期中复习6大类型38个考点（举一反三期中专项训练）八年级数学上学期苏科版2024

期中复习6大类型38个考点（前3章） 【苏科版2024】 【基础概念易错篇】 2 【考点1 三角形的三边关系】 2 【考点2 三角形的角平分线、中线和高】 4 【考点3 全等三角形的性质】 6 【考点4 全等三角形的判定】 8 【考点5 角平分线的性质与判定】 10 【考点6 线段垂直平分线的性质与判定】 13 【考点7 等腰三角形的判定】 16 【考点8 等腰三角形的性质】 19 【考点9 等边三角形的性质】 23 【考点10 等边三角形的判定】 26 【考点11 直角三角形斜边的中线】 28 【考点12 平方根与算术平方根】 30 【考点13 立方根】 33 【考点14 实数】 34 【考点15 判断勾股数】 36 【考点16 利用勾股定理求线段长度】 37 【考点17 以弦图为背景的计算】 40 【考点18 判断三边能否构成直角三角形】 43 【考点19 已知两点求构成直角三角形的点】 45 【计算篇】 48 【考点20 实数的运算】 48 【几何计算与证明篇】 51 【考点21 与折叠有关的角度的计算问题】 51 【考点22 角的平分线与线段的垂直平分线】 55 【考点23 利用轴对称的性质判断线段之间的关系】 60 【考点24 等腰三角形的性质与判定的综合】 65 【考点25 等边三角形的性质与判定的综合】 69 【考点26 勾股定理的证明】 73 【考点27 勾股定理与折叠问题】 77 【考点28 利用勾股定理探究平方关系】 80 【考点29 利用勾股定理的逆定理判断直角三角形】 85 【实际应用篇】 89 【考点30 勾股定理的应用】 89 【作图篇】 97 【考点31 尺规作角平分线、线段垂直平分线】 97 【考点32 利用勾股定理网格作图】 99 【压轴篇】 104 【考点33 做辅助线构造全等三角形】 104 【考点34 做辅助线构造等腰三角形】 112 【考点35 三角形中的最值问题】 118 【考点36 三角形中的分类讨论】 125 【考点37 利用勾股定理求最短路径】 129 【考点38 利用勾股定理构造图形解决问题】 133 【基础概念易错篇】 【考点1 三角形的三边关系】 1．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，, B．,, C．，, D．,, 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系定理，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边进行判断． 【详解】解：A.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； C.，且任意两边之和均大于第三边，能组成等边三角形； D.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形． 故选：C． 2．已知的三条边长分别为5、7和x，则x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知两边的差，而小于两边的和．根据三角形的三边关系：三角形第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围． 【详解】解：， 则． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·山东烟台·期末）用一条长细绳（不留余绳）围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的倍，则底边的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、三角形三边关系、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是要分两种情况讨论． 由三角形三边关系判定等腰三角形的腰长是底边长的倍，设较短的边长是，则较长的边长是，列出一元一次方程，解方程，再由三角形三边关系即可求解． 【详解】解：设较短的边长是，则较长的边长是， 如果等腰三角形的腰长是底边长的倍， ， ， 此时等腰三角形的三边长分别是、、，满足三角形三边关系； 如果等腰三角形的底边长是腰长的倍， ， ， 此时等腰三角形的三边长分别是、、，不满足三角形三边关系，不能围成一个等腰三角形； 综上所述，等腰三角形的底边长是， 故答案为：． 4．现有、、、长的四根木棒，任选其中三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】根据三角形的三边关系，可以组成三角形的是、、 故可以组成三角形的个数是1 故答案为：A． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系问题，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【考点2 三角形的角平分线、中线和高】 1．如图，在中，利用三角板能表示边上的高的为（    ） A．     B．   C．   D．     【答案】B 【分析】从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高，根据此定义逐项判断即可． 【详解】解：A、表示的是中边上的高，故此选项不符合题意； B、表示的是中边上的高，故此选项符合题意； C、不能表示的高，故此选项符合题意； D、表示的是中边上的高，故此选项符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的高，解题的关键是掌握三角形的高的定义． 2．如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【答案】C 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用已知条件和三角形中线即可判断出A选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断出B选项的正误；利用角平分线的性质只能得到，但没有办法得到，可判断出C选项错误；由三角形的高线的定义，可判断D． 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵平分， ∴． ∵，， ∴，故C错误，符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意． 故选C． 3．如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=6， AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差= ． 【答案】2 【详解】解：已知D是BC边上的中线，可得BD=CD， 所以△ABD的周长-△ADC的周长= 故答案为：2 4．如图，已知中，点，分别是边，的中点．若的面积等于，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：点是边的中点，的面积等于， ， 是的中点， ， 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的中线的性质，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键． 【考点3 全等三角形的性质】 1．（24-25八年级上·山西忻州·期中）如图，，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，由全等三角形的性质可得，，即得，进而可得，又由平行线的性质得，即可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得， 故选：B． 2．在中，，且，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形对应角相等是解题的关键． 先根据三角形内角和以及三个角的比例求出的度数，再利用全等三角形对应角相等得出的度数． 【详解】解：∵在中，，且， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 3．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ． 故选B． 【考点4 全等三角形的判定】 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，，添加下列条件，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（、、）是解题的关键．根据已知条件，，得出，然后分别结合每个选项给出的条件，依据全等三角形的判定定理（、、）来判断能否判定． 【详解】解：∵ ∴ ，即 又∵ 选项A：∵ ，， ∴ ，故A项不符合题意． 选项B：虽然，，，但这是“边边角”的情况，不能判定两个三角形全等，故B项符合题意． 选项C：∵ ，， ∴ ，故C项不符合题意． 选项D：∵ ，， ∴ ，故D项不符合题意． 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·期中）小华家梳妆台上的一块三角形玻璃不小心摔成了如图所示的四块，需要去玻璃装饰品店再配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃，可以选择的方法是（      ） A．带（1）和（3）去 B．带（3）和（4）去 C．带（1）和（4）去 D．带（1）和（2）去 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键． 根据三角形全等判定的条件逐一验证即可得到答案． 【详解】解：A．带（1）和（3）去，只保留了原三角形的一个角和部分边，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃； B．带（3）和（4）去，只保留了原三角形的一个角和部分边，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃； C．带（1）和（4）去，只保留了原三角形的两个角，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃； D．带（1）和（2）去，保留了原三角形的两个角和夹边，符合“角边角”定理，能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃； 故选：D． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）根据下列条件，能判定的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，，与的周长相等 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据三角形全等的判定方法逐个选项分析即可． 【详解】根据全等三角形的判定定理，对选项逐个验证即可． A．，，，没有边边角，故该选项不正确，不符合题意； B．，，，不是对应边相等，故该选项不正确，不符合题意； C．，，，没有对应边相等，故该选项不正确，不符合题意； D．，，由与的周长，可得，根据边边边，能判定，故该选项正确，符合题意． 故选D． 4．（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）如图，已知的六个元素，而在图甲、乙、丙中，仅已知甲、乙、丙三个三角形中某些元素，则与一定全等的三角形是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，分别利用全等三角形的判定方法逐个判断即可． 【详解】解：甲中b、c与的边对应相等，但它们夹角是否相等未知，故甲与不一定全等， 乙中有两个角对应相等，而且两角夹边相等，满足，故乙与一定全等， 在丙图中，由边长为a的对角相等，而且还有另一组角对应相等，满足，故丙与一定全等， 综上可知能和全等的是乙、丙， 故选：B． 【考点5 角平分线的性质与判定】 1．如右图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（　　）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等分货物中转站在三条公路围成的三角形内部和外部两种情况作出图形即可． 【详解】如图，货物中转站在三角形内部有一个位置，在外部有三个位置，共有4个位置可选． 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 2．如图，O是内一点，且O到三边的距离，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的判定，熟练掌握该知识点是本题解题的关键. 根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出、分别平分和，再根据三角形的内角和定理求出，然后求出，再次利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵O到三边的距离， ∴、分别平分和， ∴， ∴. 故选D. 3．如图，中，是角平分线，是的中线，若的面积是，则的面积是（    ） A．5 B．6.8 C．7.5 D．8 【答案】D 【分析】根据三角形的中线的性质得出，根据角平分线的性质得出，进而得出，即可得结论． 【详解】解：如图， 过点作，垂足分别为， ∵是角平分线， ∴，设， ∵的面积是，是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选∶D． 【点睛】本题考查了三角形的角分线、中线，角分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是角分线上的点到角的两边的距离相等． 4．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，要画的角平分线，让一把直尺的一边与重合，让另一把直尺的一边与重合，并且两把直尺交于点P，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的判定定理和线段垂直平分线的性质，解题关键是通过作垂线构造出到角两边距离，利用直尺相同得到距离相等，结合全等三角形证明来推导角平分线 ． 过点作、，利用两把相同长方形直尺得，结合公共边，由判定，推出，依据角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上，证得是平分线 ． 【详解】解：如图，过P点作于C点，于D点， ∴， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴， 因为为公共边， 所以， 所以， 所以为的平分线． 故选：A． 【考点6 线段垂直平分线的性质与判定】 1．如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的定义与性质，由，，得垂直平分，所以，又垂直平分则，，可得，，然后通过的周长为可得，从而得出即可，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，中，，是边上的中线，点在上，则与的关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据，是边上的中线得，所以得到垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：，是边上的中线， ， 垂直平分， 点在上， ， 故选：C． 3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，延长 到点D，连接．若通过尺规作图所得直线恰好经过点 C，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是了解“等边对等角”的性质，难度不大． 利用等边对等角求得，然后利用线段的垂直平分线的性质与三角形外角的性质求得答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵由作图可得：的垂直平分线交于， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 【考点7 等腰三角形的判定】 1．如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分两种情况：当为腰时，当为底时，分别画出图形，即可得出答案，熟练掌握等腰三角形的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， 当为腰时，，，均是以为腰的等腰三角形， 当为底时，为等腰三角形， 满足条件的点共有个， 故选：D． 2．如图，在中，，D，E分别是线段上的一点，根据下列条件之一，不能确定是等腰三角形的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理和三角形外角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．分别根据选项中的四个条件求出的大小即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 是的外角， ， ， ， 当时， ， ， ， ，故选项A可以确定是等腰三角形，故不符合题意； 当时， 则， ， ， ， ，故选项B可以确定是等腰三角形，故不符合题意； 当时， 则， ， ， ， ，故选项C不可以确定是等腰三角形，故符合题意； 当时， 则， ， ， ， ，故选项D可以确定是等腰三角形，故不符合题意． 故选C． 3．如图,△ABC为等边三角形,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,OE∥AB交BC于点E,OF∥AC交BC于点F,图中等腰三角形共有(　　) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】由已知条件，首先得到∠OBC=∠OCB，利用两个角相等即为等腰三角形，得到△BOC为等腰三角形；然后在题中找出对应角相等即可． 【详解】解：∵△ABC为正三角形，∴△ABC为等腰三角形； ∵OB，OC为角平分线，∴∠OBC=∠OCB，∴△BOC为等腰三角形； ∵OE∥AB，∴∠ABO=∠BOE=∠OBE，∴△BOE为等腰三角形； 同理，△COF为等腰三角形； ∠OEF=∠OFE，∴△EOF为等腰三角形． 所以题中共有5个等腰三角形 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质及角平分线的性质；利用角的等量代换是正确解答本题的关键． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A和B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定,线段的垂直平分线的性质．熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．由题意知，分当为底时，当为腰时，两种情况求解作答即可． 【详解】解：如图，由题意知，当为底时，满足要求的点如；当为腰时，满足要求的点如； ∴共有5个， 故答案为：5． 【考点8 等腰三角形的性质】 1．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　） A．15°或75° B．30° C．150° D．150°或30° 【答案】D 【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论． 【详解】解：当高在三角形内部时，如图， ∵∠ABD=60°，BD⊥AC， ∴∠A=30°； ∴顶角是30°； 当高在三角形外部时，如图， ∵∠ABD=60°，BD⊥AC于D， ∴∠BAD=30°， ∴∠BAC=180°-30°=150° ∴顶角是150°． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出高在三角形内部一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题． 2．如图，，则 ． 【答案】60° 【分析】根据已知条件，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算． 【详解】解：∵AB=BC=CD=DE=EF，∠A=15°， ∴∠BCA=∠A=15°， ∴∠CBD=∠BDC=∠BCA+∠A=15°+15°=30°， ∴∠BCD=180°-（∠CBD+∠BDC）=180°-60°=120°， ∴∠ECD=∠CED=180°-∠BCD-∠BCA=180°-120°-15°=45°， ∴∠CDE=180°-（∠ECD+∠CED）=180°-90°=90°， ∴∠EDF=∠EFD=180°-∠CDE-∠BDC=180°-90°-30°=60°， ∴∠DEF=180°-（∠EDF+∠EFC）=180°-120°=60°． 故答案为：60°． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件． 3．如图，在中，，，，则（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】设，．由，根据等边对等角得出，利用三角形内角和定理得出．同理得到，．根据直角三角形两锐角互余得出，那么，即，进而求出． 【详解】解：设，． ∵， ∴，． ∵， ∴，． ∵为直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，设，，得出是解题的关键． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，这是一个等腰三角形屋顶钢架外框，其中，立柱，且顶角，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解题的关键．根据等腰三角形的三线合一性质，即可解答． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三线合一定理，三角形内角和定理，过点A作于H，由三线合一定理可得，由三角形内角和定理可得，则，可得，则． 【详解】解：如图所示，过点A作于H， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点9 等边三角形的性质】 1．如图，以等边的边为腰作，使，连接，若，则 ． 【答案】80 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，正确识别图形是解题的关键． 根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：80． 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，等边三角形纸片的边长为，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点C落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠问题，关键是由折叠的性质推出． 由折叠的性质得到：，即可得到三个阴影部分的周长的和． 【详解】解：是边长为的等边三角形， ， 由折叠的性质得到：， 三个阴影部分的周长的和， 故答案为：． 3．如图，是等边的边的中点，且，于，于，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．等边中，各边相等，且各角都为，由是边的中点，在和中，分别利用直角三角形的性质，可求得长度，则题目可解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵是边的中点， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，是等边三角形，是高，且，E是边的中点，点P是上一动点，则的最小值是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，两点之间线段最短， 先连接，先说明，将转化为，再根据两点之间线段最短说明的最小值，然后三角形的面积相等求出答案即可. 【详解】解：连接，交于点， ∵是等边三角形，且是高线， ∴垂直平分，, ∴. 即， 当点三点共线时，根据两点之间线段最短，最小，即最小， ∵是等边三角形，点E是边的中点， ∴是的高线. ∵，且， ∴， ∴最小值为7. 故答案为：7. 【考点10 等边三角形的判定】 1．已知a，b，c为三边，且满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】将已知式子因式分解为，则有或，即可判断三角形的形状． 本题主要考查等腰三角形的判定和因式分解 ，熟练掌握因式分解是解题的关键． 【详解】， ， ， ， 或， 或， ∴是等腰三角形， 故选：C． 2．满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（    ） ①有两个角是60°的三角形；②有两个外角相等的等腰三角形：③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等的三角形；④一边上的高也是这边中线的等腰三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用等边三角形的概念：三边相等，三个角都是60°的三角形，进行判断即可． 【详解】解：①若两个角都是60°，则第三个角也是60°，是等边三角形； ②有两个外角相等的三角形只能证明为等腰三角形，无法判断是否为等边三角形； ③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等，则三个内角都相等，是等边三角形； ④一边上的高也是这边中线的等腰三角形，可能是底边上的高与中线，等腰三角形有“三线合一”，不能判定为等边三角形． 以上能得到等边三角形的有2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的定义是解题的关键． 3．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上 【答案】D 【详解】解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°． ∵OP平分∠AOB， ∴∠EOP=∠POF=60°， ∵OP=OE=OF， ∴△OPE，△OPF是等边三角形， ∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°， ∴∠EPM=∠OPN， 在△PEM和△PON中， ， ∴△PEM≌△PON． ∴PM=PN， ∵∠MPN=60°， ∴△PNM是等边三角形， ∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形， 故这样的三角形有无数个． 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，综合应用以上判定和性质是解题的关键 【考点11 直角三角形斜边的中线】 1．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上 三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 求出，，根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可． 【详解】解：由题意可知：，， 在中，，是的中线， ， 故选：B． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，平分，于点，是的中点，则的周长是（　　） A．9 B．10 C．13 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，然后代入数据计算即可得解． 【详解】解：，，是的中点， ， ，平分，， 点是的中点，且， ， ， 的周长． 故选：B． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图所示，在四边形中，，，，为的中点，连接，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 延长交延长线于点，证明，所以，，，又，，则，从而求出， 然后通过直角三角形性质可得，最后通过等边对等角即可求解． 【详解】解：如图，延长交延续于点， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点12 平方根与算术平方根】 1．若，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求平方根．根据，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即的平方根是． 故答案为： 2．（25-26八年级上·福建泉州·阶段练习）代数式的值最大时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，熟练掌握二次根式的非负性是解本题的关键．利用二次根式大于等于，则时，代数式的值最大，即可得解． 【详解】解：，， ，且当时，取最小值0， 当时，代数式的值最大，最大值为． 故答案为：． 3．已知：满足关系，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：由题意可得： 解得：， 所以，， 所以，， 故的立方根为， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江西九江·阶段练习）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 5．已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（    ） A．5 B．7 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小、算术平方根等知识，正确得出x，y的值是解题的关键．直接利用算术平方根的定义得出x的值，再利用估算无理数的方法得出y的值，进而代值求解即可． 【详解】解：∵的算术平方根是3， ∴，解得； ∵y是的整数部分，， ∴， ∴， 故选：C． 6．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段练习）若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（   ） A．1 B．3 C．9 D．25 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，根据一个正数的两个平方根互为相反数得出a的值，进而得出答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， 故， 则这个正数是：． 故选：C． 7．（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根等知识点，掌握算术平方根和平方根的区别与联系成为解题的关键． 根据算术平方根、平方根的定义及性质逐项判断即可． 【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题题意； B．表示算术平方根，结果应为非负数，即，故该选项错误，不符合题题意； C． ，故 ，故该选项错误，不符合题题意； D．，则 ，正确，符合题意． 故选D． 【考点13 立方根】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法中，不正确的是（   ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．0的立方根是0 D．的立方根是 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题利用立方根的性质对选项逐一判断，即可求解． 【详解】解：A．的立方根是，故选项正确； B．的立方根是，故选项正确； C．0的立方根是0，故选项正确； D．∵，∴的立方根等于5，故选项错误． 故选：D 2．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若，则b等于（    ） A．1000000 B．1000 C．10 D．10000 【答案】A 【分析】本题考查立方根的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据立方根的性质，由已知条件得到、的值，即可求解． 【详解】∵，， ∴，， ∴， 故选：A． 3．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）已知   则 （精确到百分位） 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的求解，立方根的运算，解题的关键是掌握立方根的运算法则． 对立方根进行变式，然后根据给出的值进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 4．（24-25七年级下·江西赣州·期末）若是的算术平方根，是的立方根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题重点考查​算术平方根和立方根的概念与计算​，​准确理解算术平方根（非负实数的非负平方根）和立方根（实数的唯一立方根）的定义是解题的关键​． 根据算术平方根和立方根的概念求值计算即可​． 【详解】∵是的算术平方根，是的立方根， ∴，， ∴． 故答案为：． 【考点14 实数】 1．（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号） 【答案】，， 【分析】本题主要考查了实数的分类，有理数和无理数的定义，求一个数的算术平方根等知识点，熟练掌握实数的分类及有理数和无理数的定义是解题的关键． 根据有理数和无理数统称实数，分数和整数统称有理数，无限不循环小数是无理数进行分类即可． 【详解】解：， 由题意可得， 整数有：， 分数有：， 无理数有：， 故答案为：，，． 2．如图，已知数轴上的点分别表示数、、1、2，则表示的点应落在线段（   ） A．上 B．上 C．上 D．上 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴上点的关系．关键是根据的取值范围来确定的取值范围．估算出的取值范围，即可确定点P在数轴上应落在的线段． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即表示的点P落在线段上． 故选：A． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）若的整数部分是，小数部分是，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查与无理数的整数部分有关的计算，实数的运算，夹逼法求出的值，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故选B． 4．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）对于的叙述，下列说法正确的是（    ） A．它不能用数轴上的点表示出来 B．它是一个无理数 C．它比大 D．它的相反数为 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，实数的大小比较，无理数的定义，相反数的定义，数轴的意义，实数的计算，无理数的定义，相反数的定义判断即可，掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：、数轴上的点与实数一一对应，是实数，可以用数轴上的点表示，原选项说法错误； 、是有理数，是无理数，有理数与无理数的和为无理数，故是无理数，原选项说法正确； 、∵， ∴，原选项说法错误； 、 的相反数为，原选项说法错误； 故选：． 5．（24-25七年级下·山东德州·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的大小比较，先利用夹逼法估算a，b的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 即，， ∴，， 又， ∴， 故选：C． 【考点15 判断勾股数】 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段练习）有一组勾股数，若其中两个为10，8，则第三个数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查勾股数，解题的关键是熟知勾股定理的运用．设第三个数为x，根据勾股数得出①，②，求出的值后根据勾股数必须是正整数即可求解． 【详解】解：设第三个数为， ∵是一组勾股数， ∴①， 解得：（负值舍去）， ②， 解得：（不是整数，不合题意，舍去)， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）下列各组数是勾股数的是（    ） A．2，3，5 B．，2， C．8，15，17 D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股数的识别，若三个正整数满足较小的两个正整数的平方和等于最大数的平方，那么这三个正整数叫做勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴2，3，5这组数不是勾股数，故此选项不符合题意； B、∵和不是正整数， ∴，2，这组数不是勾股数，故此选项不符合题意； C、∵， ∴8，15，17这组数是勾股数，故此选项符合题意； D、∵，，这三个数都不是正整数， ∴，，这组数不是勾股数，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·甘肃白银·阶段练习）勾股定理最早出现在《周髀算经》中：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列各组勾股数：6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；14，48，50；……可发现当一组勾股数的勾为（，为正整数）时，它的股、径分别为和．若一组勾股数的勾为26，则径为 ． 【答案】170 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是读懂题意，利用题中的结论进行求解． 根据题干的公式直接进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， 当时，， ∴径为， 故答案为：170． 【考点16 利用勾股定理求线段长度】 1．（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高的学生刚走到离门间距的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，过点D作于点H，分别根据题意求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】如图，过点D作于点H， 依题意得，，， ∴， ∴． 故选C．    2．如图，中，，是斜边的中点，过点作于点，则线段的长度为（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．5.2 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线定理、勾股定理及等积法，熟练掌握直角三角形斜边中线定理、勾股定理及等积法是解题的关键；由勾股定理可得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是斜边的中点， ∴，， ∴， ∴； 故选：B． 3．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理及网格求出各线段的长．先结合网格特征，运用勾股定理列式计算出每条线段，再进行比较，即可作答． 【详解】解：依题意，，，， ， ∵， ∴线段的长度最长， 故选：C． 4．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个矩形，以表示3的点为圆心，以矩形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的知识，数轴上的点表示数的方法．解题关键是利用勾股定理求出矩形的对角线长度，同时要掌握圆上各点到圆点的距离相等都为半径．图中矩形的长为2，宽为1，则可根据勾股定理求出矩形对角线的长度．以对角线长度为半径作圆与x轴正方向交于点P，则点P表示的数即为3加上对角线的长度． 【详解】解：应用勾股定理得，矩形的对角线的长度， 以矩形对角线长为半径画弧，交数轴正方向于点P， 所以数轴上的点P表示的数为：． 故选：C． 【考点17 以弦图为背景的计算】 1．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，《周髀算经》中的“弦图”是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是，小正方形的面积与大正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意可设每个直角三角形的两条直角边长分别为，根据勾股定理可得该直角三角形的斜边长为，然后可得小正方形的边长为，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可设每个直角三角形的两条直角边长分别为， ∴该直角三角形的斜边长为，小正方形的边长为， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴它们的面积比为； 故选D． 2．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．52 B．48 C．72 D．76 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出的长度， 然后利用外围周长即可求解． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴ ， ∴风车的外围周长是； 故选：D． 3．（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）将两个“赵爽弦图”中的两个正方形和八个直角三角形按如图方式摆放围成正方形，空隙处增加四个正方形．记其中两个正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个判断： ①；②；③若，则；④若，则，其中正确的序号是（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，正方形的面积，设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边是a，较长直角边是b，斜边是c，则小正方形的边长是，由正方形面积公式，勾股定理，即可解决问题． 【详解】解：设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边是a，较长直角边是b，斜边是c，则小正方形的边长是， ∴正方形的面积，正方形的面积， ∴， ∵正方形的边长是， ∴正方形的面积， ∴， 故①正确，符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ∵，， ∴，即， ∴， ∴， 故③错误，不符合题意； ∵J是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确，符合题意． 综上所述，正确的是①②④． 故选：A． 【考点18 判断三边能否构成直角三角形】 1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）下列哪个条件不能判定为直角三角形（   ） A． B． C．，， D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键，如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．利用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐项判断即可． 【详解】解：A、设，，， ， ， 是直角三角形； B、，， ，即， ， 是直角三角形； C、，， ∴，三边不能构成三角形， 不能判定是直角三角形； D、，， ， 是直角三角形． 故选：C ． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知是的三边长，若，则的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题可根据绝对值、平方数和算术平方根的非负性求出三角形三边的长度，再根据三边长度关系，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．本题主要考查了绝对值、平方数和算术平方根的非负性以及勾股定理的逆定理．熟练掌握绝对值、平方数和算术平方根的非负性质（若干个非负数的和为，则每个非负数都为），以及勾股定理的逆定理（若三角形的三边、、满足，则这个三角形是直角三角形）是解题的关键． 【详解】解：∵，，，且， ∴ 解得 ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 3．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在长方形中，，，点，分别是，边上一点，且，．则图中的直角三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理． 根据已知可得，，根据勾股定理可得，，，根据勾股定理的逆定理，可判断的形状，从而可得直角三角形的个数． 【详解】解：∵在长方形中，，， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴图中的直角三角形有、、、，共个． 故选：D． 【考点19 已知两点求构成直角三角形的点】 1．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 2．如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动 秒时，与的边垂直． 【答案】或或． 【分析】设运动时间为然后分当、和三种情况运用勾股定理解答即可． 【详解】解：设运动时间为 则， 当时，如图1所示， 过点作于点 ， 中有， ， 中，， 中，， ， ， 解得：； 当时，如图2所示， 由可知， 又 ； 当时，如图3所示， 过点作于点 由知， 中有， 中有， ， 又 当点移动秒或秒或秒时，与边垂直． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理列方程以及分类讨论思想是解答本题的关键． 【计算篇】 【考点20 实数的运算】 1．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的运算，熟练掌握求一个数的算术平方根和立方根是解答本题的关键． （1）原式分别计算算术平方根和立方根，然后再进行加减运算即可； （2）原式分别计算乘方和算术平方根，然后再进行加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 2．已知的平方根为，是的立方根． (1)求，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根，平方根和立方根，掌握算术平方根，平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义即可求解； （2）先将（1）中的，代入中，再求它的算术平方根． 【详解】（1）解：的平方根为，是的立方根， ，， 解得，； （2）解：将，代入中得： ， 的算术平方根， 即的算术平方根． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了实数的混合运算和有理数的混合运算． （1）根据绝对值的定义可知：，根据立方根的定义可知：，所以可得：原式，再根据有理数的加法法则计算即可； （2）根据乘方的定义可知：，根据乘方的定义可知：，再根据有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）求满足下列各式的未知数的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程． （1）先化简，再两边都除以2，然后利用平方根的定义求解即可； （2）先把125移项， 然后利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1） （2） 5．（24-25七年级下·北京·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的x为时，输出的y值是______； (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______； (3)若输出的y是，求x的负整数值． 【答案】(1)； (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或 （3）若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值均为或． 【几何计算与证明篇】 【考点21 与折叠有关的角度的计算问题】 1．（24-25七年级下·吉林长春·期末）在中，，，，将沿某条直线折叠，使三角形的顶点与重合，折痕为． (1)试求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)14 (2) 【分析】（1）根据折叠的性质，得，再根据三角形的周长，解答即可． （2）根据，不妨设，根据折叠的性质，得，根据，利用三角形内角和定理列方程解答即可． 本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解方程，三角形周长，熟练掌握性质，解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得， ∵的周长是， ∴的周长是， ∵，， ∴． 故的周长为14． （2）解：∵，不妨设， 根据折叠的性质，得， ∴， ∵， ∴， 解得， 故． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，． (1)求证：． (2)若恰好平分，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、折叠的性质． 根据折叠的性质可知，根据平角的定义可以求出，从而可求，根据内错角相等，两直线平行，可证结论成立； 根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可以求出，根据角平分线的定义可以求出，根据三角形内角和定理可以求出的度数． 【详解】（1）证明：由折叠可知， ， ， ， ， ； （2）解：是的外角， ， ， ， 平分， ， 在中，， ． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，将长方形纸片沿和折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角，点，的对应点分别为点，，折叠后点，的对应点恰好都在点E． (1)若折痕角，求帽子顶角的度数； (2)设度，度． ①请用含的代数式表示，则________； ②当时，帽子比较美观，求此时的值． 【答案】(1) (2)①；②108 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质、三角形内角和定理、一元一次方程的应用，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）由得，由折叠的性质得，利用平角的定义求出的度数，根据轴对称的性质得，最后在中利用三角形内角和定理即可求解； （2）由和推出，由轴对称的性质得，在中利用三角形内角和定理即可求解；②由（1）得，由①得度，利用平角的定义表示出的度数，结合求出的值，即可求出此时的值． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， ， 由折叠的性质得，， ， 由轴对称的性质得，， ， 帽子顶角的度数为． （2）解：①， ， ， ， ， 由轴对称的性质得，， 设度，度， 度， 在中，， ， 故答案为：； ②由（1）得，， 由①得，度， 度， ， ， 解得：， ， 的值为108． 【考点22 角的平分线与线段的垂直平分线】 1．在Rt△ABC中，，AE是斜边BC上的高，角平分线BD交AE于点G，交AC于点D，于点F． (1)求证：； (2)试判断AD与AG有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)相等，理由见详解 【分析】（1）根据BD平分∠ABC，得到∠ABD=∠DBF，再根据DF⊥BC，得到∠DFB=∠BAD=90°，即可得到，即可证得AB=BF； （2）先证明，即可得到∠BGE=∠BDF，再根据∠BGE=∠AGD，∠ADB=∠BDF，得到∠AGD=∠ADB，即有AG=AD． 【详解】（1）∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBF， ∵DF⊥BC， ∴∠DFB=∠BAD=90°， 又∵BD=BD， ∴， ∴∠ADB=∠BDF，AB=BF； （2）AD=AG，理由如下： ∵AE是斜边BC上的高， ∴AE⊥BC， 又∵DF⊥BC， ∴， ∴∠BGE=∠BDF， 又∵∠BGE=∠AGD，∠ADB=∠BDF， ∴∠AGD=∠ADB， ∴AG=AD． 【点睛】本题主要考查了角平分线性质、全等三角形的判定和性质、平行的判定和性质、等角对等边等知识，得到是解答本题的关键． 2．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，是的垂直平分线上两点，延长，交于点，交于点． 求证： (1)是的角平分线； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）由，推出，由交于点，推出，可得． （2）由，，，可得． 【详解】（1）证明：点是的垂直平分线上的点， ， ， 交于点， ， ． 即是的角平分线． （2）解：点是的垂直平分线上的点， ， ， ，，， ． 3．（24-25八年级下·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角平分线性质（角平分线分对边的比等于邻边比、角平分线关联三角形面积比与邻边比），解题关键是运用探索新知得出的角平分线性质，建立边与面积的比例关系． （1）依据探索新知结论，代入、得；设、，由，推出． （2）根据探索新知中，结合已知，直接得． （3）用平分的性质，结合，及，算；同理，由平分，结合，算．连接，因点到三边距离相等，结合，得，算出 由，代入计算得结果． 【详解】（1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知，是的角平分线时， ， ∵，， ∴． 设，， ∴， ∴． （2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知可知，对于，是角平分线时： ， ， ∵ ∴． ∵， ∴． 故答案为； （3）∵平分， ∴点D到，的距离相等， ∴， ∵， ∴，， 同理平分， ∴， ∴，， 连接，过点F作,，分别垂直于，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴平分， ∴点F到，，三边的距离相等， ∴， ∵ ∴，，， ∴ ． 故答案为． 【考点23 利用轴对称的性质判断线段之间的关系】 1．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图1，是等边三角形，点D为边上一点，连接，点C关于的对称点为点E，连接． (1)若是的平分线，求的度数； (2)如图2，连接并延长交的延长线于点F，，试探究，和三者之间满足的等量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)， 理由见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形． （1）设，根据对称得出， 由求出解题即可果； （2）连接， 在上截取， 连接，可推出， 进而得出， ， 进一步得出结果． 【详解】（1）解：设， ∵点与点关于对称， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下： 连接， 在上截取， 连接， ∵点与点关于对称， ∴， ， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴， ∵， ， ， ， ， ． 2．如图（1），已知等边的边长为8，点P是边上的一个动点（与点A，B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把沿直线l折叠，点B的对应点是点，且当时，点恰好在（不含端点A，C）边上． (1)在图（2）中画出当时的图形，并求出此时的长度； (2)在点P的运动过程中，探究点到点A，C之间的距离的关系． 【答案】(1)画图见解析， (2)相等，理由见解析 【分析】（1）先画出图形，再证明是等边三角形，则； （2）先证明，是等边三角形，根据折叠的性质可知垂直平分，则垂直平分，即可证明． 【详解】（1）解：如图（2），已知，则， 由折叠可得， ∴ 又∵是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：相等，理由如下： 在图（2）中，且由折叠可得 ∴，是等边三角形， 在图（3）中，连接， 由对称可得， ∵是等边三角形 ∴垂直平分， ∴垂直平分， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等边三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质与判定条件是解题的关键． 3．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）如图，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，交于点，再沿边将折叠到处，记度，度． (1)写出的等量关系； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了折叠的性质，解决本题的关键是熟练掌握折叠的性质． （1）由题意得度，度 度，再列等式求解即可； （2）先求得度，可得，再由，可得，即，再代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得度，度 度， 即， 解得； （2）解：因为将沿边折叠到处， 所以度， 所以， 因为， 所以，即， 由（1）得，代入得 解得， 所以 【考点24 等腰三角形的性质与判定的综合】 1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知点D，E分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若 (1)求证：是等腰三角形； (2)点G是上一点，连接，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． (1)先利用角平分线的定义可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，最后利用等角对等边可得：，即可解答； (2)利用(1)的结论可得：，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得：，再利用平行线的性质即可解答． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：， ， ， ， ， ． 2．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，为的中点，连接垂直平分，分别交于点，交于点，交于点，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握相关知识是解题的关键； 对于（1），根据等腰三角形的性质得是的垂直平分线，可得，再根据线段垂直平分线的性质得，即可得，此题可解； 对于（2），根据等腰三角形的性质可求，再根据直角三角形的两个锐角互余得出答案． 【详解】（1）证明：∵，点D是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，点D是的中点，， ∴． 在中，． 3．已知，在中，，点D，E分别在边上(D不与B，C重合)，． (1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为 °． (2)如图2，若，且点D是边上的任意一点，小亮发现的度数为定值， ①求的度数； ②当时，求的度数． (3)如图3，在点D的运动过程中，的形状也在改变，若，请直接写出当等于多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)70 (2)①② (3)或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等知识，理解并掌握等腰三角形的性质是解题关键． （1）根据题意易知为等腰三角形，由等腰三角形“三线合一”的性质可得，，结合，即可获得答案； （2）①首先结合三角形内角和定理解得，再根据三角形外角的定义和性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得，即可求得的度数；②当时，结合三角形内角和定理以及等腰三角形“等边对等角”的性质可解得的度数； （3）当时，易得，进而可得．然后分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即为等腰三角形， ∵，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：70； （2）①∵，， ∴， ∵，， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）若， 则， ∴． ①当时，， ∵， ∴此时不符合题意； ②当时，， ∵， ∴， ∴； ③当时，， ∴， ∴． 综上所述，当或时，是等腰三角形． 【考点25 等边三角形的性质与判定的综合】 1．在等边中，点E是上的动点，点E与点A，B不重合，点D在的延长线上，且． (1)如图1，若点E是的中点，求证：． (2)如图2，若 E不是的中点，（1）中的结论“”能否成立？若不成立，请直接写出与的数量关系，若成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用等边三角形的性质得，平分，，结合等边对等角得，则，即； （2）过E作交于F，结合为等边三角形，证明为等边三角形，则，再整理得，证明，得，故，即可作答． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，E是的中点， ∴，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过E作交于F， ∴ ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形 ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴ 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，垂足为，且，点、分别在边、上，且．求证： (1)是等边三角形； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质． （1）根据等腰三角形的“三线合一”求出，再由即可得证； （2）根据等边三角形的性质得到，，从而证明，根据全等三角形的对应边相等即可得证． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（24-25七年级下·上海松江·期末）已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． (1)如图（1），如果，证明：； (2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质等知识． （1）由线段垂直平分线的性质得，即可得出结论； （2）证明，得，，再证明是等边三角形，得到，然后证明，得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，P是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【考点26 勾股定理的证明】 1．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，设，求x及的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理的证明及应用，熟悉勾股定理的证明方法及应用是解题的关键； （1）先计算出梯形的面积，另一方面此梯形还可表示为两条直角边分别为a、b的两个直角三角形的面积与一个等腰直角三角形面积的和，由此即可得出勾股定理； （2）分别在与中，由勾股定理得; ，由此得到关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ∴， 即； （2）解：在中，; 在中，， 所以， 解得， ∴， ∴． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两个正方形的面积之和．利用这个方法可以验证勾股定理． 请根据上述信息，回答下列问题： (1)图②所示的割补过程为：割①补________，割________补⑥，割③补________； (2)将图②完成拼接后得到图③，已知小正方形的边长为2，大正方形的边长为，试计算其中一个直角三角形的周长． 【答案】(1)④；⑤；② (2) 【分析】本题考查面积法验证勾股定理，完全平方公式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由图可知，割①补④，割⑤补⑥，割③补②； （2）设题图③中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，利用图中大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积，列出方程可求，再利用完全平方公式求出，则题目可解． 【详解】（1）解：如图所示，割①补④，割⑤补⑥，割③补②； （2）解：设题图③中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为， 由题意可知中间小正方形的边长为， ∵大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积， ∴， 所以． 由勾股定理，得， ∴． ∵， ∴， 则一个直角三角形的周长． 3．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．著名的古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中给出了勾股定理的一种证明方法． 如图1，分别以的直角边及斜边为边向外作正方形，正方形和正方形，连接，作分别交于点．由四边形是正方形，可得．再由，可得．易得四边形和四边形是矩形（依据）． 思路梳理： 证明“”是关键，下面是“”的证明过程： 由四边形和四边形是正方形，易得． 点在同一直线上，即． ． 同理可证．从而可证明勾股定理． 任务： (1)材料中的依据为______． (2)请你补全材料中的证明过程． (3)当不是直角三角形时，其三边关系显然不满足勾股定理．如图2，当是锐角三角形时，请直接写出与之间的关系，并利用勾股定理予以简单证明．（提示：过点作于点） 【答案】(1)有三个角是直角的四边形是矩形 (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查矩形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理： （1）根据矩形的判定方法有三个角是直角的四边形是矩形进行作答即可； （2）证明，全等得到，进而得到，即可； （3）过点作于点，易得，，得到，结合勾股定理即可得证； 【详解】（1）解：依据是有三个角是直角的四边形是矩形， （2）补全过程如下： ， ． ． ， ， 即． （3）． 证明：如解图，过点作于点． 为锐角三角形， 点在线段上，即． ． ， ． ． 在中，根据勾股定理，得． ． 【考点27 勾股定理与折叠问题】 1．如图，小明同学将一个直角三角形的纸片折叠，与重合，折痕为，若已知，，你能求出的长吗？ 【答案】能， 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，由勾股定理可得，由折叠的性质得，，，即得，设，则，在中，利用勾股定理求出即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：能； ∵是直角三角形，，， ∴， 由折叠可得，，，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 2．（24-25八年级下·山东德州·期中）已知，如图折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处，如，．求的长． 【答案】3 【分析】本题主要考查了勾股定理在翻折中的应用，解题的关键是灵活运用勾股定理等几何知识来分析、判断、推理或解答． 首先根据勾股定理求出的长，借助翻转变换的性质及勾股定理列式求出的长，即可解决问题； 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图①，在矩形纸片中，，． 【实践操作】 第一步：如图②，将图①中的矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，然后把纸片展平； 第二步：如图③，将图②中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去； 第三步：如图④，将图③中的矩形纸片沿折叠，得到，延长与交于点N，与交于点M． 【问题解决】 (1)在图②中证明四边形是正方形； (2)请在图④中判断与的数量关系，并加以证明； (3)请在图④中求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，熟知矩形与折叠的性质，正方形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质和折叠的性质可得，，据此可证明结论； （2）连接，只需要证明即可得到； （3）设，则，由折叠的性质可得，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； （2）解；，证明如下： 如图所示，连接， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴ ， ∴； （3）解：∵四边形是正方形， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【考点28 利用勾股定理探究平方关系】 1．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 【答案】(1)，，， (2) (3)“垂美”四边形对边的平方和相等 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）根据“垂美”四边形的定义可得，再根据勾股定理即可求解； （2）根据“垂美”四边形的定义可得，进而得到，，根据即可求解； （3）由（1）（2）得到，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，，，， ，，，， ，，，； （2）四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，， ，， ； （3）由（1）（2）可得：，即“垂美”四边形对边的平方和相等． 2．如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂线的性质； （1）延长至使，连接，证明，从而得，，由得为中垂线，故，在中根据勾股定理即可的结论； （2）结合（1）中的结论可得，，在中利用勾股定理即可解决． 【详解】（1）证明：作，交延长线于，连接 ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， （2）解：设， ，，， 则， ， ， ， 即：， 由（1）知：，，， ，， ， ， 即：， 解得：， 即：． 3．（24-25八年级上·上海松江·期末）已知：在中，，．点、在线段上．    (1)如图1，如果，求证：． (2)如图2，如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）如图所示，过点C作于F，利用三线合一定理得到，由此即可证明； （2）如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，则，证明，得，再证明，则，即可证得． 【详解】（1）证明：如图所示，过点C作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴；    （2）证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接， ∵， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．      【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 【考点29 利用勾股定理的逆定理判断直角三角形】 1．（24-25八年级下·贵州·阶段练习）已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c满足， (1)直接写出______，______，______； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)是直角三角形，理由见解析． 【分析】本题考查绝对值的非负性，算术平方根的非负性，勾股定理的逆定理． （1）绝对值的非负性，算术平方根的非负性，平方的非负性，即可得，，的值； （2）根据勾股定理的逆定理，即可判断的形状． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，， ∴，，， ∴，，， 故答案为：，，． （2）解：是直角三角形，理由： 由（1）得，，， ∵， ∴， 又∵a，b，c为的三边长， ∴是直角三角形． 2．（25-26八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交、于点E、D． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，垂直平分线性质，解题的关键是先证明直角，再根据垂直平分线性质转换线段，根据勾股定理列方程求解． （1）根据勾股定理逆定理即可证明； （2）连接，根据是的垂直平分线，得到，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴ ∴ ∴是直角三角形； （2）解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）在中，，点，分别是，上的点，连接． (1)【基础设问】若点为的中点，，，，则是 三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”） (2)如图，连接，若平分，，，，则 ． (3)如图，若，，求证：点在的平分线上． (4)【能力设问】 如图，点在上运动，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，求线段的长． 【答案】(1)直角 (2)5 (3)见解析 (4)①，理由见解析；② 【分析】（1）先根据中点的定义得，再利用勾股定理逆定理求解即可； （2）先根据角平分线的性质得，设，则，利用勾股定理列方程求解即可； （3）连接，证明得，即可得出结论； （4）①由得，，由线段垂直平分线的性质得，，进而可推出，进一步可得结论； ②连接，设，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点为的中点，， ∴， ∵，，且， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角； （2）解：平分，，， ， 设，则， 在中，， ， ， 即， 故答案为：5； （3）证明：如图，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ∴点在的平分线上； （4）解：，理由如下： 由题意知，， ， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， ； ②如图，连接，设，则， ，， ，， 由勾股定理，得，， 即， ， 线段的长为． 【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理的应用，角平分线的判定及性质，全等三角形的判定及应用，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点．解题的关键是能够灵活应用相关知识点． 【实际应用篇】 【考点30 勾股定理的应用】 1．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点） (1)求的长． (2)如图2，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）设，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可； （2）在中，利用勾股定理求出的长，求出变化的长度就是物体上升的高度． 【详解】（1）解：由题意，得． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得． 答：的长为． （2）如图． 由题意，得， 所以． 在中，由勾股定理，得， ． 答：物体上升的高度为． 2．（24-25八年级下·山东德州·期末）荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算体育公园里一架秋千的绳索的长度．当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直． (1)求绳索的长； (2)直接写出将它往前推送，水平距离时，秋千踏板离地的垂直高度 ． 【答案】(1)绳索的长是 (2)1 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，矩形的判定和性质． （1）先证四边形是矩形，设，根据勾股勾股定理解即可； （2）根据勾股勾股定理解求出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知， 四边形是矩形， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 即绳索的长是． （2）解：在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 即秋千踏板离地的垂直高度为. 故答案为：1． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． (1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间； (2)C岛在A港的什么方向？ 【答案】(1) (2)北偏西 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用； （1）先求解，结合，可得，再进一步的利用勾股定理计算即可； （2）先证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知． 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴轮船从岛沿返回港所需的时间为． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴岛在港的北偏西方向上． 5．（2025八年级下·河南·专题练习）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇，城镇到轨道的垂直距离为．城镇到轨道的垂直距离为10千米，的长度为12千米． (1)求城镇之间的距离； (2)现要在线段上修建一个货运中转站，使得中转站到城镇的距离相等，此时中转站应修建在离点多远处？ 【答案】(1)13千米 (2)千米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，连接，可证明四边形为矩形，得到千米，千米，求出（千米），由勾股定理可得（千米）； （2）连接，，设千米，则千米．由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接． ． ，， ，， 四边形为矩形， 千米，千米， （千米）， 在中，（千米）， 答：城镇，之间的距离为13千米； （2）解：如图，连接，，设千米，则千米． ， ， ∴， 解得， 中转站应修建在离点的距离为千米处． 6．（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)A，C (2)建造绿化地的费用为11300元 (3)方案一所花的费用700元方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算， ，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为700元． 【作图篇】 【考点31 尺规作角平分线、线段垂直平分线】 1．如图，两条公路，交于点O，村庄M，N的位置如图所示，M在公路上，现要修建一个快递站P，使快递站到两条公路的距离相等，且到两村庄的距离也相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．    【答案】见解析 【分析】作线段的垂直平分线，作的角平分线，则交于一点，即为点P． 【详解】解：点P即为所求，如图所示：    【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法． 【答案】4处，图见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质作出图形即可． 【详解】解：如图，满足条件的点有4个，图中即为所求． 3．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）下图是某休闲广场的平面示意图，A，D是广场的两个入口，，，是小路，现要在广场（四边形）内部修建一处喷泉（点P），使喷泉P满足以下两个条件： ①喷泉P到小路，的距离相等； ②喷泉P到入口A和D的距离相等． 请利用尺规确定点P的位置（保留作图痕迹，不必写作法）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图、垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识点，掌握角平分线和垂直平分线的尺规作图方法是解题的关键． 作的角平分线，作线段的垂直平分线，两线的交点即为所求点P的位置． 【详解】解：如图：点P的位置即为所求． 【考点32 利用勾股定理网格作图】 1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，的三个顶点A、B、C均在格点上． 每个小正方形的顶点称为格点，小正方形边长为1．在下图中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中的上画出的高线； (2)在图②中的上找一点E，连接，使与面积比为； (3)在图③中的上找一点F，连接，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）先判断出，进而边上的高也是边的中线，所以找出的中点即为垂足，而中点利用矩形的对角线的交点即为中点，进而可作出高线； （2）在线段上截取，连接即可； （3）先判断出，利用格点找到T点，连接(使)交于点F，点F即为所求作． 【详解】（1）解：，， ， 是等腰三角形， 如图：即为所求； （2）解：在线段上截取，则， 与面积比即为． 如图：即为所求； （3）解：如图：点F即为所求．，，是公共角， ， 又， ． 【点睛】本题考查了作图应用和设计作图，勾股定理，三线合一性质等知识，熟悉网格中的垂直作图规则是解题的关键． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长都是1，线段和的端点都在小正方形的顶点上． (1)在图中画出一个以线段为一边的平行四边形，所画的平行四边形的各顶点必须在小正方形的顶点上，且其周长为． (2)在图中画出一个以线段为斜边的等腰，点G必须在小正方形的顶点上．连接，并直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理． （1）作一个邻边分别为5，4的平行四边形即可； （2）根据等腰直角三角形的定义画出图形，再利用勾股定理求出． 【详解】（1）解：， ∵以线段为一边的平行四边形周长为， ∴另一边长为， 画图如下； （2）解：画图如下， ，，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ． 3．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． (1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形． (2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、． (3)如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理、正方形的判定，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键． （1）根据勾股定理得到，根据网格的特点得到,作图即可得到所求正方形； （2）根据网格特点得到,根据勾股定理得到，顺次连接即可得到所求三角形； （3）利用勾股定理及其逆定理证明是等腰直角三角形，，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，正方形即为所求， （2）如图，即为所求， （3）如图，，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 4．（24-25八年级下·吉林·期末）如图均是边长为1的正方形组成的网格，小格的顶点叫格点，矩形的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求作图： (1)在图1中，在上找一点P，连接，使得； (2)在图2中，在上找一点Q，连接，，使得平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在上取点P，使得，连接，利用勾股定理可得，满足题意； （2）在CD上取一点Q，使得，利用勾股定理可得，根据等腰三角形的性质，可得，然后根据平行线的性质，可得，所以可推得，满足题意． 【详解】（1）解：如图1中，点P即为所求； （2）解：如图2中，点Q即为所求． 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，角平分线的定义，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 【压轴篇】 【考点33 做辅助线构造全等三角形】 1．（24-25八年级上·广东珠海·期末）如图1，四边形中，，对角线、交于点E，恰好是等边三角形，已知点O是的中点，连接． 【知识技能】（1）求证：平分； 【综合探究】（2）如图2，点F是的中点，连接、，求证：平分； 【拓广延伸】（3）求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）先证明，再证明，即可得到结论； （2）过点O分别作于点M，于点N，证明，可得，从而可得结论； （3）过点D作于点H．由等边和等腰可知，，证明，可得，证明，可得，再进一步利用割补法可得结论. 【详解】证明：（1）连接． ，点O是的中点， ， ， ， 在等边中，， 在和中， ， ， 平分； （2）过点O分别作于点M，于点N ， ，点O是的中点， 则， ，点F是的中点， 则， ， ， ∵， 在和中， ， ， ， ∴平分； （3）过点D作于点H． 由等边和等腰可知， ， 即， 又， ， ， ， ， ， ，点F是的中点， ，， 在和中， ， ， ， . 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键. 2．已知：是的角平分线，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，点E在上，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，且，连接． ①求证：； ②若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查全等三角形的性质及判定，涉及三角形面积、角平分线的性质等知识，解题的关键是根据已知条件，找出并证明相关的三角形全等． （1）用证明，即得； （2）①证明可得，再用证明，即得； ②过F作于K，由，可得，，而，故，即得，根据，可求． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴． （2）①在中，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ②如图3，过点A分别作于H，于M，交的延长线于点N，过点F作于K． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·全国·期末）（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点A作，垂足为D，交于点E．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，，点D在线段上，且于E，交于F，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）根据“”证明即可得出结论； （2）先证，再证得出，进而即可得解； （3）如图：过点D作，交的延长线于点G，与相交于H，证出和，然后进行线段的等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：∵平分，点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：；理由如下： 由（1）得：， ∴， 即， ∵，垂足为D， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）；理由如下： 如图3：过点D作，交的延长线于点G，与相交于H， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形综合．熟练掌握角平分线有关计算，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线，是解题的关键． 【考点34 做辅助线构造等腰三角形】 1．已知：如图，，、分别是、的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质．连接、，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，进而根据等腰三角形的“三线合一”即可证明． 【详解】解：连接、， ，是的中点， ， 点是的中点， ． 2．（25-26八年级上·全国·期末）已知在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且，连接，． 【问题发现】 （1）如图，当D为的中点时，探究线段与之间的数量关系，直接写出结论： ；（选填“”“”或“”） 【类比探究】 （2）如图，当D为边上任意一点时，探究线段与之间的数量关系，并证明； 【拓展延伸】 （3）当D为的中点，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且．若，求的长． 【答案】（1）（2），证明见解析（3）的长为9或1 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，从而得到，由等边对等角结合三角形外角的定义及性质可得，即可推出； （2）过点D作，交于点M，结合等边三角形的判定与性质，证明即可得证； （3）分两种情况：当点Q在线段的延长线上时，当点Q在线段上时，分别求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵为等边三角形，D为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 故答案为： （2），证明如下： 如图②，过点D作，交于点M， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）的长为9或1，理由如下： 当点Q在线段的延长线上时， 如图③，作交于点M， 由（2）知为等边三角形， ∴，， ∵D为等边的边的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 当点Q在线段上时，如图④， 同理可证明， 则， 综上所述，的长为9或1． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键． 3．（24-25八年级下·山西晋中·期中）综合与实践 【问题提出】 （1）如图①，在中，，点为外一点，点为延长线上一点，点为线段上一点，于点、于点，且．则猜想并证明，，之间的数量失系． （2）如图②，已知等边三角形及外一点，连接，，．若，试判断，，之间满足的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，在中，，点为外一点，且，，直接写出的度数． 【答案】（1）（2），证明见解析（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）证明，得出，，根据线段的和差关系即可得出结论； （2）在上截取，连接，证明为等边三角形，得出，，再证明，得出，即可得证； （3）延长至，使，再在上取点，使，连接，证明为等边三角形，得出，，证明，得出，再证明，得出，即可得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）结论：， 证明：在上截取，连接， 在等边中，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）证明：延长至，使，再在上取点，使，连接，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， 又， ∴， ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【考点35 三角形中的最值问题】 1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，求 的度数． (2)若，的周长是． ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 【答案】(1) (2)①；②最小值为 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可求解； （2）①根据线段垂直平分线的性质可得，然后求出的周长，再代入数据进行计算即可得解；②当点与重合时，周长的值最小，据此解答即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，的周长是， ∴； ②当点与重合时，周长的值最小， 理由：∵，， ∴与重合时，，此时最小， ∴周长的最小值． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】模型解决：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 模型应用：9 模型拓展：100 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【详解】模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决． 故答案为：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边； 模型应用：解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为100． 3．（24-25七年级下·福建三明·期中）已知：等腰中，． (1)如图1，若是的高，是的角平分线，与交于点．当的大小变化时，的形状也随之改变． ①设，求角度的变量与的关系式； ②当是等腰三角形时，求的度数． (2)如图2，若的面积是是的高，点分别是线段上的点，直接写出的最小值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质求线段和的最值，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）①根据三角形内角和定理分别表示出，根据三角形的外角的性质得出，即可求解； ②先表示出的三个内角，然后根据等腰三角形的性质，分类讨论，列出方程，解方程，即可求解； （2）过点作，垂足为，交于点，连接，当重合时，的最小值为，进而根据三角形的面积公式求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：①设 ∵ ∴ ∵是的高，是的角平分线， ∴， ∴ ∴； ②∵是的高， ∴ ∵ ∴ ∵是等腰三角形时 当时， ∴ 解得：即 当时， ∴ 解得：即 当时， ∴ s解得：（不合题意，舍去） 综上所述，或 （2）解：如图，过点作，垂足为，交于点，连接， ∵，是的高， ∴是的对称轴， ∴，当重合时取得最小值，即的最小值为 ∵的面积是， ∴ ∴的最小值是 【考点36 三角形中的分类讨论】 1．（24-25七年级下·上海·期末）在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰 纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时， ； (2)当等于何值时，？请说明理由； (3)在点的滑动过程中，存在 是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，，见解析 (3)存在，或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，进而可以解决问题； （2）当时，与全等，理由为：根据，且度数，求出与度数，再由外角性质得到，根据，利用即可得证； （3）点在滑动时，的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当；；，分别求出夹角的大小即可． 本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：当时，；理由如下： ∵，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴（）； （3）解：存在是等腰三角形；理由如下： ∵是等腰三角形， ，， ①当时， ∴， 即， ∴； ②当时，是等腰三角形， ∴，即， ∴； ③当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 即， ∴， 此时点与点重合，点和重合， ∵点不与，重合， ∴，舍去， 综合所述，存在是等腰三角形；或． 2．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A，C两点的坐标分别为，点，且，已知点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为． (1)求A，C两点的坐标； (2)连接，当点P在x轴的正半轴上时，用含t的代数式表示的面积； (3)当点P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或或或 【分析】本题考查了非负数的性质，全等三角形的性质，求点的坐标等知识，利用三角形全等是解题的关键； （1）由非负数的性质即可求解； （2）由题意得，，由三角形面积公式即可求解； （3）分两种情况，；；利用三角形全等的性质，考虑点Q的位置即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵，，如图 ∴， 由题意得：， 当点P在x轴的正半轴上时，， ∴； （3）解：存在； 当时，则， 如下左图，当点Q在y轴正半轴上时，； 当点Q在y轴负半轴上时，； 当时，则， 如右图，当点Q在y轴正半轴上时，； 当点Q在y轴负半轴上时，； 综上，点Q的坐标为或或或． 3．在直角坐标平面内，已知点A(3，0)、点B(0，4)，，在坐标轴上找点，使构成等腰三角形． (1)这样的等腰三角形有______个； (2)直接写出分别以、为顶角时所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)8 (2)当为顶角时，(8，0)，(0，-4)，(-2，0)；当为顶角时，(-3，0)，(0，-1)，(0，9)． 【分析】（1）分类讨论：①当AB=BC时，②当AB=AC时和③当BC=AC时，画出图形即可得出结论； （2）根据（1）结合图形和等腰三角形的定义即可求解． 【详解】（1）分类讨论：①当AB=BC时，如图，和； ②当AB=AC时，如图，和； ③当BC=AC时，如图和． 综上可知满足条件的点C有个， 故答案为：； （2）当为顶角时，即AB=AC=5，此时点C的位置即上图中，，． ∴，，， ∴(8，0)，(0，-4)，(-2，0)； 当为顶角时，即AB=BC=5，此时点C的位置即上图中，，． ∴，，， ∴(-3，0)，(0，-1)，(0，9)． 【点睛】本题考查坐标与图形，等腰三角形的定义．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 【考点37 利用勾股定理求最短路径】 1．编织一个底面周长为、高为的圆柱形花柱架，需沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，如图，则每一根这样的竹条的长度最少是多少厘米？ 【答案】每一根这样的竹条的长度最少是 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，将立体图形转化在平面图形中求解是解题的关键．将圆柱侧面展开，再根据勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：将圆柱侧面展开，如图所示， 圆柱底面周长为，高为， ， 即每一根这样的竹条的长度最少是． 2．问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程． (1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接； (2)线段的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_________； (3)问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程． 【答案】(1)图形见解析 (2)两点之间线段最短. (3)这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为． 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短． （1）根据题意画出三棱柱木块的平面展开图，根据两点之间线段最短连接即可； （2）根据题（1）结合两点之间线段最短即可求解； （3）根据题意可得，展开图中等于长方形地毛毯的长和三角形一条边长之和，展开图中等于长方形地毛毯的宽，根据勾股定理计算的长即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短； （3）根据题意可得：展开图中的，． 在中，由勾股定理可得：， 即这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为． 3．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处．    (1)请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； (2)当时，求蚂蚁爬过的最短路径长的平方． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）蚂蚁可从柜角A处沿着木柜的前面和右侧面爬到柜角处；也可从柜角A处沿着木柜的前面和上面爬到柜角处； （2）分别计算和即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： 蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的和 （2）解：∵ ∴ ∵ ∴蚂蚁爬过的最短路径长的平方为 【点睛】本题考查了勾股定理与最短路径问题．根据立体图形的侧面展开图找到最短路径是解题关键． 4．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）如图1，长方体盒子的体积是立方厘米，它的长、宽、高的比是． (1)若有一条长 的铁丝，不弯折能否完全放进去？说明理由； (2)如图2，若经过盒子个侧面从到缠一条金线，求所需金线的最小长度． 【答案】(1)能，理由见解析 (2)厘米 【分析】本题考查勾股定理的应用，长方体的体积以及侧面展开图． （1）根据长方体体积的计算方法求出长方体的长、宽、高，再根据勾股定理进行计算即可； （2）将4个侧面展开后由勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）解：能，理由如下 设这个长方体的长为，则宽为，高为，由题意得，， 解得， 即正方体的长为，宽为，高为， 如图1，连接，，此时，是能放进盒中最长长度， 因此一条长的铁丝可以不弯折完全放进去； （2）解：将图2的四个侧面展开后如图所示， 此时， 所需金线的最小长度为 【考点38 利用勾股定理构造图形解决问题】 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数x满足，求x的值． 【答案】（1）13；（2）；（3）4.8 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意的数形结合思想进行求解问题． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【详解】（1），， ， ∴的最小值是13， 故答案为13； （2）如图， ， ， ， ∴的最小值是； （3）构造于，如图所示： 设，则， ， ， ， ， ， ∴方程的解是． 2．已知点M，N把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的勾股分割点．      (1)如图1，点M、N是线段的勾股分割点， ①当＝3，＝4时，求的长； ②当＝，＝时，求的长； (2)如图2，点C是线段上的一定点，请在上画一点D，使C、D是线段的勾股分割点．（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，画出一种情形即可） 【答案】(1)①5或；②或 (2)见解析 【分析】（1）①分为斜边或直角边两种情况，运用勾股定理知识解决问题；②分为斜边或直角边两种情况，运用勾股定理知识解决问题； （2）运用勾股定理尺规作图． 【详解】（1）解：（1）①当为直角三角形的斜边时，＝＝5； 当为直角三角形的直角边时，＝＝； ②当为直角三角形的斜边时，＝＝； 当BN为直角三角形的直角边时，BN＝＝； （2）如图所示，点D就是符合条件的点．    【点睛】本题考查了勾股定理及应用，熟练运用勾股定理公式是解决本题的关键．本题主要体现数形结合与分类讨论思想． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习6大类型38个考点（前3章） 【苏科版2024】 【基础概念易错篇】 2 【考点1 三角形的三边关系】 2 【考点2 三角形的角平分线、中线和高】 2 【考点3 全等三角形的性质】 3 【考点4 全等三角形的判定】 4 【考点5 角平分线的性质与判定】 5 【考点6 线段垂直平分线的性质与判定】 6 【考点7 等腰三角形的判定】 7 【考点8 等腰三角形的性质】 8 【考点9 等边三角形的性质】 9 【考点10 等边三角形的判定】 9 【考点11 直角三角形斜边的中线】 10 【考点12 平方根与算术平方根】 11 【考点13 立方根】 11 【考点14 实数】 12 【考点15 判断勾股数】 12 【考点16 利用勾股定理求线段长度】 12 【考点17 以弦图为背景的计算】 14 【考点18 判断三边能否构成直角三角形】 15 【考点19 已知两点求构成直角三角形的点】 15 【计算篇】 15 【考点20 实数的运算】 15 【几何计算与证明篇】 16 【考点21 与折叠有关的角度的计算问题】 16 【考点22 角的平分线与线段的垂直平分线】 17 【考点23 利用轴对称的性质判断线段之间的关系】 18 【考点24 等腰三角形的性质与判定的综合】 19 【考点25 等边三角形的性质与判定的综合】 21 【考点26 勾股定理的证明】 21 【考点27 勾股定理与折叠问题】 23 【考点28 利用勾股定理探究平方关系】 25 【考点29 利用勾股定理的逆定理判断直角三角形】 26 【实际应用篇】 27 【考点30 勾股定理的应用】 27 【作图篇】 29 【考点31 尺规作角平分线、线段垂直平分线】 29 【考点32 利用勾股定理网格作图】 30 【压轴篇】 32 【考点33 做辅助线构造全等三角形】 32 【考点34 做辅助线构造等腰三角形】 33 【考点35 三角形中的最值问题】 34 【考点36 三角形中的分类讨论】 36 【考点37 利用勾股定理求最短路径】 37 【考点38 利用勾股定理构造图形解决问题】 39 【基础概念易错篇】 【考点1 三角形的三边关系】 1．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，, B．,, C．，, D．,, 2．已知的三条边长分别为5、7和x，则x的取值范围是 ． 3．（24-25七年级下·山东烟台·期末）用一条长细绳（不留余绳）围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的倍，则底边的长为 ． 4．现有、、、长的四根木棒，任选其中三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点2 三角形的角平分线、中线和高】 1．如图，在中，利用三角板能表示边上的高的为（    ） A．     B．   C．   D．     2．如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 3．如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=6， AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差= ． 4．如图，已知中，点，分别是边，的中点．若的面积等于，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【考点3 全等三角形的性质】 1．（24-25八年级上·山西忻州·期中）如图，，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 2．在中，，且，则的度数为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【考点4 全等三角形的判定】 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，，添加下列条件，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·期中）小华家梳妆台上的一块三角形玻璃不小心摔成了如图所示的四块，需要去玻璃装饰品店再配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃，可以选择的方法是（      ） A．带（1）和（3）去 B．带（3）和（4）去 C．带（1）和（4）去 D．带（1）和（2）去 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）根据下列条件，能判定的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，，与的周长相等 4．（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）如图，已知的六个元素，而在图甲、乙、丙中，仅已知甲、乙、丙三个三角形中某些元素，则与一定全等的三角形是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【考点5 角平分线的性质与判定】 1．如右图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（　　）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．如图，O是内一点，且O到三边的距离，若，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，中，是角平分线，是的中线，若的面积是，则的面积是（    ） A．5 B．6.8 C．7.5 D．8 4．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，要画的角平分线，让一把直尺的一边与重合，让另一把直尺的一边与重合，并且两把直尺交于点P，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【考点6 线段垂直平分线的性质与判定】 1．如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，中，，是边上的中线，点在上，则与的关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，延长 到点D，连接．若通过尺规作图所得直线恰好经过点 C，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【考点7 等腰三角形的判定】 1．如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在中，，D，E分别是线段上的一点，根据下列条件之一，不能确定是等腰三角形的是（    ）    A． B． C． D． 3．如图,△ABC为等边三角形,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,OE∥AB交BC于点E,OF∥AC交BC于点F,图中等腰三角形共有(　　) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A和B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数为 ． 【考点8 等腰三角形的性质】 1．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　） A．15°或75° B．30° C．150° D．150°或30° 2．如图，，则 ． 3．如图，在中，，，，则（    ） A． B． C． D．不确定 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，这是一个等腰三角形屋顶钢架外框，其中，立柱，且顶角，则的度数为 ． 5．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，，，则 ． 【考点9 等边三角形的性质】 1．如图，以等边的边为腰作，使，连接，若，则 ． 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，等边三角形纸片的边长为，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点C落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为 3．如图，是等边的边的中点，且，于，于，则 ． 4．如图，是等边三角形，是高，且，E是边的中点，点P是上一动点，则的最小值是 ． 【考点10 等边三角形的判定】 1．已知a，b，c为三边，且满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 2．满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（    ） ①有两个角是60°的三角形；②有两个外角相等的等腰三角形：③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等的三角形；④一边上的高也是这边中线的等腰三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上 【考点11 直角三角形斜边的中线】 1．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上 三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，平分，于点，是的中点，则的周长是（　　） A．9 B．10 C．13 D．20 3．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图所示，在四边形中，，，，为的中点，连接，若，则的度数为 ． 【考点12 平方根与算术平方根】 1．若，则的平方根是 ． 2．（25-26八年级上·福建泉州·阶段练习）代数式的值最大时，的值为 ． 3．已知：满足关系，则的立方根是 ． 4．（25-26八年级上·江西九江·阶段练习）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（    ） A．5 B．7 C．11 D．12 6．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段练习）若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（   ） A．1 B．3 C．9 D．25 7．（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【考点13 立方根】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法中，不正确的是（   ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．0的立方根是0 D．的立方根是 2．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若，则b等于（    ） A．1000000 B．1000 C．10 D．10000 3．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）已知   则 （精确到百分位） 4．（24-25七年级下·江西赣州·期末）若是的算术平方根，是的立方根，则的值为 ． 【考点14 实数】 1．（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号） 2．如图，已知数轴上的点分别表示数、、1、2，则表示的点应落在线段（   ） A．上 B．上 C．上 D．上 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）若的整数部分是，小数部分是，则为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）对于的叙述，下列说法正确的是（    ） A．它不能用数轴上的点表示出来 B．它是一个无理数 C．它比大 D．它的相反数为 5．（24-25七年级下·山东德州·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【考点15 判断勾股数】 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段练习）有一组勾股数，若其中两个为10，8，则第三个数为 ． 2．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）下列各组数是勾股数的是（    ） A．2，3，5 B．，2， C．8，15，17 D．，， 3．（25-26八年级上·甘肃白银·阶段练习）勾股定理最早出现在《周髀算经》中：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列各组勾股数：6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；14，48，50；……可发现当一组勾股数的勾为（，为正整数）时，它的股、径分别为和．若一组勾股数的勾为26，则径为 ． 【考点16 利用勾股定理求线段长度】 1．（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高的学生刚走到离门间距的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（   ）    A． B． C． D． 2．如图，中，，是斜边的中点，过点作于点，则线段的长度为（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．5.2 3．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（   ）    A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个矩形，以表示3的点为圆心，以矩形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是（    ） A． B． C． D． 【考点17 以弦图为背景的计算】 1．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，《周髀算经》中的“弦图”是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是，小正方形的面积与大正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．52 B．48 C．72 D．76 3．（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）将两个“赵爽弦图”中的两个正方形和八个直角三角形按如图方式摆放围成正方形，空隙处增加四个正方形．记其中两个正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个判断： ①；②；③若，则；④若，则，其中正确的序号是（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【考点18 判断三边能否构成直角三角形】 1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）下列哪个条件不能判定为直角三角形（   ） A． B． C．，， D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知是的三边长，若，则的形状是 ． 3．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在长方形中，，，点，分别是，边上一点，且，．则图中的直角三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点19 已知两点求构成直角三角形的点】 1．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 2．如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动 秒时，与的边垂直． 【计算篇】 【考点20 实数的运算】 1．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段练习）计算： (1) (2) 2．已知的平方根为，是的立方根． (1)求，的值； (2)求的算术平方根． 3．计算： (1)； (2)． 4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）求满足下列各式的未知数的值． (1) (2) 5．（24-25七年级下·北京·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的x为时，输出的y值是______； (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______； (3)若输出的y是，求x的负整数值． 【几何计算与证明篇】 【考点21 与折叠有关的角度的计算问题】 1．（24-25七年级下·吉林长春·期末）在中，，，，将沿某条直线折叠，使三角形的顶点与重合，折痕为． (1)试求的周长； (2)若，求的度数． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，． (1)求证：． (2)若恰好平分，求的度数． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，将长方形纸片沿和折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角，点，的对应点分别为点，，折叠后点，的对应点恰好都在点E． (1)若折痕角，求帽子顶角的度数； (2)设度，度． ①请用含的代数式表示，则________； ②当时，帽子比较美观，求此时的值． 【考点22 角的平分线与线段的垂直平分线】 1．在Rt△ABC中，，AE是斜边BC上的高，角平分线BD交AE于点G，交AC于点D，于点F． (1)求证：； (2)试判断AD与AG有怎样的数量关系？请说明理由． 2．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，是的垂直平分线上两点，延长，交于点，交于点． 求证： (1)是的角平分线； (2)． 3．（24-25八年级下·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 【考点23 利用轴对称的性质判断线段之间的关系】 1．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图1，是等边三角形，点D为边上一点，连接，点C关于的对称点为点E，连接． (1)若是的平分线，求的度数； (2)如图2，连接并延长交的延长线于点F，，试探究，和三者之间满足的等量关系，并说明理由． 2．如图（1），已知等边的边长为8，点P是边上的一个动点（与点A，B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把沿直线l折叠，点B的对应点是点，且当时，点恰好在（不含端点A，C）边上． (1)在图（2）中画出当时的图形，并求出此时的长度； (2)在点P的运动过程中，探究点到点A，C之间的距离的关系． 3．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）如图，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，交于点，再沿边将折叠到处，记度，度． (1)写出的等量关系； (2)若，求的值． 【考点24 等腰三角形的性质与判定的综合】 1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知点D，E分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若 (1)求证：是等腰三角形； (2)点G是上一点，连接，若，，求的度数． 2．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，为的中点，连接垂直平分，分别交于点，交于点，交于点，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 3．已知，在中，，点D，E分别在边上(D不与B，C重合)，． (1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为 °． (2)如图2，若，且点D是边上的任意一点，小亮发现的度数为定值， ①求的度数； ②当时，求的度数． (3)如图3，在点D的运动过程中，的形状也在改变，若，请直接写出当等于多少度时，是等腰三角形． 【考点25 等边三角形的性质与判定的综合】 1．在等边中，点E是上的动点，点E与点A，B不重合，点D在的延长线上，且． (1)如图1，若点E是的中点，求证：． (2)如图2，若 E不是的中点，（1）中的结论“”能否成立？若不成立，请直接写出与的数量关系，若成立，请说明理由． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，垂足为，且，点、分别在边、上，且．求证： (1)是等边三角形； (2)． 3．（24-25七年级下·上海松江·期末）已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． (1)如图（1），如果，证明：； (2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 【考点26 勾股定理的证明】 1．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，设，求x及的值． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两个正方形的面积之和．利用这个方法可以验证勾股定理． 请根据上述信息，回答下列问题： (1)图②所示的割补过程为：割①补________，割________补⑥，割③补________； (2)将图②完成拼接后得到图③，已知小正方形的边长为2，大正方形的边长为，试计算其中一个直角三角形的周长． 3．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．著名的古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中给出了勾股定理的一种证明方法． 如图1，分别以的直角边及斜边为边向外作正方形，正方形和正方形，连接，作分别交于点．由四边形是正方形，可得．再由，可得．易得四边形和四边形是矩形（依据）． 思路梳理： 证明“”是关键，下面是“”的证明过程： 由四边形和四边形是正方形，易得． 点在同一直线上，即． ． 同理可证．从而可证明勾股定理． 任务： (1)材料中的依据为______． (2)请你补全材料中的证明过程． (3)当不是直角三角形时，其三边关系显然不满足勾股定理．如图2，当是锐角三角形时，请直接写出与之间的关系，并利用勾股定理予以简单证明．（提示：过点作于点） 【考点27 勾股定理与折叠问题】 1．如图，小明同学将一个直角三角形的纸片折叠，与重合，折痕为，若已知，，你能求出的长吗？ 2．（24-25八年级下·山东德州·期中）已知，如图折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处，如，．求的长． 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图①，在矩形纸片中，，． 【实践操作】 第一步：如图②，将图①中的矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，然后把纸片展平； 第二步：如图③，将图②中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去； 第三步：如图④，将图③中的矩形纸片沿折叠，得到，延长与交于点N，与交于点M． 【问题解决】 (1)在图②中证明四边形是正方形； (2)请在图④中判断与的数量关系，并加以证明； (3)请在图④中求的长度． 【考点28 利用勾股定理探究平方关系】 1．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 2．如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 3．（24-25八年级上·上海松江·期末）已知：在中，，．点、在线段上．    (1)如图1，如果，求证：． (2)如图2，如果，求证：． 【考点29 利用勾股定理的逆定理判断直角三角形】 1．（24-25八年级下·贵州·阶段练习）已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c满足， (1)直接写出______，______，______； (2)判断的形状，并说明理由． 2．（25-26八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交、于点E、D． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）在中，，点，分别是，上的点，连接． (1)【基础设问】若点为的中点，，，，则是 三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”） (2)如图，连接，若平分，，，，则 ． (3)如图，若，，求证：点在的平分线上． (4)【能力设问】 如图，点在上运动，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，求线段的长． 【实际应用篇】 【考点30 勾股定理的应用】 1．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点） (1)求的长． (2)如图2，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度． 2．（24-25八年级下·山东德州·期末）荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算体育公园里一架秋千的绳索的长度．当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直． (1)求绳索的长； (2)直接写出将它往前推送，水平距离时，秋千踏板离地的垂直高度 ． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． (1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间； (2)C岛在A港的什么方向？ 5．（2025八年级下·河南·专题练习）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇，城镇到轨道的垂直距离为．城镇到轨道的垂直距离为10千米，的长度为12千米． (1)求城镇之间的距离； (2)现要在线段上修建一个货运中转站，使得中转站到城镇的距离相等，此时中转站应修建在离点多远处？ 6．（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【作图篇】 【考点31 尺规作角平分线、线段垂直平分线】 1．如图，两条公路，交于点O，村庄M，N的位置如图所示，M在公路上，现要修建一个快递站P，使快递站到两条公路的距离相等，且到两村庄的距离也相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．    2．三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法． 3．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）下图是某休闲广场的平面示意图，A，D是广场的两个入口，，，是小路，现要在广场（四边形）内部修建一处喷泉（点P），使喷泉P满足以下两个条件： ①喷泉P到小路，的距离相等； ②喷泉P到入口A和D的距离相等． 请利用尺规确定点P的位置（保留作图痕迹，不必写作法）． 【考点32 利用勾股定理网格作图】 1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，的三个顶点A、B、C均在格点上． 每个小正方形的顶点称为格点，小正方形边长为1．在下图中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中的上画出的高线； (2)在图②中的上找一点E，连接，使与面积比为； (3)在图③中的上找一点F，连接，使得． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长都是1，线段和的端点都在小正方形的顶点上． (1)在图中画出一个以线段为一边的平行四边形，所画的平行四边形的各顶点必须在小正方形的顶点上，且其周长为． (2)在图中画出一个以线段为斜边的等腰，点G必须在小正方形的顶点上．连接，并直接写出的长． 3．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． (1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形． (2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、． (3)如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求的度数． 4．（24-25八年级下·吉林·期末）如图均是边长为1的正方形组成的网格，小格的顶点叫格点，矩形的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求作图： (1)在图1中，在上找一点P，连接，使得； (2)在图2中，在上找一点Q，连接，，使得平分． 【压轴篇】 【考点33 做辅助线构造全等三角形】 1．（24-25八年级上·广东珠海·期末）如图1，四边形中，，对角线、交于点E，恰好是等边三角形，已知点O是的中点，连接． 【知识技能】（1）求证：平分； 【综合探究】（2）如图2，点F是的中点，连接、，求证：平分； 【拓广延伸】（3）求证：． 2．已知：是的角平分线，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，点E在上，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，且，连接． ①求证：； ②若，且，求的长． 3．（24-25八年级上·全国·期末）（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点A作，垂足为D，交于点E．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，，点D在线段上，且于E，交于F，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【考点34 做辅助线构造等腰三角形】 1．已知：如图，，、分别是、的中点．求证：． 2．（25-26八年级上·全国·期末）已知在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且，连接，． 【问题发现】 （1）如图，当D为的中点时，探究线段与之间的数量关系，直接写出结论： ；（选填“”“”或“”） 【类比探究】 （2）如图，当D为边上任意一点时，探究线段与之间的数量关系，并证明； 【拓展延伸】 （3）当D为的中点，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且．若，求的长． 3．（24-25八年级下·山西晋中·期中）综合与实践 【问题提出】 （1）如图①，在中，，点为外一点，点为延长线上一点，点为线段上一点，于点、于点，且．则猜想并证明，，之间的数量失系． （2）如图②，已知等边三角形及外一点，连接，，．若，试判断，，之间满足的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，在中，，点为外一点，且，，直接写出的度数． 【考点35 三角形中的最值问题】 1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，求 的度数． (2)若，的周长是． ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 3．（24-25七年级下·福建三明·期中）已知：等腰中，． (1)如图1，若是的高，是的角平分线，与交于点．当的大小变化时，的形状也随之改变． ①设，求角度的变量与的关系式； ②当是等腰三角形时，求的度数． (2)如图2，若的面积是是的高，点分别是线段上的点，直接写出的最小值． 【考点36 三角形中的分类讨论】 1．（24-25七年级下·上海·期末）在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰 纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时， ； (2)当等于何值时，？请说明理由； (3)在点的滑动过程中，存在 是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 2．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A，C两点的坐标分别为，点，且，已知点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为． (1)求A，C两点的坐标； (2)连接，当点P在x轴的正半轴上时，用含t的代数式表示的面积； (3)当点P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．在直角坐标平面内，已知点A(3，0)、点B(0，4)，，在坐标轴上找点，使构成等腰三角形． (1)这样的等腰三角形有______个； (2)直接写出分别以、为顶角时所有符合条件的点的坐标． 【考点37 利用勾股定理求最短路径】 1．编织一个底面周长为、高为的圆柱形花柱架，需沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，如图，则每一根这样的竹条的长度最少是多少厘米？ 2．问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程． (1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接； (2)线段的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_________； (3)问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程． 3．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处．    (1)请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； (2)当时，求蚂蚁爬过的最短路径长的平方． 4．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）如图1，长方体盒子的体积是立方厘米，它的长、宽、高的比是． (1)若有一条长 的铁丝，不弯折能否完全放进去？说明理由； (2)如图2，若经过盒子个侧面从到缠一条金线，求所需金线的最小长度． 【考点38 利用勾股定理构造图形解决问题】 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数x满足，求x的值． 2．已知点M，N把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的勾股分割点．      (1)如图1，点M、N是线段的勾股分割点， ①当＝3，＝4时，求的长； ②当＝，＝时，求的长； (2)如图2，点C是线段上的一定点，请在上画一点D，使C、D是线段的勾股分割点．（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，画出一种情形即可） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $