期中复习5大类型29个考点（举一反三期中专项训练）九年级数学上学期人教版

期中复习5大类型29个考点（前3章） 【人教版】 【基础概念易错篇】 2 【考点1 判断是否是一元二次方程】 2 【考点2 一元二次方程的一般形式】 2 【考点3 一元二次方程的解】 2 【考点4 解一元二次方程—直接开平方法】 2 【考点5 解一元二次方程—配方法】 3 【考点6 配方法的应用】 3 【考点7 一元二次方程根的判别式】 3 【考点8 解一元二次方程—公式法】 4 【考点9 解一元二次方程—因式分解法】 4 【考点10 一元二次方程根与系数的关系】 4 【考点11 二次函数的定义】 5 【考点12 二次函数的图象与性质】 5 【考点13 二次函数的图象与性质】 6 【考点14 二次函数的图象与性质】 7 【考点15 二次函数的图象与性质】 7 【考点16 二次函数的图象与的性质】 8 【考点17 二次函数图象与系数的关系】 9 【考点18 二次函数图象与几何变换】 10 【考点19 二次函数与一元二次方程】 11 【考点20 图形的旋转】 12 【考点21 中心对称】 13 【计算篇】 14 【考点22 一元二次方程的解法】 14 【实际应用篇】 14 【考点23 一元二次方程的应用】 14 【考点24 实际问题与二次函数】 16 【作图篇】 18 【考点25 作图-旋转与中心对称】 18 【压轴篇】 20 【考点26 换元法解一元二次方程】 20 【考点27 一元二次方程根的判别式与根与系数关系的综合】 20 【考点28 利用二次函数的性质求最值】 22 【考点29 二次函数中的存在性问题】 23 【基础概念易错篇】 【考点1 判断是否是一元二次方程】 1．（25-26九年级上·全国·阶段练习）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A．3 B． C．3或 D．0 2．（25-26九年级上·河南商丘·阶段练习）下列是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·云南昆明·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 【考点2 一元二次方程的一般形式】 1．将一元二次方程  化为二次项系数为“1”的一般形式，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 2．把方程化成的形式，则a、b、c的一组值是（    ） A． B． C． D．2、1、1 【考点3 一元二次方程的解】 1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（   ） A． B．3 C． D．不能确定 2．下列一元二次方程中，有一个根为的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）若是一元二次方程的一个根，则 【考点4 解一元二次方程—直接开平方法】 1．方程的解为 ． 2．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的常数项是0，则a的值为（　　） A．1 B． C．1或 D．0 3．（2025·上海徐汇·二模）若一元二次方程中的，则的值为 ． 【考点5 解一元二次方程—配方法】 1．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）用配方法解关于的一元二次方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·新疆伊犁·阶段练习）如果一元二次方程经配方后，得，那么 ． 【考点6 配方法的应用】 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知多项式，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是 ． 2．（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知为实数，满足，那么的最小值为 ． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知满足，则（） A． B． C．2 D．3 4．已知：a、b、c是的三边，且，的形状是 ． 【考点7 一元二次方程根的判别式】 1．（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海金山·期末）若，关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 4．已知分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且是关于的一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【考点8 解一元二次方程—公式法】 1．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）已知关于的方程，若方程的根都是整数，则满足条件的正整数的值为 ． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的一元二次方程恰有一个根小于，则k的取值范围为 ． 3．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）关于的方程，下列解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得 整理得 ，，，， ，， 整理得， 配方得 ，，，， 移项得 ，，或，， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）方程的两个根为（   ） A．， B．， C．， D．， 【考点9 解一元二次方程—因式分解法】 1．（25-26九年级上·陕西汉中·阶段练习）若的三边长都是方程的根，则的周长是（   ） A．7 B．8 C．7或8 D．13 2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．1或 3．已知关于的方程的一个根是1，则 ． 【考点10 一元二次方程根与系数的关系】 1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）设，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2036 B．2035 C．2034 D．2033 2．（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（    ） A．3 B． C．3或1 D．或1 3．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知是方程的两个根，则代数式的值是 ． 【考点11 二次函数的定义】 1．（25-26九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）以为自变量的函数：①；②；③；④，是二次函数的有 ． 2．已知函数是二次函数，则 ． 3．（25-26八年级上·安徽·阶段练习）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项的和为（　　） A． B．1 C．5 D． 4．（24-25九年级上·全国·期末）下列函数关系中，可以看作是二次函数模型的是(　　) A．两直角边的和为的直角三角形，面积与斜边的关系 B．周长为的长方形，长与宽的关系 C．面积为的长方形，周长与长的关系 D．面积为的长方形，长与宽的关系 【考点12 二次函数的图象与性质】 1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）若点都在二次函数图象上，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象开口向上，则实数a可以为 ． 4．对于二次函数，当取时，函数值相等，则当取时，函数值为 ． 【考点13 二次函数的图象与性质】 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 3．二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）定义：对于函数图象上的两点，将的值称为该函数图象在段的“攀登值”，记作．已知二次函数的图象上有两点，若对于任意的均满足当时，该函数图象在段的“攀登值”始终有，则a的取值范围是 ． 【考点14 二次函数的图象与性质】 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数的图象如图所示，则可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，得（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．老师给出一个二次函数，甲、乙两名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在x轴上；乙：抛物线开口向下；已知这两位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式 ． 4．（24-25八年级下·北京·期中）对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示： 根据二次函数图象的相关性质可知： ， ． 【考点15 二次函数的图象与性质】 1．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）已知点，在抛物线（m是常数）上．若，则下列大小比较正确的是（） A． B． C． D． 2．当时，二次函数有最大值，则实数的值为(    ) A． B．或 C．或 D．或或 3．若二次函数的图像在这一段位于轴的上方，在这一段位于轴的下方，则值为 ． 4．如图，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，当以为对角线的正方形的另外两个顶点、恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形．    （1）当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ． （2）若抛物线是“美丽抛物线”，则，之间的数量关系为 ． 【考点16 二次函数的图象与的性质】 1．（2025·四川绵阳·一模）已知二次函数的图象关于直线对称，当时，y有最小值，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北荆州·期末）已知二次函数，下列说法中不正确的是（   ） A．该二次函数的图象的开口向下 B．该二次函数图象的顶点坐标是 C．该二次函数的图象与x轴的交点坐标是和 D．已知点和都在这个二次函数的图象上，则 3．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数（，为常数）． （1）当时，该函数图象的对称轴为直线 ； （2）当时，的最大值为；当时，的最大值为，则 ． 4．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，则 ． 【考点17 二次函数图象与系数的关系】 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）若二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是 ． ①图象与轴的交点为，；②；③；④；⑤当时，随的增大而减小 2．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，二次函数的图象经过点、点、点，若点是抛物线上任意一点，有下列结论：二次函数的最小值为； ；若，则；若，则；⑤一元二次方程的两个根为和 ．其中正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，抛物线交轴于，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤当是等腰直角三角形时，则；⑥当是等腰三角形时，的值有3个．其中正确的序号是 ． 【考点18 二次函数图象与几何变换】 1．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）如果二次函数平移后的顶点恰好落在直线上，求平移后的图像与y轴交点的纵坐标的最小值为 ． 2．将抛物线向右平移三个单位，再绕原点O旋转180°，则所得抛物线的解析式 ． 3．如图，将二次函数y=-（x-2）2+4（x≤4）的图象沿直线x=4翻折，翻折前后的图象组成一个新图象M，若直线y=b和图象M有四个交点，结合图象可知，b的取值范围是 ． 4．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）若二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．其中正确的为（    ） ①； ②当时，代数式的最小值为3； ③对于任意实数，不等式一定成立； ④，为该二次函数图象上任意两点，且，当时，一定有． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【考点19 二次函数与一元二次方程】 1．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）设一元二次方程的两实根分别为，，且，则，满足（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是 ． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作垂直于轴的直线与抛物线有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为，当为锐角三角形时，则的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 4．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（   ）                                         A． B． C． D． 【考点20 图形的旋转】 1．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）如图，在中，，将绕点顺时针旋转角至，使得点恰好落在边上，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·海南·阶段练习）如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接、，则的最小值是 ． 3．如图，在矩形中，已知，，矩形在直线上绕其右下角的顶点向右旋转至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转至图②位置，...，以此类推，这样连续旋转2024次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转 得到，则线段的取值范围是 ． 【考点21 中心对称】 1．（24-25八年级下·山东济南·期中）春晚主标识通过视觉元素传达出春晚的主题和寓意．下列主标识中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．