期中复习5大类型34个考点（举一反三期中专项训练）八年级数学上学期人教版2024

期中复习5大类型34个考点（前3章） 【人教版2024】 【基础概念易错篇】 2 【考点1 三角形的概念】 2 【考点2 三角形的稳定性】 3 【考点3 三角形的三边关系】 3 【考点4 三角形的角平分线、中线和高】 3 【考点5 三角形的内角和定理】 4 【考点6 三角形的外角性质】 5 【考点7 全等三角形的性质】 6 【考点8 全等三角形的判定】 6 【考点9 角平分线的性质与判定】 7 【考点10 线段垂直平分线的性质与判定】 8 【考点11 判断轴对称图形】 9 【考点12 关于坐标轴对称点的坐标】 10 【考点13 等腰三角形的判定】 10 【考点14 等腰三角形的性质】 11 【考点15 含30度角的直角三角形】 12 【考点16 等边三角形的性质】 13 【考点17 等边三角形的判定】 14 【规律与新定义篇】 15 【考点18 规律探索】 15 【考点19 新定义问题】 16 【几何计算与证明篇】 17 【考点20 与折叠有关的角度的计算问题】 17 【考点21 三角形的内角和与外角的性质的综合】 18 【考点22 全等三角形的判定与性质的综合应用】 19 【考点23 角的平分线与线段的垂直平分线】 20 【考点24 利用轴对称的性质判断线段之间的关系】 22 【考点25 等腰三角形的性质与判定的综合】 23 【考点26 等边三角形的性质与判定的综合】 24 【考点27 含30°的直角三角形性质的应用】 25 【作图篇】 26 【考点28 尺规作角平分线、线段垂直平分线】 26 【考点29 作轴对称图形】 27 【考点30 利用轴对称设计图案】 28 【压轴篇】 29 【考点31 做辅助线构造全等三角形】 29 【考点32 做辅助线构造等腰三角形】 30 【考点33 三角形中的最值问题】 31 【考点34 三角形中的分类讨论】 33 【基础概念易错篇】 【考点1 三角形的概念】 1．（24-25六年级上·山东泰安·期中）如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列说法正确的是(　　) A．所有的等腰三角形都是锐角三角形 B．等边三角形属于等腰三角形 C．不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形 D．一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形 3．（24-25七年级上·山东聊城·开学考试）同学们在玩“猜三角形”的游戏，图中被信封遮住的（      ）． A．只能是锐角三角形 B．只能是直角三角形 C．只能是钝角三角形 D．可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形 【考点2 三角形的稳定性】 1．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ）    A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 2．如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上 根木条． 【考点3 三角形的三边关系】 1．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，, B．,, C．，, D．,, 2．已知的三条边长分别为5、7和x，则x的取值范围是 ． 3．（24-25七年级下·山东烟台·期末）用一条长细绳（不留余绳）围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的倍，则底边的长为 ． 4．现有、、、长的四根木棒，任选其中三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点4 三角形的角平分线、中线和高】 1．如图，在中，利用三角板能表示边上的高的为（    ） A．     B．   C．   D．     2．如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 3．如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=6， AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差= ． 4．如图，已知中，点，分别是边，的中点．若的面积等于，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【考点5 三角形的内角和定理】 1．如图，在△ABC中，∠B = 60°，∠C = 40°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，垂足为点D，那么∠DAE = 度． 2．如图，在中，平分，平分，，则的度数为 . 3．如图，在中，点D，E分别在边，上，将沿折叠至的位置，点A的对应点为F．若，，则 度． 【考点6 三角形的外角性质】 1．（24-25八年级上·全国·期中）如图，是的角平分线，是的高，，，求的度数． 2．如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在外的 处，折痕为，如果，， ， ，那么下列式子中不一定成立的是(    )    A． B． C．β= D． 3．如图，、的角平分线交于点，若，，则的度数为 ． 【考点7 全等三角形的性质】 1．（24-25八年级上·山西忻州·期中）如图，，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 2．在中，，且，则的度数为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【考点8 全等三角形的判定】 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，，添加下列条件，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·期中）小华家梳妆台上的一块三角形玻璃不小心摔成了如图所示的四块，需要去玻璃装饰品店再配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃，可以选择的方法是（      ） A．带（1）和（3）去 B．带（3）和（4）去 C．带（1）和（4）去 D．带（1）和（2）去 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）根据下列条件，能判定的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，，与的周长相等 4．（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）如图，已知的六个元素，而在图甲、乙、丙中，仅已知甲、乙、丙三个三角形中某些元素，则与一定全等的三角形是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【考点9 角平分线的性质与判定】 1．如右图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（　　）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．如图，O是内一点，且O到三边的距离，若，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，中，是角平分线，是的中线，若的面积是，则的面积是（    ） A．5 B．6.8 C．7.5 D．8 4．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，要画的角平分线，让一把直尺的一边与重合，让另一把直尺的一边与重合，并且两把直尺交于点P，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【考点10 线段垂直平分线的性质与判定】 1．如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，中，，是边上的中线，点在上，则与的关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，延长 到点D，连接．若通过尺规作图所得直线恰好经过点 C，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【考点11 判断轴对称图形】 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）以下四款人工智能大模型图标，是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 2．“线段、角、等腰三角形、直角三角形”中一定是轴对称图形有 个. 3．（2024·甘肃·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【考点12 关于坐标轴对称点的坐标】 1．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，将直角坐标系中点坐标为，点与点关于轴对称．则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．若点A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称，则m+n的值是（　　） A．1 B．﹣2 C．2 D．5 3．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，点与点关于直线对称，则点的坐标为 ． 【考点13 等腰三角形的判定】 1．如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在中，，D，E分别是线段上的一点，根据下列条件之一，不能确定是等腰三角形的是（    ）    A． B． C． D． 3．如图,△ABC为等边三角形,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,OE∥AB交BC于点E,OF∥AC交BC于点F,图中等腰三角形共有(　　) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A和B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数为 ． 【考点14 等腰三角形的性质】 1．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　） A．15°或75° B．30° C．150° D．150°或30° 2．如图，，则 ． 3．如图，在中，，，，则（    ） A． B． C． D．不确定 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，这是一个等腰三角形屋顶钢架外框，其中，立柱，且顶角，则的度数为 ． 5．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，，，则 ． 【考点15 含30度角的直角三角形】 1．如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长等于(    )    A．1 B． C．2 D． 2．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，点D是的中点，过点D作垂直交于点E，，则的长度为（   ） A．8 B．6 C．12 D．10 3．如图，在等边三角形ABC中，BC=2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（　　） A．1 B． C． D． 4．如图，已知，点在边上，且点在点的右侧，，点是边上一动点，在点运动的过程中，始终保持，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【考点16 等边三角形的性质】 1．如图，以等边的边为腰作，使，连接，若，则 ． 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，等边三角形纸片的边长为，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点C落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为 3．如图，是等边的边的中点，且，于，于，则 ． 4．如图，是等边三角形，是高，且，E是边的中点，点P是上一动点，则的最小值是 ． 【考点17 等边三角形的判定】 1．已知a，b，c为三边，且满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 2．满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（    ） ①有两个角是60°的三角形；②有两个外角相等的等腰三角形：③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等的三角形；④一边上的高也是这边中线的等腰三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上 【规律与新定义篇】 【考点18 规律探索】 1．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象为直线，作点关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；再作关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；…则按此规律，所作出的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图（1），已知，为的平分线上一点，连接，；如图（2），已知，，为的平分线上两点，连接，，，；如图（3），已知，，，为的平分线上三点，连接，，，，，； ，以此规律，第个图形中全等三角形的对数是（  ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，的内角与外角的平分线相交于点，得到；与的平分线相交于点，得到；……按此规律继续下去，与的平分线相交于点，要使的度数为整数，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：，，．已知，作点N关于点A的对称点，点关于点B的对称点，点关于点C的对称点，点关于点A的对称点，点关于点B的对称点，…，按照此规律，则点的坐标为 ． 5．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形（记为第个正方形）的顶点与原点重合，点在轴上，点的坐标为，以为顶点作等边三角形，点落在轴上，轴，再以为边向右侧作正方形（记为第个正方形）…，若按照上述的规律继续作正方形，则第个正方形的边长为 ． 【考点19 新定义问题】 1．（24-25七年级下·北京海淀·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为 ． 2．（2025·青海西宁·一模）定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．若是“准直角三角形”，且，，则的度数为 ． 3．新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，，相邻两条平行线间的距离为m，等腰为“格线三角形”，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．定义：若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“优美三角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“优美线”．下列四个三角形中，BD平分∠ABC，其中BD是“优美线”的是（　　） A． B． C． D． 【几何计算与证明篇】 【考点20 与折叠有关的角度的计算问题】 1．（24-25七年级下·吉林长春·期末）在中，，，，将沿某条直线折叠，使三角形的顶点与重合，折痕为． (1)试求的周长； (2)若，求的度数． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，． (1)求证：． (2)若恰好平分，求的度数． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，将长方形纸片沿和折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角，点，的对应点分别为点，，折叠后点，的对应点恰好都在点E． (1)若折痕角，求帽子顶角的度数； (2)设度，度． ①请用含的代数式表示，则________； ②当时，帽子比较美观，求此时的值． 【考点21 三角形的内角和与外角的性质的综合】 1．如图，是的高，、是的角平分线，且． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 2．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，点A，B分别在射线上运动（不与点O重合），分别是和的平分线，延长交于点G． (1)若，求的度数； (2)若，则= °；（用含的代数式表示） (3)如图，若，过点作 交于点，求与的数量关系． 3．（24-25八年级上·河南信阳·期末）在中，平分，． (1)如图，若于点，，，则的度数为______； (2)如图，若于点，猜想并写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，设，，当点在射线上时不与点重合，且于点，直接写出的度数为： ______用含、的式子表示． 【考点22 全等三角形的判定与性质的综合应用】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，点A，C，D，B在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，． (1)求证：； (2)猜想，的位置关系，并说明理由． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）泰塔，又称宝塔寺塔、旬邑塔，被中华人民共和国国务院公布为第五批全国重点文物保护单位．实验中学数学兴趣小组的张逸想利用学过的知识来测量泰塔的高度．他带了一根长为2米的木棍并设计了如下的测量方案：如图，先在宝塔前选一点，使得，然后把竖直的木棍在的延长线上左右移动，使．此时用皮尺测得泰塔底部与木棍底部的距离，已知．请你帮他求出泰塔的高度． 3．（24-25七年级下·广东河源·期末） 是等腰直角三角形，，，过点作交于点，点从点出发，以的速度沿着射线方向运动，连接交于点，过点作的垂线交直线于点，交直线于点．设运动时间为 ．    (1)当时，求的长； (2)在点的运动过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图，连接，上是否存在点，使得 与 全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【考点23 角的平分线与线段的垂直平分线】 1．在Rt△ABC中，，AE是斜边BC上的高，角平分线BD交AE于点G，交AC于点D，于点F． (1)求证：； (2)试判断AD与AG有怎样的数量关系？请说明理由． 2．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，是的垂直平分线上两点，延长，交于点，交于点． 求证： (1)是的角平分线； (2)． 3．（24-25八年级下·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 【考点24 利用轴对称的性质判断线段之间的关系】 1．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图1，是等边三角形，点D为边上一点，连接，点C关于的对称点为点E，连接． (1)若是的平分线，求的度数； (2)如图2，连接并延长交的延长线于点F，，试探究，和三者之间满足的等量关系，并说明理由． 2．如图（1），已知等边的边长为8，点P是边上的一个动点（与点A，B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把沿直线l折叠，点B的对应点是点，且当时，点恰好在（不含端点A，C）边上． (1)在图（2）中画出当时的图形，并求出此时的长度； (2)在点P的运动过程中，探究点到点A，C之间的距离的关系． 3．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）如图，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，交于点，再沿边将折叠到处，记度，度． (1)写出的等量关系； (2)若，求的值． 【考点25 等腰三角形的性质与判定的综合】 1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知点D，E分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若 (1)求证：是等腰三角形； (2)点G是上一点，连接，若，，求的度数． 2．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，为的中点，连接垂直平分，分别交于点，交于点，交于点，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 3．已知，在中，，点D，E分别在边上(D不与B，C重合)，． (1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为 °． (2)如图2，若，且点D是边上的任意一点，小亮发现的度数为定值， ①求的度数； ②当时，求的度数． (3)如图3，在点D的运动过程中，的形状也在改变，若，请直接写出当等于多少度时，是等腰三角形． 【考点26 等边三角形的性质与判定的综合】 1．在等边中，点E是上的动点，点E与点A，B不重合，点D在的延长线上，且． (1)如图1，若点E是的中点，求证：． (2)如图2，若 E不是的中点，（1）中的结论“”能否成立？若不成立，请直接写出与的数量关系，若成立，请说明理由． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，垂足为，且，点、分别在边、上，且．求证： (1)是等边三角形； (2)． 3．（24-25七年级下·上海松江·期末）已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． (1)如图（1），如果，证明：； (2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 【考点27 含30°的直角三角形性质的应用】 1．（25-26八年级上·全国·期中）已知，如图，是等边三角形，是边上的高，延长到，使，过作于． (1)求证：； (2)请猜想与间的数量关系，并证明． 2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，是边上任意一点，过点分别向，引垂线，垂足分别为，． (1)当点在的什么位置时，？并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 3．（24-25八年级下·河南郑州·期末）综合与实践 在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接． (1)初步探究 如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ； (2)类比探究 如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）； (3)延伸探究 如图③，在中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【作图篇】 【考点28 尺规作角平分线、线段垂直平分线】 1．如图，两条公路，交于点O，村庄M，N的位置如图所示，M在公路上，现要修建一个快递站P，使快递站到两条公路的距离相等，且到两村庄的距离也相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．    2．三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法． 3．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）下图是某休闲广场的平面示意图，A，D是广场的两个入口，，，是小路，现要在广场（四边形）内部修建一处喷泉（点P），使喷泉P满足以下两个条件： ①喷泉P到小路，的距离相等； ②喷泉P到入口A和D的距离相等． 请利用尺规确定点P的位置（保留作图痕迹，不必写作法）． 【考点29 作轴对称图形】 1．（25-26八年级上·湖南·期中）如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作，使和关于轴对称； (2)写出点的坐标； (3)求的面积． 2．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，有一个以格点为顶点的其中点，，均在网格上 (1)作关于直线的轴对称图形； (2)的面积是_________ ； (3)在直线上画出点，使得最小．（保留作图痕迹） 3．（24-25七年级下·广东清远·期末） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 【考点30 利用轴对称设计图案】 1．（24-25七年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上．只用无刻度的直尺，在下列3个网格里分别画出一个三角形并涂上阴影，使其与关于某条直线成轴对称，要求画出图形的位置不同且顶点都在格点上． 2．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图所示在3×3的正方形网格中，已经有3个小正方形涂了阴影，请你在余下的空白小方格中涂上1个阴影使整个图形成为轴对称图形，把几种不同的涂法分别展示出来． 3．（24-25七年级下·全国·期末）如图，这是由五个大小相同的小正方块拼凑而成的． (1)该图是轴对称图形吗？如果是，请画出对称轴． (2)若移动一个小方块重新拼凑成一个新的轴对称图形，共有几种方法（相同方法算一种）？请你画出图形和对称轴． 【压轴篇】 【考点31 做辅助线构造全等三角形】 1．（24-25八年级上·广东珠海·期末）如图1，四边形中，，对角线、交于点E，恰好是等边三角形，已知点O是的中点，连接． 【知识技能】（1）求证：平分； 【综合探究】（2）如图2，点F是的中点，连接、，求证：平分； 【拓广延伸】（3）求证：． 2．已知：是的角平分线，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，点E在上，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，且，连接． ①求证：； ②若，且，求的长． 3．（24-25八年级上·全国·期末）（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点A作，垂足为D，交于点E．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，，点D在线段上，且于E，交于F，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【考点32 做辅助线构造等腰三角形】 1．已知：如图，，、分别是、的中点．求证：． 2．（25-26八年级上·全国·期末）已知在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且，连接，． 【问题发现】 （1）如图，当D为的中点时，探究线段与之间的数量关系，直接写出结论： ；（选填“”“”或“”） 【类比探究】 （2）如图，当D为边上任意一点时，探究线段与之间的数量关系，并证明； 【拓展延伸】 （3）当D为的中点，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且．若，求的长． 3．（24-25八年级下·山西晋中·期中）综合与实践 【问题提出】 （1）如图①，在中，，点为外一点，点为延长线上一点，点为线段上一点，于点、于点，且．则猜想并证明，，之间的数量失系． （2）如图②，已知等边三角形及外一点，连接，，．若，试判断，，之间满足的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，在中，，点为外一点，且，，直接写出的度数． 【考点33 三角形中的最值问题】 1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，求 的度数． (2)若，的周长是． ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 3．（24-25七年级下·福建三明·期中）已知：等腰中，． (1)如图1，若是的高，是的角平分线，与交于点．当的大小变化时，的形状也随之改变． ①设，求角度的变量与的关系式； ②当是等腰三角形时，求的度数． (2)如图2，若的面积是是的高，点分别是线段上的点，直接写出的最小值． 【考点34 三角形中的分类讨论】 1．（24-25七年级下·上海·期末）在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰 纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时， ； (2)当等于何值时，？请说明理由； (3)在点的滑动过程中，存在 是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 2．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A，C两点的坐标分别为，点，且，已知点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为． (1)求A，C两点的坐标； (2)连接，当点P在x轴的正半轴上时，用含t的代数式表示的面积； (3)当点P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．在直角坐标平面内，已知点A(3，0)、点B(0，4)，，在坐标轴上找点，使构成等腰三角形． (1)这样的等腰三角形有______个； (2)直接写出分别以、为顶角时所有符合条件的点的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习5大类型34个考点（前3章） 【人教版2024】 【基础概念易错篇】 2 【考点1 三角形的概念】 2 【考点2 三角形的稳定性】 3 【考点3 三角形的三边关系】 4 【考点4 三角形的角平分线、中线和高】 6 【考点5 三角形的内角和定理】 8 【考点6 三角形的外角性质】 10 【考点7 全等三角形的性质】 13 【考点8 全等三角形的判定】 14 【考点9 角平分线的性质与判定】 17 【考点10 线段垂直平分线的性质与判定】 20 【考点11 判断轴对称图形】 23 【考点12 关于坐标轴对称点的坐标】 24 【考点13 等腰三角形的判定】 25 【考点14 等腰三角形的性质】 29 【考点15 含30度角的直角三角形】 33 【考点16 等边三角形的性质】 37 【考点17 等边三角形的判定】 40 【规律与新定义篇】 42 【考点18 规律探索】 42 【考点19 新定义问题】 47 【几何计算与证明篇】 51 【考点20 与折叠有关的角度的计算问题】 51 【考点21 三角形的内角和与外角的性质的综合】 55 【考点22 全等三角形的判定与性质的综合应用】 60 【考点23 角的平分线与线段的垂直平分线】 64 【考点24 利用轴对称的性质判断线段之间的关系】 70 【考点25 等腰三角形的性质与判定的综合】 74 【考点26 等边三角形的性质与判定的综合】 78 【考点27 含30°的直角三角形性质的应用】 82 【作图篇】 86 【考点28 尺规作角平分线、线段垂直平分线】 86 【考点29 作轴对称图形】 88 【考点30 利用轴对称设计图案】 92 【压轴篇】 94 【考点31 做辅助线构造全等三角形】 94 【考点32 做辅助线构造等腰三角形】 101 【考点33 三角形中的最值问题】 108 【考点34 三角形中的分类讨论】 114 【基础概念易错篇】 【考点1 三角形的概念】 1．（24-25六年级上·山东泰安·期中）如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的特征，熟练掌握三角形的特征是解题的关键； 根据三角形的特征即可求解； 【详解】解：根据图形观察，可以得到：一个小三角形有个，三个小三角形组成一个三角形有个，加上整个大三角形，共个； 故选：C 2．下列说法正确的是(　　) A．所有的等腰三角形都是锐角三角形 B．等边三角形属于等腰三角形 C．不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形 D．一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形 【答案】B 【分析】根据锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形的定义一一判断即可． 【详解】A选项：内角为30°，30°，120°的等腰三角形是钝角三角形，故是错误的． B选项：等边三角形属于等腰三角形，故正确． C选项：内角为30°，30°，120°的三角形既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形，故错误． D选项：内角为30°，30°，120°的三角形有两个锐角，是钝角三角形，故错误． 故选B． 【点睛】考查三角形的一个概念，解题的关键是搞清楚锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形的定义． 3．（24-25七年级上·山东聊城·开学考试）同学们在玩“猜三角形”的游戏，图中被信封遮住的（      ）． A．只能是锐角三角形 B．只能是直角三角形 C．只能是钝角三角形 D．可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形按角分类的方法．根据图示，露出的角是一个锐角，被遮住的两个角可能有两个锐角，有一个直角或钝角，据此解答． 【详解】解：如上图中被信封遮住的可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形． 故选：D． 【考点2 三角形的稳定性】 1．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ）    A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，利用三角形的稳定性进行解答即可，解题的关键是分析能否在同平面内组成三角形． 【详解】解：C选项中伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D选项中都是利用了三角形的稳定性， 故选：C． 2．如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上 根木条． 【答案】3 【分析】根据三角形的稳定性，要使六边形木架在同一平面内不变形，只要把六边形木架变成几个不重叠的三角形即可． 【详解】如图，过左上角的A点分别钉三根木条AB、AC、AD即可把六边形木架变成三个不重叠的三角形． 故答案为3． 【点睛】本题考查三角形的稳定性，通过多观察、多思考、多练习熟练掌握三角形稳定性的应用是解题关键． 【考点3 三角形的三边关系】 1．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，, B．,, C．，, D．,, 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系定理，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边进行判断． 【详解】解：A.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； C.，且任意两边之和均大于第三边，能组成等边三角形； D.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形． 故选：C． 2．已知的三条边长分别为5、7和x，则x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知两边的差，而小于两边的和．根据三角形的三边关系：三角形第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围． 【详解】解：， 则． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·山东烟台·期末）用一条长细绳（不留余绳）围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的倍，则底边的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、三角形三边关系、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是要分两种情况讨论． 由三角形三边关系判定等腰三角形的腰长是底边长的倍，设较短的边长是，则较长的边长是，列出一元一次方程，解方程，再由三角形三边关系即可求解． 【详解】解：设较短的边长是，则较长的边长是， 如果等腰三角形的腰长是底边长的倍， ， ， 此时等腰三角形的三边长分别是、、，满足三角形三边关系； 如果等腰三角形的底边长是腰长的倍， ， ， 此时等腰三角形的三边长分别是、、，不满足三角形三边关系，不能围成一个等腰三角形； 综上所述，等腰三角形的底边长是， 故答案为：． 4．现有、、、长的四根木棒，任选其中三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】根据三角形的三边关系，可以组成三角形的是、、 故可以组成三角形的个数是1 故答案为：A． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系问题，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【考点4 三角形的角平分线、中线和高】 1．如图，在中，利用三角板能表示边上的高的为（    ） A．     B．   C．   D．     【答案】B 【分析】从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高，根据此定义逐项判断即可． 【详解】解：A、表示的是中边上的高，故此选项不符合题意； B、表示的是中边上的高，故此选项符合题意； C、不能表示的高，故此选项符合题意； D、表示的是中边上的高，故此选项符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的高，解题的关键是掌握三角形的高的定义． 2．如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【答案】C 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用已知条件和三角形中线即可判断出A选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断出B选项的正误；利用角平分线的性质只能得到，但没有办法得到，可判断出C选项错误；由三角形的高线的定义，可判断D． 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵平分， ∴． ∵，， ∴，故C错误，符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意． 故选C． 3．如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=6， AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差= ． 【答案】2 【详解】解：已知D是BC边上的中线，可得BD=CD， 所以△ABD的周长-△ADC的周长= 故答案为：2 4．如图，已知中，点，分别是边，的中点．若的面积等于，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：点是边的中点，的面积等于， ， 是的中点， ， 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的中线的性质，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键． 【考点5 三角形的内角和定理】 1．如图，在△ABC中，∠B = 60°，∠C = 40°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，垂足为点D，那么∠DAE = 度． 【答案】10 【分析】本题考查的是三角形内角和定理和角平分的定义，根据三角形内角和是180°，角平分线平分角的度数解答即可 【详解】因为，在△ABC中，∠B = 60°，∠C = 40°，所以∠BAC=180°-60°-40°=80°，因为AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠CAE=40°，又因为在△ACD中，AD⊥BC，∠C=40°，所以∠CAD=50°，所以∠DAE=∠CAD-∠CAE=50°-40°=10° 【点睛】本题的关键是掌握三角形内角和是180度 2．如图，在中，平分，平分，，则的度数为 . 【答案】/70度 【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义，先利用三角形的内角和定理求得，再利用角平分线的定义求得进而可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，点D，E分别在边，上，将沿折叠至的位置，点A的对应点为F．若，，则 度． 【答案】/45度 【分析】本题考查图形折叠的性质、三角形外角的性质．首先由图形折叠性质得，再利用三角形外角的性质求出即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， 故答案为：． 【考点6 三角形的外角性质】 1．（24-25八年级上·全国·期中）如图，是的角平分线，是的高，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线和高的性质，三角形外角的性质等知识点，首先根据，是的角平分线，求出的度数是多少；然后根据是的高，求出， 最后根据三角形的外角的性质，求出的度数是多少即可，熟练掌握三角形的内角和是是解决此题的关键． 【详解】解：， ， ， 是的高， ， ， ， ， ∴的度数是． 2．如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在外的 处，折痕为，如果，， ， ，那么下列式子中不一定成立的是(    )    A． B． C．β= D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠问题中的三角形内角和定理，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的外角的性质是解题的关键． 根据三角形外角的性质可得∠代入计算可判断A；无法得到选项B的结论；由折叠的性质结合平角的定义可判断选项C；由折叠的性质结合三角形内角和定理可判断D． 【详解】解：如图，    由折叠得， ∵ 又 ∴ 故A正确，不符合题意； 无法得到，故选项B符合题意； 由折叠得， 又 ∴ ∵ ∴ ∴，故选项C正确，不符合题意； 由折叠得， ∵ ∴ ∴，故选项D正确，不符合题意； 故选B． 3．如图，、的角平分线交于点，若，，则的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的一个外角的性质等知识点，正确作出辅助线得到三者之间的关系式是解题的关键． 如图：延长交于E，根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，整理可得，然后代入数据计算即可解答． 【详解】解：如图：延长交于E， ∵、的角平分线交于点， ∴， 由三角形的内角和定理得，①， 在中，， 在中，， ∴②， 由得，， ∴． 故答案为． 【考点7 全等三角形的性质】 1．（24-25八年级上·山西忻州·期中）如图，，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，由全等三角形的性质可得，，即得，进而可得，又由平行线的性质得，即可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得， 故选：B． 2．在中，，且，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形对应角相等是解题的关键． 先根据三角形内角和以及三个角的比例求出的度数，再利用全等三角形对应角相等得出的度数． 【详解】解：∵在中，，且， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 3．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ． 故选B． 【考点8 全等三角形的判定】 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，，添加下列条件，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（、、）是解题的关键．根据已知条件，，得出，然后分别结合每个选项给出的条件，依据全等三角形的判定定理（、、）来判断能否判定． 【详解】解：∵ ∴ ，即 又∵ 选项A：∵ ，， ∴ ，故A项不符合题意． 选项B：虽然，，，但这是“边边角”的情况，不能判定两个三角形全等，故B项符合题意． 选项C：∵ ，， ∴ ，故C项不符合题意． 选项D：∵ ，， ∴ ，故D项不符合题意． 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·期中）小华家梳妆台上的一块三角形玻璃不小心摔成了如图所示的四块，需要去玻璃装饰品店再配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃，可以选择的方法是（      ） A．带（1）和（3）去 B．带（3）和（4）去 C．带（1）和（4）去 D．带（1）和（2）去 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键． 根据三角形全等判定的条件逐一验证即可得到答案． 【详解】解：A．带（1）和（3）去，只保留了原三角形的一个角和部分边，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃； B．带（3）和（4）去，只保留了原三角形的一个角和部分边，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃； C．带（1）和（4）去，只保留了原三角形的两个角，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃； D．带（1）和（2）去，保留了原三角形的两个角和夹边，符合“角边角”定理，能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃； 故选：D． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）根据下列条件，能判定的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，，与的周长相等 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据三角形全等的判定方法逐个选项分析即可． 【详解】根据全等三角形的判定定理，对选项逐个验证即可． A．，，，没有边边角，故该选项不正确，不符合题意； B．，，，不是对应边相等，故该选项不正确，不符合题意； C．，，，没有对应边相等，故该选项不正确，不符合题意； D．，，由与的周长，可得，根据边边边，能判定，故该选项正确，符合题意． 故选D． 4．（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）如图，已知的六个元素，而在图甲、乙、丙中，仅已知甲、乙、丙三个三角形中某些元素，则与一定全等的三角形是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，分别利用全等三角形的判定方法逐个判断即可． 【详解】解：甲中b、c与的边对应相等，但它们夹角是否相等未知，故甲与不一定全等， 乙中有两个角对应相等，而且两角夹边相等，满足，故乙与一定全等， 在丙图中，由边长为a的对角相等，而且还有另一组角对应相等，满足，故丙与一定全等， 综上可知能和全等的是乙、丙， 故选：B． 【考点9 角平分线的性质与判定】 1．如右图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（　　）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等分货物中转站在三条公路围成的三角形内部和外部两种情况作出图形即可． 【详解】如图，货物中转站在三角形内部有一个位置，在外部有三个位置，共有4个位置可选． 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 2．如图，O是内一点，且O到三边的距离，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的判定，熟练掌握该知识点是本题解题的关键. 根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出、分别平分和，再根据三角形的内角和定理求出，然后求出，再次利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵O到三边的距离， ∴、分别平分和， ∴， ∴. 故选D. 3．如图，中，是角平分线，是的中线，若的面积是，则的面积是（    ） A．5 B．6.8 C．7.5 D．8 【答案】D 【分析】根据三角形的中线的性质得出，根据角平分线的性质得出，进而得出，即可得结论． 【详解】解：如图， 过点作，垂足分别为， ∵是角平分线， ∴，设， ∵的面积是，是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选∶D． 【点睛】本题考查了三角形的角分线、中线，角分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是角分线上的点到角的两边的距离相等． 4．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，要画的角平分线，让一把直尺的一边与重合，让另一把直尺的一边与重合，并且两把直尺交于点P，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的判定定理和线段垂直平分线的性质，解题关键是通过作垂线构造出到角两边距离，利用直尺相同得到距离相等，结合全等三角形证明来推导角平分线 ． 过点作、，利用两把相同长方形直尺得，结合公共边，由判定，推出，依据角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上，证得是平分线 ． 【详解】解：如图，过P点作于C点，于D点， ∴， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴， 因为为公共边， 所以， 所以， 所以为的平分线． 故选：A． 【考点10 线段垂直平分线的性质与判定】 1．如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的定义与性质，由，，得垂直平分，所以，又垂直平分则，，可得，，然后通过的周长为可得，从而得出即可，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，中，，是边上的中线，点在上，则与的关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据，是边上的中线得，所以得到垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：，是边上的中线， ， 垂直平分， 点在上， ， 故选：C． 3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，延长 到点D，连接．若通过尺规作图所得直线恰好经过点 C，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是了解“等边对等角”的性质，难度不大． 利用等边对等角求得，然后利用线段的垂直平分线的性质与三角形外角的性质求得答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵由作图可得：的垂直平分线交于， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 【考点11 判断轴对称图形】 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）以下四款人工智能大模型图标，是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟悉掌握轴对称的特点是解题的关键． 根据轴对称图形的特点逐一判断即可． 【详解】解：A，B，D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意；C图形是轴对称图形，故C符合题意； 故选：C． 2．“线段、角、等腰三角形、直角三角形”中一定是轴对称图形有 个. 【答案】3 【详解】由轴对称图形的定义“把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫轴对称图形”可知，线段、角、等腰三角形都是轴对称图形，而直角三角形不一定是轴对称图形，所以上述四个图形中一定是轴对称图形的有3个. 3．（2024·甘肃·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【答案】A或C 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以， 故答案为：A或C． 【考点12 关于坐标轴对称点的坐标】 1．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，将直角坐标系中点坐标为，点与点关于轴对称．则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据点的坐标确定平面直角坐标系，关于x轴对称点的坐标特征，先由点A的坐标，画出平面直角坐标系，从而得到点B的坐标，再根据关于x轴对称点的坐标特征确定出点C的坐标即可． 【详解】解：如图，根据点坐标为，建立直角坐标系， 点与点关于轴对称， ， 故选：C 2．若点A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称，则m+n的值是（　　） A．1 B．﹣2 C．2 D．5 【答案】A 【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称，得：m=3，n=﹣2，m+n=3+（﹣2）=1． 故选A． 【点睛】本题考查了关于x轴的对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，点与点关于直线对称，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，坐标与图形，根据点与点关于直线对称，则纵坐标不变，点与点的中点的横坐标为，即可求解． 【详解】解：∵点，点与点关于直线对称， ∴点的坐标为 故答案为：． 【考点13 等腰三角形的判定】 1．如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分两种情况：当为腰时，当为底时，分别画出图形，即可得出答案，熟练掌握等腰三角形的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， 当为腰时，，，均是以为腰的等腰三角形， 当为底时，为等腰三角形， 满足条件的点共有个， 故选：D． 2．如图，在中，，D，E分别是线段上的一点，根据下列条件之一，不能确定是等腰三角形的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理和三角形外角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．分别根据选项中的四个条件求出的大小即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 是的外角， ， ， ， 当时， ， ， ， ，故选项A可以确定是等腰三角形，故不符合题意； 当时， 则， ， ， ， ，故选项B可以确定是等腰三角形，故不符合题意； 当时， 则， ， ， ， ，故选项C不可以确定是等腰三角形，故符合题意； 当时， 则， ， ， ， ，故选项D可以确定是等腰三角形，故不符合题意． 故选C． 3．如图,△ABC为等边三角形,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,OE∥AB交BC于点E,OF∥AC交BC于点F,图中等腰三角形共有(　　) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】由已知条件，首先得到∠OBC=∠OCB，利用两个角相等即为等腰三角形，得到△BOC为等腰三角形；然后在题中找出对应角相等即可． 【详解】解：∵△ABC为正三角形，∴△ABC为等腰三角形； ∵OB，OC为角平分线，∴∠OBC=∠OCB，∴△BOC为等腰三角形； ∵OE∥AB，∴∠ABO=∠BOE=∠OBE，∴△BOE为等腰三角形； 同理，△COF为等腰三角形； ∠OEF=∠OFE，∴△EOF为等腰三角形． 所以题中共有5个等腰三角形 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质及角平分线的性质；利用角的等量代换是正确解答本题的关键． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A和B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定,线段的垂直平分线的性质．熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．由题意知，分当为底时，当为腰时，两种情况求解作答即可． 【详解】解：如图，由题意知，当为底时，满足要求的点如；当为腰时，满足要求的点如； ∴共有5个， 故答案为：5． 【考点14 等腰三角形的性质】 1．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　） A．15°或75° B．30° C．150° D．150°或30° 【答案】D 【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论． 【详解】解：当高在三角形内部时，如图， ∵∠ABD=60°，BD⊥AC， ∴∠A=30°； ∴顶角是30°； 当高在三角形外部时，如图， ∵∠ABD=60°，BD⊥AC于D， ∴∠BAD=30°， ∴∠BAC=180°-30°=150° ∴顶角是150°． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出高在三角形内部一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题． 2．如图，，则 ． 【答案】60° 【分析】根据已知条件，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算． 【详解】解：∵AB=BC=CD=DE=EF，∠A=15°， ∴∠BCA=∠A=15°， ∴∠CBD=∠BDC=∠BCA+∠A=15°+15°=30°， ∴∠BCD=180°-（∠CBD+∠BDC）=180°-60°=120°， ∴∠ECD=∠CED=180°-∠BCD-∠BCA=180°-120°-15°=45°， ∴∠CDE=180°-（∠ECD+∠CED）=180°-90°=90°， ∴∠EDF=∠EFD=180°-∠CDE-∠BDC=180°-90°-30°=60°， ∴∠DEF=180°-（∠EDF+∠EFC）=180°-120°=60°． 故答案为：60°． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件． 3．如图，在中，，，，则（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】设，．由，根据等边对等角得出，利用三角形内角和定理得出．同理得到，．根据直角三角形两锐角互余得出，那么，即，进而求出． 【详解】解：设，． ∵， ∴，． ∵， ∴，． ∵为直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，设，，得出是解题的关键． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，这是一个等腰三角形屋顶钢架外框，其中，立柱，且顶角，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解题的关键．根据等腰三角形的三线合一性质，即可解答． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三线合一定理，三角形内角和定理，过点A作于H，由三线合一定理可得，由三角形内角和定理可得，则，可得，则． 【详解】解：如图所示，过点A作于H， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点15 含30度角的直角三角形】 1．如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长等于(    )    A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】如图所示过点作，根据所对边为斜边一半可计算长度，进而可计算的长度． 【详解】解：如图所示过点作于，在中，    ， ， ， ，， ， ， ， ，于， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查直角三角形所对的边等于斜边的一半，等腰三角形的性质，在图中构造合适的辅助线的解题的关键． 2．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，点D是的中点，过点D作垂直交于点E，，则的长度为（   ） A．8 B．6 C．12 D．10 【答案】C 【分析】连接，先求出，，再根据线段垂直平分线的性质得，，由此得，进而利用直角三角形的性质得，然后求出，再利用直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】解∶连接AE，如图∶ 在中， ， 点是的中点，， 是线段的垂直平分线 ， 在中，，， ， ， ， 在中，，， ， 故选∶C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边是斜边的一半是解决问题的关键． 3．如图，在等边三角形ABC中，BC=2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形各内角为60°的性质，可以求得∠ADF=∠CFE=30°，即可求得AD=2AF、CF=2CE，根据BE=BC-CE即可求的BE的长． 【详解】∵D是AB的中点， ∴， ∵等边三角形ABC中∠A=∠C=60°， 且DF⊥AC， ∴∠ADF=180°-90°-60°=30°， 在Rt△ADF中，， ∴， 同理，在Rt△FEC中，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，30°角在直角三角形中运用，本题中根据“30°角所对直角边等于斜边的一半”求解是解题的关键． 4．如图，已知，点在边上，且点在点的右侧，，点是边上一动点，在点运动的过程中，始终保持，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了含的直角三角形，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握含的直角三角形，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 如图，作于，则，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【考点16 等边三角形的性质】 1．如图，以等边的边为腰作，使，连接，若，则 ． 【答案】80 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，正确识别图形是解题的关键． 根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：80． 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，等边三角形纸片的边长为，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点C落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠问题，关键是由折叠的性质推出． 由折叠的性质得到：，即可得到三个阴影部分的周长的和． 【详解】解：是边长为的等边三角形， ， 由折叠的性质得到：， 三个阴影部分的周长的和， 故答案为：． 3．如图，是等边的边的中点，且，于，于，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．等边中，各边相等，且各角都为，由是边的中点，在和中，分别利用直角三角形的性质，可求得长度，则题目可解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵是边的中点， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，是等边三角形，是高，且，E是边的中点，点P是上一动点，则的最小值是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，两点之间线段最短， 先连接，先说明，将转化为，再根据两点之间线段最短说明的最小值，然后三角形的面积相等求出答案即可. 【详解】解：连接，交于点， ∵是等边三角形，且是高线， ∴垂直平分，, ∴. 即， 当点三点共线时，根据两点之间线段最短，最小，即最小， ∵是等边三角形，点E是边的中点， ∴是的高线. ∵，且， ∴， ∴最小值为7. 故答案为：7. 【考点17 等边三角形的判定】 1．已知a，b，c为三边，且满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】将已知式子因式分解为，则有或，即可判断三角形的形状． 本题主要考查等腰三角形的判定和因式分解 ，熟练掌握因式分解是解题的关键． 【详解】， ， ， ， 或， 或， ∴是等腰三角形， 故选：C． 2．满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（    ） ①有两个角是60°的三角形；②有两个外角相等的等腰三角形：③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等的三角形；④一边上的高也是这边中线的等腰三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用等边三角形的概念：三边相等，三个角都是60°的三角形，进行判断即可． 【详解】解：①若两个角都是60°，则第三个角也是60°，是等边三角形； ②有两个外角相等的三角形只能证明为等腰三角形，无法判断是否为等边三角形； ③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等，则三个内角都相等，是等边三角形； ④一边上的高也是这边中线的等腰三角形，可能是底边上的高与中线，等腰三角形有“三线合一”，不能判定为等边三角形． 以上能得到等边三角形的有2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的定义是解题的关键． 3．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上 【答案】D 【详解】解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°． ∵OP平分∠AOB， ∴∠EOP=∠POF=60°， ∵OP=OE=OF， ∴△OPE，△OPF是等边三角形， ∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°， ∴∠EPM=∠OPN， 在△PEM和△PON中， ， ∴△PEM≌△PON． ∴PM=PN， ∵∠MPN=60°， ∴△PNM是等边三角形， ∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形， 故这样的三角形有无数个． 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，综合应用以上判定和性质是解题的关键 【规律与新定义篇】 【考点18 规律探索】 1．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象为直线，作点关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；再作关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；…则按此规律，所作出的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，轴对称的性质，坐标与图形变化平移，一次函数的图象和性质，通过求出，，，，，进而得到规律当（k为正整数）时，，当时，，再由，即可求出答案． 【详解】解：如图所示， 设与直线l交于点C， ∵， ∴， ∵函数的图象为直线， ∴， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴， ∵将向右平移2个单位得到点， ∴， 同理可得， ∴，， ......， 以此类推，可知当（k为正整数）时，，当时，， ∵， ∴，即． 故选：D． 2．如图（1），已知，为的平分线上一点，连接，；如图（2），已知，，为的平分线上两点，连接，，，；如图（3），已知，，，为的平分线上三点，连接，，，，，； ，以此规律，第个图形中全等三角形的对数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，根据条件可得图中有对三角形全等；图中可证出，，有对三角形全等；图中有对三角形全等，根据数据可分析出第个图形中全等三角形的对数． 【详解】解：因为是的平分线，所以． 在与中， ， 所以， 所以题图（1）中有1对全等三角形． 同理，题图（2）中，，所以． 因为，所以． 又因为，所以， 所以题图（2）中有3对全等三角形． 同理，题图（3）中有6对全等三角形 …… 由此发现：第个图形中全等三角形的对数是． 故选：C． 3．如图，在中，，的内角与外角的平分线相交于点，得到；与的平分线相交于点，得到；……按此规律继续下去，与的平分线相交于点，要使的度数为整数，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的内角和，三角形的外角定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和是解题的关键．先根据外角和定理得出，再根据题意总结出规律，即可得到答案． 【详解】解：是的一个外角， ， 的内角与外角的平分线相交于点，得到；与的平分线相交于点， ， ， 同理可得，， ， ， ， ， 的度数为整数，， 的最大值为． 故选B． 4．如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：，，．已知，作点N关于点A的对称点，点关于点B的对称点，点关于点C的对称点，点关于点A的对称点，点关于点B的对称点，…，按照此规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系内点的规律探究问题．先求出N1至N6点的坐标，找出其循环的规律为每6个点循环一次即可求解． 【详解】解：由题意得，作出如下图形： N点坐标为， 点关于A点对称的点的坐标为， 点关于B点对称的点的坐标为， 点关于C点对称的点的坐标为， 点关于A点对称的点的坐标为， 点关于B点对称的点的坐标为， 点关于C点对称的点的坐标为，此时刚好回到最开始的点N处， ∴其每6个点循环一次， ∴， ∴的坐标与点的坐标相同，其坐标为． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形（记为第个正方形）的顶点与原点重合，点在轴上，点的坐标为，以为顶点作等边三角形，点落在轴上，轴，再以为边向右侧作正方形（记为第个正方形）…，若按照上述的规律继续作正方形，则第个正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，正方形的性质，图形类规律探索，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据题意得出第二个正方形边长，继而再得到第三个正方形的边长，即可发现规律，继而解答． 【详解】解：正方形（记为第个正方形），点的坐标为，以为顶点作等边三角形， ，， ， ，即第二个正方形边长为， ，即第三个正方形边长为， 由此得到规律：第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 故答案为：． 【考点19 新定义问题】 1．（24-25七年级下·北京海淀·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为 ． 【答案】3或8 【分析】本题考查三角形三边关系． 分四种情况，由三角形三边关系定理来判断，即可得到答案． 【详解】解：设三角形第三边的长是x， 由三角形三边关系定理得到， ∴， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则； ∵， ∴三角形第三边的长是3或8． 故答案为：3或8． 2．（2025·青海西宁·一模）定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．若是“准直角三角形”，且，，则的度数为 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．根据新定义，分类讨论，或，根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：是准直角三角形， 或， 当， 而， ， ， ， 当， ， ， ， 解得， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 3．新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，，相邻两条平行线间的距离为m，等腰为“格线三角形”，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线间的距离，全等三角形的判定与性质，过点B作直线于点，延长交直线c于点F，过点C作直线于点，证明，得出，，再根据求解即可 【详解】解：过点B作直线于点，延长交直线c于点F，过点C作直线于点，则，如图， ∵，相邻两条平行线间的距离为m， ∴直线c， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴的面积 故选：A 4．定义：若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“优美三角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“优美线”．下列四个三角形中，BD平分∠ABC，其中BD是“优美线”的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义以及等角对等边，大角对大边，小角对小边进行判断即可得到答案． 【详解】解：A.在直角三角形ABC中， ∴ 又平分 ∴ ∴ ∴ ∴ 又 ∴ ∴，即BD不是“优美线” 故选项A不符合题意； B.在中， ∴是等边三角形， ∴， ∵BD平分∠ABC， ∴ ∴ ∴，，即BD不是“优美线” 故选项B不符合题意； C.在中， ∴ 又平分 ∴ ∴ ∴，即BD不是“优美线” 故选项C不符合题意； D. 在中， ∴ 又平分 ∴ ∴ ∴，即BD是“优美线” 故选项D符合题意； 故选D 【点睛】本题主要考查了“优美线”的定义，熟练掌握“优美线”的定义是解答本题的关键． 【几何计算与证明篇】 【考点20 与折叠有关的角度的计算问题】 1．（24-25七年级下·吉林长春·期末）在中，，，，将沿某条直线折叠，使三角形的顶点与重合，折痕为． (1)试求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)14 (2) 【分析】（1）根据折叠的性质，得，再根据三角形的周长，解答即可． （2）根据，不妨设，根据折叠的性质，得，根据，利用三角形内角和定理列方程解答即可． 本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解方程，三角形周长，熟练掌握性质，解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得， ∵的周长是， ∴的周长是， ∵，， ∴． 故的周长为14． （2）解：∵，不妨设， 根据折叠的性质，得， ∴， ∵， ∴， 解得， 故． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，． (1)求证：． (2)若恰好平分，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、折叠的性质． 根据折叠的性质可知，根据平角的定义可以求出，从而可求，根据内错角相等，两直线平行，可证结论成立； 根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可以求出，根据角平分线的定义可以求出，根据三角形内角和定理可以求出的度数． 【详解】（1）证明：由折叠可知， ， ， ， ， ； （2）解：是的外角， ， ， ， 平分， ， 在中，， ． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，将长方形纸片沿和折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角，点，的对应点分别为点，，折叠后点，的对应点恰好都在点E． (1)若折痕角，求帽子顶角的度数； (2)设度，度． ①请用含的代数式表示，则________； ②当时，帽子比较美观，求此时的值． 【答案】(1) (2)①；②108 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质、三角形内角和定理、一元一次方程的应用，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）由得，由折叠的性质得，利用平角的定义求出的度数，根据轴对称的性质得，最后在中利用三角形内角和定理即可求解； （2）由和推出，由轴对称的性质得，在中利用三角形内角和定理即可求解；②由（1）得，由①得度，利用平角的定义表示出的度数，结合求出的值，即可求出此时的值． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， ， 由折叠的性质得，， ， 由轴对称的性质得，， ， 帽子顶角的度数为． （2）解：①， ， ， ， ， 由轴对称的性质得，， 设度，度， 度， 在中，， ， 故答案为：； ②由（1）得，， 由①得，度， 度， ， ， 解得：， ， 的值为108． 【考点21 三角形的内角和与外角的性质的综合】 1．如图，是的高，、是的角平分线，且． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，由题意可得，再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）由三角形外角的定义及性质计算得出的度数，再由三角形内角和定理计算得出的度数，然后由角平分线的定义可得，即可得解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴； （2）解：由题意可知：， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，点A，B分别在射线上运动（不与点O重合），分别是和的平分线，延长交于点G． (1)若，求的度数； (2)若，则= °；（用含的代数式表示） (3)如图，若，过点作 交于点，求与的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义、三角形外角的性质计算，得到答案； （2）仿照（1）的解法解答； （3）根据平行线的性质得到，根据（2）的结论解答． 【详解】（1）解：， ． 分别是和的平分线， ， 是的外角， ； （2） ， ． 分别是和的平分线， ， 是的外角， ， 故答案为：； （3）， ． ． 由（）得． ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 3．（24-25八年级上·河南信阳·期末）在中，平分，． (1)如图，若于点，，，则的度数为______； (2)如图，若于点，猜想并写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，设，，当点在射线上时不与点重合，且于点，直接写出的度数为： ______用含、的式子表示． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3)． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，三角形外角性质，垂直的定义的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）利用三角形内角和求出，结合角平分线定义求出，再结合垂直定义、以及三角形内角和求出，最后根据求解，即可解题； （2）根据题意，结合图形，用、表示出，利用角平分线，表示出，仿照第（1）题，表示出，即可得到结果； （3）结合图形，用，表示出，利用角平分线，表示出，利用是的外角，表示出，同时也是的外角，即可得到结果． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （3）解：如图，，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 即的度数为， 故答案为：． 【考点22 全等三角形的判定与性质的综合应用】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，点A，C，D，B在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，． (1)求证：； (2)猜想，的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）由题意可知，根据证明即可； （2）由（1）可知则，证明，得到，进而可证 【详解】（1）证明： ， 即． 在和中， ； （2）解：．理由如下： 由（1）可知 ． 在和中， ， ， 即， ． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）泰塔，又称宝塔寺塔、旬邑塔，被中华人民共和国国务院公布为第五批全国重点文物保护单位．实验中学数学兴趣小组的张逸想利用学过的知识来测量泰塔的高度．他带了一根长为2米的木棍并设计了如下的测量方案：如图，先在宝塔前选一点，使得，然后把竖直的木棍在的延长线上左右移动，使．此时用皮尺测得泰塔底部与木棍底部的距离，已知．请你帮他求出泰塔的高度． 【答案】 【分析】通过已知条件寻找三角形 和三角形 全等的条件，利用全等三角形对应边相等求出泰塔高度．本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的“角边角”判定方法和对应边相等的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ，， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∵ ，， ∴． 在 和 中： ∴ （）． ∵ ，， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 3．（24-25七年级下·广东河源·期末） 是等腰直角三角形，，，过点作交于点，点从点出发，以的速度沿着射线方向运动，连接交于点，过点作的垂线交直线于点，交直线于点．设运动时间为 ．    (1)当时，求的长； (2)在点的运动过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图，连接，上是否存在点，使得 与 全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)存在， 【分析】（1）证明，可得； （2）证明 即可求解； （3）连接，由是钝角，则当与全等时，在中必有一个钝角，只能是是钝角，此时，再根据，即可求的值． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，，， ∴是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：存在点使得与全等，理由如下： 连接，    ∵， ∴， ∵是钝角， ∴当与全等时，在中必有一个钝角， ∵点在线段上， ∴只能是是钝角， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰直角三角形的边和角的特征，以及全等三角形的判定方法（如角角边等）是解题的关键． 【考点23 角的平分线与线段的垂直平分线】 1．在Rt△ABC中，，AE是斜边BC上的高，角平分线BD交AE于点G，交AC于点D，于点F． (1)求证：； (2)试判断AD与AG有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)相等，理由见详解 【分析】（1）根据BD平分∠ABC，得到∠ABD=∠DBF，再根据DF⊥BC，得到∠DFB=∠BAD=90°，即可得到，即可证得AB=BF； （2）先证明，即可得到∠BGE=∠BDF，再根据∠BGE=∠AGD，∠ADB=∠BDF，得到∠AGD=∠ADB，即有AG=AD． 【详解】（1）∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBF， ∵DF⊥BC， ∴∠DFB=∠BAD=90°， 又∵BD=BD， ∴， ∴∠ADB=∠BDF，AB=BF； （2）AD=AG，理由如下： ∵AE是斜边BC上的高， ∴AE⊥BC， 又∵DF⊥BC， ∴， ∴∠BGE=∠BDF， 又∵∠BGE=∠AGD，∠ADB=∠BDF， ∴∠AGD=∠ADB， ∴AG=AD． 【点睛】本题主要考查了角平分线性质、全等三角形的判定和性质、平行的判定和性质、等角对等边等知识，得到是解答本题的关键． 2．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，是的垂直平分线上两点，延长，交于点，交于点． 求证： (1)是的角平分线； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）由，推出，由交于点，推出，可得． （2）由，，，可得． 【详解】（1）证明：点是的垂直平分线上的点， ， ， 交于点， ， ． 即是的角平分线． （2）解：点是的垂直平分线上的点， ， ， ，，， ． 3．（24-25八年级下·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角平分线性质（角平分线分对边的比等于邻边比、角平分线关联三角形面积比与邻边比），解题关键是运用探索新知得出的角平分线性质，建立边与面积的比例关系． （1）依据探索新知结论，代入、得；设、，由，推出． （2）根据探索新知中，结合已知，直接得． （3）用平分的性质，结合，及，算；同理，由平分，结合，算．连接，因点到三边距离相等，结合，得，算出 由，代入计算得结果． 【详解】（1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知，是的角平分线时， ， ∵，， ∴． 设，， ∴， ∴． （2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知可知，对于，是角平分线时： ， ， ∵ ∴． ∵， ∴． 故答案为； （3）∵平分， ∴点D到，的距离相等， ∴， ∵， ∴，， 同理平分， ∴， ∴，， 连接，过点F作,，分别垂直于，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴平分， ∴点F到，，三边的距离相等， ∴， ∵ ∴，，， ∴ ． 故答案为． 【考点24 利用轴对称的性质判断线段之间的关系】 1．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图1，是等边三角形，点D为边上一点，连接，点C关于的对称点为点E，连接． (1)若是的平分线，求的度数； (2)如图2，连接并延长交的延长线于点F，，试探究，和三者之间满足的等量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)， 理由见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形． （1）设，根据对称得出， 由求出解题即可果； （2）连接， 在上截取， 连接，可推出， 进而得出， ， 进一步得出结果． 【详解】（1）解：设， ∵点与点关于对称， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下： 连接， 在上截取， 连接， ∵点与点关于对称， ∴， ， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴， ∵， ， ， ， ， ． 2．如图（1），已知等边的边长为8，点P是边上的一个动点（与点A，B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把沿直线l折叠，点B的对应点是点，且当时，点恰好在（不含端点A，C）边上． (1)在图（2）中画出当时的图形，并求出此时的长度； (2)在点P的运动过程中，探究点到点A，C之间的距离的关系． 【答案】(1)画图见解析， (2)相等，理由见解析 【分析】（1）先画出图形，再证明是等边三角形，则； （2）先证明，是等边三角形，根据折叠的性质可知垂直平分，则垂直平分，即可证明． 【详解】（1）解：如图（2），已知，则， 由折叠可得， ∴ 又∵是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：相等，理由如下： 在图（2）中，且由折叠可得 ∴，是等边三角形， 在图（3）中，连接， 由对称可得， ∵是等边三角形 ∴垂直平分， ∴垂直平分， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等边三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质与判定条件是解题的关键． 3．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）如图，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，交于点，再沿边将折叠到处，记度，度． (1)写出的等量关系； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了折叠的性质，解决本题的关键是熟练掌握折叠的性质． （1）由题意得度，度 度，再列等式求解即可； （2）先求得度，可得，再由，可得，即，再代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得度，度 度， 即， 解得； （2）解：因为将沿边折叠到处， 所以度， 所以， 因为， 所以，即， 由（1）得，代入得 解得， 所以 【考点25 等腰三角形的性质与判定的综合】 1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知点D，E分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若 (1)求证：是等腰三角形； (2)点G是上一点，连接，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． (1)先利用角平分线的定义可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，最后利用等角对等边可得：，即可解答； (2)利用(1)的结论可得：，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得：，再利用平行线的性质即可解答． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：， ， ， ， ， ． 2．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，为的中点，连接垂直平分，分别交于点，交于点，交于点，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握相关知识是解题的关键； 对于（1），根据等腰三角形的性质得是的垂直平分线，可得，再根据线段垂直平分线的性质得，即可得，此题可解； 对于（2），根据等腰三角形的性质可求，再根据直角三角形的两个锐角互余得出答案． 【详解】（1）证明：∵，点D是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，点D是的中点，， ∴． 在中，． 3．已知，在中，，点D，E分别在边上(D不与B，C重合)，． (1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为 °． (2)如图2，若，且点D是边上的任意一点，小亮发现的度数为定值， ①求的度数； ②当时，求的度数． (3)如图3，在点D的运动过程中，的形状也在改变，若，请直接写出当等于多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)70 (2)①② (3)或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等知识，理解并掌握等腰三角形的性质是解题关键． （1）根据题意易知为等腰三角形，由等腰三角形“三线合一”的性质可得，，结合，即可获得答案； （2）①首先结合三角形内角和定理解得，再根据三角形外角的定义和性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得，即可求得的度数；②当时，结合三角形内角和定理以及等腰三角形“等边对等角”的性质可解得的度数； （3）当时，易得，进而可得．然后分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即为等腰三角形， ∵，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：70； （2）①∵，， ∴， ∵，， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）若， 则， ∴． ①当时，， ∵， ∴此时不符合题意； ②当时，， ∵， ∴， ∴； ③当时，， ∴， ∴． 综上所述，当或时，是等腰三角形． 【考点26 等边三角形的性质与判定的综合】 1．在等边中，点E是上的动点，点E与点A，B不重合，点D在的延长线上，且． (1)如图1，若点E是的中点，求证：． (2)如图2，若 E不是的中点，（1）中的结论“”能否成立？若不成立，请直接写出与的数量关系，若成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用等边三角形的性质得，平分，，结合等边对等角得，则，即； （2）过E作交于F，结合为等边三角形，证明为等边三角形，则，再整理得，证明，得，故，即可作答． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，E是的中点， ∴，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过E作交于F， ∴ ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形 ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴ 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，垂足为，且，点、分别在边、上，且．求证： (1)是等边三角形； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质． （1）根据等腰三角形的“三线合一”求出，再由即可得证； （2）根据等边三角形的性质得到，，从而证明，根据全等三角形的对应边相等即可得证． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（24-25七年级下·上海松江·期末）已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． (1)如图（1），如果，证明：； (2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质等知识． （1）由线段垂直平分线的性质得，即可得出结论； （2）证明，得，，再证明是等边三角形，得到，然后证明，得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，P是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【考点27 含30°的直角三角形性质的应用】 1．（25-26八年级上·全国·期中）已知，如图，是等边三角形，是边上的高，延长到，使，过作于． (1)求证：； (2)请猜想与间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)；见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，外角的性质，所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过等边三角形的性质先推出，然后通过等腰三角形“等边对等角”的性质和外角的性质推出，最后再由等腰三角形的判定方法即可证明； （2）通过，得到，再由，，得到，从而找到和的关系，即可求解． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）； 证明：，， ， ，， ， ， ． 2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，是边上任意一点，过点分别向，引垂线，垂足分别为，． (1)当点在的什么位置时，？并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)当点在的中点上时，，理由见解析 (2)24 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质． 根据等腰三角形三线合一与角平分线上的点到角两边的距离相等说明即可； 两次利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半即可求得． 【详解】（1）解：当点在的中点上时，． 理由：连接． ∵为中点，， 为的平分线， ，， ． （2）解:，，为中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 3．（24-25八年级下·河南郑州·期末）综合与实践 在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接． (1)初步探究 如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ； (2)类比探究 如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）； (3)延伸探究 如图③，在中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)4 【分析】（1）旋转的性质得到，，进而得到，证明，即可得出结论； （2）同法（1）即可得证； （3）延长至点，使，连接，作，根据含30度角的直角三角形的性质，推出，证明，得到，进而得到点的运动轨迹，根据垂线段最短结合含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵旋转， ∴，， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）成立，理由如下： ∵旋转， ∴，， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； （3）解：延长至点，使，连接，作，则：， ∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，的长最短，为的长， ∵， ∴； 故的最小值为4． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30度的直角三角形，垂线段最短，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 【作图篇】 【考点28 尺规作角平分线、线段垂直平分线】 1．如图，两条公路，交于点O，村庄M，N的位置如图所示，M在公路上，现要修建一个快递站P，使快递站到两条公路的距离相等，且到两村庄的距离也相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．    【答案】见解析 【分析】作线段的垂直平分线，作的角平分线，则交于一点，即为点P． 【详解】解：点P即为所求，如图所示：    【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法． 【答案】4处，图见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质作出图形即可． 【详解】解：如图，满足条件的点有4个，图中即为所求． 3．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）下图是某休闲广场的平面示意图，A，D是广场的两个入口，，，是小路，现要在广场（四边形）内部修建一处喷泉（点P），使喷泉P满足以下两个条件： ①喷泉P到小路，的距离相等； ②喷泉P到入口A和D的距离相等． 请利用尺规确定点P的位置（保留作图痕迹，不必写作法）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图、垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识点，掌握角平分线和垂直平分线的尺规作图方法是解题的关键． 作的角平分线，作线段的垂直平分线，两线的交点即为所求点P的位置． 【详解】解：如图：点P的位置即为所求． 【考点29 作轴对称图形】 1．（25-26八年级上·湖南·期中）如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作，使和关于轴对称； (2)写出点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题主要考查了作图——对称变换、点关于坐标轴对称等知识点，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标的规律是解题的关键． （1）先确定点A、B、C关于y轴对称点，然后再顺次连接即可； （2）根据（1）的作图，直接写出坐标即可； （3）利用长方形的面积减去三个小三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图可得：，，． （3）解：． 2．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，有一个以格点为顶点的其中点，，均在网格上 (1)作关于直线的轴对称图形； (2)的面积是_________ ； (3)在直线上画出点，使得最小．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作出，，的对应点即可． （2）利用分割法求三角形面积． （3）连接交直线于点，连接，点即为所求． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）的面积是 （3）如图，点Q即为所求． 3．（24-25七年级下·广东清远·期末） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 【答案】(1)两点之间线段最短 (2)见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称﹣最短问题. （1）根据两点之间线段最短解决问题； （2）利用轴对称解决最短问题，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，点C即为所求，依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； （2）如图2中，点P即为所求． 理由：在直线l上任意取一点，连接， ． ∵A，关于直线l对称， ∴，， ∵， ∴点P即为所求的点P． 【考点30 利用轴对称设计图案】 1．（24-25七年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上．只用无刻度的直尺，在下列3个网格里分别画出一个三角形并涂上阴影，使其与关于某条直线成轴对称，要求画出图形的位置不同且顶点都在格点上． 【答案】图见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查设计轴对称图案，根据成轴对称的性质，确定对称轴，作图即可． 【详解】解：由题意，作图如下： 2．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图所示在3×3的正方形网格中，已经有3个小正方形涂了阴影，请你在余下的空白小方格中涂上1个阴影使整个图形成为轴对称图形，把几种不同的涂法分别展示出来． 【答案】有2种，图形见解析． 【分析】根据轴对称图形的性质求解即可；本题主要考查了做轴对称图形，准确作图是解题的关键． 【详解】解：根据题意作图如下： 3．（24-25七年级下·全国·期末）如图，这是由五个大小相同的小正方块拼凑而成的． (1)该图是轴对称图形吗？如果是，请画出对称轴． (2)若移动一个小方块重新拼凑成一个新的轴对称图形，共有几种方法（相同方法算一种）？请你画出图形和对称轴． 【答案】(1)是，图见详解； (2)有四种，图见详解． 【分析】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，解答本题的关键是掌握轴对称的定义，难点在第二问，注意不要漏解． （1）根据轴对称图形的概念，可得此图为轴对称图形，然后画出对称轴即可． （2）只要满足移动之后是轴对称图形即可，注意不要遗漏． 【详解】（1）解：该图是轴对称图形，对称轴如图所示： （2）解：共有四种方法，如图所示：        【压轴篇】 【考点31 做辅助线构造全等三角形】 1．（24-25八年级上·广东珠海·期末）如图1，四边形中，，对角线、交于点E，恰好是等边三角形，已知点O是的中点，连接． 【知识技能】（1）求证：平分； 【综合探究】（2）如图2，点F是的中点，连接、，求证：平分； 【拓广延伸】（3）求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）先证明，再证明，即可得到结论； （2）过点O分别作于点M，于点N，证明，可得，从而可得结论； （3）过点D作于点H．由等边和等腰可知，，证明，可得，证明，可得，再进一步利用割补法可得结论. 【详解】证明：（1）连接． ，点O是的中点， ， ， ， 在等边中，， 在和中， ， ， 平分； （2）过点O分别作于点M，于点N ， ，点O是的中点， 则， ，点F是的中点， 则， ， ， ∵， 在和中， ， ， ， ∴平分； （3）过点D作于点H． 由等边和等腰可知， ， 即， 又， ， ， ， ， ， ，点F是的中点， ，， 在和中， ， ， ， . 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键. 2．已知：是的角平分线，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，点E在上，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，且，连接． ①求证：； ②若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查全等三角形的性质及判定，涉及三角形面积、角平分线的性质等知识，解题的关键是根据已知条件，找出并证明相关的三角形全等． （1）用证明，即得； （2）①证明可得，再用证明，即得； ②过F作于K，由，可得，，而，故，即得，根据，可求． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴． （2）①在中，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ②如图3，过点A分别作于H，于M，交的延长线于点N，过点F作于K． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·全国·期末）（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点A作，垂足为D，交于点E．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，，点D在线段上，且于E，交于F，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）根据“”证明即可得出结论； （2）先证，再证得出，进而即可得解； （3）如图：过点D作，交的延长线于点G，与相交于H，证出和，然后进行线段的等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：∵平分，点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：；理由如下： 由（1）得：， ∴， 即， ∵，垂足为D， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）；理由如下： 如图3：过点D作，交的延长线于点G，与相交于H， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形综合．熟练掌握角平分线有关计算，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线，是解题的关键． 【考点32 做辅助线构造等腰三角形】 1．已知：如图，，、分别是、的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质．连接、，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，进而根据等腰三角形的“三线合一”即可证明． 【详解】解：连接、， ，是的中点， ， 点是的中点， ． 2．（25-26八年级上·全国·期末）已知在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且，连接，． 【问题发现】 （1）如图，当D为的中点时，探究线段与之间的数量关系，直接写出结论： ；（选填“”“”或“”） 【类比探究】 （2）如图，当D为边上任意一点时，探究线段与之间的数量关系，并证明； 【拓展延伸】 （3）当D为的中点，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且．若，求的长． 【答案】（1）（2），证明见解析（3）的长为9或1 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，从而得到，由等边对等角结合三角形外角的定义及性质可得，即可推出； （2）过点D作，交于点M，结合等边三角形的判定与性质，证明即可得证； （3）分两种情况：当点Q在线段的延长线上时，当点Q在线段上时，分别求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵为等边三角形，D为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 故答案为： （2），证明如下： 如图②，过点D作，交于点M， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）的长为9或1，理由如下： 当点Q在线段的延长线上时， 如图③，作交于点M， 由（2）知为等边三角形， ∴，， ∵D为等边的边的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 当点Q在线段上时，如图④， 同理可证明， 则， 综上所述，的长为9或1． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键． 3．（24-25八年级下·山西晋中·期中）综合与实践 【问题提出】 （1）如图①，在中，，点为外一点，点为延长线上一点，点为线段上一点，于点、于点，且．则猜想并证明，，之间的数量失系． （2）如图②，已知等边三角形及外一点，连接，，．若，试判断，，之间满足的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，在中，，点为外一点，且，，直接写出的度数． 【答案】（1）（2），证明见解析（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）证明，得出，，根据线段的和差关系即可得出结论； （2）在上截取，连接，证明为等边三角形，得出，，再证明，得出，即可得证； （3）延长至，使，再在上取点，使，连接，证明为等边三角形，得出，，证明，得出，再证明，得出，即可得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）结论：， 证明：在上截取，连接， 在等边中，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）证明：延长至，使，再在上取点，使，连接，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， 又， ∴， ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【考点33 三角形中的最值问题】 1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，求 的度数． (2)若，的周长是． ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 【答案】(1) (2)①；②最小值为 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可求解； （2）①根据线段垂直平分线的性质可得，然后求出的周长，再代入数据进行计算即可得解；②当点与重合时，周长的值最小，据此解答即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，的周长是， ∴； ②当点与重合时，周长的值最小， 理由：∵，， ∴与重合时，，此时最小， ∴周长的最小值． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】模型解决：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 模型应用：9 模型拓展：100 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【详解】模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决． 故答案为：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边； 模型应用：解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为100． 3．（24-25七年级下·福建三明·期中）已知：等腰中，． (1)如图1，若是的高，是的角平分线，与交于点．当的大小变化时，的形状也随之改变． ①设，求角度的变量与的关系式； ②当是等腰三角形时，求的度数． (2)如图2，若的面积是是的高，点分别是线段上的点，直接写出的最小值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质求线段和的最值，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）①根据三角形内角和定理分别表示出，根据三角形的外角的性质得出，即可求解； ②先表示出的三个内角，然后根据等腰三角形的性质，分类讨论，列出方程，解方程，即可求解； （2）过点作，垂足为，交于点，连接，当重合时，的最小值为，进而根据三角形的面积公式求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：①设 ∵ ∴ ∵是的高，是的角平分线， ∴， ∴ ∴； ②∵是的高， ∴ ∵ ∴ ∵是等腰三角形时 当时， ∴ 解得：即 当时， ∴ 解得：即 当时， ∴ s解得：（不合题意，舍去） 综上所述，或 （2）解：如图，过点作，垂足为，交于点，连接， ∵，是的高， ∴是的对称轴， ∴，当重合时取得最小值，即的最小值为 ∵的面积是， ∴ ∴的最小值是 【考点34 三角形中的分类讨论】 1．（24-25七年级下·上海·期末）在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰 纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时， ； (2)当等于何值时，？请说明理由； (3)在点的滑动过程中，存在 是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，，见解析 (3)存在，或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，进而可以解决问题； （2）当时，与全等，理由为：根据，且度数，求出与度数，再由外角性质得到，根据，利用即可得证； （3）点在滑动时，的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当；；，分别求出夹角的大小即可． 本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：当时，；理由如下： ∵，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴（）； （3）解：存在是等腰三角形；理由如下： ∵是等腰三角形， ，， ①当时， ∴， 即， ∴； ②当时，是等腰三角形， ∴，即， ∴； ③当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 即， ∴， 此时点与点重合，点和重合， ∵点不与，重合， ∴，舍去， 综合所述，存在是等腰三角形；或． 2．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A，C两点的坐标分别为，点，且，已知点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为． (1)求A，C两点的坐标； (2)连接，当点P在x轴的正半轴上时，用含t的代数式表示的面积； (3)当点P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或或或 【分析】本题考查了非负数的性质，全等三角形的性质，求点的坐标等知识，利用三角形全等是解题的关键； （1）由非负数的性质即可求解； （2）由题意得，，由三角形面积公式即可求解； （3）分两种情况，；；利用三角形全等的性质，考虑点Q的位置即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵，，如图 ∴， 由题意得：， 当点P在x轴的正半轴上时，， ∴； （3）解：存在； 当时，则， 如下左图，当点Q在y轴正半轴上时，； 当点Q在y轴负半轴上时，； 当时，则， 如右图，当点Q在y轴正半轴上时，； 当点Q在y轴负半轴上时，； 综上，点Q的坐标为或或或． 3．在直角坐标平面内，已知点A(3，0)、点B(0，4)，，在坐标轴上找点，使构成等腰三角形． (1)这样的等腰三角形有______个； (2)直接写出分别以、为顶角时所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)8 (2)当为顶角时，(8，0)，(0，-4)，(-2，0)；当为顶角时，(-3，0)，(0，-1)，(0，9)． 【分析】（1）分类讨论：①当AB=BC时，②当AB=AC时和③当BC=AC时，画出图形即可得出结论； （2）根据（1）结合图形和等腰三角形的定义即可求解． 【详解】（1）分类讨论：①当AB=BC时，如图，和； ②当AB=AC时，如图，和； ③当BC=AC时，如图和． 综上可知满足条件的点C有个， 故答案为：； （2）当为顶角时，即AB=AC=5，此时点C的位置即上图中，，． ∴，，， ∴(8，0)，(0，-4)，(-2，0)； 当为顶角时，即AB=BC=5，此时点C的位置即上图中，，． ∴，，， ∴(-3，0)，(0，-1)，(0，9)． 【点睛】本题考查坐标与图形，等腰三角形的定义．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $