3.1.1 指数幂的拓展（教学课件）数学沪教版2020必修第一册

该高中数学课件聚焦指数幂的拓展，涵盖n次方根的概念与性质、分数指数幂的意义及有理数指数幂的运算性质。通过银杏活化石与碳14衰减的趣味情景导入，从整数指数幂类比迁移，搭建“平方根—立方根—n次方根—分数指数幂”的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其特色在于以真实情境激发探究欲，培养用数学眼光观察现实世界的意识，如通过碳14衰减问题抽象出分数指数幂。采用类比推理与概念辨析，发展数学思维，例如对比n次方根的奇偶性差异推导性质。题型训练结合典例解析，提升运算能力与问题解决能力，既利于学生逻辑推理与数学表达的培养，也为教师提供结构化备课资源，助力高效教学。

3.1.1 指数幂的拓展 第三章 指数与对数 沪教版2020必修第一册·高一 章节导读 3.1 幂与指数 3.2对数 指数幂的拓展 对数的定义 对数的运算 对数的换底 学 习 目 标 1 2 3 理解分数指数幂、负指数幂的定义，掌握指数幂运算性质并能简单计算。 通过类比整数指数幂，经历指数幂拓展的推导过程，提升逻辑推理能力。 感受数学知识的连贯性，培养严谨的数学思维和学习兴趣。 读教材 阅读课本P64-P67，5分钟后完成下列问题： 1. 为什么分数指数幂的底数通常要求为正数？ 我们一起来探究“指数幂的拓展”吧！ 2. 如何将根式 转化为分数指数幂的形式？ 3. 从 “幂的运算封闭性” 角度，为什么需要将指数从整数拓展到实数？？ 学习过程 01 03 02 目录 1 n次方根的概念及其性质 2 分数指数幂 3 有理数指数幂的运算性质 04 4 题型训练 新知探究 同学们能认出图片中的叶子和果实是什么树的吗？ 银杏,是全球最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把它称为“世界第一活化石”. 新知探究 你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多万年前就存在的吗? 当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢? 新知探究 你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多万年前就存在的吗? (1)当生物死亡了5 730, 5 730×2, 5 730×3,…年后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少? (2)由以上的实例来推断关系式是 新知探究 你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多万年前就存在的吗? (2)由以上的实例来推断关系式是 这里的幂指数已经不是正整数，而是分数，这些分数指数幂应该如何计算呢？这就是我们下面要研究的指数与指数幂的运算，为此先学习根式相关的知识。 新知探究 如果 ，那么 叫做 的平方根. 如果 ，那么 叫做 的立方根. 举例 ，则就是的平方根. ，则就是的立方根. ，则就是的4次方根. ，则就是的5次方根. 新知1 𝒏次方根的概念与性质 如何理解次方根的概念？ 定义 （1）的次方根满足 ，因此求的次方根就是求一个数，使得它的次方等于. （2）结果由 “根指数奇偶” 和 “被开方数正负” 共同决定. （3）次方根的概念表明，乘方与开方是互逆运算. 一般地，如果，那么叫做的次方根. （其中，且）. 典例分析 ， ， ， ， 的 次方根用符号 表示. ， ， ， ， 32 -32 2 -2 16 2 16 16 -2 ±2 你能发现什么吗？ 新知1 𝒏次方根的概念与性质 ①当是奇数时， 正数的次方根是一个正数， 负数的次方根是一个负数. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数. 正的 次方根用符号 表示， 负的 次方根用符号 表示. ③负数没有偶次方根. ④的任何次方根都是，记作. 新知2 根式的概念与性质 式子 叫做根式. 叫做根指数， 叫做被开方数. 定义 表示的次方根， 一定成立吗？ 如果不一定成立，那么等于什么？ 新知2 根式的概念与性质 表示的次方根， 一定成立吗？ 如果不一定成立，那么等于什么？ ， ， 举例说明 由此可见，不一定成立. 新知2 根式的概念与性质 式子 叫做根式. 叫做根指数， 叫做被开方数. 定义 性质 ① 当为奇数时， ； ② 当为偶数时， 新知2 根式的概念与性质 与区别 是实数的次方根，是一个恒有意义的式子，不受的奇偶限制，但这个式子的值受的奇偶限制. 其算法是对先乘方，再开方（都是次），结果不一定等于. 是实数的次方根的次幂，其中实数的取值由的奇偶决定. 其算法是对先开方，再乘方（都是次），结果恒等于. 学习过程 01 03 02 目录 1 n次方根的概念及其性质 2 分数指数幂 3 有理数指数幂的运算性质 04 4 题型训练 新知探究 初中，学习了整数指数幂的运算及性质 , , 新知探究 对于分数指数幂，该如何运算呢？如？. 类似负整数指数幂的定义，给定，正整数(且互素)，定义： . 规定① 给定正数和正整数(且互素)，若存在唯 的正数，使得，则称为的次幂.记作 这就是正分数指数幂. 规定② 新知3 分数指数幂的意义 规定③ 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义. 新知3 分数指数幂的意义 类比0的整数指数幂 给定一个正数，对任意实数，指数幂都大于0； 0的任意正实数幂都等于0； 0的0指数幂和负实数指数幂都没有意义。 注意 学习过程 01 03 02 目录 1 n次方根的概念及其性质 2 分数指数幂 3 有理数指数幂的运算性质 04 4 题型训练 整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数，均有下面的运算性质. （1） （2） （3） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 幂的乘方，底数不变，指数相乘 积的乘方，等于因数乘方的积 新知4 有理数指数幂的运算性质 （1）有理数指数幂除上述运算性质外，还有如下性质： ① ② （2）有理数指数幂的几个常见结论： ① 当 时，； ④ 乘法公式仍适用于分数指数幂. ② 当 时，，而当时， 无意义； ③ 若 (，且)，则； 新知4 有理数指数幂的运算性质 典例分析 为什么负数没有偶次方根？ 因为任何实数的偶次方根是非负数. 即负数的偶次方根无意义. 学习过程 01 03 02 目录 1 n次方根的概念及其性质 2 分数指数幂 3 有理数指数幂的运算性质 04 4 题型训练 根式的性质及应用 题型1 题型探究 【例1】(1)+()5=________;  (2)+=________;  答案:-4 答案: 0 (3)已知x≤-3,则=________; 答案: 4 【解析】(3)原式=-=|x-1|-|x+3|. 因为x≤-3,所以x-1<0,x+3≤0, 所以原式=-(x-1)+(x+3)=4. 实数指数幂的运算：求值 题型2 题型探究 【例2】(1)=________;  (2) (·)·÷(a>0,b>0)=__________.  【解析】(1)原式=(-)=(-)=-. 【解析】(2)原式=··÷=·=a0b0=1. 实数指数幂的运算：化简 题型3 题型探究 【例3】(1)化简:2×(-3)÷(-6)(x,y>0)=__________. (2)=________(a>0,b>0).  【解析】(1)原式=[2×(-3)÷(-6)]·=x2y. 【解析】(2)原式=====a-1=. 条件求值问题 题型4 题型探究 【例4】(1)已知am=4,an=3,则的值为 (　　) A. B.6 C. D.2 【解析】选A.===. 条件求值问题 题型4 题型探究 【例4】(2)已知+=,则x2+x-2=________.  【解析】将+=,两边平方得x+x-1+2=5,则x+x-1=3, 两边再平方得x2+x-2+2=9,所以x2+x-2=7. 课堂小结 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 $