专题08 与三角形角度有关的7种热考模型（压轴题专项训练）数学沪科版2024八年级上册

专题08 与三角形角度有关的7种热考模型 目录 2 类型一、A字模型 2 类型二、8字模型 3 类型三、飞镖模型 5 类型四、老鹰抓小鸡模型 7 类型五、三角形翻折模型 9 类型六、三角形双角平分线模型 11 类型七、高+角平分线模型 15 17 类型一、A字模型 1．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，沿虚线剪去，若，则的度数为 ． 3．（2023·陕西西安·模拟预测）将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式放置，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）计算：如图1，已知，，求的度数． 归纳：与分别为的两个外角，与之间的数量关系为__________________，并给予证明． 应用：如图2，在纸片中剪去，得到四边形．若，则_______________． 拓展：如图3，在四边形中，，分别平分外角，，设 ①试说明与的数量关系； ②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）． 类型二、8字模型 5．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则、、、之间的数量关系 ． （2）在图2中和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ． 6．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，和相交于点，，，，分别平分和，若，则 ． 7．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）【模型理解】（1）如图1，和交于点O，求证：． 【模型应用】（2）如图2，，分别平分，，求证：． 8．（23-24七年级下·四川乐山·期末）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为“对顶三角形”．根据三角形内角和定理可知“对顶三角形”有如下性质∶．    (1)性质理解：如图1，在“对顶三角形”与中，若，则 ； (2)性质应用∶ ①如图2，则 ； ②如图3，在中，分别平分和，若，比大，求的度数； (3)拓展提高：如图4，是的角平分线，和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用含α的式子表示）． 9．（24-25七年级下·山东威海·期中）【认识模型】 （1）如图①，相交于点O，连接，可以得出四个角之间的等量关系是 ；（直接写结果） 【应用模型】 （2）如图②，相交于点A，为的平分线，交于点H，为的平分线，交于点G．写出间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图③，求的度数． 类型三、飞镖模型 10．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，是的角平分线，是的角平分线，与交于点，角，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．（23-24七年级下·山东滨州·期末）如图所示的图形，像我们常见的符号−−箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”． (1)探究：观察“箭头四角形”，试探究图1中与，，之间的关系，并说明理由； (2)应用：请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则___________； ②如图3，，的二等分线（即角平分线），相交于点，若，，求的度数． 13．（23-24七年级下·河南周口·期末）阅读下列材料，并完成相应的任务： 我们把如图1所示的四边形称为凸四边形，它的内角和为，把如图2所示的五边形称为凸五边形，它的内角和为．我们把如图3所示的四边形称为凹四边形，它的内角和是吗？答案是肯定的．它的证明方法和证明凸四边形的内角和为的方法相同．证明方法如下：如图3，连接．∵，…， 任务： (1)将凹四边形的内角和为的证明过程补充完整． (2)如图3，在凹四边形中，求证：． (3)如图4，在四边形中，已知，求的度数． 类型四、老鹰抓小鸡模型 14．（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 15．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，M，N分别是的边，上一点，将沿折叠，使点A落在边上，若，则（   ） A． B． C． D． 16．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，连接，，平分，平分． （1）若，则的度数为 ． （2）若的度数为，的度数为，则与的数量关系是 ． 17．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，点E，F分别在边和上，连接，将沿着直线折叠，使得点A与点重合，连接，，平分，平分． (1)若，求的度数： (2)若，，求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 类型五、三角形翻折模型 18．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，将沿着直线折叠，点落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 19．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图1，中，点E和点F分别为上的动点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，如图2所示．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 20．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处．若，则（    ）    A． B． C． D． 21．（22-23八年级上·四川绵阳·期中）现有一张纸片，点D、E分别是边上两点，若沿直线折叠，折成如图的形状．    (1)若，求的度数； (2)猜想、和的数量关系，并说明理由． 22．（20-21八年级上·安徽合肥·阶段练习）现有一张纸片，点分别是边上两点，若沿直线折叠． (1)如果折成图①的形状，使点落在上，则与的数量关系是____． (2)如果折成图②的形状，猜想与的数量关系是______； (3)如果折成图③的形状，猜想和的数量关系，并说明理由． 类型六、三角形双角平分线模型 23．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，的和的平分线相交于点G，则与的数量关系是 ． 24．（2024·安徽合肥·一模）如图，在中，，是的内心，连接、，则的度数是（   ） A． B． C． D． 25．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）中，，角平分线相交于，则（ ） A． B． C． D． 26．（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习）如图，在中，，分别平分，，平分，交的延长线于点，记，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 27．