江西省九江市匡庐星瀚高级中学2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

**基本信息** 高二开学考数学试卷注重基础与能力衔接，涵盖集合、立体几何、函数等模块，通过统计成绩分析、折扇文化情境、切比雪夫距离新定义等设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、异面直线成角等|基础全面，如第6题结合直三棱柱与圆柱考查空间角| |多选题|3/18|三角形性质、圆台表面积等|情境化，第11题以折扇文化考查圆台体积与表面积| |填空题|3/15|向量模最值、两圆公切线等|新定义应用，第14题切比雪夫距离结合圆与直线| |解答题|5/77|统计直方图、立体几何探究等|综合递进，第18题四棱锥证明与存在性问题考查逻辑推理|

参考答案 一、单选题 1.【答案】D 【分析】解出集合、，利用集合的交集运算求解. 【详解】，, 所以. 2.【答案】C 【详解】由可得， 即，解得， 3.【答案】A 【分析】根据任意角三角函数的定义以及诱导公式计算即可. 【详解】. 4.【答案】A 【分析】利用向量的加减法运算和向量基本定理进行变形. 【详解】 如图所示： ，因为分别为，的中点， 所以，， 所以． 5.【答案】D 【详解】对于A，若，，则或与相交或，是异面直线，故A错误； 对于B，若，，则或与相交或，是异面直线，故B错误； 对于C，，，则或，故C错误； 对于D，若，，则，故D正确. 6.【答案】C 【分析】将异面直线所成的角转化为相交直线所成角，即可求解. 【详解】因为，所以异面直线与所成角为或其补角， 因为为圆的直径，所以， 因为平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面，所以， ,, 所以 所以异面直线与所成角的正切值为3. 7．D 【详解】过点A作平面，垂足为O，由题意得. 因为平面，所以.过O作，连接AH. 因为平面，，所以平面. 则，因此是二面角的平面角，即. 在中，. 8．C 由题意得，即，， ，， 联立得，其中且，解得， 所以，. 在，，因此.    9.【答案】BC 【分析】根据正弦函数的性质即可判断A；利用余弦定理即可判断B；根据大边对大角结合余弦定理即可判断C；利用正弦定理即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以， 又因为， 所以或，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，由， 得， 所以， 则， 又，所以，故B正确； 对于C，因为，所以角为最小角， 则， 又，所以，即最小内角的度数为，故C正确； 对于D，因为， 满足条件的三角形不存在，故D错误. 故选：BC. 10.【答案】ABD 【详解】正方体棱长为，为中点，故. 选项A.将沿翻折，使它与共面，的最小值为翻折后到的线段长. 和均为等边三角形，边长， 翻折后. 由余弦定理得， 即最小值为，正确. 选项B.在面内，到面的距离为，设满足， 由勾股定理，到在面的垂足（中点）的距离满足，即. 的轨迹是以为圆心、为半径的圆弧. 该圆与正方形的交点为中点和中点，对应圆心角为， 故轨迹弧长为，正确. 选项C.当是中点时，为上的点，. 取的中点，的中点，连接，则. 因为，则四边形为为平行四边形，则. 则过截面为四边形， 则，，，，总周长为，错误. 选项D.是中点，三边为，则； 由等体积法，结合得，正确. 11.【答案】ACD 【分析】根据圆台的侧面展开图，求得圆台上下底面半径、母线长，然后可求得圆台的高、体积、表面积，从而可判断选项A、B、C，根据圆台内置可任意转动的正方体，可推断棱长最大时，正方体的外接球即为圆台内部最大的球，进而判断选项D. 【详解】对于A：设圆台的上底面半径为，下底面半径为，则，， 所以，，又因为圆台的母线长， 所以圆台的高，故A正确；    对于B：，故B错误； 对于C：表面积，故C正确； 对于D：在圆台内放置一个 “可任意转动的正方体”等价于正方体外接球位于圆台内部最大的球的内部即可. 因为，所以圆台没有内切球，圆台内部最大的球为与圆台下底面及侧面相切的球，设球的半径为，如图，球心在轴上，则， 因为，而， 所以，即， 解得或（舍去）， 又因为在中，，所以. 设正方体的棱长为，则正方体外接球的半径满足：，所以， 则，所以.    12． 【详解】依题意，， ， 令， 在中，因为，所以，则，则， 则当且仅当时，有最小值， 因此，解得，故， 由余弦定理得， 则，为直角三角形，，， 设，，， 于是 ，当且仅当时取等号， 当时，，所以的取值范围是. 13.【答案】 【分析】利用直线与圆相切，得到和，联立方程即可求解出结果． 【详解】因为的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 又直线与均相切， 所以①，②，由①②得到，即有， 两边平方得，即， 又，所以，即， 代入①式得到，解得， 所以方程为． 14.【答案】 【分析】先利用几何直观判断取最小值的情形，再结合构造出需要优化的目标函数，最后通过分类讨论得到最小值. 【详解】设点，与点的切比雪夫距离为的点构成了一个以点为中心，边长为的正方形， 要让最小，直线应经过正方形的右上角或左下角，即或， 代入直线方程可得或， 于是有，即的最小值为， 由圆的圆心为且半径为可知圆在第一象限，所以有， 则， 因此需要优化的目标函数为，下面分类讨论， 当且时，， 当且时，， 即当时，当且仅当时取等号， 当时，联立和圆的方程得到，解得， 取较小的一组解进行验算得，符合前提条件； 当时，和不可能同时成立（否则）， 因此必定有，所以， 综上所述，的最小值也即的最小值为. 【点睛】目标函数优化问题一定要注意计算出来的最值能否取得. 15.【答案】(1) (2)众数为，平均数为 (3) 【分析】（1）先根据频率分布直方图的性质，求出参数，再根据分层抽样的规则，计算成绩在的同学的个数； （2）根据频率分布直方图估计平均分和众数的方法，计算总体的平均数和众数； （3）根据频率分布直方图估计总体百分位数的方法，计算最低分数. 【详解】（1）由性质知：，故， 成绩在内的频率分别为， 所以采取分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名， 其中成绩在的同学个数为：. （2）由频率分布直方图知：众数在内，为； 由频率分布直方图知，成绩在，，，，，内的频率分别为： ，，，，，. 所以估计本次考试平均数为： . （3）由于成绩在的频率为， 故估计获得表彰的同学的最低分数为：． 16【详解】（1）因为，所以，， 所以， 所以． （2）①因为，， 所以，， 得到， 则， 化简得，解得或（舍去） 则 ②依题意设，，， ，， 同理， 则 ， 在中，，，，， 依据余弦定理得， 整理得 所以 ，，当且仅当时等号成立 ，即的最小值为 17.【分析】（1）利用奇偶性定义判断的奇偶性； （2）令，根据函数解析式判断的符号，即可证的单调性. （3）由题设有，结合（1）（2）的结论可得 有解，但不恒成立，由的值域即可知k的取值范围. 【详解】（1）且， ∴为奇函数. (2)在定义域上单调递减，证明：令，则 ， 由，，即， ∴，故在定义域上单调递减. （3）由，可得， 由（1）知：， 由（2）知：，即有解，但不恒成立， ∵时，， 又为奇函数，∴的值域为 由有解∴. 又恒成立∴ 有解，但不恒成立得 18.【答案】(1)因为，平面，平面，可得平面， 又因为平面平面，平面，所以. (2)设的中点为，连接， 因为为等边三角形，则， 且平面平面，平面平面，平面， 可得平面，由平面可得， 又因为，，平面， 可得平面，且平面，所以. (3)存在点，使得平面，此时. 【分析】（1）可证平面，结合线面平行的性质定理分析证明； （2）根据面面垂直的性质可得平面，进而可证平面，即可得结果； （3）可证平面，可得，可知平面，进而分析求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）设的中点为，连接， 因为为等边三角形，则， 又因为平面，且平面，所以， 且，则， 且，平面，可得平面， 若平面，则，可知平面， 设，连接， 因为，，则点为的中点，可得，符合题意， 所以存在点，使得平面，此时. 19.【答案】(1)由，得， 所以， 即， 所以， 因为，所以， 所以， 在锐角中，，，所以， 所以，即； (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理及两角和与差的正弦公式可得，从而得到； （2）在锐角中，，，令，则，根据在上单调递增，可求得的取值范围； （3）因为，所以由，得，代入数值可求得． 【详解】（1）略 （2）在锐角中，，，， 可得，所以， ， 令，则，， 因为，所以在上单调递增， 又因为，， 所以，即； （3）因为，为锐角，所以， 所以， 因为， 所以， 即， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省九江市匡庐星瀚高级中学2026-2027学年度上学期开学考 高二数学试题 （时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 一、单选题（共8题，每题5分，共40分） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 3．已知角的终边经过点，则（     ） A． B． C． D． 4．在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（   ） A． B． C． D． 5．已知，是两条不同的直线，是平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则，是异面直线 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．如图，直三棱柱内接于一个圆柱，AB是底面圆O的直径，，，，则异面直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C．3 D． 7．已知二面角的大小为，，，若，点到平面的距离为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8.若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，少选得3分，错选或多选得0分，共18分） 9．在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的有（   ） A．若，则为等腰三角形 B．已知，则 C．已知，，，则最小内角的度数为 D．若，，，则满足条件的三角形有两个 10．如图，在正方体中，，点是正方形内的动点（包含边界），点为的中点，则下列结论正确的是（     ） A．若点在线段上，则的最小值为 B．若，则点的轨迹长度为 C．若点是棱的中点，则过，，的平面截正方体所得的截面图形的周长为 D．若点是线段的中点，则点到平面的距离为 11．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（   ）    A．高为 B．体积为 C．表面积为 D．在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值是 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知中，，存在实数，使得向量的模有最小值，若点是线段上任一点，则的取值范围为__________． 13．已知圆：，圆：，直线l：（k，且）与两圆与均相切，则直线l的方程为__________. 14．记号表示中取较大的数，如. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”. 已知点为坐标原点，点在圆上，点在直线上，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某校高一年级期末考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，求成绩在的同学的个数； (2)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数； (3)若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过，根据样本数据，试估计获得表彰的同学的最低分数． 16．（15分）如图，设，是平面内相交成的两条射线，，分别为，同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为．    (1)在斜坐标系中，，求； (2)在斜坐标系中，，，且与的夹角． ①求； ②，分别在射线，上，，，为线段上两点，且，，求的最小值． 17.（15分）已知，（1）判断的奇偶性； （2）判断的单调性；并证明你的结论 （3）若有解，但不恒成立，求实数的取值范围 18．（17分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，. (1)设平面平面，求证：； (2)求证：； (3)在直线上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 19．（17分）在锐角中，角所对的边分别为，且． (1)证明：； (2)求的取值范围； (3)若的平分线交于点，，，求． 学科网（北京）股份有限公司 $