精品解析：江西省鹰潭市余江区正源学校2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

八年级练习（一） 数学 说明：1．范围：1.1~2.2． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，无限不循环小数是无理数，据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：A、无限循环小数，属于有理数，故该选项不符合题意； B、是无限不循环小数，属于无理数，故该选项符合题意； C、是分数，属于有理数，故该选项不符合题意； D、2是整数，属于有理数，故该选项不符合题意； 故选B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 利用二次根式的性质化简判断即可． 【详解】解：A．，选项错误，故不符合题意； B．，选项错误，故不符合题意； C．，正确，故符合题意； D．，选项错误，故不符合题意； 故选：C． 3. 一个直角三角形的两直角边长分别是3，4，那么该直角三角形的斜边长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：由勾股定理，得 该直角三角形的斜边长为． 故选C． 4. 在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量，已知某微观粒子的能量E可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量E的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了估算无理数大小，掌握无理数大小的估算是解题的关键．首先根据题意可知该微观粒子的能量，结合，易得，即可获得答案． 【详解】解：当，时，， ∵， ∴， 故选：D． 5. 如图，在中，，分别以的三边为边长向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为（ ） A. 8 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据正方形的面积公式得，，，进而得，再由勾股定理得：，则，进而得，由此即可得出答案． 【详解】解：根据正方形的面积公式得：，，， ， ， ∵在中，， ， ， ． 故选：A． 6. 我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里， 大斜一十五里． 里法三百步， 欲知为田几何? ”问题大意：如图， 在中，里，里，里，则的面积是（ ） A. 80 平方里 B. 82平方里 C. 84平方里 D. 86平方里 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积，勾股定理，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破点．主要利用了勾股定理进行解答．过点作，利用勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：如图，过点作于， 设里，则里， 在中，， 在中，， ， ， 解得， 在中，（里， 的面积（平方里）， 故选：C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 225的算术平方根为________． 【答案】15 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：， 故答案为：15． 【点睛】此题考查了算术平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 8. 比较大小：______（用、或填空）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，熟练掌握实数比较大小的方法是解题关键．首先分析出，易得，然后比较和大小即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴ ∴． 故答案为：． 9. 用“*”表示一种新运算：对于任意正实数，都有．例如：，那么________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查了实数运算，正确运用新运算是解题关键．直接利用已知运算公式计算得出答案． 【详解】解：， 故答案为：2． 10. 如果，那么的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方根，立方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据立方根求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 则． 故答案为：． 11. 如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：________（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握知识点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：由图，得 ，，， ∵， 即， ∴三条线段不能组成直角三角形． 故答案为：不能． 12. 如图，在中，，，，点从点出发，以每秒速度沿射线的方向运动．当点运动________秒时，为等腰三角形． 【答案】或5或6 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． 先求出，设点运动t秒时，为等腰三角形，有， 再分类讨论：①当时，②当时，③当时，逐一求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 设点运动t秒时，为等腰三角形，有， ①当时，如图 ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ②当时，如图 ∵， ∴， 即 ， 解得， ③当时，如图 ∴ 解得， 综上所述，t的值为或5或6． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）在中，，，，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）直角三角形，见解析 【解析】 【分析】本题考查立方根解方程，勾股定理的逆运算，掌握知识点是解题的关键． （1）根据立方根解方程的步骤，逐步计算即可； （2）根据勾股定理的逆运算进行计算判断即可． 【详解】解：（1）， ， ， ． （2）是直角三角形． 理由如下：， ， ， 是直角三角形． 14. 如图，在中，，是的三边长． （1）已知，，求； （2）若，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，平方根，掌握知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理进行计算即可； （1）根据勾股定理，平方根进行计算即可． 【小问1详解】 解：由勾股定理得 ， ． 【小问2详解】 设， 则， 解得或（不符合题意，舍去）， ． 15. 已知和是实数的两个不同的平方根． （1）求，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数．掌握正数的平方根互为相反数是解题的关键． （1）利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解，即可求解； （2）先求出的值，利用平方根的定义即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得， ． 【小问2详解】 解：， ． 的平方根为， 的平方根为． 16. 如图，已知点是线段上一点，，若，，，，． （1）求，的长； （2）求证：为直角三角形． 【答案】（1），； （2） 证明：，，， ， 为直角三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理． （1）利用勾股定理求出，的长； （2）根据、的长度，可知，根据勾股定理的逆定理可证为直角三角形． 【小问1详解】 解：，，， ， ，，， ； 【小问2详解】 略 17. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图中，画一个直角三角形，使它的斜边长为； （2）在图中，画一个直角三角形，使它的斜边长为． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，在网格中画直角三角形； （1）画一个直角边长分别为和的直角三角形，则它的斜边长为，即可求解； （2）画一个直角边长分别为和的直角三角形，则它的斜边长为，即可求解． 【小问1详解】 解：如图1，即为所求（答案不唯一）． 【小问2详解】 如图2，即为所求（答案不唯一）． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，有一个长方体盒子，它的长和宽都是，高是． （1）小明在长方体盒子里插入一根细木棒，细木棒经过，两点，求该长方体盒子中放入细木棒（）的长度； （2）在长方体盒子外表面的点处有一只蚂蚁，若它想吃到点处的食物，那么它沿盒子表面爬行的最短路程是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可； （2）将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案． 【小问1详解】 解：由题意得该长方体盒子中放入细木棒（）的长度是： ． 【小问2详解】 解：将长方体的正面和右侧面展开，如图，， 将长方体的上底面和右侧面展开，如图，； 将长方体的正面和下底面展开，如图，． ∵， ∴它沿盒子表面爬行的最短路程为． 19. 学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，小欣（身高米）进行了如下操作： ①测得水平距离的长为7米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米． （1）求风筝的垂直高度； （2）若小欣沿方向再走8米使得风筝沿方向下降，风筝线的长度不变，则风筝下降了多少米？ 【答案】（1）25.65米 （2）4米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键． （1）利用勾股定理求出米，由题意知米，即可求出垂直高度； （2）设小欣沿方向走8米至点，此时风筝下降到点，连接．由题意得米，米，则（米），再利用勾股定理求出米，从而求出米，即可得解． 【小问1详解】 解：在中，米，米， 由勾股定理得， 即， 解得米（负值舍去）． 由题意知米， （米）． 答：风筝的垂直高度为25.65米． 【小问2详解】 解：如图，设小欣沿方向走8米至点，此时风筝下降到点，连接． 由题意得米，米， （米）． 在中，由勾股定理得 （米）， （米）． 答：风筝下降了4米． 20. 勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，据不完全统计，勾股定理的证明方法有400多种． （1）请用图1证明勾股定理； （2）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图2所示的“数学风车”．若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的几何背景和勾股定理的应用，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键． （1）利用大正方形的面积的不同表示方法进行证明即可； （2）先由“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求得，设，则，再由勾股定理得，可得关于x的方程，解方程再进一步求解即可． 【小问1详解】 证明：， ， ； 【小问2详解】 解：“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108， ， 设，则， 在中，， ． 将，代入，可得， 解得， 小正方形的边长，， 风车图案的面积为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如果，那么是的平方根或二次方根，记作；如果，那么是的立方根或三次方根，记作；如果，那么是的四次方根，记作；依此还有五次方根……，请回答下列问题： （1）求16的四次方根； （2）计算； （3）一个正数的两个六次方根分别为和，求这个正数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）根据是四次方根的定义即可求出答案； （2）根据是四次方根及五次方根的定义即可求出答案； （3）根据是六次方根的定义即可求出答案． 【小问1详解】 解：， 的四次方根是． 【小问2详解】 ，， ． 【小问3详解】 的六次方根分别为和， ，解得， ， ． 22. 【综合与实践】 问题情境：如图1，有一张长为8个单位长度的纸条（宽度忽略不计），半径为2的圆上的一点与纸条上表示数0的点重合，将圆沿着纸条向右滚动一周，重合点变为点，点在纸条上表示的数为． （1）的值为________（结果保留）； （2）求的立方根； （3）“善思小组”将纸条进行如下操作． ①操作一：如图2，将纸条沿着表示数4的点对折，则表示数的点与表示数________的点重合； ②操作二：如图3，在操作一的条件下，将对折的纸条沿着点剪开，如图4，展开后的长为，则点表示的数为________． 【答案】（1） （2）2 （3）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了求立方根，数轴上两点之间的距离，实数与数轴，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据圆的周长公式计算即可； （2）将n的值代入，再求平方根即可； （3）①根据数到点A的距离等于点B到点A的距离，可得答案； ②先求出，再用4减可得答案． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）可知， 原式． 的立方根是2， 的立方根是2； 【小问3详解】 解：①如图，设与表示数重合的点为点． 数到点的距离等于点到点的距离， ， 则， 表示数的点与表示数的点重合， 故答案为：； ②， 点表示的数是． 故答案为：． 六、解答题（本大题共12分） 23. 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．数形结合是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，使抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 【思想应用】 （1）已知均为正实数，且，求的最小值．通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与两端点重合，连接，，设，， ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此求的最小值； 【类比应用】 （2）根据上述的方法，求代数式的最小值． 【答案】（1）①，；②；（2）20 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题：灵活运用两点之间线段最短或垂线段最短解决此类问题．也考查了勾股定理和类比的方法． （1）利用勾股定理得到，；则，利用三角形三边的关系得到（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，如图，易得四边形为矩形，利用勾股定理计算出，从而得到的最小值； （2）如图，设，，，，则，利用勾股定理得到，；根据三角形三边的关系得到而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，如图，易得四边形为矩形，利用勾股定理计算出，即可得到的最小值． 【详解】解：（1）①利用勾股定理得到，； 故答案为：；． ②， 而（当且仅当，，三点共线时取等号）． 如图，作交的延长线于点， 易得，， 在中，， 的最小值为， 即的最小值为． （2）如图，设，，，， 则， 在中，， 在中，； ， 而（当且仅当，，三点共线时取等号）， 如图，作交的延长线于点， 易得，， 在中，， 的最小值为20， 即的最小值为20． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级练习（一） 数学 说明：1．范围：1.1~2.2． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个直角三角形的两直角边长分别是3，4，那么该直角三角形的斜边长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 4. 在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量，已知某微观粒子的能量E可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量E的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 5. 如图，在中，，分别以的三边为边长向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为（ ） A. 8 B. C. 4 D. 6. 我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里， 大斜一十五里． 里法三百步， 欲知为田几何? ”问题大意：如图， 在中，里，里，里，则的面积是（ ） A. 80 平方里 B. 82平方里 C. 84平方里 D. 86平方里 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 225的算术平方根为________． 8. 比较大小：______（用、或填空）． 9. 用“*”表示一种新运算：对于任意正实数，都有．例如：，那么________． 10. 如果，那么的值是________． 11. 如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：________（填“能”或“不能”）． 12. 如图，在中，，，，点从点出发，以每秒速度沿射线的方向运动．当点运动________秒时，为等腰三角形． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）在中，，，，判断的形状，并说明理由． 14. 如图，在中，，是的三边长． （1）已知，，求； （2）若，，求． 15. 已知和是实数的两个不同的平方根． （1）求，的值； （2）求的平方根． 16. 如图，已知点是线段上一点，，若，，，，． （1）求，的长； （2）求证：为直角三角形． 17. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图中，画一个直角三角形，使它的斜边长为； （2）在图中，画一个直角三角形，使它的斜边长为． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，有一个长方体盒子，它的长和宽都是，高是． （1）小明在长方体盒子里插入一根细木棒，细木棒经过，两点，求该长方体盒子中放入细木棒（）的长度； （2）在长方体盒子外表面的点处有一只蚂蚁，若它想吃到点处的食物，那么它沿盒子表面爬行的最短路程是多少？ 19. 学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，小欣（身高米）进行了如下操作： ①测得水平距离的长为7米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米． （1）求风筝的垂直高度； （2）若小欣沿方向再走8米使得风筝沿方向下降，风筝线的长度不变，则风筝下降了多少米？ 20. 勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，据不完全统计，勾股定理的证明方法有400多种． （1）请用图1证明勾股定理； （2）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图2所示的“数学风车”．若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如果，那么是的平方根或二次方根，记作；如果，那么是的立方根或三次方根，记作；如果，那么是的四次方根，记作；依此还有五次方根……，请回答下列问题： （1）求16的四次方根； （2）计算； （3）一个正数的两个六次方根分别为和，求这个正数． 22. 【综合与实践】 问题情境：如图1，有一张长为8个单位长度的纸条（宽度忽略不计），半径为2的圆上的一点与纸条上表示数0的点重合，将圆沿着纸条向右滚动一周，重合点变为点，点在纸条上表示的数为． （1）的值为________（结果保留）； （2）求的立方根； （3）“善思小组”将纸条进行如下操作． ①操作一：如图2，将纸条沿着表示数4的点对折，则表示数的点与表示数________的点重合； ②操作二：如图3，在操作一的条件下，将对折的纸条沿着点剪开，如图4，展开后的长为，则点表示的数为________． 六、解答题（本大题共12分） 23. 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．数形结合是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，使抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 【思想应用】 （1）已知均为正实数，且，求的最小值．通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与两端点重合，连接，，设，， ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此求的最小值； 【类比应用】 （2）根据上述的方法，求代数式的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $