难点强化专题(3) 抛物线与特殊的几何图形问题(选用)&综合与实践(2) 设计跳长绳方案-【名师学案】2025-2026学年九年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

跨单元整合 难点强化专题（三） 抛物线与特殊的几何图形问题（选用）》 类型一直角三角形问题 类型二等腰三角形问题 解题技巧 解题技巧 直角三角形的分类讨论主要体现在对哪一边为 等腰三角形的分类讨论主要体现在对某一边是 斜边进行讨论，通常以直角为突破口，利用勾股定理 等腰三角形的腰还是底进行讨论，对于定长线段为腰 构造方程.常用知识，点：平面直角坐标系中，A(x1, 时，为了找到相关点，可以分别以该线段的两个端点 y1),B(x2y2),则AB2=(1-2)2十(y1-y2)2. 为圆心，定长为半径作圆，分别找到满足条件的点，再 1.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A 由勾股定理进行计算或构造方程解决问题，当讨论某 (一1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C 一条边是等腰三角形的底边时，往往所求第三个顶，点 在该边的垂直平分线上，通过作线段垂直平分线，利 (1)该抛物线的解析式是 用线段垂直平分线的性质构造方程解决问题， (2)点P是对称轴上一点，若△PBC是直角 三角形，求点P的坐标， 2.(2024·达州)如图，抛物线y=ax2+bx-3 与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0),与y 轴交于点C,点D是抛物线的顶点. (1)点C的坐标是 ,此抛物线的解 析式是 (2)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方 的一动点，是否存在以点V,A,C为顶点 的三角形是等腰三角形？若存在，请求出 满足条件的点N的坐标；若不存在，请说 明理由. O B 助学助款优质高数62 类型三平行四边形问题 解题技巧 平行四边形的问题常用中点法解决.中点法常借 助于“平行四边形的对角线互相平分”比如：若以 AC,BD为对角线时，可以利用对角线互相平分，即对 角线的交点为对角线的中点，根据中点公式可进一步 xXA十xC=xB十x 推出 ,已知其中任意三个点的横坐 yA十yc=yB十yD 标或纵坐标时即可求出另一个，点的横坐标或纵坐标， 类型四角度数量关系问题 再代入特定的条件（在抛物线上或在直线上），从而可 4.如图，抛物线y=ax2十bx十2与x轴交于点 以求出需要的点的坐标.以A,B,C,D为顶，点的平行 A(-1,0)和点B(4,0),与y轴交于点C,连 四边形一般分三种情况讨论：即以AC,BD为对角 接BC,点D在抛物线上. 线，或以AB,CD为对角线，或以AD,BC为对角线这 (1)求抛物线的解析式； 三种情况讨论，通过方程实现盲解可得到要求的，点的 (2)点D在抛物线上移动，连接CD,请求出 坐标，简单高效。 ∠DCB=∠ABC时点D的坐标. 3如图，抛物线y=一兰r十x十4与x轴交于 A(一3,0)，B两点，与y轴交于点C (1)求抛物线解析式及B,C两点坐标； (2)以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四 边形，求点D坐标 63九年级数学·上册 综合与实践（二） 设计跳长绳方案 素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下： (1)每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同学2人； (2)跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1. 图1 素材2：某班进行赛前训练，发现： 1m1 (1)当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的 -6m 抛物线.已知摇绳同学之间水平距离为6m,绳子最高点为 图2 2m,摇绳同学的出手高度均为1m,如图2； 身高(m) 1.70 1.73 1.751.80 (2)9名跳绳同学身高如右表. 人数 2 2 4 素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现： (1)跳绳时，人的跳起高度在0.25m及以下较为舒适； (2)当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度 是身高的品 图3 问题解决 任务1：确定长绳形状.请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线 的解析式. 任务2：确定排列方案.该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时 保持0.45m的间距.请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学. 任务3：方案优化改进.据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整.请小组合作设计调整 方案，并说明方案的合理性. 请完成培优专训（四） 助学助觳优质高敦64模型构建专题（一）二次函数与儿何图形面积的最值问题 1.解：(1D把A(-3,0),B1,0)代人y=-x2+bx-c中，得+2三00，解得 (b=一？：这个二次函数的解析式是y=一2-2x+3:(2)设直线AC为y=mx+ c=-3. 把A(-3,0.C03代人，得十=0解得”y-x+3设点M(e, -a-2a+3),过点M作MN∥y轴交AC于N,则N(a,a+3)..MN=-a2-2a+ 3-(a+3)--a-30.:Sw-Sw+So-MN,OA---3a)-- -号（一3<a<0.”-是<0，开日向下，当a=-号时Sac最大最大值 是号此时点M的坐标是(-号，只)， 第1题图 第2题图 2.(1)y=x-2x-3解：(2)过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点 下设P,-2江一3，设直线C的解析式为3=红十d则十0解得 气”3直线BC的解析武为y=x-3.则Q点的坐标为(x,x-3),QP=x3 -(x2-2x-3)=-x2+3x.由0=x2-2x-3,解得x1=-1,x2=3.A0=1,AB= L.Snom=Sx+Saw十Sae合AB,0C+2QP.BF+号QP.0F=合X4 X3+2（-x+3)X3=-多( -号》+要”-是<0开日向下当=时， 四边形ABPC的面积最大，此时P点的坐标为（受，-），四边形ABPC的面积的 最大值为积 难点强化专题（三）抛物线与特殊的儿何图形问题（选用） 1.(1)y=x2一2x-3解：(2)C的坐标是(0，一3)，对称轴是直线x=1,设P(1,m), 则BC2=3+32=18,BP=(3-1)2+(0-m)2=m2+4,Cp2=12+(m+3)2=m2+ 6m+10.①当∠BCP=90时，BC2+CP2=BP2.∴.18+m+6m+10=m+4.解得m =-4.∴点P坐标是(1，-4)；②当∠PBC=90时，BP2+BC=PC..m2+4+18 =m+6m十10.解得m=2.∴.点P坐标是(1,2)；③当∠BPC=90时，CP2+BP= BC.m+6m+10+m2+4=18.m,=-3+7 m=二3应.点P的坐 2 2 标是1，一3士区)或1,3，应)，综上所述，点P的坐标是1，-4)或(1,2) 2 2 或1,3+亚)或1，-37). 2 2 第1题图 第4题图 2.(1)(0,-3)y=x2+2x-3(2)解：存在，理由：设点N(-1,m),由点A,C,N的 坐标得，AC=18,AN2=4+m,CN=1+(m+3).当AC=AN时，则18=4+m2. 解得m=士√4.则点N(-1,士√/14).当AC=CN或AN=CN时，则18=1+(m +3)2或4十m2=1+(m十3)2.解得m=-3+√17或-1（不合题意的值已舍去），则 点N(一1，一1)或（一1，一3+√17），综上所述，点N的坐标是(-1，士√/14)或（一1， -1或（一1，-3十）.3解：1)把点A的坐标代入解析式得6=一令∴抛物 线的解析式为y=一号：-号十4∴点C的坐标为(0,4)，点B的坐标为1,0.(2) 以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：①若AC为对角线，设AC 的中点为F,则根据中点坐标公式可得F的坐标为（一1.5,2），设点D的坐标为(a, 6).则有士=一号，生-2解得a=-4,=4,此时点D的坐标为（一4，.②若 以AB为对角线，设AB的中点为F,则F的坐标为(-1,0)，设点D的坐标为(a,b), 则有士=-1，生-0.解得a=-2,6=-4,此时点D的坐标为(-2，-40.③若 以BC为对角线，设BC的中点为F,则点F的坐标为(0.5,2)，设点D的坐标为(a ),则有34-号，生少-2.解得a=4,6=4,此时点D的坐标为4,4.综上所述， 2 2 点D的坐标为（一4,4）或（一2，一4）或(4,4).4.解：(1)抛物线的表达式为：y=a(x 十1Dx-40=a(-3-0,把C(0,2)代入，则-4a=2.解得a=-之∴y=-名 x+号十2；(2)当点D在x轴上方时，则点D和点C关于抛物线对称轴对称，则点 D'(3,2);当点D在x轴下方时，设CD交x轴于点H,设点H(x,O),:∠DCB= ∠ABC,则CH=BH,则(4-x)=x十4.解得x=号，即点H(号，0)由点C,H的 坐标得，直线CH的表达式为：y=一专+2.联立，得一名+号十2=一专+2 解得=0（舍去）或号即点D的坐标为（侣，-四）：综上所述，点D的坐标为(3,2) 或（货-9）： 综合与实践（二）设计跳长绳方案 解：任务1：如图建立平面直角坐标系.设长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为 y=ar+2a≠0.“经过点(-3,1).9a十2=1.解得a=一日∴长绳摇至最高处 时，对应抛物线的解析式为)=一日+2.任务2：最右侧同学所在的点的横坐标为 ×(1.8)+2=1.64.“长绳摇至最高处时，人 1 0.45×4=1.8.当x=1.8时，y= 正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的。∴最右侧同学屈膝后头顶到地面的 高度为1.70× =1.615..1.615<1.64,∴.绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边 20 侧的同学 0.85m4 A--B 图2 图4 任务3：答案不唯一，如：设计如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低 至0.85m.此时中段长绳将贴地形成一条线段（线段AB),而剩余的长绳则保持形状 不变，如图，当绳子摇至最低处时，抛物线解析式可表示为y=号.：出于高度降 低至0.85m抛物线下降0.15m.下移后的抛物线解析式为y=gx-0.15.当 x=1.8时，y=0.21.0.21<0.25,∴.方案能解决同学反映的问题，此方案是合理 的 第二十二章核心素养与跨学科融合专练 1.B2.4503.(1)y=-3t+30t(2)72m解：(3)不会.理由如下：，y=-3+ 30t=-3(t-5)2+75,∴.当t=5时，汽车停下，行驶了75m,:75<80,∴.该车在不变 道的情况下不会撞到抛锚的车. 第二十二章大单元整合与素养提升 【例1】(1)解：由题意，设y=a(x-1)(x-5),代入A(0,5),得a=1.∴.抛物线的解析 式是y=(x一1)(x一5)=x2一6x+5,顶点E的坐标是(3，一4)，对称轴是直线x=3: (2)y>y>y(3)15没有实数根(4)x<1或x>5(5)解：：S△= S△，.两个三角形在公共边BC上的高相等.又点E到BC的距离为4，∴.点D到