期中复习4大类型22个考点（举一反三期中专项训练）八年级数学上学期沪科版2024

期中复习4大类型22个考点（前3章） 【沪科版2024】 【基础概念易错篇】 2 【考点1 确定点的坐标或象限】 2 【考点2 点到坐标轴的距离】 4 【考点3 平行于坐标轴的点的坐标特征】 5 【考点4 平面直角坐标系中点的平移】 7 【考点5 平面直角坐标系中的规律探究】 8 【考点6 平面直角坐标系中的面积问题】 12 【考点7 函数的相关概念】 14 【考点8 用图象表示变量间关系】 16 【考点9 一次函数的定义】 19 【考点10 判断一次函数的图象】 21 【考点11 一次函数经过的象限】 23 【考点12 一次函数的增减性】 25 【考点13 待定系数法求一次函数解析式】 27 【考点14 一次函数的平移】 30 【考点15 一次函数与方程（组）、不等式（组）】 32 【考点16 一次函数的规律探究问题】 35 【实际应用篇】 39 【考点17 分配方案问题（一次函数的实际应用）】 39 【考点18 最大利润问题（一次函数的实际应用）】 42 【几何计算与证明篇】 46 【考点19 与折叠有关的角度的计算问题】 46 【考点20 三角形的内角和与外角的性质的综合】 50 【压轴篇】 54 【考点21 坐标与图形】 54 【考点22 一次函数中的行程问题】 60 【基础概念易错篇】 【考点1 确定点的坐标或象限】 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】∵ ， ∴， ∴点在第四象限． 故答案为：四． 2．若点在x轴上，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标，熟练掌握知识点是解题的关键．根据点在x轴上，可得，进而求解即可． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 3．如图，这是路桥区地图的一部分，如果台州路桥机场用坐标表示为，蓬街中心公园用坐标表示为，那么凤凰山公园用坐标表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系的应用，主要运用了平面直角坐标系中坐标与点的对应关系这一知识点． 本题可根据已知点的坐标，通过观察地图中各点的位置关系来确定凤凰山公园的坐标． 【详解】解：如图所示： 凤凰山公园的坐标为， 故答案为：． 【考点2 点到坐标轴的距离】 1．（24-25七年级下·重庆·期末）若不同两点和到x轴的距离相等，则实数a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解绝对值方程，点到坐标轴之间的距离． 利用不同两点到x轴的距离相等，得出，解方程求出a的值，检验是否符合题意，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， ∴或， ∴或， 当时， ，不符合题意， 当时， ，符合题意， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）已知点到x轴的距离是到y轴的距离的3倍，则a的值是 ． 【答案】3或7 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴点A到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∵点到x轴的距离是到y轴的距离的3倍， ∴， 解得或， 故答案为：3或7． 3．（24-25七年级下·河北沧州·期末）已知点，下列关于结论1,2判断正确的是（   ） 结论1：当时，点到轴的距离为2； 结论2：若点在轴的上方，且到轴的距离不大于，则这样的整数共有7个 A．结论1,2都对 B．结论1对，结论2错 C．结论1错，结论2对 D．结论1，2都错 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系点的特征、求不等式的解集，熟悉掌握点的特征是解题的关键． 分别验证结论1和结论2的正确性，结论1通过代入计算判断，结论2需结合点坐标的条件解不等式，确定整数解的个数即可． 【详解】结论1： 当时，点的坐标为，到轴的距离为纵坐标的绝对值，故结论1错误； 结论2： ∵点在轴上方，即纵坐标， ∴， ∵到轴的距离不大于，即横坐标的绝对值， ∴， 解得：， 结合，可得：， ∴整数的取值可为：，，，，，，共个，故结论2正确； 综上，结论1错误，结论2正确， 故选C． 【考点3 平行于坐标轴的点的坐标特征】 1．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）在平面直角坐标系中，已知线段和轴平行，且 ，若点的坐标为，则点的坐标可能是（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，由于线段平行于轴，点的坐标为，故点的纵坐标也为，线段的长度为，因此点的横坐标与点的横坐标相差个单位，分左右两种情况计算即可，掌握平面直角坐标系的特点是解题的关键． 【详解】解：∵线段平行于轴，点的坐标为， ∴点的纵坐标也为， ∵线段的长度为， ∴点的横坐标与点的横坐标相差个单位， ∴点的横坐标为或， ∴点的坐标可能是或， 故选：． 2．（24-25七年级下·北京·期末）已知点，，若直线与轴平行，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与轴平行的点的坐标特征，熟练掌握与轴平行的点的坐标特征是解题的关键．根据与轴平行的点的坐标特征得到，即可得到答案． 【详解】解：与轴平行的点横坐标相等， ， ， 故， 则线段的长为， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，，则直线与轴的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定（与的取值有关） 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点坐标的特征，解题的关键是根据平行线于x轴（垂直y轴）的直线上点纵坐标相同，即可得出结论． 【详解】解：∵的纵坐标相等， ∴直线轴，即直线轴， 故选：B． 4．（2025七年级下·山西·专题练习）若点，平行x轴，且，则点H的坐标为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】题目主要考查坐标与图形，理解题意，分情况分析是解题关键． 根据平行于轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． 【详解】解：由题知，因为点，平行x轴， 所以点的纵坐标为． 又因为， 所以，， 则点的坐标为或． 故选：D． 【考点4 平面直角坐标系中点的平移】 1．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）在平面直角坐标系中，已知线段和轴平行，且 ，若点的坐标为，则点的坐标可能是（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，由于线段平行于轴，点的坐标为，故点的纵坐标也为，线段的长度为，因此点的横坐标与点的横坐标相差个单位，分左右两种情况计算即可，掌握平面直角坐标系的特点是解题的关键． 【详解】解：∵线段平行于轴，点的坐标为， ∴点的纵坐标也为， ∵线段的长度为， ∴点的横坐标与点的横坐标相差个单位， ∴点的横坐标为或， ∴点的坐标可能是或， 故选：． 2．（24-25七年级下·北京·期末）已知点，，若直线与轴平行，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与轴平行的点的坐标特征，熟练掌握与轴平行的点的坐标特征是解题的关键．根据与轴平行的点的坐标特征得到，即可得到答案． 【详解】解：与轴平行的点横坐标相等， ， ， 故， 则线段的长为， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，，则直线与轴的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定（与的取值有关） 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点坐标的特征，解题的关键是根据平行线于x轴（垂直y轴）的直线上点纵坐标相同，即可得出结论． 【详解】解：∵的纵坐标相等， ∴直线轴，即直线轴， 故选：B． 4．（2025七年级下·山西·专题练习）若点，平行x轴，且，则点H的坐标为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】题目主要考查坐标与图形，理解题意，分情况分析是解题关键． 根据平行于轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． 【详解】解：由题知，因为点，平行x轴， 所以点的纵坐标为． 又因为， 所以，， 则点的坐标为或． 故选：D． 【考点5 平面直角坐标系中的规律探究】 1．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在平面直角坐标系内有点，第一次点跳动到点；第二次点跳动到点；第三次点跳动到点；第四次点跳动到点；……依此规律跳动下去，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，根据已知点的坐标寻找出点的变化规律是解题的关键； 先根据、、、的坐标，得到点的坐标的变化规律，再根据坐标规律求解即可． 【详解】解：由题意： ， ， ， ， ， ， ， ， …… ，， ∵， ∴的坐标为， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，沿点 路径运动，依此规律运动下去，则点的坐标是 ，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，根据题意推导一般性规律是解题的关键．观察坐标变化规律可知，动点A的运动轨迹呈现周期性规律，每个阶段包含四个步骤：向上、向右、向下、向左移动，移动距离随阶段数递增，根据发现的规律进行总结得出答案即可． 【详解】解：观察坐标变化规律可知，动点A的运动轨迹呈现周期性规律，每个阶段包含四个步骤：向上、向右、向下、向左移动，移动距离随阶段数递增， 阶段的移动距离为：上、右、下移动距离均为，左移动距离为，每个阶段结束时，点位于x轴负方向，坐标为， 每个阶段包含4个点，阶段对应点到， 阶段的移动： 的坐标为； ， 属于阶段的第一个点， 阶段的起始点坐标为， ， 的坐标为， 故答案为：；． 3．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，某点从原点出发，向右平移个单位长度到达，再向上平移个单位长度到达，再向左平移个单位长度到达，再向下平移个单位长度到达，再向右平移个单位长度到达，，按此规律进行下去，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，规律型问题，根据题意可得，，，，，，，，，则有，则有点的坐标是，解题的关键是学会探究规律的方法． 【详解】解：由题意可得，，，， ，，，， ， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·河南濮阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A从依次跳动到，，，，，，，，，，……，按此规律，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由图象与点坐标可知，每跳动10次，点的横坐标增加4，纵坐标按0，1，1，0，0，3，3，0，，循环出现，由，可得，求解作答即可． 【详解】解：由题意知：每跳动10次，点的横坐标增加4，纵坐标按0，1，1，0，0，3，3，0，，循环出现， ， ， 即， 故选：A． 5．（24-25七年级下·山东日照·期末）如图，点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依次规律跳动下去，则点第次跳动至点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查规律型点的坐标，解题的关键在于理解题意找到规律，根据题意找到直角坐标系中的点的规律即可得到答案． 【详解】解：设第次跳动至点， ，，，，，，，，，⋯ ∴，，，， ∵， ∴，即， 故选：D． 【考点6 平面直角坐标系中的面积问题】 1．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知和两点，且与坐标轴围成的三角形的面积等于20，则a的值为（   ） A．2 B．2或 C．0或2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形性质，根据三角形的面积结合列出关于a的含绝对值符号的一元一次方程是解题的关键．根据点A、B的坐标可找出、的长度，再根据三角形的面积公式结合即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵和， ∴在轴上，在轴上，且，， ∴， 即， 解得：或． 故选：B． 2．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）如图三角形顶点坐标分别是、、，那么它的面积等于 ． 【答案】20 【分析】此题主要考查了坐标与图形性质，结合图形求解是解题关键． 根据网格及坐标系求解三角形的面积即可． 【详解】解：三角形的面积为：， 故答案为：20． 3．（24-25七年级下·广东中山·期末）已知点，，点B在x轴正半轴上，且三角形的面积等于3，则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形． 先设，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵点B在x轴正半轴上， ∴可设， ∵三角形的面积等于3， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 4．在平面直角坐标系中，已知点，，，，已知三角形的面积是三角形面积的2倍，则m的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．14或 【答案】D 【分析】本题考查三角形的面积，坐标与图形，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键．根据三角形的面积关系列出方程解题即可．先根据点A、B的横坐标相等得出轴以及的长，再根据三角形面积之间的关系得出关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵三角形的面积是三角形面积的2倍， ∴， 解得：或， 故选D． 【考点7 函数的相关概念】 1．在一次试验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 8 10 12 14 16 18 下列说法错误的是（　　） A．所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量 B．不挂物体时，弹簧的长度为 C．弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系式是 D．在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为 【答案】C 【分析】本题考查函数的表示方法、常量与变量、函数关系式等知识点，掌握自变量与因变量的定义、根据“弹簧的长度=不挂物体时弹簧的长度+所挂物体质量增加弹簧的伸长量×所挂物体的质量”写出y关于m的关系式是解题的关键． 根据自变量与因变量的定义可判断A选项；根据表格中的数据可判断B选项； 根据“弹簧的长度=不挂物体时弹簧的长度+所挂物体质量增加1kg弹簧的伸长量×所挂物体的质量”计算即可判断C选项；将代入y关于m的关系式，求出对应的y值即可判断D选项． 【详解】解：A．所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量，故A正确，不符合题意； B．当时，，则不挂物体时，弹簧的长度为，故B正确，不符合题意； C．由表格可知，所挂物体质量增加，弹簧的长度增加，根据“弹簧的长度=不挂物体时弹簧的长度+所挂物体质量增加1kg弹簧的伸长量×所挂物体的质量”，得，故C错误，符合题意； D．将代入，得，故D正确，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）下列各图表示的函数是y不是x的函数的（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义，对于每一个x值，y都有唯一的值与之对应，解答即可． 本题考查了函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得B图象中，对于每一个x值，y有两个值与之对应，不符合函数的定义， 故选：B． 3．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数中自变量的取值范围，分式有意义的条件． 直接根据分式有意义的条件作答即可． 【详解】解：根据分式有意义的条件可得：， ∴ 即自变量的取值范围是， 故选：C． 4．一天中午，小宇放学，立即骑自行车回家吃午餐，吃好午餐后返回到学校．小宇离学校的距离y（千米）与时间x（分钟）的关系如图所示．则小宇离学校的距离为 千米． 【答案】1.8 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，求出小宇返回学校时的速度，再根据路程等于速度乘以时间进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，小宇返回学校时的速度为（千米/分钟）， （分钟）， ∴小宇离学校的距离为（千米）； 故答案为：1.8 【考点8 用图象表示变量间关系】 1．如图，小亮在操场上玩，一段时间内沿的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发点的距离与时间之间关系的函数图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查动点问题的函数图象，准确分析出各部分情况下y随x的变化情况是解题关键． 理解题意，分别讨论点M在上、半圆上、以及上时，y随x的变化情况即可． 【详解】解：由题意：当点M在上时，y随x的增大而增大； 当点M在半圆上时，y不变，等于半径； 当点M在上时，y随x的增大而减小． ∴选项C符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）将一个高为的圆柱形杯子，放入一个高为的长方体容器中，现向长方体容器中匀速注水，长方体容器中水面高度与注水时间之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象，理解题中两个变量间的关系是解题关键．由题意可得：杯中水满之前，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较快，杯中进水到杯中水满之前，长方体容器中水的高度不变为，杯中水满之后，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较慢，从而可得答案. 【详解】解：由题意知，杯中水满之前，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较快，杯中进水到杯中水满之前，长方体容器中水的高度不变为，杯中水满之后，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较慢， ∴符合题意的图象是B选项中的图象． 故选：B． 3．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，t表示时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，根据乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况即可得到答案，读懂题意，文字转化为数学图象语言是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，图象中与故事情节相吻合的是选项， 故选：． 4．如图，在四边形中，动点P从点A开始沿A→B→C→D的路径匀速前进到D为止．在这个过程中，的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是函数图象，解题的关键是根据点P到直线的距离来判断S与t的关系．根据点P的运动过程可知：的边始终不变，点P到直线的距离为的高，根据高的变化即可判断S与t的函数图象． 【详解】解：设点P到直线的距离为h， ∴的面积为：， 当P在线段运动时，此时h不断增大，S也不断增大； 当P在线段上运动时，此时h不变，S也不变； 当P在线段上运动时，此时h不断减小，S不断减少； 又因为匀速行驶且，所以在线段上运动的时间大于在线段上运动的时间． 故选：C． 【考点9 一次函数的定义】 1．下列函数中，是的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数“一般地，形如（是常数，）的函数，叫做正比例函数”，熟练掌握正比例函数的定义是解题关键．根据正比例函数的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是正比例函数，则此项不符合题意； B、是正比例函数，则此项符合题意； C、不是正比例函数，则此项不符合题意； D、不是正比例函数，则此项不符合题意； 故选：B． 2．表示变量之间关系的函数解析式有①，②，③，④，其中一次函数是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数的一般形式（k，b为常数且），逐一判断即可解答． 【详解】解：表示变量之间关系的函数解析式有①，②，③，④，其中一次函数是①④， 故选：D． 3．（25-26八年级上·四川巴中·阶段练习）若函数（为常数）是一次函数，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如的式子，就叫做是的一次函数，据此进行列式得，计算得出，即可作答． 【详解】解：∵函数（为常数）是一次函数， ∴， 解得， 故答案为：． 4．若是正比例函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，求代数式的值，熟练掌握定义是解题的关键．根据题意，得，据此解答即可． 【详解】解：是正比例函数， 得， 解得， 故， 故 故答案为：． 【考点10 判断一次函数的图象】 1．（24-25八年级下·云南保山·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；当，图象与y轴的正半轴相交，当，图象与y轴的负半轴相交，当，图象经过原点，据此求解即可． 【详解】解：∵中， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴函数图象与y轴的负半轴相交， ∴一次函数经过第一，三，四象限． 故选：C． 2．（24-25八年级下·云南丽江·期末）下列表示一次函数（是常数，且）的图象与正比例函数的图象可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与正比例函数图象的综合判断，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质以及正比例函数的图象与性质． 分别对每个选项中一次函数中的与正比例函数中的的符号进行判断是否一致即可． 【详解】解：A、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； B、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； C、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； D、由图象可得一次函数中，正比例函数中，正确，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图像，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键； 根据函数解析式求得该函数的性质，然后结合选项即可求解； 【详解】解：∵函数， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 结合选项，只有D符合， 故选：D； 4．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则直线的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键，根据函数的图象经过第一、二、四象限，得到，从而得到，再根据一次函数的性质判断的图象． 【详解】解：∵函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴的图象过第一、二、三象限， 故选：B． 【考点11 一次函数经过的象限】 1．一次函数的函数值y随x的增大而增大，它的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，y随x的增大而增大时，，由常数项，可得它的图象经过第一、二、三象限，由此可解． 【详解】解：一次函数的函数值y随x的增大而增大， ， 函数图象与轴的交点坐标为， 图象经过第一、二、三象限， 它的图象不经过的象限是第四象限， 故选：D． 2．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）若一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解一元一次不等式组，掌握一次函数的图象和性质是正确解答的前提，列不等式（组）是解题的关键． 由一次函数的图象不经过第二象限，可得，，列不等式组求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴ 解得：， 故选：D． 3．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图向上平移个单位后，与直线的交点在第一象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】向上平移个单位后，得到新解析式为，直线于坐标轴的交点为，，当直线过，确定m的值，后确定范围即可． 本题考查了一次函数的平移，直线与坐标轴的交点，熟练掌握平移是解题的关键． 【详解】解：向上平移个单位后，得到新解析式为， 又直线于坐标轴的交点为，， 当直线过，时，解得，， 故与直线的交点在第一象限的的取值范围是． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，点，，，为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象一定不经过点 ．(填“”或“”或“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据一次函数解析式可得一次函数图象不经过第一象限，即可求解． 【详解】解：一次函数的，， 一次函数图象不经过第一象限， 一次函数图象不过点． 故答案为：． 【考点12 一次函数的增减性】 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）若点和点是一次函数（m，t为常数且）的图象上的两点，当时，m的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据且，判定即，自主选择即可． 本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据且，判定，即， 故， 故答案为：1（答案不唯一）． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）对于一次函数，下列叙述正确的是（    ） A．当时，函数图象经过第一、二、三象限 B．当时，随x的增大而减小 C．函数图象一定经过点 D．当时，函数图象一定交于y轴的正半轴 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的性质，逐一分析即可得出答案，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：A、当时，， ， 当时，，图象经过一、三象限， 当时，，图象经过一、二、三象限， 当时，，图象经过一、三、四象限，故A不符合题意； B、当时，，函数随的增大而增大，故B不符合题意； C、将代入函数，得，即函数图象经过点，故C不符合题意； D、当时，，即图象与轴交于正半轴，故D符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）已知为直线上的三个点，且 ，以下判断正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，掌握一次函数的增减性成为解题的关键． 根据一次函数的增减性，逐项分析判断即可解答． 【详解】解：在直线中，，故随增大而减小．由，得． A．若，则、同号．当两者均为正时，，此时可能为负，导致，故A错误，不符合题意； B．若，则，．若，则可能为负，导致，故B错误，不符合题意； C．若，则、同号．当两者均为正时，可能为负，此时而，导致，故C错误，不符合题意； D．若，则，．由，得，故，，因此，D正确，符合题意． 故选D． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数的图象不经过第三象限，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 根据一次函数的图象不经过第三象限得，，所以随的增大而减小，故当时，取最大值，当时，取最小值，再根据的最大值与最小值的差为，列出等式，解出的值即可． 【详解】解：一次函数的图象不经过第三象限， ，， 随的增大而减小， 当时，，当时，， 当时，的最大值与最小值的差为， ， 解得：， 故答案为：． 【考点13 待定系数法求一次函数解析式】 1．已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，求此一次函数的图象与y轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，根据两直线平行，得到，待定系数法求出函数解析式，进而求出时的函数值，即可得出结果． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点，且与直线平行， ∴， 把代入，得：，解得：， ∴， ∴当时，， ∴此一次函数的图象与y轴的交点坐标为； 故答案为：． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知直线经过点，则该函数的图象经过（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵直线经过点， ∴，解得， ∴一次函数解析式为， A、当时，，故点在一次函数图象上，符合题意； B、当时，，故点不在一次函数图象上，不符合题意； C、当时，，故点不在一次函数图象上，不符合题意； D、当时，，故点不在一次函数图象上，不符合题意； 故选：A． 3．已知：与成正比例，且时，；则y与x之间的函数关系式为 ；当时， ；当时， ． 【答案】 9 【分析】本题考查利用待定系数法求函数解析式，求自变量和函数值．理解与成正比例的含义是解题关键．根据题意可设与之间的函数关系式为，再将，代入，解出k的值即可求出答案；将代入所求出的函数关系式计算即可；将代入所求出的函数关系式，解出x即可． 【详解】解：∵与成正比例， ∴可设与之间的函数关系式为． ∵时，， ∴， 解得：， ∴与之间的函数关系式为，即； 将代入，得， 故时，的值为9； 将代入，得， 解得：． 时，的值为． 故答案为：；9；． 4．（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）如图，函数的图像与x轴、y轴分别交于点A，B，若直线将分为面积比为的两部分，则直线的函数表达式为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】此题考查了一次函数和几何综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式．先求出，设点C的坐标为，则，根据直线将分为面积比为的两部分列出方程，求出或，得到点C的坐标，再用待定系数法求出直线的函数表达式即可． 【详解】解：当时，，解得， 当时，， ∴， ∴， 设点C的坐标为，则， ∵直线将分为面积比为的两部分， ∴或 ∴或 ∴或 解得或 当时，点C的坐标为, 设直线的函数表达式为，把，代入得到， 解得 ∴直线的函数表达式为， 当时，点C的坐标为， 同理可得，此时直线的函数表达式为， 综上可知，直线的函数表达式为或， 故选：C 【考点14 一次函数的平移】 1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向上平移2个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．根据平移的规律得到平移后直线的解析式为，然后把原点的坐标代入求值即可． 【详解】解：将一次函数的图象向上平移2个单位后，得到， 把代入，得到：， 解得． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）将直线向上平移3个单位，再向右平移2个单位，则所得直线的解析式是（    ） A．； B．； C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图象的平移规律，属于基础题型，熟练掌握和运用平移规律是做题的关键．根据平移规律“左加右减，上加下减”，即可求出平移后的函数解析式． 【详解】解：由平移得直线的解析式为， ． 故选：C． 3．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）一次函数的图象向左平移m个单位正好经过原点，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】主要考查了一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 根据平移的规律得到平移后一次函数的解析式为，然后把原点的坐标代入求值即可． 【详解】解：一次函数的图象向左平移m个单位后得到， 把代入，得到：， 解得． 故选：A． 4．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，点，，在平面直角坐标系中，将直线向上平移n个单位长度，当平移后的直线与折线只有一个交点时，满足条件的整数n有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征．求得平移后的直线解析式，求得直线过点B、C时的n的值，结合图象即可求得当平移后的直线与折线只有一个交点时，则或，整数n有2，3，5共3个． 【详解】解：将直线向上平移n个单位长度，得到直线， 把代入得，，解得， 把代入得，，解得， 由图象可知，当平移后的直线与折线只有一个交点时， 则或， ∴满足条件的整数n有2，3，5共3个． 故答案为：3． 【考点15 一次函数与方程（组）、不等式（组）】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知方程的解是，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与一元一次方程之间的关系，正确理解一次函数的图象与一元一次方程之间的关系是解题的关键．由题意知函数的图象与x轴的交点坐标为，即得答案． 【详解】解：因为方程的解是， 所以函数的图象与x轴的交点坐标为， 所以C选项符合题意． 故选：C． 2．如图，已知函数的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用一次函数图象解不等式，数形结合，不等式的解集为函数的图象在函数的图象的上方时x的范围，据此即可求解． 【详解】解：不等式表示函数的函数值大于函数的函数值， 即函数的图象在函数的图象的上方， 由图可知，当时，函数的图象在函数的图象的上方， 故不等式的解集是， 故选：C． 3．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图中的两直线的交点坐标可以看作哪个方程组的解（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程，解题的关键是掌握待定系数法求出两条直线的解析式．根据图象，用待定系数法求出两条直线的解析式即可得到答案． 【详解】解：由图象可知：直线经过点， 设直线的解析式为，把代入，得：， 解得：， ∴； 直线过点，设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， ∴两直线的交点坐标可以看作是的解； 故选A． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）一次函数与的图象如图，则下列结论： ①关于x的方程的解是；②函数不经过第一象限；③关于x的不等式的解集是．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数与一元一次不等式的关系，结合图象求解即可． 本题考查了一次函数的性质，一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数与一元一次不等式的关系．熟练掌握相关知识，和数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：①∵，， 当时，， 则， 由图知一次函数与的图象的交点的横坐标为3， ∴关于x的方程的解是， 故①正确； ②由图知，，， ∴函数经过二、三、四象限，不经过第一象限， 故②正确； ③由图知，时，直线在直线的下方， ∴关于x的不等式的解集是， 故③正确． 综上，正确的是①②③， 故答案为：①②③． 【考点16 一次函数的规律探究问题】 1．如图，在平面直角坐标系中，都是等腰直角三角形，点都在x轴上，点与原点重合，点都在直线上，点C在y轴上，轴，轴，若点A的横坐标为，则点的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】分别求出，探究规律，利用规律解决问题即可．本题考查等腰直角三角形的性质，一次函数的应用，规律型问题等知识，找规律是关键． 【详解】由题意，可得， 设，则，解得， ， 设，则，解得， ， 设，则，解得， ， 同法可得的纵坐标为， 点的纵坐标是． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确找出规律是解题的关键．依据题意，观察横坐标变化规律，根据规律求解即可． 【详解】解：，点在直线上， ， 轴， 点的纵坐标为1， 点在直线上， ， ， ，即点的横坐标为， 同理可得，点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 点的横坐标为， 令， ， 点的横坐标为， 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点、、、…，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（    ） A． B． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质及点的坐标的规律，根据点的坐标的变化找出变化规律（为正整数）是解题的关键．根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点，的坐标，同理可得出、、、…及、、、…的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律为（为正整数），依此规律即可得出结论． 【详解】解：直线l：与x轴交于点， ∴当时，， ∴， ∵为正方形， ∴， 同理可得：，，，…， 、、、… ∴（为正整数）， ∴点的坐标为 故选：A． 4．如图，，，，……，都是等腰直角三角形．其中点，，……，在x轴上，点，，……，在直线上．已知，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，利用，逐次求出，，，，据此可得，由此即可求解． 【详解】解：∵，点，，……，在x轴上，点，，……，在直线上， 则，， 则，则，则， ，则， ……， 以此类推可得 则， 故选：B． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，以及点坐标规律探索，通过计算找到规律是解题的关键． 【实际应用篇】 【考点17 分配方案问题（一次函数的实际应用）】 1．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货． (1)每辆大货车和每辆小货车一次各可以运货多少t？ (2)现在租用这两种货车共10辆，要求一次运输货物不低于，一辆大货车一次运货的费用为520元，一辆小货车一次运货的费用为400元，请设计一种运货方案，使总运费最低，最低总运费是多少？ 【答案】(1)1辆大货车一次可以运货，1辆小货车一次可以运货 (2)使总运费最少的运货方案是：租用大货车4辆，小货车6辆，最低总运费为4480元 【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组，不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设每辆大货车一次运货x吨，每辆小货车一次运货y吨，根据2辆大货车与3辆小货车一次可以运货，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货列出方程组，解之即可； （2）设大货车辆，根据运输的总货物不少于，列出不等式组，结合为整数，得， 根据一辆大货车一次运货的费用为520元，一辆小货车一次运货的费用为400元，进行列式，再结合一次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：设1辆大货车一次运货x吨，1辆小货车一次运货y吨， 根据题意可得：， 解得：， ∴1辆大货车一次可以运货，1辆小货车一次可以运货 （2）解：设大货车辆，总运费为元， 则小货车辆， 依题意，得， 解得， ∵为整数， ∴， 则， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最小，且为（元）， 小货车：（辆）， ∴使总运费最少的运货方案是：租用大货车4辆，小货车6辆，最低总运费为4480元 2．A校和B校分别有库存电脑14台和8台，现决定支援给C校12台和D校10台．已知从A校调运一台电脑到C校和D校的运费分别为40元和10元；从B校调运一台电脑到C校和D校的运费分别为30元和20元． (1)设A校运往C校的电脑为x台，则A校运往D校的电脑为____台；B校运往C校的电脑为______台，B校运往D校的电脑为______台； (2)求总运费W（元）关于x的函数关系式； (3)求出总运费W最低的调运方案，最低运费是多少? 【答案】(1)，， (2)（，且为整数） (3)A校运4台电脑到C校，运10台电脑到D校；B校运8台电脑到C校，运0台电脑到D校，最低费用为500元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）根据表格即可填空； （2）利用总费用等于A校运往学校的费用加上B校运往学校的费用即可求解函数关系式； （3）利用一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设A校运往C校的电脑为x台，则A校运往D校的电脑为台；B校运往C校的电脑为台，B校运往D校的电脑为台， 故答案为：；；； （2）解：由题意得， （，且为整数） （3）解：∵，， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最小， ∴最低运费是（元）， 总运费最低的调运方案为：A校运往4台电脑到C校，运往10台电脑到D校；B校运往8台电脑到C校，运往0台电脑到D校． 答：最低运费为元，总运费最低的调运方案为：A校运4台电脑到C校，运10台电脑到D校；B校运8台电脑到C校，运0台电脑到D校． 3．（24-25八年级下·广东肇庆·期末）2025年，在国家实行报废补贴、以旧换新利好政策的推动下，李明的爸爸准备换车，看中了两款价格相同的国产车，请帮李明父子解决以下问题： 燃油车 油箱容积：40升 油价：元/升 续航里程：m千米 每千米行驶费用： 元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：m千米 每千米行驶费用： ______元 (1)用含m的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用； (2)若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为4000元和7200元，设一年内李明爸爸的行驶里程为x千米，燃油车和纯电动汽车所需的年费用分别为和元，请分别写出和关于x的函数表达式（年费用=年行驶费用+年其它费用），假如你是李明，你会给爸爸提出怎样的购车建议？ 【答案】(1) (2)①燃油车每千米行驶费用为元，纯电动汽车每千米行驶费用为元； ②，，建议：若行驶里程小于5000千米，则买燃油车； 若行驶里程等于5000千米，则两种均可； 若行驶里程大于5000千米，则买纯电动汽车. 【分析】本题考查列代数式，分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）根据表中的信息，可以表示纯电动汽车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比纯电动汽车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； ②根据①中结论结合题意直接列出表达式，比较两表达式，即可提出建议． 【详解】（1）解：纯电动汽车的每千米行驶费用为：元， 故答案为：元； （2）①由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 元，元， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，纯电动汽车的每千米行驶费用为元； ②由题意得：；． 当，即时，解得； 当，即时，解得； 当，即时，解得； 建议：若行驶里程小于5000千米，则买燃油车； 若行驶里程等于5000千米，则两种均可； 若行驶里程大于5000千米，则买纯电动汽车. 【考点18 最大利润问题（一次函数的实际应用）】 1．（25-26八年级上·安徽六安·阶段练习）某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元. (1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？ (2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共300个，且甲种型号头盔的购进数量最少为150个，甲种型号头盔的购进数量不超过乙种型号头盔的2倍，已知甲种型号头盔每个售价为65元，乙种型号头盔每个售价为70元，设甲种型号头盔购进了个，全部售出后的利润为元. ①求的最大值. ②受原材料和工艺调整等影响，商场实际采购时，甲种头盔进货单价上调了元，同时乙种头盔进货单价下调了元，该商场决定不调整两种头盔的售价，发现将300个头盔全部卖出获得的最低利润是4200元，求的值. 【答案】(1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元，元； (2)①；② 【分析】此题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数的应用，根据题意正确列出二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数是关键． （1）设甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元，根据题意列出方程组解方程组即可； （2）①设甲种型号头盔购进了个，则甲种型号头盔购进了个，根据题意得到，求出，根据一次函数的性质进行解答即可；②列出一次函数解析式，分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元， 则， 解得 答：甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元，元； （2）①设甲种型号头盔购进了个，则乙种型号头盔购进了个， ∴， 由题意可得， 解得， ∵，其中，， ∴随着x的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为． ②由题意可得，， ∵， ∴当即时，随着x的增大而增大，当时，w取得最小值，最小值为， ∴， 解得， 当即时，随着x的增大而减小，当时，w取得最小值，最小值为， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴． 2．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）某无人机配件销售公司有A和B两种配件，其进价和售价如表． 种类 A配件 B配件 进价（元件） a 80 售价（元件） 300 100 已知用12800元可购进A配件40件和B配件30件． (1)求的值； (2)若该无人机配件销售公司某次购进A种配件和B种配件共300件，并全部售出，且本次销售获得的总利润为y元，购进的A种配件为x件． （）请写出y与x之间的函数表达式；（利润售价－进价） （）根据市场销售分析，B种配件购进件数不低于A种配件的2倍，问怎样购进配件才能使本次销售获得的总利润最大？最大总利润是多少元？ 【答案】(1)a的值为260 (2)（）；（）购进A种配件100件、B种配件200件才能使本次销售获得的总利润最大，最大总利润是8000元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，正确理解题意，运用函数模型解题是关键． （1）根据题意列一元一次方程求解即可； （2）（）根据题意列出函数关系式即可； （）根据题意列不等式求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 答：a的值为260． （2）解：（）根据题意，得， 所以y与x之间的函数表达式为； （）根据题意，得， 解得， 由（）知， 因为， 所以y随x的增大而增大， 因为， 所以当时，值最大，，（件）， 答：购进A种配件100件、B种配件200件才能使本次销售获得的总利润最大，最大总利润是8000元． 3．（2025·河南南阳·二模）据灯塔专业版数据，截止2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店购进了A、B两种哪吒玩偶．已知A种哪吒玩偶每个的进价为40元，售价为56元；B种哪吒玩偶每个的进价为30元，售价为45元． (1)第一次店家用1100元钱购进了A，B两款哪吒玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个． (2)第二次进货时，规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，店家计划购进两款哪吒玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)A款哪吒玩偶购进20个，B款哪吒玩偶购进10个 (2)按照A款玩偶购进10个，B款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是460元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，设A款哪吒玩偶购进x个，则B款玩偶购进个，得到，进而计算可以判断得解； （2）依据题意，设A款哪吒玩偶购进a个，则B款哪吒玩偶购进个，获利y元，则，又A款哪吒玩偶进货数量不得超过B款哪吒玩偶进货数量的一半，则，得，又，再结合一次函数的性质即可判断得解． 【详解】（1）由题意，设A款玩偶购进x个，则B款玩偶购进个， ∴， 解得． ∴（个）． 答：A款哪吒玩偶购进20个，B款哪吒玩偶购进10个． （2）解：由题意，设A款哪吒玩偶购进a个，则B款哪吒玩偶购进个，获利 y元， ∴． ∵A款哪吒玩偶进货数量不得超过B款哪吒玩偶进货数量的一半， ∴ 解得 ∵ ∴， ∴y随a的增大而增大． ∴时，y最大． ∴B款哪吒玩偶购进（个）． 答：按照A款玩偶购进10个，B款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是460元． 【几何计算与证明篇】 【考点19 与折叠有关的角度的计算问题】 1．（24-25七年级下·吉林长春·期末）在中，，，，将沿某条直线折叠，使三角形的顶点与重合，折痕为． (1)试求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)14 (2) 【分析】（1）根据折叠的性质，得，再根据三角形的周长，解答即可． （2）根据，不妨设，根据折叠的性质，得，根据，利用三角形内角和定理列方程解答即可． 本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解方程，三角形周长，熟练掌握性质，解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得， ∵的周长是， ∴的周长是， ∵，， ∴． 故的周长为14． （2）解：∵，不妨设， 根据折叠的性质，得， ∴， ∵， ∴， 解得， 故． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，． (1)求证：． (2)若恰好平分，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、折叠的性质． 根据折叠的性质可知，根据平角的定义可以求出，从而可求，根据内错角相等，两直线平行，可证结论成立； 根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可以求出，根据角平分线的定义可以求出，根据三角形内角和定理可以求出的度数． 【详解】（1）证明：由折叠可知， ， ， ， ， ； （2）解：是的外角， ， ， ， 平分， ， 在中，， ． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，将长方形纸片沿和折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角，点，的对应点分别为点，，折叠后点，的对应点恰好都在点E． (1)若折痕角，求帽子顶角的度数； (2)设度，度． ①请用含的代数式表示，则________； ②当时，帽子比较美观，求此时的值． 【答案】(1) (2)①；②108 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质、三角形内角和定理、一元一次方程的应用，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）由得，由折叠的性质得，利用平角的定义求出的度数，根据轴对称的性质得，最后在中利用三角形内角和定理即可求解； （2）由和推出，由轴对称的性质得，在中利用三角形内角和定理即可求解；②由（1）得，由①得度，利用平角的定义表示出的度数，结合求出的值，即可求出此时的值． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， ， 由折叠的性质得，， ， 由轴对称的性质得，， ， 帽子顶角的度数为． （2）解：①， ， ， ， ， 由轴对称的性质得，， 设度，度， 度， 在中，， ， 故答案为：； ②由（1）得，， 由①得，度， 度， ， ， 解得：， ， 的值为108． 【考点20 三角形的内角和与外角的性质的综合】 1．如图，是的高，、是的角平分线，且． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，由题意可得，再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）由三角形外角的定义及性质计算得出的度数，再由三角形内角和定理计算得出的度数，然后由角平分线的定义可得，即可得解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴； （2）解：由题意可知：， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，点A，B分别在射线上运动（不与点O重合），分别是和的平分线，延长交于点G． (1)若，求的度数； (2)若，则= °；（用含的代数式表示） (3)如图，若，过点作 交于点，求与的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义、三角形外角的性质计算，得到答案； （2）仿照（1）的解法解答； （3）根据平行线的性质得到，根据（2）的结论解答． 【详解】（1）解：， ． 分别是和的平分线， ， 是的外角， ； （2） ， ． 分别是和的平分线， ， 是的外角， ， 故答案为：； （3）， ． ． 由（）得． ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 3．（24-25八年级上·河南信阳·期末）在中，平分，． (1)如图，若于点，，，则的度数为______； (2)如图，若于点，猜想并写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，设，，当点在射线上时不与点重合，且于点，直接写出的度数为： ______用含、的式子表示． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3)． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，三角形外角性质，垂直的定义的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）利用三角形内角和求出，结合角平分线定义求出，再结合垂直定义、以及三角形内角和求出，最后根据求解，即可解题； （2）根据题意，结合图形，用、表示出，利用角平分线，表示出，仿照第（1）题，表示出，即可得到结果； （3）结合图形，用，表示出，利用角平分线，表示出，利用是的外角，表示出，同时也是的外角，即可得到结果． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （3）解：如图，，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 即的度数为， 故答案为：． 【压轴篇】 【考点21 坐标与图形】 1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）在边长为1的正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，在网格中，作出格点，使与全等，且写出点D的坐标．（作出一个符合要求的即可） 【答案】图见解析，点D的坐标为或或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定，根据网格的特点可证明，，再根据坐标系得到的坐标即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在和中， ， ∴， ∴符合题意， 同理可证明， ∴都符合题意， 综上所述，符合题意的点D的坐标为或或． 2．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）如图，在平面直角坐标系中，，且满足，过点B作直线轴，点P是直线m上一动点，连接AP，过点B作交y轴于C点，分别平分，． (1)填空：__________，__________． (2)在点P的运动过程中，的度数是否变化？若不变，请求出它的度数；若变化，请说明理由； (3)若点P的纵坐标为，连接交y轴于点H． ①求点H的坐标； ②点Q在y轴上，若，求出Q点坐标． 【答案】(1)，2 (2)的度数不变，，理由见解析 (3)①；②Q点的坐标为或 【分析】本题主要考查了非负数的性质、坐标与图形的性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）如图：过点D作，则，即，易得，如图：过点O作， 同理：，进而完成解答． （3如图，设交y轴于点H，易得，根据列方程可得，即；，易得，进而确定点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． 故答案为：，2． （2）解：的度数不变，，理由如下： 如图：过点D作，则， ∴， ∴， 如图：过点O作， 同理：， ∴． （3）解：如图，设交y轴于点H， ∵点P的纵坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴Q点的坐标为或． 3．如图1，在平面直角坐标系中，，，其中a的平方是4，b是4的平方根，且，过点C作轴于点B． (1)求三角形的面积； (2)如图2，过点B作交y轴于点D，且，分别平分、，求的度数； (3)在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)45度 (3)存在，或 【分析】本题是三角形的综合题，考查了坐标与图形性质，非负数的性质，角平分线的定义，也考查了平行线的性质和三角形面积公式． （1）根据题意，解得，，则，，然后根据三角形面积公式计算； （2）作，如图②，则，根据平行线的性质得，，则，而，，所以，于是，则； （3）根据面积之间关系列代数式，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ，， ，， 又∵， ∴，， ，， 轴， ，， ， 故答案为：4； （2）作，如图， ， ， ，， ， ，分别平分，， ，， ， ， ， ， ； （3）存在．当点在轴正半轴上时，如图所示， 设点的坐标为，分别过，，作轴，轴，轴，交于点，， 由（1）知， ，易知，，，， ， 解得， 当点在轴负半轴上时，如图所示， 分别过点，，作轴，轴，轴，交于点，， 设点的坐标为， ，，，，， ， 解得， 综上所述，点的坐标为或． 【考点22 一次函数中的行程问题】 1．（25-26九年级上·天津红桥·阶段练习）已知小华家、文具店、书店依次在同一条直线上，文具店、书店离小华家的距离分别为．小华从家出发，先匀速骑行到达书店，在书店停留了，之后匀速骑行到达文具店，在文具店停留后，再匀速骑行返回家．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间/min 4 15 23 30 小华离家的距离/km 1 ②填空：小华从文具店返回家的速度为______； ③当时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)若小华的哥哥与小华同时离开书店，小华的哥哥匀速步行直接返回家，他到家的时间比小华到家的时间晚．在从书店返回家的过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为，小华的哥哥离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①②③当时，；当时，；当时，． (2) 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． （1）①根据图象及速度路程时间和路程速度时间计算即可； ②根据速度路程时间计算即可； ③利用一次函数待定系数法计算即可； （2）写出与之间的函数关系式，求出两函数的交点的横坐标并根据图象得出当时，的取值范围即可． 【详解】（1）解：①小华从家出发，先匀速骑行到达离家的书店， 则速度为， ∴4分钟时离家， 由图象知，在4分钟到分钟时，小华一直停留在书店， ∴分钟时离家， 由图象知，在30分钟时，小华在距家远的文具店， ∴30分钟时离家； 故答案为：； ②由图象知，小华从文具店返回家的时间是分钟，距离是， ∴小华从文具店返回家的速度为； 故答案为：0.2； ③当时， 设直线解析式为，代入得： ， ， ∴解析式为：， 当时，， 当时， 设直线解析式为，代入得： ， 解得， ∴解析式为：， 综上所述，当时，；当时，；当时，； （2）解：当时， ， 当时， 设，代入得： ， 解得， ∴解析式为：， 设，代入得： ， 解得， ∴解析式为：， 令得： ， ， ， ， 由图象知，当时，． 2．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）小明元旦从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小明到达商店比妈妈返回商店早5分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为（分钟），图1表示两人之间的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象；图2中的线段表示小明和商店之间的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象的一部分． 请根据所给信息，解答下列问题： (1)妈妈骑车的速度是___________米/分钟，妈妈在家装载货物所用时间是___________分钟，点的坐标是___________ (2)请求出图2中线段表示的小明和商店的距离（米）与时间（分钟）之间的函数关系式，并指明自变量的取值范围；在图2中画出妈妈和商店的距离（米）与时间（分钟）之间的函数关系的图象． 【答案】(1)120；5； (2)；见解析 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，由图象获取正确的信息，利用待定系数法求一次函数解析式是解题关键． （1）先求出小明步行的速度，然后即可求出妈妈骑车的速度；先求出妈妈回家用的时间，然后根据小明到达商店比妈妈返回商店早5分钟， 即可求出装货时间；根据题意和图象可得妈妈在点时开始返回商店，然后即可求出的坐标； （2）待定系数法求得出的解析式；进而分①当时，②当时，③当时， 三段，求出妈妈和商店的距离（米）与时间（分钟）之间的函数解析式，根据解析式画图即可； 【详解】（1）由题图2知，小明步行的速度为（米/分钟）． 由题图1知，10分钟时，小明和妈妈相遇， 妈妈骑车的速度为（米/分钟）． 妈妈回家用时为（分钟）． 小明到达商店比妈妈返回商店早5分钟， 妈妈在35分钟时返回商店． 装货时间为（分钟）． 由题图1知，点表示妈妈装完货要从家返回商店时，小明和妈妈之间的距离． 点的横坐标为． 点的纵坐标为． 点的坐标为． 故答案为：120；5； （2）设与之间的函数关系式为． 将点，代入，得 解得， ①当时，； ②当时，； ③当时，设此段函数解析式为， 将点，代入得， 解得， 此段函数解析式为． （米）与时间（分钟）之间的函数关系的图象如下： 3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）甲、乙两地相距．慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发后快车也从甲地出发，沿同一路线匀速驶往乙地，两车同时到达乙地后，慢车立即保持原速，沿原路返回甲地．快车在乙地休息后，提速50％，沿原路匀速返回，又与慢车同时回到甲地，在整个行程中，慢车离甲地的距离（单位：）与时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示． (1)在图中画出快车离甲地的距离（单位：）与时间t之间的函数图象． (2)______． (3)已知从甲地到乙地的路程中，距离乙地处有一个治安警亭． ①若，在整个行程中（不含行程终点甲地），t的值是多少时，两车与警亭的距离相等？ ②若两车相继路过该警亭的时间间隔不超过，则s的取值范围是_______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①或2或3时，两车与警亭的距离相等；② 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意以及将实际问题结合函数观点思考问题是解题的关键． （1）根据快车行车轨迹即可得解； （2）根据快车去时和回时的速度和时间建立方程求解即可； （3）①根据题意可求出快车和慢车的速度，进而求出慢车离甲地的距离的函数图象解析式和，以及快车离甲地的距离的函数图象、，进而再根据两车的行车路线分类讨论，建立方程求解即可； ②先求出慢车离甲地的距离的函数图象解析式和，以及快车离甲地的距离的函数图象、，再令它们分别等于，求出t值，根据两车相继路过该警亭的时间间隔不超过，建立不等式，求解即可． 【详解】（1）解：如图，折线即为所求． ； （2）解：根据图形可知，快车去乙地时速度为，用时小时，返回速度为，用时1小时， ∴， 解得， 故答案为：； （3）解：①时， ∵， ∴， ∵返回时，， ∴从甲地到乙地时，， ∴， ， ， 慢车从甲地到乙地时，， ∴， 解得； 慢车、快车同时到达乙地时，； 慢车从乙地回甲地时，， ∴， 解得； 综上所述，或2或3； ②根据题意可知， ∴，， ∵返回时，， ∴从甲地到乙地时，， ∴，， 令，即， 解得； 令，即， 解得， 令，即， 解得， 令，即， 解得， 根据题意可得，，即， 解得， 故答案为：． 4．甲骑电动车，乙骑自行车从都梁公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于x的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图2所示，请你解决以下问题： (1)甲的速度是 ，乙的速度是 ； (2)对比图1．图2可知： ， ； (3)请写出甲乙两人之间的距离d与x之间的函数关系式（注明x的取值范围）． (4)乙出发 h，甲、乙两人相距？ 【答案】(1)25，10 (2)10；1.5 (3) (4)或 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度； （2）根据题意和图象中的数据，可以分别得到、的值； （3）利用待定系数法分段求函数关系式； （4）由图象可知甲乙相距有两种情况，然后分别计算两种情况下乙出发的时间即可解答本题． 【详解】（1）解：由图可得， 甲的速度为：，乙的速度为：， 故答案为：25，10； （2）解：由图可得， ， ， 故答案为：10；1.5； （3）解：当时，设， 代入得，， 解得 ∴； 甲乙第一次相遇时，， 当时，设，则， 解得， ； 当时，设，则， 解得， ； 当时，设，则， 解得， ． 综上，与的关系式为 （4）解：由题意可得， 前，乙行驶的路程为：， 则甲、乙两人路程差为是在甲乙相遇之后， 设乙出发时，甲、乙两人路程差为， ， 解得， ，得； 即乙出发或时，甲、乙两人路程差为． 故答案为：或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习4大类型22个考点（前3章） 【沪科版2024】 【基础概念易错篇】 1 【考点1 确定点的坐标或象限】 1 【考点2 点到坐标轴的距离】 2 【考点3 平行于坐标轴的点的坐标特征】 2 【考点4 平面直角坐标系中点的平移】 3 【考点5 平面直角坐标系中的规律探究】 3 【考点6 平面直角坐标系中的面积问题】 5 【考点7 函数的相关概念】 5 【考点8 用图象表示变量间关系】 6 【考点9 一次函数的定义】 8 【考点10 判断一次函数的图象】 9 【考点11 一次函数经过的象限】 10 【考点12 一次函数的增减性】 10 【考点13 待定系数法求一次函数解析式】 11 【考点14 一次函数的平移】 12 【考点15 一次函数与方程（组）、不等式（组）】 12 【考点16 一次函数的规律探究问题】 13 【实际应用篇】 15 【考点17 分配方案问题（一次函数的实际应用）】 15 【考点18 最大利润问题（一次函数的实际应用）】 16 【几何计算与证明篇】 17 【考点19 与折叠有关的角度的计算问题】 17 【考点20 三角形的内角和与外角的性质的综合】 18 【压轴篇】 19 【考点21 坐标与图形】 19 【考点22 一次函数中的行程问题】 20 【基础概念易错篇】 【考点1 确定点的坐标或象限】 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）点在第 象限． 2．若点在x轴上，则点P的坐标为 ． 3．如图，这是路桥区地图的一部分，如果台州路桥机场用坐标表示为，蓬街中心公园用坐标表示为，那么凤凰山公园用坐标表示为 ． 【考点2 点到坐标轴的距离】 1．（24-25七年级下·重庆·期末）若不同两点和到x轴的距离相等，则实数a的值为 ． 2．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）已知点到x轴的距离是到y轴的距离的3倍，则a的值是 ． 3．（24-25七年级下·河北沧州·期末）已知点，下列关于结论1,2判断正确的是（   ） 结论1：当时，点到轴的距离为2； 结论2：若点在轴的上方，且到轴的距离不大于，则这样的整数共有7个 A．结论1,2都对 B．结论1对，结论2错 C．结论1错，结论2对 D．结论1，2都错 【考点3 平行于坐标轴的点的坐标特征】 1．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）在平面直角坐标系中，已知线段和轴平行，且 ，若点的坐标为，则点的坐标可能是（  ） A． B．或 C． D．或 2．（24-25七年级下·北京·期末）已知点，，若直线与轴平行，则线段的长为 ． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，，则直线与轴的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定（与的取值有关） 4．（2025七年级下·山西·专题练习）若点，平行x轴，且，则点H的坐标为（　　） A． B．或 C． D．或 【考点4 平面直角坐标系中点的平移】 1．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）在平面直角坐标系中，已知线段和轴平行，且 ，若点的坐标为，则点的坐标可能是（  ） A． B．或 C． D．或 2．（24-25七年级下·北京·期末）已知点，，若直线与轴平行，则线段的长为 ． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，，则直线与轴的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定（与的取值有关） 4．（2025七年级下·山西·专题练习）若点，平行x轴，且，则点H的坐标为（　　） A． B．或 C． D．或 【考点5 平面直角坐标系中的规律探究】 1．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在平面直角坐标系内有点，第一次点跳动到点；第二次点跳动到点；第三次点跳动到点；第四次点跳动到点；……依此规律跳动下去，则点的坐标是 ． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，沿点 路径运动，依此规律运动下去，则点的坐标是 ，点的坐标是 ． 3．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，某点从原点出发，向右平移个单位长度到达，再向上平移个单位长度到达，再向左平移个单位长度到达，再向下平移个单位长度到达，再向右平移个单位长度到达，，按此规律进行下去，点的坐标是 ． 4．（24-25七年级下·河南濮阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A从依次跳动到，，，，，，，，，，……，按此规律，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·山东日照·期末）如图，点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依次规律跳动下去，则点第次跳动至点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【考点6 平面直角坐标系中的面积问题】 1．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知和两点，且与坐标轴围成的三角形的面积等于20，则a的值为（   ） A．2 B．2或 C．0或2 D． 2．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）如图三角形顶点坐标分别是、、，那么它的面积等于 ． 3．（24-25七年级下·广东中山·期末）已知点，，点B在x轴正半轴上，且三角形的面积等于3，则点B的坐标是 ． 4．在平面直角坐标系中，已知点，，，，已知三角形的面积是三角形面积的2倍，则m的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．14或 【考点7 函数的相关概念】 1．在一次试验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 8 10 12 14 16 18 下列说法错误的是（　　） A．所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量 B．不挂物体时，弹簧的长度为 C．弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系式是 D．在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）下列各图表示的函数是y不是x的函数的（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．一天中午，小宇放学，立即骑自行车回家吃午餐，吃好午餐后返回到学校．小宇离学校的距离y（千米）与时间x（分钟）的关系如图所示．则小宇离学校的距离为 千米． 【考点8 用图象表示变量间关系】 1．如图，小亮在操场上玩，一段时间内沿的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发点的距离与时间之间关系的函数图象是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）将一个高为的圆柱形杯子，放入一个高为的长方体容器中，现向长方体容器中匀速注水，长方体容器中水面高度与注水时间之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 3．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，t表示时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，动点P从点A开始沿A→B→C→D的路径匀速前进到D为止．在这个过程中，的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点9 一次函数的定义】 1．下列函数中，是的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 2．表示变量之间关系的函数解析式有①，②，③，④，其中一次函数是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 3．（25-26八年级上·四川巴中·阶段练习）若函数（为常数）是一次函数，则 ． 4．若是正比例函数，则的值是 ． 【考点10 判断一次函数的图象】 1．（24-25八年级下·云南保山·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·云南丽江·期末）下列表示一次函数（是常数，且）的图象与正比例函数的图象可能的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）函数的图象是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则直线的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【考点11 一次函数经过的象限】 1．一次函数的函数值y随x的增大而增大，它的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）若一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图向上平移个单位后，与直线的交点在第一象限，则的取值范围是 ． 4．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，点，，，为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象一定不经过点 ．(填“”或“”或“”或“”) 【考点12 一次函数的增减性】 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）若点和点是一次函数（m，t为常数且）的图象上的两点，当时，m的值可以是 ．（写出一个即可） 2．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）对于一次函数，下列叙述正确的是（    ） A．当时，函数图象经过第一、二、三象限 B．当时，随x的增大而减小 C．函数图象一定经过点 D．当时，函数图象一定交于y轴的正半轴 3．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）已知为直线上的三个点，且 ，以下判断正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数的图象不经过第三象限，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为 ． 【考点13 待定系数法求一次函数解析式】 1．已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，求此一次函数的图象与y轴的交点坐标为 ． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知直线经过点，则该函数的图象经过（   ）． A． B． C． D． 3．已知：与成正比例，且时，；则y与x之间的函数关系式为 ；当时， ；当时， ． 4．（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）如图，函数的图像与x轴、y轴分别交于点A，B，若直线将分为面积比为的两部分，则直线的函数表达式为（   ） A．或 B． C．或 D． 【考点14 一次函数的平移】 1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向上平移2个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则的值为 ． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）将直线向上平移3个单位，再向右平移2个单位，则所得直线的解析式是（    ） A．； B．； C． D． 3．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）一次函数的图象向左平移m个单位正好经过原点，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．3 4．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，点，，在平面直角坐标系中，将直线向上平移n个单位长度，当平移后的直线与折线只有一个交点时，满足条件的整数n有 个． 【考点15 一次函数与方程（组）、不等式（组）】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知方程的解是，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知函数的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图中的两直线的交点坐标可以看作哪个方程组的解（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）一次函数与的图象如图，则下列结论： ①关于x的方程的解是；②函数不经过第一象限；③关于x的不等式的解集是．其中正确的是 （填序号）． 【考点16 一次函数的规律探究问题】 1．如图，在平面直角坐标系中，都是等腰直角三角形，点都在x轴上，点与原点重合，点都在直线上，点C在y轴上，轴，轴，若点A的横坐标为，则点的纵坐标是 ． 2．（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点的横坐标为 ． 3．在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点、、、…，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（    ） A． B． B． C． D． 4．如图，，，，……，都是等腰直角三角形．其中点，，……，在x轴上，点，，……，在直线上．已知，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【实际应用篇】 【考点17 分配方案问题（一次函数的实际应用）】 1．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货． (1)每辆大货车和每辆小货车一次各可以运货多少t？ (2)现在租用这两种货车共10辆，要求一次运输货物不低于，一辆大货车一次运货的费用为520元，一辆小货车一次运货的费用为400元，请设计一种运货方案，使总运费最低，最低总运费是多少？ 2．A校和B校分别有库存电脑14台和8台，现决定支援给C校12台和D校10台．已知从A校调运一台电脑到C校和D校的运费分别为40元和10元；从B校调运一台电脑到C校和D校的运费分别为30元和20元． (1)设A校运往C校的电脑为x台，则A校运往D校的电脑为____台；B校运往C校的电脑为______台，B校运往D校的电脑为______台； (2)求总运费W（元）关于x的函数关系式； (3)求出总运费W最低的调运方案，最低运费是多少? 3．（24-25八年级下·广东肇庆·期末）2025年，在国家实行报废补贴、以旧换新利好政策的推动下，李明的爸爸准备换车，看中了两款价格相同的国产车，请帮李明父子解决以下问题： 燃油车 油箱容积：40升 油价：元/升 续航里程：m千米 每千米行驶费用： 元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：m千米 每千米行驶费用： ______元 (1)用含m的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用； (2)若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为4000元和7200元，设一年内李明爸爸的行驶里程为x千米，燃油车和纯电动汽车所需的年费用分别为和元，请分别写出和关于x的函数表达式（年费用=年行驶费用+年其它费用），假如你是李明，你会给爸爸提出怎样的购车建议？ 【考点18 最大利润问题（一次函数的实际应用）】 1．（25-26八年级上·安徽六安·阶段练习）某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元. (1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？ (2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共300个，且甲种型号头盔的购进数量最少为150个，甲种型号头盔的购进数量不超过乙种型号头盔的2倍，已知甲种型号头盔每个售价为65元，乙种型号头盔每个售价为70元，设甲种型号头盔购进了个，全部售出后的利润为元. ①求的最大值. ②受原材料和工艺调整等影响，商场实际采购时，甲种头盔进货单价上调了元，同时乙种头盔进货单价下调了元，该商场决定不调整两种头盔的售价，发现将300个头盔全部卖出获得的最低利润是4200元，求的值. 2．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）某无人机配件销售公司有A和B两种配件，其进价和售价如表． 种类 A配件 B配件 进价（元件） a 80 售价（元件） 300 100 已知用12800元可购进A配件40件和B配件30件． (1)求的值； (2)若该无人机配件销售公司某次购进A种配件和B种配件共300件，并全部售出，且本次销售获得的总利润为y元，购进的A种配件为x件． （）请写出y与x之间的函数表达式；（利润售价－进价） （）根据市场销售分析，B种配件购进件数不低于A种配件的2倍，问怎样购进配件才能使本次销售获得的总利润最大？最大总利润是多少元？ 3．（2025·河南南阳·二模）据灯塔专业版数据，截止2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店购进了A、B两种哪吒玩偶．已知A种哪吒玩偶每个的进价为40元，售价为56元；B种哪吒玩偶每个的进价为30元，售价为45元． (1)第一次店家用1100元钱购进了A，B两款哪吒玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个． (2)第二次进货时，规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，店家计划购进两款哪吒玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【几何计算与证明篇】 【考点19 与折叠有关的角度的计算问题】 1．（24-25七年级下·吉林长春·期末）在中，，，，将沿某条直线折叠，使三角形的顶点与重合，折痕为． (1)试求的周长； (2)若，求的度数． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，． (1)求证：． (2)若恰好平分，求的度数． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，将长方形纸片沿和折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角，点，的对应点分别为点，，折叠后点，的对应点恰好都在点E． (1)若折痕角，求帽子顶角的度数； (2)设度，度． ①请用含的代数式表示，则________； ②当时，帽子比较美观，求此时的值． 【考点20 三角形的内角和与外角的性质的综合】 1．如图，是的高，、是的角平分线，且． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 2．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，点A，B分别在射线上运动（不与点O重合），分别是和的平分线，延长交于点G． (1)若，求的度数； (2)若，则= °；（用含的代数式表示） (3)如图，若，过点作 交于点，求与的数量关系． 3．（24-25八年级上·河南信阳·期末）在中，平分，． (1)如图，若于点，，，则的度数为______； (2)如图，若于点，猜想并写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，设，，当点在射线上时不与点重合，且于点，直接写出的度数为： ______用含、的式子表示． 【压轴篇】 【考点21 坐标与图形】 1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）在边长为1的正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，在网格中，作出格点，使与全等，且写出点D的坐标．（作出一个符合要求的即可） 2．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）如图，在平面直角坐标系中，，且满足，过点B作直线轴，点P是直线m上一动点，连接AP，过点B作交y轴于C点，分别平分，． (1)填空：__________，__________． (2)在点P的运动过程中，的度数是否变化？若不变，请求出它的度数；若变化，请说明理由； (3)若点P的纵坐标为，连接交y轴于点H． ①求点H的坐标； ②点Q在y轴上，若，求出Q点坐标． 3．如图1，在平面直角坐标系中，，，其中a的平方是4，b是4的平方根，且，过点C作轴于点B． (1)求三角形的面积； (2)如图2，过点B作交y轴于点D，且，分别平分、，求的度数； (3)在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点22 一次函数中的行程问题】 1．（25-26九年级上·天津红桥·阶段练习）已知小华家、文具店、书店依次在同一条直线上，文具店、书店离小华家的距离分别为．小华从家出发，先匀速骑行到达书店，在书店停留了，之后匀速骑行到达文具店，在文具店停留后，再匀速骑行返回家．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间/min 4 15 23 30 小华离家的距离/km 1 ②填空：小华从文具店返回家的速度为______； ③当时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)若小华的哥哥与小华同时离开书店，小华的哥哥匀速步行直接返回家，他到家的时间比小华到家的时间晚．在从书店返回家的过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为，小华的哥哥离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 2．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）小明元旦从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小明到达商店比妈妈返回商店早5分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为（分钟），图1表示两人之间的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象；图2中的线段表示小明和商店之间的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象的一部分． 请根据所给信息，解答下列问题： (1)妈妈骑车的速度是___________米/分钟，妈妈在家装载货物所用时间是___________分钟，点的坐标是___________ (2)请求出图2中线段表示的小明和商店的距离（米）与时间（分钟）之间的函数关系式，并指明自变量的取值范围；在图2中画出妈妈和商店的距离（米）与时间（分钟）之间的函数关系的图象． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）甲、乙两地相距．慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发后快车也从甲地出发，沿同一路线匀速驶往乙地，两车同时到达乙地后，慢车立即保持原速，沿原路返回甲地．快车在乙地休息后，提速50％，沿原路匀速返回，又与慢车同时回到甲地，在整个行程中，慢车离甲地的距离（单位：）与时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示． (1)在图中画出快车离甲地的距离（单位：）与时间t之间的函数图象． (2)______． (3)已知从甲地到乙地的路程中，距离乙地处有一个治安警亭． ①若，在整个行程中（不含行程终点甲地），t的值是多少时，两车与警亭的距离相等？ ②若两车相继路过该警亭的时间间隔不超过，则s的取值范围是_______． 4．甲骑电动车，乙骑自行车从都梁公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于x的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图2所示，请你解决以下问题： (1)甲的速度是 ，乙的速度是 ； (2)对比图1．图2可知： ， ； (3)请写出甲乙两人之间的距离d与x之间的函数关系式（注明x的取值范围）． (4)乙出发 h，甲、乙两人相距？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $