福建省泉州第五中学2025-2026学年高一上学期第二次测试数学试题

泉州五中2028届高一上数学单元测试二 一、单选题 1.设a,b是实数，则“a+b>0”是“ab>0的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.下列集合中，与集合{-1,1}相等的是() A.[-1,1] B.xEN'I x2=1 D.{(x,y川x=-1,y=1} 3.函数y=√-x2+5x-4的单调递减区间是() A.3)B.1引 c. 4,已知函数(-)的定义域为-2，川，则函数2x+的 的定义域为( a（周8[ c.（ 1 5.如图1是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心.图2是由此抽象出来 的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成 则“心形”在x轴上方部分对应的函数解析式可能为() A.y=dV4-x2(y>0) B.y=-x2+2y C.y=x4-x2(y>0) D.y=V-x2+2x 图 图2 6.已知正数a,b满足a+3动=2，则5+4如的最小值为( ab A.6+22 B.9 C.8+2W2 D. 7.已知函数f(x)=x2+2x,若对于任意的x、x2∈[2，+0)，且x<2,都有 x,f(x)-xf(x2)>x,（x-)成立，则a的取值范围是( A.[0,+o0) B.c.D. 试卷第1页，共4页 8.已知函数f(x)=2-|x|,若关于x的不等式f(x)≥x2-2x-m的解集中有且仅有2个整数， 则实数m的取值范围为() A.[-2,-1) B.(←2，-1) C.[-2,0) D.(-2,0) 二、多选题 9.已知a<b<0,则下列不等式一定成立的有() A.a2<b2 B.1>1 a b 10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子的称号，他和阿基米 德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数为：对于实数x,符号[x]表示 不超过x的最大整数，则y=[x称为高斯函数，例如[]=2，「-1.8]=-2，定义函数 ∫(x)=x-「x],则下列说法正确的是() A.函数f(x)的最大值为1 B.函数f(x)的最小值为1 C.函数f(x)在(-2，-1)上递增 D.f(x+1)=f(x) 11.已知函数f(x)的定义域是R,对任意的实数x、y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2025, 且f(1)=0,当x>1时，f(x)>0,则下列结论正确的是() A.f(0)=-2025 B.f(-2)=6075 C.函数f(x)为R上的增函数 D.函数f(x)+2025为奇函数 三、填空题 12.已知函数g(+1)=2x+3,则g(3)=一 13.已知定义在[「4,4]上的偶函数f(x)在区间0,4上单调递减，则满足f(x-1)<f(x)的x 的取值范围是 14.己知函数f(x)= [-2x<Q,若f(存在最大值，则a的取值范围是 3x-x2,x≥a’ 试卷第2页，共4页 四、解答题 15.已案合A=背2，B=m-2<s<m (1)若m=-1,求AUB: (2)若A∩B=②，求实数的取值范围. 16.绿水青山就是金山银山”，将生态治理和发展特色产业有机结合起来，就可走出一条生 态和经济协调发展、人与自然和谐共生之路.若今年市财政预下拨专款100百万元，分别用于 生态治理和发展特殊产业两个项目，生态治理项目五年内带来的生态收益y(单位：百万元) 与其投放资金x(单位：百万元)呈正比例函数关系，且投放资金8百万元时可收益0.8百万 元，发展特色产业项目五年内带来的产业收益y,(单位：百万元)与其投放资金x(单位： 百万元)的函数关系是为=20x 5+x (1)设分配给发展特色产业项目的资金为x(单位：百万元)，两个项目五年内带来的收益总和 为y(单位：百万元)，试将y表示成关于x的函数 (2)对两个项目的投放资金如何分配，可使收益总和达到最大？最大值是多少？ 1.已知函数)=女纤是定义在[分为上的奇爵数，且号 2+1 (1)求a,b的值： (2)判断(x)的单调性，并用单调性定义给出证明： ③设5)-瓜+5-2k,若对任意的号》之， 总存在x,∈[0，]，使得f(x)≤(x)成立， 求实数k的取值范围. 试卷第3页，共4页 18.已知函数f(x)=(+1)x2-(m-1)x+-1. (1)若不等式f(x)<1的解集为R,求m的取值范围： (2)解关于x的不等式f(x)≥(m+1)x; ®诺不等式20对切号引恒成立，求加的取宜范用。 l9.对于定义域D的函数y=f(x),若存在区间[m,nsD,使得当x∈[，n时，函数f(x) 的值域恰为[am,al(k>O),则称函数f(x)是，n上的“k倍值函数”，区间m,n叫做“k倍 值区间” (1)已知函数f(x)=x2是[0，a]上的“2倍值函数”，求a的值： (②)若函数g()子2-3x+4是k倍值函数且在k倍值区间单调，求k的取值范围； (3)设函数h(x)=-x2+m是“3倍值函数”，且存在唯一的“3倍值区间”m,n,求m的值. 试卷第4页，共4页泉州五中2028届高一上数学单元测试二 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D c C A B A C BCD CD ACD 12.11g .3 14.0≤a≤2 7.C【详解】对任意x,2∈[2，+∞)，且x<x2,都有x2∫(x)-xf(x2)>ax(x-x)成立， 在不等式x,/(6）/飞)>匹（区-）两边同时除以，可得_f,-, 移项有+m>f）+m,构造函数g问=m'+四=am2+x+2, X. 则g(3)>8(x2),所以函数g(x)=2+x+2在[2，+∞)上单调递减， 当a=0时，g(x)=x+2在[2，+o)上单调递增，不符合题意； 当a≠0时，若使得函数g(c)=a2+x+2在[2，+o)上单调递减， 则2解得医}综上所还，实数a的取位范田民 [a<0 故选：C 2a 8.C【详解】因为函数f(x)=2-|x|,所以关于x的不等式f(x)≥x2-2x-m 可化为2-2x2-2x-m,即m2x2-2x-2+y, 令h(w)=x2-2.x-2+,即m≥h(). 当20时，)2号在0兮)上滋减。在日树上港洛。 且h(0)=-2,h1)=-2,h(2)=0: y=h(x) 当c0时，M0=-3-2=(-八只4e)在(0上卓诺减 =1m 且h(-1)=2.如图所示，结合函数图象及x取-1,01,2时的函数值可知， 答案第1页，共7页 要使m≥x)的解集中有且仅有2个整数，这两个整数解只能是0和1， 所以实数m的取值范围为-2≤<0，即m∈[-2,0).故选：C 11.ACD【详解】对于A选项，对任意的实数x、y满足f(x+y)=∫(x)+f(y)+2025, 令x=y=0可得f(0)=2f(0)+2025,解得f(0)=-2025,A对： 对于B选项，令x=1,y=-1可得f(0)=f()+f(-1)+2025, 即-2025=0+f(-1)+2025,解得f(-1)=-4050, 再令x=y=-1可得f(-2)=2f(-1)+2025=2×(-4050)+2025=-6075,B错： 对于D选项，令g()=f(x)+2025, 由f(x+y)=f(x)+f(y)+2025可得f(x+y)+2025=f(x)+2025+f(y)+2025, 即g(x+y)=g()+g(y),且g(0)=f(0)+2025=0, 令y=-x,则g(x)+g(-x)=g(0)=0,即g(-x)=-g(x), 所以，函数g(x)=f(x)+2025为奇函数，D对： 对于C选项，由题意可知，当x>1时，f(x)>0, 当x>1时，f(x)>0,即x-1>0时，f(x-1)=f(x)+f(-1)+2025=f(x)-2025>-2025, 故当x>0时，f(x)>-2025, 任取x、x,∈R且x<x2,则f(化)=f(x-x)+f(s)+2025>-2025+f(x)+2025>f(), 即函数f(x)在R上为增函数，C对.故选：ACD 14.0≤a≤2 【详解】当a<0时，y=-2在(-o,a)上值域为(a2-2,+o),显然f(x)不存在最大值： 9 当a=0时，在(-0,0)上y=-2,而y=3x-x在[0，+0)上最大值为子，满足题设； 当a>0时，y=-2在(-0，a上值域为(-o,a2-2), 答案第2页，共7页 若0<a时，y=3x-r在a网上设大值为}， 此时a-2≤行数f(y存在最大值，满足题设： 署a名时，3x-r在a+的最大值为3-品 此时只需3a-a2≥a2-2,则2a2-3a-2=(2a+1a-2)s0,即-sa≤2， 2,寸9)存在最大值，满足题设：综上 故答案为：0≤a≤2 1④5x2y:m号*切 【详解】(1)当m=-1时，B={x-5<x<0},则AUB={x|-5<x<2}: （2)当B=②时，此时有3m-2≥m+1,即m≥2 3 3-2<+1 3-2<m+1 3」 当B≠O时，有 或 3m-2≥2 m+1s-号·解 3≤<或ms-3 2 综上，实数m的取值范围为 16. 0)y=10-+200x0≤x≤10： 10x+5 (2)投资生态治理项目资金为5百万元，投资发展特色产业项目资金为95百万元时，总收益 最大，且最大收益为190.5百万元 【详解】1)由恩意知，设⅓=，则08=8k,解得人=01，所以行： 所以y-X+%-100+200=10200(0≤x10. 10x+5 10'x+5 即y-=10-+200(05r6100 10x+5 (2)由0)，得y=10-+200x=210.5- x+5,1000 /x+51000 190.5, 10x+5 10 x+5 ≤2105-210*x+5 当且仅当X+5=1000 即x=95时，等号成立，此时100-x=5, 10x+5 所以投资生态治理项目资金为5百万元，投资发展特色产业项目资金为95百万元时， 总收益最大，且最大收益为190.5百万元 答案第3页，共7页 17.(1)a=4,b=0;(2)单调递减，证明见解析；(3)(-0,4]. 【详解】（①）由酸数)是定义在[为上的奇函数，得/0=60， 2+11 -a 则又于是 2+1 5解得a=4, 4=-4 4x 4)=414f四，即f)是奇函数，所以a=4,b=0. (2酒数0)=号为上的单时递减。理白如下： 4x2+1 在意，且5<5 则))=台-4 (4x2+1)(4x2+1) =-4.4x,s,)-3,-)-4.=x)4x-0 (4x2+1)(4x2+1) (4x2+10(4x2+1)1 山5<气分高>0无Q树如树10， 为会号0，回0，因t>a 所以西数气扫的单网战 (3》由对任意的号为，总存在=D,使得eg)度立。 得J心)在[-上的最大值不大于s()在I®】上的最大值， 由商敬)-牛在宁为上的单调递该、得oe=心宁-1 当k=0时，8(x)=5,1≤5恒成立，因此k=0: 当k>0时，8(x)=x+5-2k在[0，】上单调递增，g(x)mx=gI)=5-k, 则1≤5-k,解得k≤4，因此0<k≤4； 当k<0时，8(x)=x+5-2k在[0，上单调递减，8(x)mx=g(0)=5-2k, 则1≤5-2k,解得k≤2，因此k<0,所以实数k的取值范围是(-0,4 答案第4页，共7页 18.①)m<1-25,②答案见解析；6)21. 3 【详解】(1)根据题意，①当m+1=0,即=-1时，f(x)=2x-2,不合题意： ②当+1≠0，即m≠-1时， f(x)<1的解集为R,即(m+1)x2-(m-1)x+-2<0的解集为R, m+1<0 △=(m-1)2-4(m+1(m-2)<0 3m-2m-9>0枚m<-1时，m<127或1+27 <-1 即 故m<1上-27 3 3 3 (2)f(x)≥(m+1)x,即(m+1)x2-2x+m-1≥0，即[(m+1)x-(m-1)](x-1)≥0， ①当m+1=0,即l=-1时，解集为{x|x≥1}； ②当+1>0，即m>-1时， m-11-2<,解集为xx≤m或x≥， m+1+1 +1 ③当m+1<0,即<-1时， m-1-2>1,解集为1sx≤m +1+1 +1 综上所运：当长小时，解集为1≤批， 当m=-1时，解集为{xx≥：当>-1时，解集为xx≤"-或x≥1. +1 (3)(m+1)x2-(-1)x+m-1≥0，即m(x2-x+12-x2-x+1, :-X+1>0恒成立，m≥-x+1-1+20- x2-X+1 x2-x+1 设1-=4划=2引 x=1-t, 1-x t 1 x2-x+1--1-t)+1f-t+1t+1-1: 1 :t+1≥2，当且仅当t=1时取等号， ,1-x≤1，当且仅当x=0时取等号， x2-x+1 答案第5页，共7页 当x=0时， =1,.m≥1 19.02:a3t压1+29：60m=2 4 【详解】(1)因为函数f(x)=x在[0，a上单调递增，且是“2倍值函数”. 所以f(0)=0=0,(a)=a2,其值域为[2×0,2×a[0,2a] 则a2=2a,又a>1,解得a=2. （2)函数g()-方-3x+4--3列-分对称轴为=3 设g(x)的“k倍值区间”为[，n. 8(m）=㎡-3m+4=1 若m<n≤3，g(x)在[，上单调递减，则 2 ,两式相减得： 800=)i-3n+4=m 2r-i）30m-0-k0n-m则，+0-3=，k=3m+0 所以n=6-2k-m,所以号m2-3+4=k(6-2k-m), 2 即m+k-3到m+2-6t+4-0, 同理可得r+(化-3列m+2k-6k+4=0, 所以方程x2+(化-3)x+22-6k+4=0在(0,3]上有两个不等的实跟， △=(k-3)2-2(2R-6k+4>0 所以{3-k<3 解得3+Es<1+25, 4 9 3 +3(k-3)+2K-6k+4≥0 1 8(m)=二u2-31+4=au 若3≤m<n,g(x)在[m,川上单调递增，则 2 1 8(m）=5n2-31+4=a 即-B+)x+4=0有两个不同的大于3的根 答案第6页，共7页 △=(3+k)2-8>0 令P(y)=2-(6+)x+4,则} 3+k73 1 r6)=号33++4>0 解(3+k)-8>0得k>-3+2√2或k<-3-2√2， 解3片产，3滑>0，解F)-号9-3+40得：名此时无解 6 综上，k的取值范围是3+正≤k<1+25 4 3 (3)因为函数h(x)=-x2+m是“3倍值函数”，“3倍值区间为，nh(x)=-x2+m开口向 下，对称轴为x=0 若0≤m<n,h(x)在[，m上单调递减， ,「h(m）=-2+=3n 则{-+m=3加 两式相减得： -(2-n2）=3(n-m),m+n=3,n=3-m, 代入-m2+m=3n得-m2+m=3(3-m), m2-4+9=0,△=16-36=-20<0，无解 若m<n≤0，h(x)在[，m上单调递增， h(m）=-2+m=3 h()=-r+m=3n,所以m=-2n=-1, 则 当m=-2,h(x)=-x2-2<0,则3倍值区间的端点必须均为负数，此时“3倍值区间唯一， 符合题意；所以m<0<n,且h(0)=,则3m<m<3n,得m≤0且n> 3 又h(m)=-m2+m=3n,h(n)=-n2+m=3, 消去n得m2-4m+9=0(无解)，或者m2-4m+3=0,解得m=1或m=3(舍去)： 所以=-2 答案第7页，共7页