已知点关于原点的对称点在第二象限，则a的取值范围是(   ) A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是8和6，则图中阴影部分的面积是 ． 4．如图，过平行四边形内的点P作各边的平行线分别交于点E，F，G，H．连接．已知与平行四边形的面积分别为m，n． （1）若点P是平行四边形的对称中心，则 ； （2）平行四边形的面积为 （用含m、n的代数式表示）． 【计算篇】 【考点22 一元二次方程的解法】 1．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（配方法）． 2．（25-26九年级上·辽宁锦州·阶段练习）解方程： (1) (2) 3．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）用适当的方法解下列关于x的方程： (1) (2) (3) (4) 4．（25-26九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当时，求此方程的解． 5．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程的两个根为，，且，求k的值． 【实际应用篇】 【考点23 一元二次方程的应用】 1．（25-26九年级上·陕西汉中·阶段练习）乒乓球作为陕西中考体育“体质健康测试类”选考项目，因其对体能要求相对较低且趣味性较高，成为同学们选考热点，乒乓球拍的销量也在持续增长．某体育用品店销售一种乒乓球拍，进价为每副42元，按每副66元销售，平均每月能卖出200副，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时，在不亏本的情况下，尽量减少库存，经调研发现，售价每降低2元，平均每月可多卖出20副． (1)小明说：“如果薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500副．”请你判断小明的说法是否正确？并说明理由； (2)该体育用品店期望销售这种乒乓球拍，平均每月的销售利润为4830元，销售员甲说：“在原售价的基础上降低1元，销售利润即可达到预期目标．”销售员乙说：“在原售价的基础上降低3元更合适”，如果你作为老板，请用方程的思想说明应采纳谁的意见． 2．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 3．为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 4．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为1056平方米． (1)求通道的宽是多少米． (2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【考点24 实际问题与二次函数】 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点，点）以及点，点落在同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分与第2根栏杆未涂色部分长度相等，则求的长度． 2．（24-25九年级上·内蒙古·期中）中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（且x为整数）成一次函数关系且满足．已知该纪念品成本价为20元/件． (1)求y关于x的函数表达式； (2)求这20天中第几天销售利润为18000元； (3)这20天中，最大利润能否超过18000元？如果能求出最大利润，如果不能说明理由． 3．（25-26九年级上·北京·阶段练习）佩奇和朋友们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形．佩奇从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． (1)请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式． (2)通过计算判断佩奇此次射门能否射入球门内． (3)点为上一点，且，若射门路线的形状和大小、最大高度均保持不变，当佩奇带球向正后方移动再射门，足球恰好经过区域（含点和），直接写出的取值范围． 4．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）根据以下信息，探索完成任务： 探索目的 制作简易水流装置 信息1 如图，C是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，使水流从处流出且呈抛物线形．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 信息2 圆柱的高为，点到圆柱顶端的距离为，轴，，，为水流所在抛物线的顶点，点，，，，均在同一平面内． 问题解决 任务一 填空：的长度为______，该抛物线顶点坐标为（______，______）． 任务二 求水流所在抛物线的函数解析式． 任务三 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在点处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 【作图篇】 【考点25 作图-旋转与中心对称】 1．（25-26九年级上·福建·阶段练习）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系， (1)画出关于原点成中心对称的图形 (2)将绕点逆时针旋转得到（点，分别为，的对应点）画出， (3)画出四边形，且四边形为中心对称图形． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，． (1)画出关于原点中心对称的； (2)画出绕点P顺时针旋转后得到的； (3)求出点C旋转到点所走过的路径长． 3．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点分别为，，    (1)在网格中作，使它与关于点C成中心对称； (2)平移，使点A的对应点坐标为，点B的对应点为，点C的对应点为，画出平移后对应的； (3)若将绕某一点旋转可得到，则此旋转中心的坐标为______． 4．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)画出关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． (3)点P为x轴上一点，直接写出当最大时，点P的坐标． 【压轴篇】 【考点26 换元法解一元二次方程】 1．（25-26九年级上·河南商丘·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： (1)解方程，则______； (2)若，求______． 2．（24-25九年级上·江西吉安·期中）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”________； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________； (3)已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 【考点27 一元二次方程根的判别式与根与系数关系的综合】 1．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个不相等的实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数m、n满足、，求的值． (2)已知实数p、q满足、，且，求的值． (3)已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值． 2．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）我们知道一元二次方程的两根为，，若其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为倍“梅石花”方程，例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是二倍“梅石花”方程；若一元二次方程的两根为，，则称这样的方程为“状元来”方程． (1)根据上述定义，请判断：是_________倍“梅石花”方程； (2)若关于的方程是倍“梅石花”方程，直接写出的最小值是_________． (3)若方程为“状元来”方程，求证：． 3．（2025·湖南长沙·二模）我们知道：关于的一元二次方程（，，，均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（为整数），则是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，，，均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则的值为______． (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求的值． 【考点28 利用二次函数的性质求最值】 1．（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线与轴交于点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值； (3)如图，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值． 2．（24-25九年级下·江苏淮安·阶段练习）在平面直角坐标系中，有点A、B在函数的图像上， (1)若，，①写出抛物线的对称轴为_____，②直接写出与的大小关系_____； (2)现有一动点P从点A出发，沿x轴方向水平运动到与y轴平行且经过点B的直线L上，再沿着直线L运动到点B，点P运动的总路径为d．当所在直线经过第二、四象限时， ①求a的取值范围； ②求d关于a的函数关系式． (3)关于x的二次函数：，若在（1）的条件下，当时，存在，求t的最小值． 3．（25-26九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，，M是的顶点． (1)求a，b的值及点 M 的坐标； (2)将抛物线 平移，使其顶点落在x轴上，得到抛物线的对称轴为直线． ①当 平移路程最短时，直接写出的解析式； ②动点在抛物线上，当时，的最小值为2，求 h的值； ③我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点．连接，与线段只有一个交点 F，且与上的整点个数比为，直接写出h的取值范围． 4．如图①，平面直角坐标系中，抛物线 与轴分别交于点，和点，与轴交于点C，P为抛物线上一动点． (1)拋物线的对称轴为直线______，拋物线的函数表达式为______； (2)如图②，连接，若点在上方，作轴交于点，把上述抛物线沿射线的方向向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求的最大值； (3)若点在上方，设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点F，E．请探索以（G是点关于轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着点的运动而发生变化？若不变，求出这个四边形的面积；若变化，请说明理由． 【考点29 二次函数中的存在性问题】 1．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与 轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)在直线下方的抛物线上是否存在点M，使得的面积为6，若存在求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线的顶点为，连接．抛物线上是否存在一点，使得 ？ 若存在，求点的坐标； 若不存在，说明理由； 2．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (4)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； (5)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 3．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）如图，已知抛物线经过点、、三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是线段上的点（不与B、C重合），过M作轴交抛物线于N．若点M的横坐标为m．请用m的代数式表示的长； (3)在（2）的条件下，连接、，是否存在m，使的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 4．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标； (3)如图2，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的纵坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习5大类型29个考点（前3章） 【人教版】 【基础概念易错篇】 2 【考点1 判断是否是一元二次方程】 2 【考点2 一元二次方程的一般形式】 3 【考点3 一元二次方程的解】 4 【考点4 解一元二次方程—直接开平方法】 5 【考点5 解一元二次方程—配方法】 6 【考点6 配方法的应用】 7 【考点7 一元二次方程根的判别式】 9 【考点8 解一元二次方程—公式法】 12 【考点9 解一元二次方程—因式分解法】 14 【考点10 一元二次方程根与系数的关系】 16 【考点11 二次函数的定义】 17 【考点12 二次函数的图象与性质】 19 【考点13 二次函数的图象与性质】 21 【考点14 二次函数的图象与性质】 23 【考点15 二次函数的图象与性质】 27 【考点16 二次函数的图象与的性质】 30 【考点17 二次函数图象与系数的关系】 33 【考点18 二次函数图象与几何变换】 38 【考点19 二次函数与一元二次方程】 41 【考点20 图形的旋转】 44 【考点21 中心对称】 48 【计算篇】 52 【考点22 一元二次方程的解法】 52 【实际应用篇】 56 【考点23 一元二次方程的应用】 56 【考点24 实际问题与二次函数】 60 【作图篇】 66 【考点25 作图-旋转与中心对称】 66 【压轴篇】 73 【考点26 换元法解一元二次方程】 73 【考点27 一元二次方程根的判别式与根与系数关系的综合】 75 【考点28 利用二次函数的性质求最值】 82 【考点29 二次函数中的存在性问题】 91 【基础概念易错篇】 【考点1 判断是否是一元二次方程】 1．（25-26九年级上·全国·阶段练习）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A．3 B． C．3或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）． 根据一元二次方程的定义得到且，然后解方程和不等式即可得到满足条件的a值． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：B． 2．（25-26九年级上·河南商丘·阶段练习）下列是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是 2 ，（2）二次项系数不为 0 ，（3）是整式方程，（4）只含有一个未知数，熟练掌握一元二次方程必须满足的四个条件，是解题的关键． 根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】解：A．不是等式，故不是一元二次方程，不符合题意； B．当时，不是一元二次方程，不符合题意； C．该方程化简后为，是一元二次方程，符合题意； D．该方程不是整式方程，不符合题意；     故选：C． 3．（24-25九年级上·云南昆明·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据根的判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根， ， 解得：且， 的取值范围是且 故答案为：且 【考点2 一元二次方程的一般形式】 1．将一元二次方程  化为二次项系数为“1”的一般形式，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【答案】 1 【分析】本题主要考查一元二次方程化为一般形式，掌握一元二次方程化为一般形式是解题的关键． 先通过去括号、移项、合并同类项、然后同时除以二次项的系数得到二次项系数是1的一元二次方程，再确定二次项系数、一次项系数、常数项即可． 【详解】解： ， 所以该方程的二次项系数是1，一次项系数是，常数项是． 故答案为：1；；． 2．把方程化成的形式，则a、b、c的一组值是（    ） A． B． C． D．2、1、1 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先把方程左边去括号，然后把常数项移到方程左边即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【考点3 一元二次方程的解】 1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（   ） A． B．3 C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键．由于当时，，则可判断该方程一定有一个根为． 【详解】解：当时，，所以若，则一元二次方程一定有一个根为． 故选：A． 2．下列一元二次方程中，有一个根为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，把代入选项中每个方程进行检验即可得到答案． 【详解】解：把代入，得， ∴，故A不符合题意； 把代入，得， ∴，故B符合题意； 把代入，得， ∴，故C不符合题意； 把代入，得， ∴，故D不符合题意； 故选：B 3．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）若是一元二次方程的一个根，则 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解．根据题意将代入方程中，再观察结果和所得方程关系即可得到本题答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【考点4 解一元二次方程—直接开平方法】 1．方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开方法解方程即可． 【详解】解：， ， ， ∴． 故答案为： 2．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的常数项是0，则a的值为（　　） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义和解法，掌握一元二次方程的定义与基本解法是解题关键． 根据一元二次方程的定义和题意列出a满足的条件求解即可． 【详解】解：原方程变形为， 由题意，， 解得：， 故选：B． 3．（2025·上海徐汇·二模）若一元二次方程中的，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，直接开平方法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意得，整理得，运用直接开平方法进行解方程，即可作答． 【详解】∵一元二次方程中的， ∴， ． 或． 故答案为：或 【考点5 解一元二次方程—配方法】 1．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）用配方法解关于的一元二次方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．先把常数项移到方程右侧，再把方程两边同时加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 2．（25-26九年级上·新疆伊犁·阶段练习）如果一元二次方程经配方后，得，那么 ． 【答案】5 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．先移项得到，再把方程两边加上9得到，从而得到，然后解关于k的方程即可． 【详解】解：， ， ， ， 所以， 解得． 故答案为：5． 【考点6 配方法的应用】 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知多项式，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查配方法的应用，根据配方法可进行求解． 【详解】解：， ∵无论x取何实数，A的值都不是负数，且， ∴， 解得， 故答案为：． 2．（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知为实数，满足，那么的最小值为 ． 【答案】14 【分析】本题考查解三元一次方程组、配方法的应用．解方程组转化为只含的代数式，利用配方法求最值，是解题的关键．用含的式子表示出，将转化为只含的代数式，利用配方法，求出最值即可． 【详解】解：， ，得，则③， ，得，则④， 把③④代入得， ； ∵， ∴的最小值是14， 故答案为：14． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知满足，则（） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，配方法的应用，非负数的性质，将变形，然后根据非负数的性质和式子的结果，可以求出的值，再代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ， ，， ∴当时，， 解得：， ， 故选：B． 4．已知：a、b、c是的三边，且，的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】等式配方成，利用非负数性求得a、b、c的长，再利用勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴的形状是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 【考点7 一元二次方程根的判别式】 1．（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握判断一元二次方程根的情况是解题的关键，利用一元二次方程根的判别式对各选项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴方程有两个不相等实数根，此项错误； B、∵， ∴， ∴方程有两个不相等实数根，此项错误； C、∵， ∴， ∴方程有两个相等实数根，此项正确； D、， ∴， ∴方程没有实数根，此项错误； 故选：C． 2．（24-25八年级下·上海金山·期末）若，关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式进行判断．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，有两个相等的实数根；当时，无实数根． 【详解】解：∵方程中，，，． ∴． ∵， ∴， ∴， 即． 故方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意且，进行计算即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故答案为：且． 4．已知分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且是关于的一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】1或2/2或1 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的性质等知识点，注意：等腰三角形的两腰相等．已知一元二次方程、、为常数，，①当时，方程有两个不相等的实数根，②当时，方程有两个相等的实数根，③当时，方程没有实数根．分为两种情况：①、是腰，②、其中一个是腰，另一个是底边，分别求出答案即可． 【详解】解：①当、为腰时，， 、是关于的一元二次方程的两个根， 方程有两个相等的实数根， ， 解得：； ∴， 解得， 此时三角形三边长为：、、，符合三角形三边关系， ②当和3（或和是腰时，， 三角形不是等边三角形， 此时方程有两个不相等的实数根， 、是关于的一元二次方程的两个根， 把代入方程得， 解得：； ∴， 解得，， 此时三角形三边长为：、、，符合三角形三边关系， ∴或2． 故答案为：1或2． 【考点8 解一元二次方程—公式法】 1．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）已知关于的方程，若方程的根都是整数，则满足条件的正整数的值为 ． 【答案】11或9 【分析】本题考查利用求根公式求方程，熟练掌握求根公式以及平方数的定义是解题的关键．本题由求根公式可得：，结合方程的根都是整数以及为平方数进行分析求解即可． 【详解】解：由可知， ， 由题意知方程有实数根， 所以由求根公式可得：， 化简得：， 方程的根都是整数， 为平方数， 设（为正整数）， ，则， 为正整数，为正整数， 和为24的正整数因数，且， ∵， 当时，（舍去）， 当时，，代入验证方程的根是整数，满足条件， 当时，（舍去）， 当时，，代入验证方程的根是整数，满足条件， 正整数的值为11或9． 故答案为：11或9． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的一元二次方程恰有一个根小于，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解一元一次不等式，解一元二次方程得出，，结合题意得出，解一元一次不等式即可得解． 【详解】解：由题意可得：， ∴此方程总有两个实数根， ∴， ∴，， ∵关于x的一元二次方程恰有一个根小于， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）关于的方程，下列解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得 整理得 ，，，， ，， 整理得， 配方得 ，，，， 移项得 ，，或，， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，解一元二次方程的方法，根据等式的性质，解一元二次方程的方法逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、两边同时除以时，未考虑的情况，导致漏解，所以甲错误，故选不符合题意； B、整理得：， ，，， ， ， ，，所以乙错误，故选项不符合题意； C、整理得， 配方得：， ， ， ，，所以丙错误，故选项不符合题意； D、移项得：， ， 或， ，，所以丁正确，故选项符合题意； 故选：D． 4．（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）方程的两个根为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式． 利用一元二次方程的求根公式进行求解即可． 【详解】解：，， ， 根据求根公式得， ， ∴，， 故选：A． 【考点9 解一元二次方程—因式分解法】 1．（25-26九年级上·陕西汉中·阶段练习）若的三边长都是方程的根，则的周长是（   ） A．7 B．8 C．7或8 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、三角形的三边关系等知识点，正确解出一元二次方程并分类讨论是解题的关键． 先利用因式分解法求的方程两个根分别是2和3，再结合三角形的三边关系进行分类讨论即可解答． 【详解】解：， ， ， ． 当2为腰，3为底时，，能构成等腰三角形，此时的周长为； 当3为腰，2为底时，，能构成等腰三角形，此时的周长为． 综上，周长分别为7或8． 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．1或 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义与因式分解法解一元二次方程．此题难度不大，注意二次项系数不等于零，这是易错点．根据题意可得且，继而求得答案． 【详解】解：由题意，得且， ∴且， ∴． 解得． 故选：B． 3．已知关于的方程的一个根是1，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解一元二次方程；分和分别讨论，即可求解． 【详解】解：当时，， 可得：，符合题意， 当时，方程是一元二次方程， 把代入得， ∴， ∴ 解得：（舍去）或， 综上所述，或 故答案为：或． 【考点10 一元二次方程根与系数的关系】 1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）设，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2036 B．2035 C．2034 D．2033 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的定义，代数求值，解题的关键是掌握根与系数的关系． 根据一元二次方程根与系数的关系得出，根据根的定义得出，然后代数求值即可． 【详解】解：根据题意得，， ∵，是方程的两个实数根， ∴ ∴， 故选：B． 2．（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（    ） A．3 B． C．3或1 D．或1 【答案】A 【分析】本题考查根与系数的关系以及根的判别式，由根与系数的关系结合，可得出关于m的分式方程，解之即可得出m的值，再根据根的判别式，即可得出m的值，此题得解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， 解得：或， 经检验，或均为原分式方程的解． ∵是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知是方程的两个根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．根据题意得到，，，进而化简求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 【考点11 二次函数的定义】 1．（25-26九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）以为自变量的函数：①；②；③；④，是二次函数的有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟记概念是解题的关键． 根据二次函数的定义进行判断． 【详解】解：①，符合二次函数的定义，故①是二次函数； ②，符合二次函数的定义，故②是二次函数；   ③，符合二次函数的定义，故③是二次函数；   ④，不符合二次函数的定义，故④不是二次函数．   所以，是二次函数的有①②③，   故答案为①②③．   2．已知函数是二次函数，则 ． 【答案】 【分析】根据定义得：形如 是常数，且的函数是二次函数，列方程可求得答案． 【详解】解：依题意得：且， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的定义．注意：二次函数中，是常数，本题关键点为． 3．（25-26八年级上·安徽·阶段练习）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项的和为（　　） A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 根据二次函数的定义得出二次项系数、一次项系数、常数项，再相加计算即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是， ∴二次项系数、一次项系数、常数项的和为， 故选：A． 4．（24-25九年级上·全国·期末）下列函数关系中，可以看作是二次函数模型的是(　　) A．两直角边的和为的直角三角形，面积与斜边的关系 B．周长为的长方形，长与宽的关系 C．面积为的长方形，周长与长的关系 D．面积为的长方形，长与宽的关系 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义条件：（1）一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为；（1）二次函数的定义条件是：、、为常数，，自变量最高次数为．根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可． 【详解】解：A、两直角边的和为的直角三角形， 设两直角边分别为，则， ∴ ∴ ∴面积与斜边的关系是二次函数，故此选项符合题意； B、关系式为：，是一次函数，故此选项不符合题意； C、关系式为： ，不是二次函数，故此选项不符合题意； D、关系式为： ，不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：A． 【考点12 二次函数的图象与性质】 1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）若点都在二次函数图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知对称轴为轴，当时，随着的增大而增大，由，可得． 【详解】解：∵，， ∴对称轴为轴，当时，随着的增大而增大， ∵， ∴． 故选：A． 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的开口大小的规律和开口方向，的绝对值越大，开口越小，根据此规律判断即可． 【详解】解：∵由图像可知，开口向上，并且开口小于的开口， ∴ ∵由图像可知，开口向下，并且开口小于的开口， ∴ 又 ∴ ∴， 故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意； 故选：C． 3．已知二次函数的图象开口向上，则实数a可以为 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的图象．熟练掌握二次项系数大于0，二次函数图象开口向上是解题的关键． 由题意知，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， ∴实数a可以为2， 故答案为：2． 4．对于二次函数，当取时，函数值相等，则当取时，函数值为 ． 【答案】 【分析】先判断出二次函数图像对称轴为轴，再根据二次函数的性质判断出关于轴对称即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为轴， 取时，函数值相等， 关于轴对称， ， 当取时，函数值为0． 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟记性质并判断出关于轴对称是解题的关键． 【考点13 二次函数的图象与性质】 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的标准式形式，分析开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A、抛物线开口方向由二次项系数决定，因，故开口向上，A正确，不符合题意； B、将代入函数，得，故抛物线经过点，B正确，符合题意； C、函数为，属于标准形式，顶点坐标为，而非，C错误，符合题意； D、因开口向上，对称轴为轴（），当时，随增大而递增，D正确，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数图象与二次函数图象综合判断，由正比例函数得出，从而得出二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，再判断出正比例函数与二次函数图象没有交点即可得解． 【详解】解：∵正比例函数，随的增大而增大， ∴， ∴二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，故A、C不符合题意； 联立得：， 则， 故正比例函数与二次函数图象没有交点，故D符合题意； 故选：D． 3．二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线解析式可得抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，再结合的取值范围可得当时，取得最大值，再分别计算出当时和当时的值，即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴当时，取得最大值，当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故选：A． 4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）定义：对于函数图象上的两点，将的值称为该函数图象在段的“攀登值”，记作．已知二次函数的图象上有两点，若对于任意的均满足当时，该函数图象在段的“攀登值”始终有，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是新定义的含义，二次函数的性质，根据新定义可得，可得，再结合进一步解答即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，而， ∴； 故答案为： 【考点14 二次函数的图象与性质】 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数的图象如图所示，则可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质“对于二次函数，开口向上，开口向下”，据此求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象如图所示， ∴， ∴， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 2．设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，得（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 【详解】解：如图所示，若，则， 故A选项错误； 如图所示，若，则或， 故B、D选项错误； 如图所示，若，则， 故C选项正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键． 3．老师给出一个二次函数，甲、乙两名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在x轴上；乙：抛物线开口向下；已知这两位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式 ． 【答案】y＝﹣（x﹣1）2，（答案不唯一） 【分析】根据顶点在x轴上，开口方向向下，可以确定该函数的形式为y＝﹣a（x﹣b）2（a＞），即可确定答案. 【详解】解：根据题意知，满足上述所有性质的二次函数可以是：y＝﹣a（x﹣b）2（a＞），写出一个满足该形式的解析式即可，如y＝﹣（x﹣1）2,答案不唯一. 故答案为y＝﹣（x﹣1）2，（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于熟记并灵活运用二次函数解析式——顶点式. 4．（24-25八年级下·北京·期中）对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示： 根据二次函数图象的相关性质可知： ， ． 【答案】 4 5 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先将表格的自变量和函数值转化为点的坐标，然后根据函数的对称性直接写出每个字母的值即可． 【详解】解：对于二次函数和， 由表格中的数据得：当时，， 即； ， ∴； 当时，， 代入得，， ，代入得， 化简得，， 解得：或； 若，代入则可得，此情况不存在， 当时，代入则可得， 解得，符合， ∴，， ∴； 故答案为：4；5． 【考点15 二次函数的图象与性质】 1．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）已知点，在抛物线（m是常数）上．若，则下列大小比较正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，有最大值为，对称轴为直线得到当时，随的增大而增大，再根据，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ∴当时，有最大值为 ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴，即 故选：D． 2．当时，二次函数有最大值，则实数的值为(    ) A． B．或 C．或 D．或或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质；求出二次函数对称轴为直线，再分，，三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可． 【详解】解：二次函数对称轴为直线x=m， ①时，取得最大值， 解得； ②时，取得最大值为，不合题意； ③时，取得最大值，， 解得． 故选：C． 3．若二次函数的图像在这一段位于轴的上方，在这一段位于轴的下方，则值为 ． 【答案】 【分析】先根据抛物线的解析式可求得抛物线的对称轴为，由二次函数的对称性可知当时，函数图象位于轴的上方，结合题意可知当时，，从而可求得的值． 【详解】解：二次函数的解析式为， 抛物线的对称轴为， 当时，函数图象位于轴的上方， 当时，函数图象位于轴的上方， 当时，函数图象位于轴的下方， 当时，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质，利用二次函数的性质得到当时，是解题的关键． 4．如图，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，当以为对角线的正方形的另外两个顶点、恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形．    （1）当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ． （2）若抛物线是“美丽抛物线”，则，之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线图像的性质，解一元二次方程，掌握抛物线的轴对称性，利用其对称性，求相应点的坐标是解答本题的关键． （1）由题意知，抛物线的对称轴，顶点，得到，进而可以得到点，的坐标，代入，得到． （2）由题意知，抛物线的对称轴，顶点，得到，进而可以得到点，的坐标，代入，得到． 【详解】解：（1）抛物线中， 令，则， 对称轴，顶点 对称轴与轴交于点的坐标是， ， 正方形中，,是对角线 ， 由题意知，点，关于对称轴轴对称， ，或， 将代入抛物线中， 得，解得． 故答案为 （2）抛物线中， 令，则， 对称轴，顶点 对称轴与轴交于点的坐标是， ， 正方形中，,是对角线 ， 由题意知，点，关于对称轴轴对称， ，或， 将代入抛物线中， 得， 解得，（舍去）； 故答案为． 【考点16 二次函数的图象与的性质】 1．（2025·四川绵阳·一模）已知二次函数的图象关于直线对称，当时，y有最小值，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是二次函数的增减性及最值问题，当自变量的取值范围在对称轴一边时，则根据增减性求出最值；当自变量的取值范围在对称轴两边时，则顶点取到最大值或最小值．首求先根据函数的对称轴求出a的值，然后根据函数的增减性求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的图象关于直线对称， ∴，解得， 则二次函数， 当时，函数有最小值； ∵当时，y有最小值， ∴， 解得， 故选C． 2．（24-25九年级上·湖北荆州·期末）已知二次函数，下列说法中不正确的是（   ） A．该二次函数的图象的开口向下 B．该二次函数图象的顶点坐标是 C．该二次函数的图象与x轴的交点坐标是和 D．已知点和都在这个二次函数的图象上，则 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据可得该二次函数的图象的开口向下，由此即可判断选项A正确；将二次函数的解析式化成顶点式即可判断选项B错误；求出当时，的值即可判断选项C正确；根据二次函数的增减性即可判断选项D正确． 【详解】解：∵二次函数中的， ∴该二次函数的图象的开口向下，则选项A正确； 二次函数化成顶点式为， ∴该二次函数图象的顶点坐标是，则选项B错误； 当时，，解得或， ∴该二次函数的图象与轴的交点坐标是和，则选项C正确； ∵二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 又∵点和都在这个二次函数的图象上，且， ∴，则选项D正确； 故选：B． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数（，为常数）． （1）当时，该函数图象的对称轴为直线 ； （2）当时，的最大值为；当时，的最大值为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质、待定系数法等知识点，掌握二次函数图像的性质成为解题的关键． （1）将代入二次函数，然后根据对称轴公式即可解答； （2）先确定对称轴在y轴左侧，得出，．根据时，的最大值为，根据顶点坐标的纵坐标为，建立方程，求得，代入代数式即可求解． 【详解】（1）当时，， ∴该函数图象的对称轴为直线． 故答案为：． （2）∵当时，y的最大值为7；当时，y的最大值为3，且， ∴对称轴在y轴左侧． ∴，． ∴，解得（正值舍去）． ∴． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，分别过、作对称轴的垂线，垂足为、，证明，所以，，又点，，则，，得，再由，从而求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：抛物线对称轴为：直线， 如图，分别过、作对称轴的垂线，垂足为、， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点，， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【考点17 二次函数图象与系数的关系】 1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）若二次函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是 ． ①图象与轴的交点为，；②；③；④；⑤当时，随的增大而减小 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一判断即可，熟练掌握知识点及运用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴另一个交点为，故①不符合题意， ∵， ∴， ∴，故②符合题意； ∵抛物线开口方向向下， ∴， ∴，故③符合题意； 当时，根据图象可知，，故④符合题意； 当时，根据图象可知，随的增大而减小，故⑤不符合题意； 故答案为：②③④． 2．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象，判断的符号；再根据的符号判断抛物线的开口方向及对称轴即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由一次函数的图象可知，， 则二次函数可得，开口向上， 又二次函数的对称轴为直线，在轴左侧， 故二次函数的图象大致为： 故选：． 3．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，二次函数的图象经过点、点、点，若点是抛物线上任意一点，有下列结论：二次函数的最小值为； ；若，则；若，则；⑤一元二次方程的两个根为和 ．其中正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；根据、两点写出抛物线的交点式化简得，再配成顶点式，即可判断①；由和，即可判断②；当时，，根据二次函数的性质，即可判断③；利用二次函数的对称性及增减性即可判断④；由可知，，则可化为，，解方程即可判断⑤． 【详解】解：抛物线解析式化成交点式为， 即， 配成顶点式得， 当时，二次函数有最小值为，所以①正确； ∵对称轴为直线， ∴ ∴， 由得到， ∴ 故②错误， 当时，， 当，，所以③错误； 点的坐标为，点关于直线的对称点为， 若，则或，所以④错误； 由可知，，则可化为， ， 方程整理得：， 解得，，所以⑤正确． 综上分析可知：正确的有2个． 故选：B． 4．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，抛物线交轴于，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤当是等腰直角三角形时，则；⑥当是等腰三角形时，的值有3个．其中正确的序号是 ． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 先利用交点式表示抛物线解析式得到，则，，于是可对①②③进行判断；利用配方法得到，则当时，有最小值，所以，于是可对④进行判断；过点作于点，如图，利用等腰直角三角形得到，即，则可对⑤进行判断；利用勾股定理得到，，，根据等腰三角形的性质，当时，，当时，，然后分别解方程求出的值，从而可对⑥进行判断． 【详解】解：设抛物线解析式为， 即， ∵， ∴，所以②正确； ∵抛物线开口向上， ， ，即， ， ，所以①正确； ∵， ∴，故，所以③错误； ， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，有最小值， ， 即，所以④正确； 过点作于点，如图， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ，即， 解得，所以⑤正确； ∵，，， ，，， 当时，， 解得，（舍去）， 当时，， 解得，（舍去）， 综上所述，的值为或，所以⑥错误． 故答案为：①②④⑤． 【考点18 二次函数图象与几何变换】 1．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）如果二次函数平移后的顶点恰好落在直线上，求平移后的图像与y轴交点的纵坐标的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及二次函数的平移，设平移后所得抛物线对应的表达式为，因为顶点在直线上，得到．令，得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为．化成顶点式，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】设平移后的解析式为， ∵平移后的顶点恰好落在直线上， ∴， ∴解析式为， 令，得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为， 设平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为z， ∵， ∴当时，此抛物线与y轴交点的纵坐标取得最小值，最小值为． 故答案为：． 2．将抛物线向右平移三个单位，再绕原点O旋转180°，则所得抛物线的解析式 ． 【答案】 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标，然后根据平移、旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可． 【详解】 ， 所以，抛物线的顶点坐标为（-1，-2）． ∵向右平移三个单位， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为（2，-2）． ∵再绕原点O旋转180°， ∴旋转后的抛物线的顶点坐标为（-2，2），且开口向上 ∴所得抛物线解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便． 3．如图，将二次函数y=-（x-2）2+4（x≤4）的图象沿直线x=4翻折，翻折前后的图象组成一个新图象M，若直线y=b和图象M有四个交点，结合图象可知，b的取值范围是 ． 【答案】0＜b＜4． 【分析】利用折叠的性质确定翻折所得抛物线解析式为y=-（x-6）2+4（x≥4），再求出抛物线y=-（x-2）2+4与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0）和抛物线y=-（x-2）2+4与x轴的交点坐标为（8，0），（4，0），从而利用函数图象得到当0＜b＜4时，直线y=b和图象M有四个交点． 【详解】解：二次函数y=-（x-2）2+4（x≤4）的图象沿直线x=4翻折所得抛物线解析式为y=-（x-6）2+4（x≥4） 当y=0时，y=-（x-2）2+4=0，解得x1=0，x2=4，则抛物线y=-（x-2）2+4与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0）， 抛物线y=-（x-2）2+4与x轴的交点坐标为（8，0），（4，0）， 所以当0＜b＜4时，直线y=b和图象M有四个交点． 故答案是：0＜b＜4． 【点睛】考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 4．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）若二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．其中正确的为（    ） ①； ②当时，代数式的最小值为3； ③对于任意实数，不等式一定成立； ④，为该二次函数图象上任意两点，且，当时，一定有． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，抛物线的平移，抛物线的增减性的应用．由二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．可得，可得①符合题意；由，可得 ，结合，可得②不符合题意；由对称轴为直线，结合，可得③符合题意；分三种情况分析④当时，当时，满足，当时，不满足，不符合题意，舍去，可得④符合题意； 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线， 而二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称． ∴， ∴，故①符合题意； ∴， ∴ ， ， ∵， ∴当时，取最小值，故②不符合题意； ∵， ∴对称轴为直线， ∵， 当时，函数取最小值， 当时，函数值为， ∴， ∴对于任意实数，不等式一定成立，故③符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， 当时，满足， ∴， ∴， 当时，不满足，不符合题意，舍去，故④符合题意； 综上：符合题意的有①③④； 故选：C． 【考点19 二次函数与一元二次方程】 1．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）设一元二次方程的两实根分别为，，且，则，满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、因式分解法解一元二次方程以及图形的平移，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．由的两根分别为1、2，可得出抛物线与x轴交于点，将其往下平移m个单位可得到新抛物线，观察函数图象即可得出，此题得解． 【详解】解：∵的两根分别为1、2， ∴抛物线与x轴交于点． ∴将抛物线往下平移m个单位可得到新抛物线，且一元二次方程的两实根分别为，，如图所示， ∴由图象可知：． 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的根的关系，理解抛物线与轴的交点的横坐标即为一元二次方程的解是解题的关键．根据抛物线与轴的交点的横坐标即为一元二次方程的解，即可求解． 【详解】解：∵抛物线经过点、两点， ∴当 ，即时，解得：或 由即得到或． 解得：，， 故答案为，． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作垂直于轴的直线与抛物线有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为，当为锐角三角形时，则的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，依据题意，当为锐角三角形时，则，进而计算可以得解．能根据锐角三角形的性质进行判断是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，得；当时，得：， ∴，， ∴， ∵过点作垂直于轴的直线与抛物线有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为， 当时，， 解得：或， ∴点， ∵为锐角三角形， ∴， ∴． 故选：D． 4．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（   ）                                         A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似根，掌握函数的图象与轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在． 根据函数的图象与轴的交点横坐标就是方程的根，结合表格中数据即可判断方程的一个解的范围． 【详解】解：由表中数据可知：当时，； 当时，， ∴当时，在与之间， ∴方程一个解的取值范围为， 故选：C． 【考点20 图形的旋转】 1．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）如图，在中，，将绕点顺时针旋转角至，使得点恰好落在边上，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 由旋转可得，，再证明是等边三角形，即可求出的度数． 【详解】解：， ． 将绕点顺时针旋转角至， ，， 是等腰三角形，且， 是等边三角形， ． 故选：D． 2．（25-26九年级上·海南·阶段练习）如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，得出点的运动轨迹是解题关键．根据等边三角形和旋转的性质，证，得到，即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动，过点作于点，当点在点处时，取得最小值，即为的长，然后结合勾股定理求解即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， 即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动， 如图，过点作于点， 当点在点处时，取得最小值，即为的长， 点是边的中点， ， 在中，， ， ， 即的最小值是， 故答案为：． 3．如图，在矩形中，已知，，矩形在直线上绕其右下角的顶点向右旋转至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转至图②位置，...，以此类推，这样连续旋转2024次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可． 【详解】解：转动一次的路线长是：， 转动第二次的路线长是：， 转动第三次的路线长是：， 转动第四次的路线长是：0， 转动五次的路线长是：， 以此类推，每四次循环， 故顶点转动四次经过的路线长为：， 顶点转动2024次经过的路线长为：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，发现规律是解决问题的关键． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转 得到，则线段的取值范围是 ． 【答案】 【分析】在的上方作，且使 ，连接．设，则，证明得出，得出，根据勾股定理求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图，在的上方作，且使 ，连接．过点C作的垂线，F为垂足． ∵， ∴ 设，则 ∴ ∴ ∴ ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ 又∵ ∴ 在与中 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴当时，有最小值，最小值为， 当时，；当时，， ∴ ∴ 故答案为：. 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，二次函数的最值问题，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【考点21 中心对称】 1．（24-25八年级下·山东济南·期中）春晚主标识通过视觉元素传达出春晚的主题和寓意．下列主标识中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形是把一个图形绕着某一个点（即对称中心）旋转后，能够与原图完全重合，解题的关键是寻找对称中心．利用中心对称图形的识别方法分别判断各选项即可． 【详解】解：A选项中图形找不到对称中心，使图形旋转后能够与原图完全重合，该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B选项中图形找不到对称中心，使图形旋转后能够与原图完全重合，该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C选项中图形找不到对称中心，使图形旋转后能够与原图完全重合，该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D选项中图形可以找到对称中心，使图形旋转后能够与原图完全重合，该图形是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2．已知点关于原点的对称点在第二象限，则a的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据点所在的象限求参数的范围，求不等式组的解集，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，以及第二象限的点的符号特征，列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：∵点关于原点的对称点为，且在第二象限， ∴，解得：； 故选B． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是8和6，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了中心对称，正方形的性质，掌握关于中心对称图形的性质是解题的关键．连接，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于两个正方形面积差的四分之一． 【详解】解：连接，， ∵正方形的边长为8和正方形的边长为6， ∴正方形的面积为64，正方形的面积为36， ∵正方形和正方形的对称中心都是点， ∴． 故答案为：7． 4．如图，过平行四边形内的点P作各边的平行线分别交于点E，F，G，H．连接．已知与平行四边形的面积分别为m，n． （1）若点P是平行四边形的对称中心，则 ； （2）平行四边形的面积为 （用含m、n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质、三角形中位线的判定及性质，中心对称的性质． （1）连接、，根据平行四边形的判定及性质得出四边形，，，，，为平行四边形，再根据中心对称的性质得出点E，F，G，H分别为，，，的中点，设四边形面积为，即可得到则，，再作比即可得出答案； （2）由题意得四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，分别表示出，，，再根据图形的面积和整理即可得出答案． 【详解】（1）连接、 四边形为平行四边形 ，    ，，，， ，， 四边形，，，，，为平行四边形， 点P是平行四边形的对称中心， 点E，F，G，H分别为，，，的中点， ∴平行四边形，，，的面积都相等，且等于四边形面积的， 设四边形面积为，则， ，，， ∴， ， 故答案为：； （2）由题意得四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， ，，， ， ， ， 故答案为：． 【计算篇】 【考点22 一元二次方程的解法】 1．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（配方法）． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键． （1）根据直接开平方法步骤计算可得； （2）将常数项移到右边后，再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方式后开方可得； （3）将含未知数的项移到一边，常数项移到另一边后，再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方式后开方可得． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， 2．（25-26九年级上·辽宁锦州·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据公式法求解即可； （2）先移项，再根据因式分解法求解即可． 【详解】（1） （2） 或 3．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）用适当的方法解下列关于x的方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)，， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，并熟练掌握利用一元二次方程特征选用合适方法解一元二次方程是解题的关键． （1）整理后，利用因式分解法解一元二次方程即可． （2）先求解，再利用公式法解一元二次方程即可． （3）整理得，利用公式法解一元二次方程即可． （4）先把方程化为，再进一步解方程即可． 【详解】（1）解：， 变形为， ∴， ∴或， 解得：，． （2）解：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． （3）解：， 整理得：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． （4）解：， ∴， ∴， ∴或或， 解得：，，． 4．（25-26九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当时，求此方程的解． 【答案】(1)见解析 (2)，． 【分析】题目主要考查一元二次方程根的判别式及解一元二次方程， （1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）将m的值代入利用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）证明： ， ∵， ∴， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：将代入方程中， 得， ∴， ∴， 即，． 5．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程的两个根为，，且，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数的关系是解题的关键， （1）利用方程有两个实数根，得到，代入即可求得k的取值范围； （2）利用根与系数的关系得到，代入，解出关于k的一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴ ∵， ∴， 解得：． （2）解：∵，是方程的两个根 ， ∴， ∵， ∴， 解得：，（舍去）． 【实际应用篇】 【考点23 一元二次方程的应用】 1．（25-26九年级上·陕西汉中·阶段练习）乒乓球作为陕西中考体育“体质健康测试类”选考项目，因其对体能要求相对较低且趣味性较高，成为同学们选考热点，乒乓球拍的销量也在持续增长．某体育用品店销售一种乒乓球拍，进价为每副42元，按每副66元销售，平均每月能卖出200副，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时，在不亏本的情况下，尽量减少库存，经调研发现，售价每降低2元，平均每月可多卖出20副． (1)小明说：“如果薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500副．”请你判断小明的说法是否正确？并说明理由； (2)该体育用品店期望销售这种乒乓球拍，平均每月的销售利润为4830元，销售员甲说：“在原售价的基础上降低1元，销售利润即可达到预期目标．”销售员乙说：“在原售价的基础上降低3元更合适”，如果你作为老板，请用方程的思想说明应采纳谁的意见． 【答案】(1)小明的说法不正确，理由见解析 (2)采纳销售员乙的意见，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程中的应用，一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设售价降低元，平均每月的销售量能达到500副，根据“售价每降低2元，平均每月可多卖出20副”列出方程，可求出具体降价金额，从而可求出售价，将售价与进价比较即可得出结论； （2）设售价降低元，可使平均每月的销售利润为4830元，根据利润、售价、进价之间的关系列出方程，解出结果后，再根据增加销售量可以减少库存即可得出结论． 【详解】（1）解：设售价降低元，平均每月的销售量能达到500副， 依题意得，， 解得， 降价后每副的售价为（元）， 进价为每副42元，， 平均每月的销售量能达到500副时会亏本， 小明的说法不正确； （2）解：采纳销售员乙的意见，理由如下： 设降低元， ∵售价每降低2元，平均每月可多卖出20副， ∴售价每降低1元，平均每月可多卖出10副， 由题意得， 解得或， 当时（甲的意见），销售量为副； 当时（乙的意见），销售量为副； ∵尽量减少库存， ∴采纳销售员乙的意见． 2．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 3．为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 【答案】(1)小凤的跑步速度为每分钟； (2)小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【分析】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟 ，则小凤的跑步速度为每分 ．根据小鸣的跑步时间小凤的跑步时间列分式方程求解即可； （2）设小凤从地到地用时分钟，根据前30分钟消耗的热量分钟后的热量列方程解答即可． 【详解】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟 ，则小凤的跑步速度为每分 ， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， 原方程的解为， ∴小凤的跑步速度为每分钟， 答：小凤的跑步速度为每分钟； （2）由（1）知，小凤的跑步速度为每分， 则小凤从地到地所用时间为（分钟）． 设小凤从地到地用时分钟， 根据题意，得， 解得或（舍去）， 则（分钟）． 答：小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程与分式方程的应用，读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系是解题的关键． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为1056平方米． (1)求通道的宽是多少米． (2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【答案】(1)3米 (2)上涨40元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设通道的宽是x米，根据题意列出方程，解出x的值即可解答； （2）设每个车位的月租金上涨y元，根据题意列出方程，解出y的值，结合优惠大众选择较小的y的值即可解答． 【详解】（1）解：设通道的宽是米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形， 依题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：通道的宽是3米． （2）解：设每个车位的月租金上涨元，则每个车位的月租金为元，可租出个车位， 依题意，得， 解得， 又要优惠大众， ． 答：每个车位的月租金应上涨40元． 【考点24 实际问题与二次函数】 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点，点）以及点，点落在同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分与第2根栏杆未涂色部分长度相等，则求的长度． 【答案】米 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能在几何图形中建立适当的坐标系并结合图形的特点建立等式求出二次函数表达式． 设为坐标原点，所在的直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为：，代入，，设，则，再将和点坐标分别代入拋物线解析式求解即可． 【详解】解：设为坐标原点，所在的直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图： ∵中间被4根栏杆五等分，， ∴，， 设抛物线解析式为：， 将代入得：， 设， 则， 将点和点坐标分别代入拋物线解析式得：， 解得． 米． 2．（24-25九年级上·内蒙古·期中）中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（且x为整数）成一次函数关系且满足．已知该纪念品成本价为20元/件． (1)求y关于x的函数表达式； (2)求这20天中第几天销售利润为18000元； (3)这20天中，最大利润能否超过18000元？如果能求出最大利润，如果不能说明理由． 【答案】(1) (2)第5天的销售利润为18000元 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查二次函数、一次函数的应用． （1）根据表中数据可知y是x的一次函数，然后用待定系数法求函数解析式； （2）设总利润为w元，根据总利润每个纪念品的利润销售量列出函数解析式，再根据题意列方程，解方程即可； （3）根据函数的性质求最值即可得出结论． 【详解】（1）解：由表格信息可知y是x的一次函数，设y关于x的函数表达式为， 把和代入可得：， 解得：， ∴y关于x的函数表达式为； （2）设总利润为w元， 则， 当时，则， 解得：， ∴第5天的销售利润为18000元， 答：第5天的销售利润为18000元； （3）不能，理由如下： 由（2）可得， ∵，， ∴当时，w最大，最大值， ∵， ∴最大利润不能超过18000元． 3．（25-26九年级上·北京·阶段练习）佩奇和朋友们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形．佩奇从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． (1)请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式． (2)通过计算判断佩奇此次射门能否射入球门内． (3)点为上一点，且，若射门路线的形状和大小、最大高度均保持不变，当佩奇带球向正后方移动再射门，足球恰好经过区域（含点和），直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)球不能射进球门，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，平移规律： （1）先根据题意建立平面直角坐标系，先得到抛物线的顶点坐标为，设设抛物线，把点代入，即可作答． （2）依题意，当时，，即可作答． （3）依题意，设佩奇带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，再把点和点分别代入，算出的值，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示，以为原点，为轴，建立如图所示直角坐标系， ， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线，把点代入得：，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：依题意，当时，， 球不能射进球门． （3）解：设佩奇带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得：， 解得（舍去）或， 把点代入得：， 解得：（舍去）或， 即． 4．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）根据以下信息，探索完成任务： 探索目的 制作简易水流装置 信息1 如图，C是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，使水流从处流出且呈抛物线形．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 信息2 圆柱的高为，点到圆柱顶端的距离为，轴，，，为水流所在抛物线的顶点，点，，，，均在同一平面内． 问题解决 任务一 填空：的长度为______，该抛物线顶点坐标为（______，______）． 任务二 求水流所在抛物线的函数解析式． 任务三 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在点处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 【答案】任务一，, ；任务二，；任务三，水流能流到圆柱形水杯内，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，函数值的计算是关键． 任务一，根据题意得出，的横坐标为，，求得点的坐标，即可求解； 任务二，待定系数法求解析式，即可求解； 任务三，圆柱形水杯最左端到点的距离是，将代入二次函数解析式，比较大小即可求解． 【详解】解：任务一，圆柱的高为，点到圆柱顶端的距离为， ∴ ∵，，轴， ∴的横坐标为， ∴该抛物线顶点坐标为， 故答案为：, ． 任务二，设抛物线解析式为 将点代入得， 解得： ∴抛物线解析式为 任务三，水流能流到圆柱形水杯内，理由如下， 圆柱形水杯最左端到点的距离是， 当时，， ， 水流能流到圆柱形水杯内． 【作图篇】 【考点25 作图-旋转与中心对称】 1．（25-26九年级上·福建·阶段练习）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系， (1)画出关于原点成中心对称的图形 (2)将绕点逆时针旋转得到（点，分别为，的对应点）画出， (3)画出四边形，且四边形为中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图—旋转变换，中心对称图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据中心对称图形的性质，分别作出、、三点关于原点的对应点、、，再顺次连接即可得解； （2）根据旋转的性质，分别作出、两点绕点逆时针旋转的对应点、，再顺次连接即可得解； （3）根据平行四边形的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图：即为所作， ； （2）解：如图：即为所作， ； （3）解：如图，四边形即为所作， ． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，． (1)画出关于原点中心对称的； (2)画出绕点P顺时针旋转后得到的； (3)求出点C旋转到点所走过的路径长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了网格作图——旋转变换，中心对称变换：旋转的性质，对应角都相等都等于旋转角，对应点到旋转中心距离相等，对应线段也相等；中心对称性质，对称点连线经过对称中心，并且被对称中心平分． （1）根据关于原点中心对称的点的坐标特征写出点的坐标，然后描点、连线即可． （2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点从而得到； （3）运用勾股定理求出，代入弧长公式计算即得． 【详解】（1）解：∵， ∴关于原点中心对称的点为， ∴描点，连线得，如图； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵， ∴点C旋转到点所走过的路径长为． 3．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点分别为，，    (1)在网格中作，使它与关于点C成中心对称； (2)平移，使点A的对应点坐标为，点B的对应点为，点C的对应点为，画出平移后对应的； (3)若将绕某一点旋转可得到，则此旋转中心的坐标为______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）由题意得，向左平移2个单位长度，向下平移8个单位长度得到，根据平移的性质作图即可． （3）连接，，，相交于点P，则绕点P旋转可得到，即可得出答案． 本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求．    （2）解：由题意得，向左平移2个单位长度，向下平移8个单位长度得到， 如图，即为所求．    （3）解：连接，，，相交于点P，如图所示：    则绕点P旋转可得到， 此旋转中心的坐标为 故答案为：． 4．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)画出关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． (3)点P为x轴上一点，直接写出当最大时，点P的坐标． 【答案】(1)图见解析，的坐标为 (2)图见解析，的坐标为 (3) 【分析】本题考查了中心对称、旋转作图、三角形的三边关系、一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据中心对称的定义作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）先根据三角形的三边关系推出当、、三点共线时，有最大值，然后利用一次函数的解析式求解即可． 【详解】（1）解：如图：的坐标为； （2）如图：的坐标为； （3）如图： 点为轴上一点，由三角形的三边关系可知， 当、、三点共线时，有， 即，当且仅当、、三点共线时，有最大值； 延长交轴于，此时即为所求； 设， 则， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴， 即当最大时，点的坐标为． 【压轴篇】 【考点26 换元法解一元二次方程】 1．（25-26九年级上·河南商丘·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： (1)解方程，则______； (2)若，求______． 【答案】(1)5或 (2)5 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，正确理解已知中的解题方法并仿照解题是解题的关键． （1）仿照例题，将看作整体，因式分解后得出，再求解即可． （2）仿照例题，将看作整体，因式分解后得出，再求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， ∴， 故答案为：5或； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，， ∵不论a、b为何值，，即， ， 故答案为：5． 2．（24-25九年级上·江西吉安·期中）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”________； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________； (3)已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 【答案】(1)； (2)，，互为倒数； (3)， 【分析】本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和换元法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义，即得答案； （2）先写出的友好方程，然后再解得其友好方程的答案，通过观察，可猜想出原方程与友好方程两根之间的关系； （3）由（2）可知，的两个根分别是，，将整理为：，那么有或，从而解得答案． 【详解】（1）解：一元二次方程与称为一对“友好方程”， 一元二次方程的“友好方程”为； 故答案为：； （2）解：根据题意可知，一元二次方程的友好方程为， 解，得到， 解得，， 观察可知，，； 所以猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系是互为倒数． 故答案为：，，互为倒数； （3）解：已知关于的方程的两根是，， 那么的两个根分别是，， 将整理为：， 那么有或， 即，； 故答案为：，． 【考点27 一元二次方程根的判别式与根与系数关系的综合】 1．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个不相等的实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数m、n满足、，求的值． (2)已知实数p、q满足、，且，求的值． (3)已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值． 【答案】(1) (2)1 (3)7 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式等知识，正确理解一元二次方程根与系数关系，并能对相关式子进行变形是解题关键． （1）根据题意得到m，n是方程的两个不相等的实数根，得到，变形为整体代入即可求解； （2）变形为，结合得到p、可看作方程的两根，得到，变形为即可求解； （3）根据、得到a、b是方程的两个根，即可得到，根据，即可求出，得到c的最大值为7． 【详解】（1）解：∵实数m、n满足、，， ∴m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴p、可看作方程的两根， ∴， ∴； （3）解：∵、， ∴a、b是方程的两个根， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴c的最大值为7． 2．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）我们知道一元二次方程的两根为，，若其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为倍“梅石花”方程，例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是二倍“梅石花”方程；若一元二次方程的两根为，，则称这样的方程为“状元来”方程． (1)根据上述定义，请判断：是_________倍“梅石花”方程； (2)若关于的方程是倍“梅石花”方程，直接写出的最小值是_________． (3)若方程为“状元来”方程，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． （1）利用因式分解法解方程可得，由此即可得； （2）设这个方程的两个根为，则可得，，将代入化简即可得；化简可得，再根据可得，由此即可得； （3）根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，则可得，代入化简即可得证． 【详解】（1）解：， ， 解得， ∵， ∴是4倍“梅石花”方程， 故答案为：4． （2）解：设这个方程的两个根为， ∴，， ∴， ∴，为正整数， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为1， 故答案为：1． （3）证明：∵可化成， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 3．（2025·湖南长沙·二模）我们知道：关于的一元二次方程（，，，均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（为整数），则是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，，，均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则的值为______． (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求的值． 【答案】(1) ； 或； (2)，该方程的“幸运数”为 (3)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及“幸运方程”的定义，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系； （1）把代入方程得到方程，根据“幸运数”的定义即可求解； 根据“幸运数”的定义可得方程，解方程可求得的值； （2）通过的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合为整数确定取值，按照“幸运数”定义求解即可； （3）根据是“幸运方程”得出的两个根为整数，设方程的两个分别为，根据根与系数的关系得出，进而根据为整数，得出的值为或，求得，根据与互为“开心数”得出方程，进而分或，分别代入，解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：当时，代入得，， ∴，即， 故答案为：； 依题意， ， 整理得，， 解得，， 故答案为：或； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是“幸运方程”， ∴是完全平方数， 即是完全平方数， ∴或或， 解得或或， ∵为整数， ∴， 当时，方程化为， ∴； ∴方程的“幸运数”为； （3）解：∵是“幸运方程” ∴的两个根为整数， 设方程的两个根分别为， ∴ ∴ ∴， ∴ ∵为整数， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 综上所述，的值为或； 方程的“幸运数”为， 当时， 当时， ∴ 方程的“幸运数”为 ∵与互为“开心数”， ∴，即 当时，方程为： 解得：或（舍去，不是整数） 当时，方程为： 解得： 综上所述，或 【考点28 利用二次函数的性质求最值】 1．（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线与轴交于点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值； (3)如图，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）设，直线为，求出，直线为，求出，联立方程组得，，再根据，即可求解； （）设直线为，由得，得，设，，联立直线与抛物，得，根据根与系数的关系可得：，，作点关于直线的对称点，连接，则有，过点作于F，则，则，，根据勾股定理得，即可求出最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ，               解得， ∴抛物线的解析式为； （2）设，直线为，据题意得， ，解得， ∴， 联立得， 解得或， ∴， 设，直线为，据题意得， ，解得， ∴， 联立得， 解得或， ∴，                   ，    ， ∴； （3）设直线为，由得， ∴， ∴，             设，， 联立直线与抛物线， 得， ， 根据根与系数的关系可得：，， 作点关于直线的对称点，连接，    由题意得直线，则， ∴， 过点作于F，则． 则，，              在中， ，                                               即当时，，此时， 故的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根的判别式，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 2．（24-25九年级下·江苏淮安·阶段练习）在平面直角坐标系中，有点A、B在函数的图像上， (1)若，，①写出抛物线的对称轴为_____，②直接写出与的大小关系_____； (2)现有一动点P从点A出发，沿x轴方向水平运动到与y轴平行且经过点B的直线L上，再沿着直线L运动到点B，点P运动的总路径为d．当所在直线经过第二、四象限时， ①求a的取值范围； ②求d关于a的函数关系式． (3)关于x的二次函数：，若在（1）的条件下，当时，存在，求t的最小值． 【答案】(1)①；②； (2)①；②； (3) 【分析】（1）①将，代入，然后根据二次函数的性质即可解答；②由题意可得，然后代入函数解析式求得、，然后比较即可； （2）①由题可得：，设直线的解析式为，将A、B代入可得，再根据所在直线经过第二、四象限列出关于a的不等式求解即可；②先分别求出水平距离、垂直距离，然后求和即可解答； （3）先用x表示出，设，当时，存在，再根据二次函数的性质以及存在的定义列不等式求解即可． 【详解】（1）解：①当，时，抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为； 故答案为：． ②∵点A、B在函数的图像上，， ∴，， ∴． 故答案为：． （2）解：点A、B在函数的图像上，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵所在直线经过第二、四象限时， ∴， 解得：． ②由①中的结论得，， 由题意得，点P运动的水平距离为， 竖直距离为， 所以总路径． （3）解：在（1）条件下时，， ∵当时，存在， ∴当时，存在，即， 设，当时，存在， ∵抛物线的对称轴为，开口向下， ∴在，w随x的增大而减小， ∵当时，存在， ∴当时，，即， ∴t的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、比较函数值的大小、一次函数的性质、求一次函数解析式、二次函数与不等式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 3．（25-26九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，，M是的顶点． (1)求a，b的值及点 M 的坐标； (2)将抛物线 平移，使其顶点落在x轴上，得到抛物线的对称轴为直线． ①当 平移路程最短时，直接写出的解析式； ②动点在抛物线上，当时，的最小值为2，求 h的值； ③我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点．连接，与线段只有一个交点 F，且与上的整点个数比为，直接写出h的取值范围． 【答案】(1)，点M的坐标为 (2)①；②h的值为6或；③ 【分析】本题考查二次函数的性质，平移以及整点问题，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键， （1）根据题意将点代入求出的值即可得到函数解析式，再将函数解析式化成顶点式即可得到M的坐标； （2）①要使平移路程最短，即顶点到轴的垂直距离最短，根据抛物线顶点坐标求出平移后的顶点坐标，进而得到的解析式；②根据抛物线的对称轴和开口方向，分情况讨论动点在不同区间时的最小值，从而求出的值；③先求出线段的表达式，得到整点个数，再根据与上的整点个数比为，得到点的横坐标，结合图象求出的取值范围． 【详解】（1）解：将，代入中， 解得：，； ∴的解析式为：， ∴点M的坐标为：； （2）解：①当抛物线向上平移1个长度单位时，平移路程最短，此时抛物线的顶点坐标为：， ∴的解析式为：； ②由题意可知的解析式为：， 当，时，随的增大而增大， ∴当时，取最小值2，即， 解得：（舍），； 当，时，当时，的最小值为0，不符合题意； 当，时，随的增大而减小， ∴当时，取最小值2，即， 解得：（舍），； 综上所述，h的值为6或； ③设直线解析式为，将，代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为， ∵， ∴线段AB上的整点为：，，，，，，， ∵与上的整点个数比为5 ∶ 2， ∴上有5个整点，上有2个整点， ∴与线段的交点的横坐标在范围内有交点， 将代入中， 解得：，； 将代入中， 解得：， ． 当时，图象如下图所示，符合与线段只有一个交点； 当时，图象如下图所示，不符合与线段只有一个交点，故舍去． ∴h的取值范围是． 4．如图①，平面直角坐标系中，抛物线 与轴分别交于点，和点，与轴交于点C，P为抛物线上一动点． (1)拋物线的对称轴为直线______，拋物线的函数表达式为______； (2)如图②，连接，若点在上方，作轴交于点，把上述抛物线沿射线的方向向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求的最大值； (3)若点在上方，设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点F，E．请探索以（G是点关于轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着点的运动而发生变化？若不变，求出这个四边形的面积；若变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不变，这个四边形的面积为16 【分析】（1）根据二次函数图象与x轴的交点坐标即可求得对称轴，再利用待定系数法求函数解析式即可； （2）利用待定系数法求直线的解析式，设平移后函数解析式为：，建立方程组可得，再根据抛物线与直线始终有交点，可得，再进行计算即可； （3）分别求出直线、的解析式，再令，分别求得点F、E、G的坐标，从而求得、的值，即可求得四边形的面积． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴分别交于点和点， ∴抛物线对称轴为： 直线， 把点和点代入得：， 解得， ∴二次函数解析式为：， 故答案为：，； （2）解：∵抛物线， ∴， 设直线的解析式为；， 把点和点代入得：， 解得：， ∴直线解析式为：， 设平移后函数解析式为：， 建立方程组 整理得：， ∵抛物线与直线始终有交点， ∴， ∴， ∴h的最大值为； （3）解：如图，设， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∵G是点E关于x轴的对称点， ∴， ∵，， ∴． 综上，这个四边形的面积不变，这个四边形的面积为16． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数与x轴的交点坐标与对称轴的关系、二次函数与一元二次方程、一次函数与二元一次方程组、解二元一次方程，熟练掌握相关知识，利用参数构建方程是解题的关键． 【考点29 二次函数中的存在性问题】 1．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与 轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)在直线下方的抛物线上是否存在点M，使得的面积为6，若存在求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线的顶点为，连接．抛物线上是否存在一点，使得 ？ 若存在，求点的坐标； 若不存在，说明理由； 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式； （2）根据题意得出的面积与的面积相等，先求出直线的解析式为，进而得到经过点A且与直线平行的直线解析式为，再由平行线间间距相等且和有公共边，因此当点在直线上时，满足题意，据此联立，解方程即可得到答案； （3）分两种情况①根据题意得出的坐标，进而得出是直角三角形，再过点作垂直于，连接，且，求出，进而得出直线解析式，即可得出点坐标；②先求出直线解析式，根据只要，则有，设直线为，代入点坐标，求出直线解析式为，联立：，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 把代入中得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴点在x轴上或x轴下方的抛物线上，的面积与的面积相等， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ∴设经过A点且与直线平行的直线解析式为， 则，解得：， ∴， ∴当点在直线上时，满足题意， 联立， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：存在，理由如下：①连接， ∵函数的解析式为：， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， 过点作垂直于，且，连接， ∵， ， 过点作轴于点，则， ∴， 在和中， ， ∴， 则， 此时与抛物线的交点就是满足条件的点， 设直线的解析式为：， 则， 解得：． ∴直线解析式为：， ， 解得：（不合题意舍去），， ， ∴点坐标为：； ②设直线解析式为，代入坐标，得， 解得：， ∴直线为， 只要，则有， 设直线为，代入点坐标： 则， 直线解析式为， 联立：， ， 解得：（舍去 ），， 把代入解析式可得，， ， 综上所述：点坐标为：或． 2．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (4)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； (5)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 (4) (5)的值为或 【分析】（1）由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）根据（1）中所求抛物线解析式可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （3）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值； （4）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时则有，且，则可求表示出M点纵坐标，代入抛物线解析式可求得m的值； （5）由条件可得出，结合（2）可得到关于m的方程，可求得m的值． 【详解】（1）解：∵抛物线过，两点， ∴代入抛物线解析式可得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：令可得，，解，， ∵点在点右侧， ∴点坐标为， 设直线解析式为， 把、坐标代入可得，解得， ∴直线解析式为； （3）解：∵轴，点的横坐标为， ∴，， ∵在线段上运动， ∴点在点上方， ∴， ∴当时，有最大值，的最大值为； （4）解：∵轴， ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， ∴点纵坐标为3， ∴，解得或， 当时，则，重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； （5）解：∵， ∴当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，， ∴， ∴或， 解方程，即， 此时． ∴方程无解， 解方程，即， ∴， 综上，的值为或． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（3）中用m表示出的长是解题的关键，在（4）中确定出是解题的关键，在（5）中由平行四边形的性质得到是解题的关键． 3．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）如图，已知抛物线经过点、、三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是线段上的点（不与B、C重合），过M作轴交抛物线于N．若点M的横坐标为m．请用m的代数式表示的长； (3)在（2）的条件下，连接、，是否存在m，使的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，当时，的面积最大为． 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，然后用m表示出点M和点N，然后用点N的纵坐标减去点M的纵坐标即可解答； （3）根据的面积等于，据此列出二次函数解析式，然后运用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、、三点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得：，解得：， ∴抛物线的解析式：，即． （2）解：设直线的解析式为：， 把、代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∴， 又∵轴， ∴， ∴， 即. （3）解：存在， ∵， ∴当最大时，的面积最大， ∵， 当时，有最大值为， 所以当时，的面积最大为． 4．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标； (3)如图2，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的纵坐标． 【答案】(1) (2) (3)点纵坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设与轴交于点，过点作于点，证明，在中，利用勾股定理得出，求出，直线与抛物线对称轴的交点即为； （3）设直线的解析式为，当时，求得，则，当时，，求出；当时，，求出；当，时，，求出． 【详解】（1）解：将点代入， 得：， 解得：， ， （2）解：当时，， ， 设与轴交于点，过点作于点， ∵平分， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ， ∴设直线的解析式为， 解得， ∴直线的解析式为， ， ∴抛物线的对称轴为直线， ． （3）解：设直线的解析式为， 当时， 解得：或， ， ， 当时，， 解得：或（舍）， ； 当时，， 解得或（舍）， ； 当时，， ， 解得：或（舍）， ， ； 综上所述：点坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，角平分线的定义及性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $