，从而求出概率； (2)求出X的可能取值及对应的概率，得到分布列，计算出期望值 【详解】(1)设A=“第一次取到红球”，B=“第二次取到白球"， 第一次取到红球后，盒子里还剩3个红球，2个白球， 则P品 (2)X的可能取值为0,1,2 所以P(X=0)= C 5P(=2)-CiC1 故分布列为 X 0 2 1 3 P 5 5 5 1 E(X)=0×三+1× 5 25 3 1 5 18.(17分)某幼儿园组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回地摸球且每次只能摸取1个球，每次摸 球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为}，摸到2分球的概率为 31 (1)若小胡同学摸球3次，记随机变量X为小胡同学的总得分，求X的分布列与期望： (2)学生甲、乙各摸4次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励.已知甲前2 次摸球得了4分，求乙获得奖励的概率。 【答案】1)分布列见解析，期望为4 9 【分析】(1)依题得到X的取值，求出对应的概率，列出分布列，求得均值： (2)记An=“甲最终得分为m分”，m=6,7,8,B=“乙获得奖励”，求得P(As)和P(A,),以及P(BA6)和 P(BA),利用全概率公式计算即可得到P(B) 【详解】(1)X的所有可能取值为3,4,5,6， 所以X的分布列为： X 4 5 6 8 2 1 27 9 9 27 所以E(X)=3 8 44 5x +6× 1 27 9 9 27 =4. (2)记Am=“甲最终得分为m分”，m=6,7,8,B=“乙获得奖励”， 所以P(4s)=C 吾p)=cg 当甲是终得6分计，乙获得奖励需要爱终得7分成8分，则P因A)[写子传) 当甲最终得7分时，乙获得奖励需要最终得8分，则P心因4)得=京 所以P(B)=P(A,B)+P(AB)=P(A)×P(BA)+P(A)×P(BA) 414140 99981729 湘教版高中数学选择性必修第二册第三章概率测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知离散型随机变量Y的分布列如下： Y 0 1 2 P 则数学期望（    ） A． B． C．1 D．2 2．设随机变量．若，则（　　） A． B． C． D． 3．若随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 4．现有甲乙两个箱子，分别装有除颜色外其它都相同的黑色和白色两种球，甲箱装有2个白球3个黑球，乙箱有3个白球2个黑球，先从甲箱随机取一个球放入乙箱，再从乙箱随机取一个球是白球的概率是（    ） A． B． C． D． 5．同时抛掷一白一红两枚质地均匀的骰子，用表示白色骰子的点数，表示红色骰子的点数，设事件“”，事件“为偶数”，事件“”，则下列结论正确的是（   ） A．与对立 B． C．与相互独立 D．与相互独立 6．设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（   ） A．与B相互独立 B． C． D． 7．掷出两枚质地均匀的骰子，记事件“第一枚点数小于3”，事件“第二枚点数大于4”，则与关系为（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 8．2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕．某中学为了贯彻学习“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表队由A，B，C，D，E，F共6名成员组成，现从这6名成员中随机抽选3名参加学校决赛，在学生A被抽到的条件下，学生B也被抽到的概率为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9．甲、乙两人进行1次投篮，已知他们命中的概率分别为和，且他们是否命中相互独立，则（    ） A．恰好有1人命中的概率为 B．恰好有1人命中的概率为 C．至少有1人命中的概率为 D．至少有1人命中的概率为 10．若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．甲、乙加工同一种工件，经统计，甲加工该工件的内径（单位：）服从正态分布，乙加工该工件的内径（单位：）服从正态分布，（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若选内径不超过的工件，应选择甲加工的 D．若选内径不超过的工件，应选择乙加工的 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．现有52张扑克牌（去掉大小王），每次取一张，取后不放回，则两次都抽到A的概率为 ;在第一次抽到A的条件下，第二次也抽到A的概率是 ． 13．已知某条线路上有两辆相邻班次的BRT（快速公交车），若准点到站的概率为，在准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下不准点到站的概率为，则准点到站的概率为 . 14．某单位有，两个食堂，小李周一随机选择一个食堂用餐．如果周一去食堂，那么周二去食堂的概率为0.4；如果周一去食堂，那么周二去食堂的概率为0.6．小李周二去食堂的概率为 ． 4、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验;如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验;其他情况下，这批产品都不能通过检验． 假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元)，求X的分布列． 16．（15分）将8个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~8.现从中任取3个球，以X表示所取球的最大号码. (1)求的分布列； (2)求的概率. 17．（15分）盒子中装有4个红球，2个白球. (1)若依次随机取出2个球，求在第一次取到红球的条件下，第二次取到白球的概率； (2)若随机取出3个球，记取出的球中白球个数为，求的分布列及均值. 18．（17分）某幼儿园组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回地摸球且每次只能摸取个球，每次摸球结果相互独立，盒中有分和分的球若干，摸到分球的概率为，摸到分球的概率为. (1)若小胡同学摸球次，记随机变量为小胡同学的总得分，求的分布列与期望； (2)学生甲、乙各摸次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励.已知甲前次摸球得了分，求乙获得奖励的概率. 19．（17分）21世纪汽车博览会在上海举行．某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观与内饰的颜色分布如表所示： 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 8 12 米色内饰 2 3 现将这25个汽车模型进行编号． (1)若小明从25个汽车模型编号中随机选取一个，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B为小明取到的模型为米色内饰，求和； (2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人一次性从25个汽车模型编号中选取两个，给出以下抽奖规则：①选到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色；②按结果的可能性大小设置奖项，概率越小奖项越高；③该抽奖活动的奖金金额为一等奖600元、二等奖300元、三等奖150元．请你分析奖项对应的结果，设为奖金金额，写出的分布列，并求出的数学期望． 学科网（北京）股份有限公司 $