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，依此下去，若，则为（   ） A． B． C． D． 28．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）在中，点B，C分别是上一点，和的平分线交于点P． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)如图③，和的平分线交于点Q，直接写出和之间的数量关系，不需要证明． 29．（23-24七年级下·河南南阳·期末）【概念认识】 如图，在中，若，则，叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图，，，是的“三分线”，则 ； （2）如图，在中，，，若的“邻三分线”交于点，则 ； （3）如图，在中，分别是“邻三分线”和“邻三分线”，且，求的度数． 30．（23-24七年级下·吉林长春·期中）【探究】如图①，在中，点D是延长线上一点，的平分线与的平分线相交于点P．则有， 请补全下面证明过程： 证明：平分，平分， ，______（______）． ______（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 即（等式性质）． （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 【应用】 如图②，在四边形中，设，，若，四边形的内角与外角的角平分线相交于点P．为了探究的度数与和的关系，小明同学想到将这个问题转化图①的模型，因此，延长了边与交于点A．如图③，若，，则，因此． 【拓展】 如图④，在四边形中，设，，若，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点P，请直接写出______．（用含有和的代数式表示） 31．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）问题引入：如图①，在中，O是和的平分线的交点，若，则________；如图②，，，，则________（用含的式子表示） （2）如图③，，，，请猜想________（用含的式子表示），并说明理由． （3）类比研究：，分别是的外角，的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想________． 32．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）在中，点分别是上一点，和的角平分线交于点．    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，和的角平分线交于点，直接写出和之间的数量关系，不需要证明． 类型七、高+角平分线模型 33．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，在中，是角平分线，，垂足为D，点D在点E的左侧，，，则的度数为（      ）    A． B． C． D． 34．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，在中，平分，为延长线上一点，且于，试找出与、的大小关系． 35．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图，在中，于点平分．若，求的度数． 36．（21-22七年级下·山东泰安·期中）在中，平分． (1)如图①，若于点D，，求的度数； (2)如图①，根据（1）的解答过程，猜想并写出之间的数量关系，并说明理由； (3)如图②，在线段上任取一点P，过点P作于点D，请尝试写出之间的数量关系，并说明理由． 37．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图1，在中，，是边上的高线，是的平分线． (1)若，，求的度数； (2)根据（1）的计算结果，猜想与和之间的等量关系（直接写出结论，不需要证明）； (3)如图2，若是钝角，上述猜想的结论是否仍然成立？并说明理由． 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）小东在学习中遇到这样一个问题：如图1，中，平分，平分外角．猜想与的数量关系．    (1)小东阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的值求的值， ①如果，则的度数为_____；如果，则的度数为_____． ②请猜想与的数量关系，并说明理由． (2)小东继续探究，如图2，在四边形中，平分，且与四边形的外角的平分线交于点．若，，则的度数为_____． (3)小东又思考，改变，的大小，如图3，在四边形中，四边形的内角的角平分线所在的直线与外角的角平分线所在的直线相交于点，若，，则可表示为_____．（请用含α、β的表达式表示） 2．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）已知在中，是边BC上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，，则的度数为__________． (2)如图2，平分交于点，交的外角的平分线于点P，请猜想与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，若，且，请直接写出的度数． 3．（20-21八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图①所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做“飞镖模型”． （1）求证：； （2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于点D，若，求的度数． 4．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）在中，和分别是和的角平分线，和交于点O． (1)如图1，若，，求的度数； (2)连接并延长交于点F，已知，． （i）如图2，求的度数（用含，的式子表示）； （ii）如图3，过点O作于点G，试判断和度数的大小关系，并加以说明． 5．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知中， (1)如图1，平分，平分，，求的度数； (2)如图2，是的外角，、的平分线交于点D，求与的数量关系； (3)如图3，、是的外角，的平分线所在的直线与、的平分线分别交于点F､D．在中，如果，求的度数． 6．（24-25八年级上·全国·期中）如图①，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”． (1)如图①，在规形中，若，求的度数； (2)如图②，在规形中，和的角平分线交于点E，且，试探究之间的数量关系，并说明理由． 7．（17-18八年级上·安徽蚌埠·期中）【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2．分别平分，， 若，求的度数； 【问题探究】（3）如图3， 直线平分的外角，平分的外角， 若，请猜想的度数，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在图4中，若设 ， ，直接写出与之间的数量关系为：_________________（用、表示）． 8．（23-24八年级上·安徽·单元测试）已知：在中，平分，相交于点O．    (1)如图①，若，，，求的大小； (2)如图②，若平分，且，求的大小； (3)如图③，若在的外角内，且，，试探究：与的数量关系． 9．（22-23七年级下·江西南昌·期末）问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边上，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，试问，与的大小是否满足某种确定的数量关系？ (1)特殊探究：若，则_______度，______度，______度； (2)类比探索：请猜想与的关系，并说明理由； (3)类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，与满足的数量关系式． 10．（22-23七年级下·四川内江·期末）利用图形这一直观性语言，在一定程度上可以降低我们认识和理解抽象逻辑推理的难度；利用图形建构几何直观，可以轻松实现空间形式和数量关系的相互转化．让我们在如下的问题解决中体验一下吧！      (1)【模块探究】 如图1，求证： (2)【直观应用】 ①应用上述结论，若图2中，，则、、、、、的度数之和等于________．（直接给出结论，不必说明理由） ②应用上述结论，求图3所示的五角星中，、、、、的度数之和是多少？并证明你的结论． (3)【类比联系】 如图4，求、、、、、、的度数之和是多少？并证明你的结论． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 与三角形角度有关的7种热考模型 目录 2 类型一、A字模型 2 类型二、8字模型 7 类型三、飞镖模型 14 类型四、老鹰抓小鸡模型 20 类型五、三角形翻折模型 24 类型六、三角形双角平分线模型 30 类型七、高+角平分线模型 44 50 类型一、A字模型 1．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，根据邻补角求角度，先根据，求出，然后根据三角形外角的性质求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，沿虚线剪去，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外角与内角，根据外角得到，，再结合三角形内角和计算即可． 【详解】解：如图， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2023·陕西西安·模拟预测）将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式放置，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质、三角形外角的定义和性质。 根据三角形外角的性质可得，根据平行线的性质可得． 【详解】解：如图， 由题意知，， ，， ， ， ． 故选：A． 4．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）计算：如图1，已知，，求的度数． 归纳：与分别为的两个外角，与之间的数量关系为__________________，并给予证明． 应用：如图2，在纸片中剪去，得到四边形．若，则_______________． 拓展：如图3，在四边形中，，分别平分外角，，设 ①试说明与的数量关系； ②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）． 【答案】计算：；归纳：，证明见解析；应用：；拓展：①；②当时，为钝角三角形；当，为直角三角形；当时，为锐角三角形； 【分析】计算：根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求解即可． 归纳： 由，，，再进一步求解即可． 拓展：①利用角平分线的定义、三角形外角和内角和定理求解即可．②分三种情况：当时，当时，当时，分别判定即可. 【详解】解：计算：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 归纳：； 证明：， ． ，， ，， ∴， ∴， ∴； 应用：∵在纸片中剪去，得到四边形． ∴结合归纳可得：， ∵， ∴； 拓展： ①如图，∵，分别平分外角，， ∴，， ∴ ， ； ②当时， ， ， 为钝角三角形； 当时，， 为直角三角形； 当时， ， ， 由题意可得，， ，都是锐角． 为锐角三角形． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形外角性质与内角和定理，三角形分类，四边形的内角和定理，熟练掌握三角形外角性质与内角和定理是解题的关键． 类型二、8字模型 5．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则、、、之间的数量关系 ． （2）在图2中和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ． 【答案】 /度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解； （2）根据（1）的关系式求出，，然后利用“8字形”的关系式结合角平分线列式整理即可得解； 【详解】解：（1），， 又∵， ； （2），， ， ， 、分别是和的角平分线， ，， 又， ； 故答案为：（1），（2） 6．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，和相交于点，，，，分别平分和，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，对顶角的性质，三角形的外角性质等；，设，则，由三角形的内角和定理得，，再由角平分线及三角形的内角和定理得，由三角形的外角性质得，即可求解；能熟练利用三角形的内角和定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：如图， ，， 又， ， 设，则， ， ， ，分别平分和， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）【模型理解】（1）如图1，和交于点O，求证：． 【模型应用】（2）如图2，，分别平分，，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．也考查了角平分线的定义． （1）根据三角形的内角和即可得到结论； （2）利用（1）中模型可得，再根据角平分线得到，，解答即可． 【详解】证明：（1）在中，， 在中，， ∵， ∴； （2）同（1）中模型可得，在相交线中，有， 在相交线中，有， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴． 8．（23-24七年级下·四川乐山·期末）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为“对顶三角形”．根据三角形内角和定理可知“对顶三角形”有如下性质∶．    (1)性质理解：如图1，在“对顶三角形”与中，若，则 ； (2)性质应用∶ ①如图2，则 ； ②如图3，在中，分别平分和，若，比大，求的度数； (3)拓展提高：如图4，是的角平分线，和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2)①② (3) 【分析】本题综合考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，掌握整体思想是解题关键． （1）求出即可求解； （2）①连接，可得，据此即可求解；②求出即可求解； （3）根据、、即可求解； 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵， ∴ 故答案为： （2）解：①连接，如图所示：    则 ∴ 故答案为： ②∵， ∴ ∵分别平分和， ∴ ∵ ∴ ∵ 由①②可得： （3）解：∵， ∴ ∵是的角平分线， ∴ ∵和的平分线和相交于点P， ∴ ∵ ∴得： ∴ 9．（24-25七年级下·山东威海·期中）【认识模型】 （1）如图①，相交于点O，连接，可以得出四个角之间的等量关系是 ；（直接写结果） 【应用模型】 （2）如图②，相交于点A，为的平分线，交于点H，为的平分线，交于点G．写出间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图③，求的度数． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理可得，再由即可得到结论； （2）由角平分线的定义可得，同（1）可得，，把两式相加即可得到结论； （3）令的交点为O，连接，连接并延长交于点H，同（1）可得，再证明即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2），证明如下： ∵平分平分， ∴， 同（1）可得，， ∴ ∴； （3）如图，令的交点为O，连接，连接并延长交于点H， 同（1）可得， ∵（可把四边形的内角和看成两个三角形的内角和）， ， ∴， ∵， ∴． 类型三、飞镖模型 10．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和是解题的关键．如图，连接并延长，结合，，再进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接并延长， ∵，， ∴， ∵，，， ∴； 故选B 11．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，是的角平分线，是的角平分线，与交于点，角，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义和应用，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键． 连接，根据题意得到，，进而得出，得到，根据三角形内角和定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 是的角平分线，是的角平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C ． 12．（23-24七年级下·山东滨州·期末）如图所示的图形，像我们常见的符号−−箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”． (1)探究：观察“箭头四角形”，试探究图1中与，，之间的关系，并说明理由； (2)应用：请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则___________； ②如图3，，的二等分线（即角平分线），相交于点，若，，求的度数． 【答案】(1) (2)①  ② 【分析】本题主要考查几何变换的综合问题，解题的关键是掌握“箭头四角形”的性质及其运用，学会利用参数解决问题． （1）如图中，连接并延长到，利用三角形的外角的性质证明即可； （2）①利用（1）中结论计算即可； ②如图中, 设 利用（1）中结论,求出即可解决问题． 【详解】（1）结论: 理由： 如图1中，连接并延长到， 因为 所以 ， 即； （2）①如图中, 由（1）知:， 由于 所以 ， 故答案为； ②如图中, 设 ， 由（1）可知:， ， ， ． 13．（23-24七年级下·河南周口·期末）阅读下列材料，并完成相应的任务： 我们把如图1所示的四边形称为凸四边形，它的内角和为，把如图2所示的五边形称为凸五边形，它的内角和为．我们把如图3所示的四边形称为凹四边形，它的内角和是吗？答案是肯定的．它的证明方法和证明凸四边形的内角和为的方法相同．证明方法如下：如图3，连接．∵，…， 任务： (1)将凹四边形的内角和为的证明过程补充完整． (2)如图3，在凹四边形中，求证：． (3)如图4，在四边形中，已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了多边形的内角和外角，三角形的内角和，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求解即可； （2）连接并延长到点，根据三角形的外角的性质即可解决问题； （3）由（2）的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：连接． ∵，， ， 凹四边形的内角和为； （2）证明：连接并延长到点．如图， 则为的外角，为的外角， ，， ， ． ， ； （3）由（2）可知，． ， ， ． 类型四、老鹰抓小鸡模型 14．（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，补角的概念的运用，根据折叠可得，由三角形内角和定理可得，则，再根补角的性质可得，即可求解． 【详解】解：将纸片沿折叠，使点落在点处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D ． 15．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，M，N分别是的边，上一点，将沿折叠，使点A落在边上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出，再求出的度数即可得到答案； 【详解】解：，，， ， 故选：D． 16．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，连接，，平分，平分． （1）若，则的度数为 ． （2）若的度数为，的度数为，则与的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形外角的性质定理，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理． （1）连接，由三角形内角和定理得到，由角平分线定义求出，再根据三角形内角和定理即可求出的度数； （2）由折叠可知，由三角形外角的性质得到，得到．即可得到答案． 【详解】解：（1）如图，连接，      ， ∵平分，平分， ， ， ， 故答案为： （2）由折叠可知：， ， ． 即． 故答案为： 17．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，点E，F分别在边和上，连接，将沿着直线折叠，使得点A与点重合，连接，，平分，平分． (1)若，求的度数： (2)若，，求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质，三角形内角和定理和角平分线定义等知识，熟练掌握疏导他对于空间解答本题的关键． （1）由三角形内角和定理求出，由角平分线定义得，再由三角形内角和定理可求出； （2）设，则，求出根据可得结论． 【详解】（1）解：如图， ，且 又平分，平分， ∴ ∴ ； （2）解：设，则， 由折叠得， ∴ ∴ 而 ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 类型五、三角形翻折模型 18．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，将沿着直线折叠，点落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质，先由折叠的性质得到，再由三角形外角的性质得到，，据此可得答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 19．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图1，中，点E和点F分别为上的动点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，如图2所示．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质，三角形外角的性质，由折叠前后对应角相等可得，结合三角形外角的性质可得，由此可解． 【详解】解：如图，标记与的交点为点B，    由三角形外角的性质得，，， 由折叠得， ， ， ， ， 故选B． 20．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．由折叠可知，，由平行线的性质可得，进而可得，，再利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：由折叠可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 故选：C． 21．（22-23八年级上·四川绵阳·期中）现有一张纸片，点D、E分别是边上两点，若沿直线折叠，折成如图的形状．    (1)若，求的度数； (2)猜想、和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）根据折叠的性质，得到，外角的性质得，平角的定义，再根据三角形的内角和定理进行求解即可； （2）同法（1）列式求解即可． 【详解】（1）解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： ∵折叠， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形折叠中的角度问题．熟练掌握折叠性质，三角形的内角和定理，是解题的关键． 22．（20-21八年级上·安徽合肥·阶段练习）现有一张纸片，点分别是边上两点，若沿直线折叠． (1)如果折成图①的形状，使点落在上，则与的数量关系是____． (2)如果折成图②的形状，猜想与的数量关系是______； (3)如果折成图③的形状，猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查折叠的性质，三角形内外角的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，根据，可得． （2）由折叠的性质可得，再根据，代入数值化简，即可得到． （3）根据，可得，再由，即可得到． 【详解】（1）解：如图，，理由是： 由折叠得：， ∵， ∴； 故答案为：． （2）解：如图，猜想：，理由是： 由折叠得：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． （3）解：如图，，理由是： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 类型六、三角形双角平分线模型 23．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，的和的平分线相交于点G，则与的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的定义，掌握三角形内角和等于是解题的关键．根据三角形内角和定理得出，以及角平分线定义得出,即可进行等量代换得解． 【详解】解：和的平分线是， , ,, ． 故答案为：． 24．（2024·安徽合肥·一模）如图，在中，，是的内心，连接、，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理， 求出，得，根据三角形内角和定理求出即可．熟练掌握三角形内角和定理的运用是关键． 【详解】解：为的内心， ，， ， ， ， 即， ． 故选：． 25．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）中，，角平分线相交于，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的定义以及三角形的内角和定理，熟记相关概念是解题关键． 由三角形内角和定理求出，由角平分线的定义可以得出，，即可得出与的和，即可得出的度数． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴ ∵角平分线相交于， ∴，， ∴ ∴． 故选：B． 26．（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习）如图，在中，，分别平分，，平分，交的延长线于点，记，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形外角的定义及性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键； 根据角平分线的定义得，，根据三角形外角的性质得，可判断选项A；根据角平分线的定义得，，由即可判断选项，，； 【详解】解：为外角的平分线，平分， ，， 又是的外角， ， ，故选项A不符合题意； ，分别平分，， ，， ， ， 故选项C、D不符合题意，选项B符合题意， 故选：B 27．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，依此下去，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化类，三角形的外角性质和角平分线定义等知识点，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．根据角平分线定义得出，，根据三角形外角性质得出①，②，由②得，求出③，由①和③得出，求出，同理得出，，再根据求出的规律得出答案即可． 【详解】解：平分，平分， ，， ①，②， 由②得：， ③， 由①和③得：， ， ， 同理， ， ， 故选：C． 28．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）在中，点B，C分别是上一点，和的平分线交于点P． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)如图③，和的平分线交于点Q，直接写出和之间的数量关系，不需要证明． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，三角形的角平分线： （1）根据三角形内角和求出，再根据角平分线的定义得到，，继而利用三角形内角和代入计算即可； （2）根据角平分线的定义得到，，再利用三角形内角和得出，结合，代入求解即可； （3）根据角平分线的定义得到，，，，继而推出，再利用四边形内角和计算即可得出关系． 【详解】（1）解：      和的平分线交于点P ， ； （2）解：和的平分线交于点P ，       解得： ； （3）， 证明：∵和的角平分线交于点， ∴，， ∵和的角平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， 同理：， ∴． 29．（23-24七年级下·河南南阳·期末）【概念认识】 如图，在中，若，则，叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图，，，是的“三分线”，则 ； （2）如图，在中，，，若的“邻三分线”交于点，则 ； （3）如图，在中，分别是“邻三分线”和“邻三分线”，且，求的度数． 【答案】（）；（）；（）． 【分析】（）根据“三分线”的定义即可得到答案； （）根据是“邻三分线”，根据三角形的外角性质计算即可； （）根据三角形内角和定理得到，根据“邻三分线”的定义计算即可； 本题考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理，正确理解“邻三分线”、“邻三分线”的定义是解题的关键． 【详解】解：（）∵，，是的“三分线”， ∴， 故答案为：； （）如图， ∵是“邻三分线”时，， 则， 故答案为：； （）∵， ∴， ∴． ∵分别是“邻三分线”和“邻三分线”， ∴，， ∴， ∴， ∴． 30．（23-24七年级下·吉林长春·期中）【探究】如图①，在中，点D是延长线上一点，的平分线与的平分线相交于点P．则有， 请补全下面证明过程： 证明：平分，平分， ，______（______）． ______（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 即（等式性质）． （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 【应用】 如图②，在四边形中，设，，若，四边形的内角与外角的角平分线相交于点P．为了探究的度数与和的关系，小明同学想到将这个问题转化图①的模型，因此，延长了边与交于点A．如图③，若，，则，因此． 【拓展】 如图④，在四边形中，设，，若，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点P，请直接写出______．（用含有和的代数式表示） 【答案】探究：；角平分线的定义；；；应用：；；拓展： 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： 探究：根据三角形外角的性质和角平分线的定义结合已给推理过程求解即可； 应用：先利用平角的定义和三角形内角和定理求出的度数，再有探究的结论即可得到答案； 拓展：延长交的延长线于A，则由三角形内角和定理可得；再由题意可得分别平分，则． 【详解】解：探究：证明：平分，平分， ，（角平分线的定义）． （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 即（等式性质）． （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ， 故答案为：；角平分线的定义；；； 应用：延长了边与交于点A．如图③， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 拓展：如图，延长交的延长线于A， ∵，， ∴； ∵四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点P， ∴分别平分， ∴， 故答案为：． 31．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）问题引入：如图①，在中，O是和的平分线的交点，若，则________；如图②，，，，则________（用含的式子表示） （2）如图③，，，，请猜想________（用含的式子表示），并说明理由． （3）类比研究：，分别是的外角，的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想________． 【答案】（1）；（2）（3） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）由三角形内角和定理可求得，根据角平分线的定义可求得，在中利用三角形内角和定理可求得； （2）方法同（1）； （3）根据三角形的内角和等于列式整理即可得． 【详解】解：（1）∵，, ∴， ∵点O是和平分线的交点， ∴， ∵， ∴； 同法，在中， ， 故答案为：；； （2） 理由如下：在中， ； 故答案为：； （3）类似（2），可得在中， ； 故答案为：． 32．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）在中，点分别是上一点，和的角平分线交于点．    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，和的角平分线交于点，直接写出和之间的数量关系，不需要证明． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，三角形的角平分线，解题的关键是： （1）根据三角形内角和求出，再根据角平分线的定义得到，，继而利用三角形内角和代入计算即可； （2）根据角平分线的定义得到，，再利用三角形内角和得出，结合，代入求解即可； （3）根据角平分线的定义得到，，，，继而推出，再利用四边形内角和计算即可得出关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵和的角平分线交于点， ∴，， ∴； （2）∵和的角平分线交于点， ∴，， ∴ ∵， ∴， 解得：， ∴； （3）∵和的角平分线交于点， ∴，， ∵和的角平分线交于点， ∴，， ∵， ∴，同理：， ∴． 类型七、高+角平分线模型 33．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，在中，是角平分线，，垂足为D，点D在点E的左侧，，，则的度数为（      ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．利用三角形内角和定理可得，结合是角平分线，可得，再利用直角三角形的两锐角互余，可求得，由此可求的度数． 【详解】解： ，， ， 是角平分线， ， 又 ， ， ． 故选：A． 34．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，在中，平分，为延长线上一点，且于，试找出与、的大小关系． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及外角的性质，角平分线的定义，垂直的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．由三角形内角和定理以及角平分线的定义，得到，再根据三角形外角的性质，得到，最后根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：， ， 平分， ， 是的外角， ， ， ， ． 35．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图，在中，于点平分．若，求的度数． 【答案】59° 【分析】本题考查了垂线的性质，角平分线的性质，三角形的内角和定理．理解相关知识是解答关键． 由垂线的性质和求出，进而得到，结合角平分线的性质得到的度数，再利用三角形内角和定理求解． 【详解】．解：， ， ． ． 平分， ． ． 36．（21-22七年级下·山东泰安·期中）在中，平分． (1)如图①，若于点D，，求的度数； (2)如图①，根据（1）的解答过程，猜想并写出之间的数量关系，并说明理由； (3)如图②，在线段上任取一点P，过点P作于点D，请尝试写出之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，三角形内角和定理，角平分线的定义： （1）先求出，根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，然后由，代入计算即可； （2）先利用三角形的内角和以及角平分线的定义求得，再根据直角三角形的性质可得，然后由，代入计算即可； （3）过作于，根据平行线的性质可得，由三角形的内角和定理及角平分线的定义可求得，再根据直角三角形的性质可得，然后由，代入计算可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的度数为． （2）解：．理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 即． （3）解：，理由如下： 过作于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 即， ∴． 37．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图1，在中，，是边上的高线，是的平分线． (1)若，，求的度数； (2)根据（1）的计算结果，猜想与和之间的等量关系（直接写出结论，不需要证明）； (3)如图2，若是钝角，上述猜想的结论是否仍然成立？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)成立 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质以及三角形高线的性质，解题的关键是利用这些性质求出相关角的度数，进而找出角之间的关系． （1）先根据三角形内角和定理求出，再利用角平分线性质求出，根据直角三角形性质求出，最后得出． （2）根据（1）的计算结果进行归纳猜想． （3）同样先求出相关角的度数，再验证猜想是否成立． 【详解】（1）在中，已知，则， 是的平分线， ． 是边上的高线， ， 在中， ， ； （2）猜想：，证明如下： ，， ∴； （3）当是钝角时，上述猜想成立， 设． 根据三角形内角和定理，， 是的平分线， 是边上的高线， ， 在中， 所以当是钝角时，上述猜想仍然成立． 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）小东在学习中遇到这样一个问题：如图1，中，平分，平分外角．猜想与的数量关系．    (1)小东阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的值求的值， ①如果，则的度数为_____；如果，则的度数为_____． ②请猜想与的数量关系，并说明理由． (2)小东继续探究，如图2，在四边形中，平分，且与四边形的外角的平分线交于点．若，，则的度数为_____． (3)小东又思考，改变，的大小，如图3，在四边形中，四边形的内角的角平分线所在的直线与外角的角平分线所在的直线相交于点，若，，则可表示为_____．（请用含α、β的表达式表示） 【答案】(1)①，②，详见解析 (2)，详见解析 (3)，详见解析 【分析】（1）利用三角形内角和与外角关系求出与的关系，①将和代入即可得解，②利用三角形内角和与外角关系求出与的关系即可得证； （2）根据四边形内角和得出，利用三角形外角的性质和角平分线的性质得出，进而即可得解； （3）如图，延长到G，延长，交于点H，由（1）得，，由三角形的内角和得出，进而即可求解． 【详解】（1）解：①∵是的外角， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 当得，当得； 故答案为：，； ②，理由如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∴， 故答案为：； （3）如图，延长到G，延长，交于点H，    ∴，， ∵平分，平分， ∴平分，平分， 由（1）得，， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、四边形内角和，三角形外角的性质以及角平分线的性质等知识点，熟练掌握四边形的内角和是和三角形外角的性质是解决此题的关键． 2．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）已知在中，是边BC上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，，则的度数为__________． (2)如图2，平分交于点，交的外角的平分线于点P，请猜想与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，若，且，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)． 【分析】（1）先求解，，，再结合三角形的高可得答案； （2）先证明结合，可得； （3）设，可得，，，，结合（2）可得，，求解，结合，再建立方程进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∵是边上的高， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：．理由如下： ∵，分别平分和的外角， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）解：设，则， ∴，，， ∴由（2）可得，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，四边形的内角和定理的应用，角平分线的定义，理清各角度之间的关系是解本题的关键． 3．（20-21八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图①所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做“飞镖模型”． （1）求证：； （2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于点D，若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）240° 【分析】（1）延长CD交AB于点E，根据三角形外角性质可证，，运用角的等量转换即可证明． （2）根据三角形外角性质，运用第（1）题的方法可证，，和是对顶角，可推出的度数等于2倍的度数，计算得出答案． 【详解】（1）证明：延长CD交AB于点E，如图： ∵是的外角， ∴． ∵是的外角， ∴， ∴． （2）解：∵和是对顶角， ∴． 由（1）的结论可知， ， ∴． 【点睛】本题考查了三角形外角性质，灵活运用三角形外角性质是解题关键． 4．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）在中，和分别是和的角平分线，和交于点O． (1)如图1，若，，求的度数； (2)连接并延长交于点F，已知，． （i）如图2，求的度数（用含，的式子表示）； （ii）如图3，过点O作于点G，试判断和度数的大小关系，并加以说明． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ），理由见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的内角和为180度，以及角平分线的定义． （1）先根据三角形的内角和求出，根据角平分线的定义得出．最后根据，即可解答； （2）（ⅰ）先根据三角形的内角和求出．结合角平分线的定义推出平分，则，即可解答； （ⅱ）由（ⅰ）可知：，，则，由（1）知，则，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵BE是的平分线， ∴． ∴． （2）解：（ⅰ）在中，． ∵和分别是和的角平分线， ∴平分． ∴． ∴． （ⅱ），理由如下： 由（ⅰ）可知：，， ∴． ∵， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． 5．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知中， (1)如图1，平分，平分，，求的度数； (2)如图2，是的外角，、的平分线交于点D，求与的数量关系； (3)如图3，、是的外角，的平分线所在的直线与、的平分线分别交于点F､D．在中，如果，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由三角形的内角和定理可得，再根据三角形角平分线的定义可得，然后再次利用三角形的内角和定理即可得出的度数； （2）设与交于点，由三角形角平分线的定义可得，，由三角形外角的性质可得，由三角形的内角和定理、对顶角相等可推出，于是可得结论； （3）由三角形角平分线的定义可得，，进而可推出，由（2）可知，根据三角形的内角和定理可得，于是可得关于的一元一次方程，解方程即可得出的度数，进而得出的度数． 【详解】（1）解：，， ， 平分，平分， ，， ， ， ； （2）解：如图，设与交于点， 、分别是、的平分线， ，， ， ， ； （3）解：平分，平分， ，， ， 平分，平分， ∴由（2）可知：， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，等式的性质，三角形角平分线的定义，三角形外角的性质，对顶角相等，等式的性质，解一元一次方程等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 6．（24-25八年级上·全国·期中）如图①，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”． (1)如图①，在规形中，若，求的度数； (2)如图②，在规形中，和的角平分线交于点E，且，试探究之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了外角的性质，角平分线．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图1，延长交于，则，根据，计算求解即可； （2）如图2，延长交于，记的夹角为，由分别是和的角平分线，可得，，即，，由题意知，，，则 ，进而可得． 【详解】（1）解：如图1，延长交于， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：，理由如下； 如图2，延长交于，记的夹角为， ∵分别是和的角平分线， ∴，，即，， 由题意知，，， ∴，即． 7．（17-18八年级上·安徽蚌埠·期中）【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2．分别平分，， 若，求的度数； 【问题探究】（3）如图3， 直线平分的外角，平分的外角， 若，请猜想的度数，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在图4中，若设 ， ，直接写出与之间的数量关系为：_________________（用、表示）． 【答案】（1）见详解；（2）；（3），理由见详解；（4） 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明． （2）（3）由平分的外角，平分的外角，推出，，推出，，由，，推出，即可解决问题． （4）由前面小题的结论易求，，再将已知条件代入化简可求，进而可求解． 本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题，属于中考常考题型． 【详解】 解：（1）在中，， 在中，， ， ； （2）、分别平分． ， 由（1）的结论得：， ①②，得 ． （3）如图3， 平分的外角，平分的外角， ，， ，， ，， ， ； （4）由（1）可知：，，， ，， ， ，，，， ，， ， ． 故答案为：． 8．（23-24八年级上·安徽·单元测试）已知：在中，平分，相交于点O．    (1)如图①，若，，，求的大小； (2)如图②，若平分，且，求的大小； (3)如图③，若在的外角内，且，，试探究：与的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的外角定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的性质求出，进而求出的大小； （2）根据三角形的内角和定理得到，求出答案即可； （3）设，则，根据题意求出，即可得到答案． 【详解】（1）解： 平分， ； （2）解：平分，平分， ， ， ， ， ， ， ， ∴； （3）解：， 设， ， 平分， 设，则， 是的外角， ， ， 是的外角， ， 即， ， ， ， ． 9．（22-23七年级下·江西南昌·期末）问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边上，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，试问，与的大小是否满足某种确定的数量关系？ (1)特殊探究：若，则_______度，______度，______度； (2)类比探索：请猜想与的关系，并说明理由； (3)类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，与满足的数量关系式． 【答案】(1)，90，35 (2) (3)判断（2）中的结论不成立，或或． 【分析】（1）直接利用三角形的内角和定理求解即可，掌握三角形内角和定理是解题的关键； （2）猜想：，利用三角形内角和定理即可解决问题．掌握三角形内角和定理是解题的关键； （3）分、、，分别画出图形并理由三角形内角和定理即可解答．掌握分类讨论思想成为解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 又， ， 故答案为125，90，． （2）解：猜想：理由如下： 在中，， ，， ， ， 又在中，， ， ， ． （3）解：（2）中的结论不成立．理由如下： ①如图中，结论： 理由：设交于   ， ， ②如图中，结论：证明方法类似①    ③如图中，结论：    理由：，， ， 10．（22-23七年级下·四川内江·期末）利用图形这一直观性语言，在一定程度上可以降低我们认识和理解抽象逻辑推理的难度；利用图形建构几何直观，可以轻松实现空间形式和数量关系的相互转化．让我们在如下的问题解决中体验一下吧！      (1)【模块探究】 如图1，求证： (2)【直观应用】 ①应用上述结论，若图2中，，则、、、、、的度数之和等于________．（直接给出结论，不必说明理由） ②应用上述结论，求图3所示的五角星中，、、、、的度数之和是多少？并证明你的结论． (3)【类比联系】 如图4，求、、、、、、的度数之和是多少？并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）如图所示，过点O作射线，利用三角形外角的性质得到，由此即可证明； （2）①根据（1）的结论可得，再由，，即可得到；②由（1）的结论可知，再由，，即可得到； （3）如图所示，由（1）得结论可得，再由，，即可得到． 【详解】（1）证明：如图所示，过点O作射线， ∵， ∴， ∴；    （2）解：①由（1）的结论可知，， ∴， 又∵，， ∴， 故答案为：； ②，证明如下： 如图所示，由（1）的结论可知， ∵， ∴， 又∵， ∴    （3）解：，证明如下： 如图所示，由（1）得结论可得， ∵， ∴， ∵， ∴．      【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$