八年级数学上学期第一次学情自测·拔尖卷（新教材苏科版，举一反三，测试范围：第1章 三角形～第2章 实数的初步认识）

**基本信息** 聚焦三角形与实数核心知识，通过分层设计与情境化问题，考查抽象能力、推理意识及创新应用，适配八年级上学期学情检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数判断、全等三角形判定、等腰三角形分类|结合实践情境（如视线夹角问题）考查几何直观| |填空题|6/18|平方根应用、等腰三角形构造、角平分线性质|设计开放探究（如四边形中构造等边三角形）培养空间观念| |解答题|7/72|实数运算、几何作图、三角形综合探究|通过多问递进（如正方形中线段关系探究）发展推理意识与创新意识|

八年级数学上学期第一次学情自测·拔尖卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·四川德阳·期中）在，，，，，，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解： ，， 在，，，，，，，中，无理数有，共个． 2．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点，于点，图中所有的点都在同一平面内．当，时，根据全等三角形的知识可得到，这里直接判定和全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意整理已知条件： 由 ，，可得 ， ∵ ，， 且 恰好是 和 的夹边，恰好是 和 的夹边， 满足两角及其夹边对应相等，符合全等三角形的 （角边角）判定依据． 3．（25-26七年级上·河南新乡·期末）下列说法正确的是（   ） A．近似数和表示的意义一样 B．万精确到万位 C．300精确到百位 D．将精确到百分位是 【答案】D 【分析】根据近似数的精确位数判断各选项正误． 【详解】解：A.近似数精确到十分位，精确到百分位，二者意义不同，A错误； B.万精确到千位，B错误； C.300精确到个位，C错误； D. 将精确到百分位是，D正确； 【点睛】掌握近似数的精确度及四舍五入规则． 4．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，于点，点在边上，连接，为的中点，连接．若，则的长为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】首先利用三线合一性质得到点D是的中点，然后利用三角形中位线定理求出，进而求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴，即点D是的中点， ∵为的中点， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，中，是的中点，，，交于，则的值为（　　） A． B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】连接，过点E作，交的延长线于点G，证明，进一步结合全等三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 过点E作，交的延长线于点G， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 6．（25-26八年级下·江苏苏州·开学考试）已知的平方根是；的立方根为；c是的整数部分．求的值（     ） A． B．3 C．8 D． 【答案】A 【详解】解：∵的平方根是， ∴，解得 ； ∵的立方根是， ∴，解得 ； ∵， ∴， ∴的整数部分， ∴. 7．（25-26七年级下·四川内江·阶段检测）已知等腰三角形的三边长分别为，，，则这个等腰三角形的周长是（     ） A．5 B．5或 C．或14 D．5或或14 【答案】D 【分析】根据等腰三角形两边相等的性质分三种情况讨论，结合三角形三边关系验证后计算周长． 【详解】解：分三种情况讨论： ① 当时， 解得， 此时三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； ② 当时， 解得， 此时三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； ③ 当时， 解得，此时三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； 综上所述，这个等腰三角形的周长是5或或14． 8．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，为的中线，为的中线，若的面积为，，则中边上的高是（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】利用三角形中线性质和同底等高面积相等，有，过点E作，利用面积公式即可求得答案． 【详解】解：过点E作交于点F，如下图， ∵为的中线，为的中线， ∴，， ∴， ∵的面积为30，， ∴， 解得， 即中边上的高为3． 9．（25-26七年级下·重庆·期末）如图所示，在和中，，，，上有一点，连接，使得，则的度数（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设为未知数，利用等腰三角形两底角相等分别表示出与，结合建立等式求出，再算出；最后证，得到平分，求出． 【详解】解：设． ∵， ∴． ∴． ， 为等腰三角形， ． ， 为等腰三角形， ． 由图可知，代入式子： ∵， ， 解得，即． ， ． 在和中， ． ∴． ， ． 10．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·上海·期末）有两个连续的自然数，若其中较小的自然数的平方根是，则其中较大的自然数的算术平方根是___________． 【答案】 【分析】根据平方根的定义得到较小自然数，再利用连续自然数的性质得到较大自然数，最后求出较大自然数的算术平方根． 【详解】解：∵较小的自然数的平方根是， ∴较小的自然数为， ∵两个数是连续的自然数， ∴较大的自然数为， ∴较大的自然数的算术平方根是． 12．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是______．    【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据两直线平行，同位角相等得到，然后增加，即可根据三个角是的三角形是等边三角形． 【详解】解：增加，理由为： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：． 13．（2025·广西南宁·模拟预测）已知都是实数，且，则的平方根为______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列出不等式组求出的值，再代入原式求出的值，计算得到后，根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：要使二次根式和有意义，需满足， 解得， 将代入，得， ∴， 根据平方根的定义，的平方根为． 14．（25-26八年级上·福建福州·期中）已知如图，在中，，，，在的边上找一点，使得它与三角形的两顶点构成等腰三角形，这样的点有________个． 【答案】4 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的判定，根据等角对等边分情况讨论即可． 【详解】解：①作， ∴ ∴是等腰三角形； ②作， ∴， ∴是等腰三角形； ③作， ∴，， ∴， ∴和是等腰三角形； ④在上取， ∴是等腰三角形， ∴这样的点有个． 故答案为：4． 15．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，为的角平分线，M是的中点，过点M作交于点F，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】延长到N，使，连接，延长交延长线于E，从而利用角之间的关系转化为线段之间的关系，进而最终可得出结论． 【详解】解：如图，延长到N，使，连接，延长交延长线于E， ∵M是的中点， ∴，， ∴， ∴，， 又∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 16．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点是边上的一点，过点作交的延长线于点，延长至点，使得，连接交于点，若，，则的面积为______． 【答案】 【分析】过点作于，根据直角三角形两锐角互余的性质得出，进而证明，得出，，，根据得出，进而证明，得出，进而得出，根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·广西柳州·阶段检测）解答下列问题 (1)已知、满足，求的算术平方根； (2)如果一个正数的两个平方根分别是和，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值都是非负数，列出方程组求出、的值，从而求出的算术平方根； （2）根据一个正数的两个平方根互为相反数，据此求出的值，再根据平方根的定义计算的值． 【详解】（1）解：， ， 解得：， ， 的算术平方根为； （2）解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 整理得：， 解得：， ． 18．（8分）（25-26七年级下·江西抚州·期末）如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺和圆规按要求作图．（注意求作的图形用实线） (1)在图1中，画出边上的中线； (2)在图2中，找一个点D，使得与全等（点D不能与点A重合）． 【答案】(1)解：如图即为所作， (2)解：如图即为所作， 【分析】（1）找出的中点，连接即可； （2）根据三边对应相等找出点，即可得． 【详解】（1）略 （2）解：图略 由图可得， ． 19．（10分）（25-26八年级上·全国·期末）若过的一个内角和一个外角平分线的交点作这两个角的公共边的平行线，如图所示， (1)此时，图中有几个等腰三角形？ (2)线段与线段三者又有何数量关系？ 【答案】(1)图中共有2个等腰三角形 (2) 【分析】（1）由角平分线的定义和平行线的性质可证明，得到，则可证明和都是等腰三角形； （2由（1）得，由线段的和差关系即可得到． 【详解】（1）解：由题意得平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴和都是等腰三角形，即图中共有2个等腰三角形； （2）解：由（1）得， ∵， ∴． 20．（10分）（25-26八年级上·北京东城·开学考试）如图，，，，延长到，使，延长到，使，连接．作的平分线，交于点，延长、交于点，延长交于点． (1)请你依据题意，补全图形； (2)试判断线段与线段的位置关系，并证明； (3)若，求证：点是线段的中点． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)， 证明：如图所示， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)证明：如图所示， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵，    ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】（1）根据题意即可作图； （2）先证明，再由全等三角形的性质结合平行线的判定证明即可； （3）根据角平分线以及平行线的性质证明，得到，进而证明，即可得证． 21．（12分）（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）如图1，在四边形中，平分，． (1)求证: ； (2)如图2，过点C作交延长线于点E，延长到点 F，使 ，过点F作交延长线于点G，若． ①求的度数； ②取中点M，连接，求证： ． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2)①； ②证明：取中点，连接交于，连接， ∵，，中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 设直线交于，连接并延长至，使，连接， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为中点， ∵中点M， ∴与重合， ∴． 【分析】（1）证明，得到； （2）①过作交于，证明，得到，则是等腰直角三角形，即可得到； ②取中点，连接交于，连接，证明，得到，即可得到，则，即，设直线交于，连接并延长至，使，连接，根据倍长中线模型得到，，即可得到，则得到为中点，则与重合，即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：①过作交于， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②略 22．（12分）（25-26八年级上·吉林长春·期中）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ∵，即 ， ∴的整数部分是，小数部分为 ． (1)的整数部分是 ， 小数部分是 ； (2)点 表示的数为无理数，点在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是 ；（填序号即可） ，均为有理数； ； ； ． (3)若，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】（）仿照题意求解即可； （）设点 表示的无理数为，再根据数轴可知，据此求出的值，然后逐一排除即可； （）仿照题意求解即可； 本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （2）解：设点表示的无理数为，再根据数轴可知， ∴，，故，说法错误； ∴， ∵， ∴， ∴，故说法错误； 由，， 则， ∵， ∴，故说法正确； 故选：； （3）解：∵，即， ∴，即， ∴，， ∴． 23．（14分）（25-26七年级下·四川成都·期中）（1）如图1，四边形是边长为的正方形，E，F分别在边上，．为了求出的周长．小南同学的探究方法是：如图1，延长到H，使，连接，先证，再证，得，从而得到的周长=______； （2）如图2，在四边形中，．E，F分别是线段上的点．且．探究图中线段之间的数量关系； （3）如图3，若在四边形中，，E，F分别是线段上的点，且，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）10； （2）； （3）结论仍然成立，理由如下： 延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）延长到H，使，连接，先证，再证，得，从而得到的周长； （2）延长至点，使得，连接，先证明，再证明，则，即； （3）延长至点，使得，连接，先证明，再证明，，即． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10； （2）， 延长至点，使得，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （3）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期第一次学情自测·拔尖卷 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 三角形~第2章 实数的初步认识 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·四川德阳·期中）在，，，，，，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点，于点，图中所有的点都在同一平面内．当，时，根据全等三角形的知识可得到，这里直接判定和全等的依据是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河南新乡·期末）下列说法正确的是（   ） A．近似数和表示的意义一样 B．万精确到万位 C．300精确到百位 D．将精确到百分位是 4．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，于点，点在边上，连接，为的中点，连接．若，则的长为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 5．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，中，是的中点，，，交于，则的值为（　　） A． B．1 C．3 D． 6．（25-26八年级下·江苏苏州·开学考试）已知的平方根是；的立方根为；c是的整数部分．求的值（     ） A． B．3 C．8 D． 7．（25-26七年级下·四川内江·阶段检测）已知等腰三角形的三边长分别为，，，则这个等腰三角形的周长是（     ） A．5 B．5或 C．或14 D．5或或14 8．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，为的中线，为的中线，若的面积为，，则中边上的高是（     ） A．3 B． C．4 D． 9．（25-26七年级下·重庆·期末）如图所示，在和中，，，，上有一点，连接，使得，则的度数（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·上海·期末）有两个连续的自然数，若其中较小的自然数的平方根是，则其中较大的自然数的算术平方根是___________． 12．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是______．    13．（2025·广西南宁·模拟预测）已知都是实数，且，则的平方根为______． 14．（25-26八年级上·福建福州·期中）已知如图，在中，，，，在的边上找一点，使得它与三角形的两顶点构成等腰三角形，这样的点有________个． 15．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，为的角平分线，M是的中点，过点M作交于点F，若，，则的长为________． 16．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点是边上的一点，过点作交的延长线于点，延长至点，使得，连接交于点，若，，则的面积为______． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·广西柳州·阶段检测）解答下列问题 (1)已知、满足，求的算术平方根； (2)如果一个正数的两个平方根分别是和，求的值． 18．（8分）（25-26七年级下·江西抚州·期末）如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺和圆规按要求作图．（注意求作的图形用实线） (1)在图1中，画出边上的中线； (2)在图2中，找一个点D，使得与全等（点D不能与点A重合）． 19．（10分）（25-26八年级上·全国·期末）若过的一个内角和一个外角平分线的交点作这两个角的公共边的平行线，如图所示， (1)此时，图中有几个等腰三角形？ (2)线段与线段三者又有何数量关系？ 20．（10分）（25-26八年级上·北京东城·开学考试）如图，，，，延长到，使，延长到，使，连接．作的平分线，交于点，延长、交于点，延长交于点． (1)请你依据题意，补全图形； (2)试判断线段与线段的位置关系，并证明； (3)若，求证：点是线段的中点． 21．（12分）（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）如图1，在四边形中，平分，． (1)求证: ； (2)如图2，过点C作交延长线于点E，延长到点 F，使 ，过点F作交延长线于点G，若． ①求的度数； ②取中点M，连接，求证： ． 22．（12分）（25-26八年级上·吉林长春·期中）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ∵，即 ， ∴的整数部分是，小数部分为 ． (1)的整数部分是 ， 小数部分是 ； (2)点 表示的数为无理数，点在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是 ；（填序号即可） ，均为有理数； ； ； ． (3)若，其中是整数，且，求的值． 23．（14分）（25-26七年级下·四川成都·期中）（1）如图1，四边形是边长为的正方形，E，F分别在边上，．为了求出的周长．小南同学的探究方法是：如图1，延长到H，使，连接，先证，再证，得，从而得到的周长=______； （2）如图2，在四边形中，．E，F分别是线段上的点．且．探究图中线段之间的数量关系； （3）如图3，若在四边形中，，E，F分别是线段上的点，且，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $