3.2.3 对数的换底（教学课件）数学沪教版必修第一册

该高中数学课件聚焦“对数的换底”核心知识点，课堂导入先复习对数运算性质，通过“用ln2、ln3求log₂3”等具体问题引导学生自主探究，再从特殊到一般推导换底公式，构建起“复习旧知—问题探究—公式推导”的学习支架。 其亮点在于推导过程注重逻辑推理，提供三种证明方法培养数学思维，题型训练覆盖求值、换元及实际应用（如过滤次数计算），课堂小结系统梳理公式及推论。这有助于学生提升转化思想和应用意识，教师可借助其系统资源实现高效备课与教学。

3.2.3 对数的换底 第三章 指数与对数 沪教版2020必修第一册·高一 章节导读 3.1 幂与指数 3.2对数 指数幂的拓展 对数的定义 对数的运算 对数的换底 学 习 目 标 1 2 3 掌握换底公式的推导过程，能通过指数与对数的关系自主推导公式。 通过推导换底公式，培养逻辑推理能力与数学转化思想（将不同底数对数转化为同底数对数）。 体验 “从具体到抽象、从特殊到一般” 的数学思维方法，培养严谨的科学态度。 读教材 阅读课本P75-P76，5分钟后完成下列问题： 1. 非标准底数的对数为何需换底公式计算？其核心作用是什么？ 我们一起来探究“对数的换底”吧！ 2. 用指对互化推导换底公式时，哪步体现 “统一底数” 思想? 3. 换底公式有哪些推论？ 学习过程 01 02 目录 1 对数的换底 2 题型训练 新知探究 复习：对数的运算性质 新知探究 1. 利用计算工具求 ， 的近似值； 探究 新知探究 2. 根据对数的定义，你能利用， 的值求的值吗？ 探究 新知探究 3. 根据对数的定义，你能用，表示吗？ 探究 设 ，则 ，于是 根据性质（3）得 ， ，即 对数换底公式 新知1 对数换底公式 用自然语言描述：一个对数的值等于两个同底的对数的商，其中分子是真数的对数，分母是以原对数的底数为真数的对数. 保证公式中的每一个对数式都有意义. 意义 换底公式实现了将底数不同的对数运算转化为底数相同的运算. 新知1 对数换底公式 保证公式中的每一个对数式都有意义. 你能用其他方法证明对数的换底公式吗? 方法一:对于对数logab,a>0,且a≠1,b>0. 设a=cx,b=cy,c>0,且c≠1,x=logca,y=logcb, logab=cy=logcc==. 新知1 对数换底公式 你能用其他方法证明对数的换底公式吗? 方法二:设对数logab=x,x≠0,a>0,且a≠1,b>0.则ax=b,a=,所以=,所以=b,两边取以c(c>0,且c≠1)为底的对数得xlogca=logcb, 所以x=,即logab=. 方法三:设对数logab=x,a>0,且a≠1,b>0.则ax=b,a=,x≠0, 则logca=logc,即logca=logcb,所以x=,即logab=. 典例分析 当a,c>0且a,c≠1,b>0时： 学习过程 01 02 目录 1 对数的换底 2 题型训练 利用换底公式求值求值 题型1 题型探究 【例1】计算:(1)log29·log34; (2). 【解析】(1)由换底公式可得, log29·log34=·=·=4; 【解析】(2)原式=×=×9 =×=×=-. 利用换底公式表示对数式求值 题型2 题型探究 【例2】(1)已知log189=a,18b=5,求log1845.(用a,b表示) (2)已知log94=a,9b=5,求log3645.(用a,b表示) 【解析】(1)因为18b=5,所以log185=b, 所以log1845=log189+log185=a+b. 【解析】(2)因为9b=5,所以log95=b, 所以log3645====. 利用对数换底公式换元 题型3 题型探究 思路: a=? b=? 已知指数连等式时， 可化为对数式,或同时 取同底对数 利用对数换底公式换元 题型3 题型探究 1 对数运算在实际问题中的应用求值 题型4 题型探究 【例4】某化工厂生产一种溶液,按市场需求,杂质含量不能超过0.1%.若初始时含 杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少,要使产品达到市场要求,则至少应过滤的次 数为(已知:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) (　　) A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】选C.设至少需要过滤n次,则0.02×(1-)n=0.001,即()n=. 所以nlg =lg ,即n(lg 2-lg 3)=-lg 20,即n==≈7.4. 又n∈N,所以n≥8.所以至少过滤8次才能使产品达到市场要求. 课堂小结 对数的 换底 公式： 推论①： 推论②： 推论③： 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 如果，且，，，那么 （1）； （2）； （3）. 设，则， 于是，即， 则 $